双因子方差分析例子
双因素方差分析
1 r rs i 1
j 1
s
ij
1 i. ij s j 1 r 1 . j ij r i 1
s
, i 1, 2...r , i 1, 2...r
, j 1, 2...s
i i.
j . j , j 1, 2...s
j 1 i 1 j 1
s
r
s
诸 ijk 相互独立，均服从
N (0, 2 ) 分布
i 1, 2, , r j 1, 2, , s k 1, 2, , t
这就是有交互作用的方差分析模型。
有交互作用的双因子方差分析:假设
因子A
原假设: ������ H0: 1 2 r 0 ������ 备择假设: ������ H1: 至少一个 i 不同于0 因子B ������ 原假设: ������ H0: 1 2 s 0 ������ 备择假设: ������ H1: 至少一个 j 不同于0 交互作用 原假设: ������ H0:对一切i,j有 ij ������ 备择假设: H1: 至少一个 ij不同于0
有交互作用的双因素方差分析
若 ij i j 则我们称
ij ij i j
为因子A的第i个水平与因子B的第j个水平的交互作用， 它们满足关系式：
i 1 s
r
ij
0, j 1, 2, , s 0, i 1, 2, , r
两种情况分类
分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试 验结果的影响。 ������ 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的， 分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时 的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分 析或无重复双因素方差分析(Two-factor without replication)。 ������ 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影 响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影 响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因 素方差分析或可重复双因素方差分析(Two-factor with replication )。
因子分析：双因子方差分析
方差分析：无重复双因素分析 SUMMARY 行 1 行 2 行 3 行 4 列 列 列 列 列 1 2 3 4 5 观测数 5 5 5 5 4 4 4 4 4 求和 172.5 174 166.1 141.7 125.8 128.2 131.9 134.6 133.8 平均 34.5 34.8 33.22 28.34 方差 2.095 2.485 3.732 1.783
31.45 2.67 32.05 15.31667 32.975 13.9425 33.65 12.36333 33.45 9.35
方差分析 差异源 SS 因素B 134.6455 因素A 14.098 误差 26.282 总计 175.0255
df
MS F P-value F crit 3 44.88183 20.49243 5.16E-05 3.490295 4 3.5245 1.609238 0.235断：对因素Ａ，按第一自由度为４，第二自由度为１２，差Ｆ F0.05 ( 4,2) 3.26 FA 1.61 3.26 分布表，相应于α＝０.０５的临界值 为 , ， , 不能拒绝原假设，说明地块的不同对小麦收获量没有显著影响。对于 F0.01(3,12) 6 F .9 6 B 20 因素Ｂ，按第一自由度３，第二自有度１２查 F分表，相应于α=0.01的 临界值为 ,而 ,说明小麦品种的不同对收获 量有显著影响。
四种小麦在不同地块收获量表 单位：斤 地块A A1 A2 A3 A4 Ｂ１ Ｂ２ 品种Ｂ Ｂ３ Ｂ４ 32.3 33.2 30.8 29.5 34 33.6 34.4 26.2 34.7 36.8 32.3 28.1 36 34.3 35.8 28.5
A5 35.5 36.1 32.8 29.4
双因素方差分析实例
精品文档
某葡萄酒企业有化验员3人，担任葡萄酒酒精度检验 (jiǎnyàn)。每人从B1到B10 10个贮酒罐随机抽样1次进行检验 (jiǎnyàn)，检验(jiǎnyàn)结果如表所示，试分析3名化验员的 化验技术有无差异，以及每罐葡萄酒的酒精度有无差异。
A3
11.61 10.75 12.40 12.41 10.72 13.10 13.58 12.88 11.46 12.94
精品文档
❖ 因素(yīn sù)“酒 罐号”有10个酒罐， 每个酒罐抽取3个样 品，“化验员”有3 名，每名化验员抽 取10个样品，每个 酒罐抽取样品1个。
精品文档
❖ 每个酒罐葡萄酒的平均(píngjūn)酒精度和平均(píngjūn)数的标准差
精品文档
❖ B2与B5、B1与B9，B4与B3、B8与B4、B3、B10与B8差异不显著 (xiǎnzhù)；
❖ 不同贮酒罐内葡萄酒的酒精度均差异显著(xiǎnzhù)。
精品文档
双因素(yīn sù)方差分析（有重 复）
精品文档
