数学建模2

§3.2双因素方差分析一． 交互效应与数学模型在双因素试验中，设因素A 有r 个水平A 1，A 2，…，A r ，因素B 有s 个水平B 1，B 2，…，B s ，于是共有r ⨯s 个不同的水平组合（A i ×B j ）i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，如果在每一种水平的组合下都至少作一次试验，则称试验为完全的设计；否则为不完全的设计．如果在每一种水平的组合下的试验次数相等，称为平衡的设计．设在A i ×B j 水平组合下的试验结果为X j i i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，则X j i 是一个随机变量，可视为一个总体，这样共有r ⨯s 个不同的总体．设在A i ×B j 水平组合下独立重复t 次试验，试验结果为X ijk i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，k =1，2，…，t ，则可视为从总体X j i 中抽取的容量为t 的样本，并假定这r ×s 个样本相互独立．若假定X j i ～N (μij , σ2) i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，显然有X ijk ～N (μij , σ2) i =1，2，…，r ，j =1，2，…，k =1，2，…，t ，于是所有X ijk 相互独立。

称μij 为在A i ×B j 水平组合下的试验结果的理论总均值．令εijk = X ijk - μij为在A i ×B j 水平组合下第k 次试验的随机误差，显然εijk 是相互独立的随机变量，且同服从于N (0, σ2) i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，k =1，2，…，t ，于是可得⎩⎨⎧+=，且相互独立～),0(2σεεμN X ijk ijkj i ijk （3.2.1）（3.2.1）为双因素方差分析的数学模型．为进一步分析方便记 μ= rs 1∑∑==r i sj ji 11μ 称为总均值；μ∙i = s 1∑=sj j i 1μ i =1