为了提高某产品的得率，研究了 提取温度（A）和提取时间（B）对产 品得率的影响。提取温度（A）有3个 水平，A1为80℃、A2为90℃、A3为 100℃；提取时间B有3个水平，B1为 40min，B2为30min，B3为20min，共 组成9个水平处理组合，每个水平组 合含3个重复。实验(shíyàn)结果如 表所示，试分析提取温度和提取时间 对该产品得率的影响。
贮酒罐编号
化验
员
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
A1
11.71 10.81 12.39 12.56 10.64 13.26 13.34 12.67 11.27 12.68
实验5——双因素方差分析(无重复)
将所有数据输在第一列，并命名为“含量比 ”，将所对应的因素A的水平数输在第二列，命名 为“PH值”，将所对应的因素B的水平数输在第 三列，命名为“浓度”。
3. SPSS程序选项
1）Analyze=>General Linear Model=>Univariate
Si g. .975 .592 .217 .975 .579 .174 .592 .579 .604 .217 .174 .604
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
-2.865
3.732
-2.179
4.245
-1.173
4.706
-3.732
5）单击Continue，返回上一级菜单，单击Option，选择 需显示描述性统计量及方差齐性检验，单击Continue返回上 一级菜单单击OK。
主 要 结 果：
1）描述性统计量
Descriptiv e Statistics
Dep endent Vari abl e : 含 量 比
ph 值 1
浓度 1
2.222
T o ta l
46.290
df 3 2
12
Mean Square 1.763 1.111
F 40.948 25.800
Si g. .000 .001
PA 0.000 0.05, 拒绝原假设，认为因素A对指标有影响 PB 0.001 0.05, 拒绝原假设，认为因素B对指标有影响
4）PH值多重比较
蒸
A1
馏
A2
水
A3
双因子方差分析（ＰＤＦ）
２ 双因子方差分析２．１ 双因子试验当试验条件中涉及到两个因子时，就称为双因子试验。
设A 为一个因子，有I 个水平：A i , I i ,,1L =；B 为另一个因子，有J 个水平：B j , J j ,,1L =。
在设计试验方案时，一个重要问题是如何将两个因子的水平搭配起来。
首先，可以考虑每个因子（A 或B ）的不同水平对试验结果分别会有影响。
其次，两个因子不同的水平组合会有特殊的影响（并不是两个因子水平分别影响的简单叠加）。
在这种情况下，为对各种可能的结果作全面考察，应该对两个因子所有可能的水平组合作试验。
这样的试验就是双因子交叉分组试验。
交叉分组试验是最常见的一种双因子试验。
将A 因子的任一水平A i 与B 因子的任一水平B j 搭配，则总共有I J 种组合：(A i ,B j ), I i ,,1L =; J j ,,1L =.在所有这I J 种组合上至少各作一次试验。
例如，假定要在一些试验小区内试验三个小麦品种（分别记为A1、A2和A3）和两种肥料（分别记为B1、B2），在同一个小区上只种一个品种，同时只施一种肥料。
这样，“品种”和“肥料”就构成两个因子，前者有三个水平，后者有两个水平。
这两个因子的所有可能的水平组合共有623=×种：(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2)。
如果在每种水平组合上作相同次数的试验（run ），则整个试验方案称为是“均衡的”。
与单因子试验的情况不同，在双因子交叉分组试验中，若试验方案不均衡，则方差分析会变得比较困难，我们在以后的章节中再来讨论这个问题。
对于均衡的试验，为保证能分析随机误差，在每个水平组合上应作多于一次的试验，称为“有重复”的。
如果在每个水平组合上只作一次的试验，则称为“无重复”的。
对于无重复的交叉分组试验，只有在模型简化之后，才能留有“自由度”来分析误差。
另一种双因子试验的水平组合方式是“嵌套分组”，有时也会遇到。
§7.4双因子试验的方差分析(共31张PPT)
ijk ~ N (0, 2 ),各ijk独立，
i 1,..., r, j 1,..., s, k 1,...,t.
r
s
r
s
交互效应模型
i
i1
0,
j 1
j
0，（）ij
i1
0,
（）ij
j 1
0.
,i , j（, ）ij , 2均未知.
假分 设别
H 01
: 1
2
r 0, H11 :1,...,r不全为零,
ij ~ N (0, 2 ), 各ij独立，
i 1,..., r, j 1,..., s.
r
s
i 0, j 0.
i 1
j 1
,i , j , 2均未知.
分别检验(jiǎnyàn)
假设
H01 :1 2
r 0, H11 :1,...,r不全为零,
H02 : 1 2
s
0, H12
FA
MS A MSE
SB
s 1
MSB
SB
s 1
FB
MSB MSE
SE (r 1)(s 1)MSE SE (r 1)(s 1)
ST rs 1
12
第十二页，共三十一页。
例2 假定对3个小麦品种(pǐnzhǒng)和3块试验地块进行区
组设计试验，得到如下的数据：
rs
Xij2 816759
表 小麦品种(pǐnzhǒng)区组试验数据i1 j1
ij , 2均为未知参数.
记
1 rs
r i1
s
ij , ——总平均（一般平均）
j 1
i•
1 s
s
ij , i
4-两因子方差分析
5.07 4.13
3.21 3.50
3.17 2.47 3.07
Hale Waihona Puke 3.75 2.84 3.10
2.50 3.09 1.99
2.65 2.90 2.42
2.62 2.75 2.37
1
6.17 4.07
5.12
3.78 4.22
5.31 3.92 4.78 4.64 5.26 3.78
3.75 3.63 3.51 5.22 4.35 5.23
i 1 j 1 p 1 r c
r
c
m
2
SS I m ( y ij . y i .. - y. j . y )
i 1 j 1 r
2
SS A cm ( y i .. y )
i 1
2
SS B rm ( y. j . y )
j 1
c
2
定理2 在双因子方差分析模型 中，有
故在不存在交互作用的 前提下，考察 因子的各个水平 A 均值是否一致，等价于 检验 H 0 A : a i . 0, i 1, , r vs H 1 A : 至少有一个 i . 不为0 a
(3)B因子各水平对结果的影 响有无显著差别
同理在不存在交互作用 的前提下，考察 因子的各个 B 水平均值是否一致，等 价于检验 H 0 B : a. j 0, j 1, , c vs H 1 A : 至少有一个 . j 不为0 a
3.46 3.78 5.13 4.12
2.75 2.70 3.13 2.86
3.70 3.90 4.18 3.91
分析
毒素C对肺活量影响严重，毒 A对三个工厂的 素
工人作用不同三种毒素对工厂 的肺活量影响顺序是 . 1 C，B，A，而工厂3的肺活量影响顺序是 ，A，B， C 故可能存在交互作用 .
实验5——双因素方差分析(有重复)
6 ) 燃料多重比较
Dependent Variable: 火 箭 射 程 Tamhane
Multiple Comparisons
(I) 燃 料 (J) 燃 料
1
2
Mean Difference
(I-J)
6.3000
3
-1.3500
4
-2.0500
2
1
-6.3000
3
-7.6500
4
-8.3500
22.9701
-16.2754
13.0004
-6.2972
21.0972
-22.9701
4.8951
-21.0972
6.2972
8 ) 燃料与助推器的多重比较
3. 燃料 * 助推器
Dependent Variable: 火箭射程
燃料 助推器
1
1
2
3
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
2
3
Mean 55.400 48.700 63.050 45.950 52.300 50.000 59.200 72.050 39.950 73.650 54.600 45.050
2. SPSS输入数据格式: 3列24行 因素A取值有4个，因素B取值有3个。
3. SPSS程序选项
1）Analyze=>GeneralLinearModel=>Univariate； 2）将“火箭射程”设置为因变量（Dependent）， 将“燃料”、“推进器”设置为固定因素 （Fixed Factor（s））；
Std. Error 3.142 3.142 3.142 3.142 3.142 3.142 3.142 3.142 3.142 3.142 3.142 3.142
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【双因素方差分析例题】
下表数据是在4个地区种植的3种松树的直径.
试对松树的直径数据进行种树与地区的双因素方差分析？
模型识别
树种和地区是对松树的直径都有可能产生影响的两个因子，并且二者之间还有可能产生交互作用，即有可能出现某个地区最适合(不适合)某种松树的生长情况.
地区因子有4个水平，树种因子有三个水平，在每一个水平下分别抽取了5个样本.
我们先利用MATLAB提供的命令anova2()来对本题作双因子方差分析.再用单因子方差分析确定其它问题.
MATLAB数据处理
clear
A=[23 15 26 13 21 25 20 21 16 18 21 17 16 24 27 14 11 19 20 24]; B=[28 22 25 19 26 30 26 26 20 28 19 24 19 25 29 17 21 18 26 23]; C=[18 10 12 22 13 15 21 22 14 12 23 25 19 13 22 18 12 23 22 19]; X=[A',B',C'];
⑴双因子方差分析
reps=5;
[p,Table]=anova2(X,reps,'off')
p =
0.0004 0.3996 0.4156
Table =
'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F'
'Columns' [ 352.5333] [ 2] [176.2667] [9.1369] [4.3408e-004] 'Rows' [ 58.0500] [ 3] [ 19.3500] [1.0030] [ 0.3996]
'Interaction'[ 119.6000] [ 6] [ 19.9333] [1.0333] [ 0.4156]
'Error' [ 926.0000] [48] [ 19.2917] [] []
'Total' [1.4562e+003][59] [] [] []
双因子方差分析结果说明：
我们看到返回向量p有3个元素，分别表示输入矩阵X的列、行及交互作
用的均值相等的最小显著性概率，由于X的列表示树种方面的因素，行表示地
区方面的因素，所以根据这3个概率值我们可以知道：树种因素方面的差异显著，地区之间的差异和交互作用的影响不显著(没有某种树特别适合在某地区
种植).
接下来对树种进一步作单因子方差分析.
⑵单因子方差分析
[p，anovatab，stats]=anova1(X，[]，'on')
p =
3.7071e-004
anovatab =
'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' 'Columns' [352.5333] [2] [176.2667] [9.1036] [3.7071e-004] 'Error' [1.1036e+003] [57] [ 19.3623] [] []
'Total' [1.4562e+003] [59] [] [] []
stats =
gnames: [3x1 char]
n: [20 20 20]
source: 'anova1'
means: [19.5500 23.5500 17.7500]
df: 57
s: 4.4003
图三种松树直径的box图
单因子方差分析结果说明：
单因子方差分析进一步确认了树种之间的差异是显著的，由box图可以看出树种B的平均直径最大，故可认为树种B最好.
实际上，作多重比较得出的结论更细腻、丰富一些.。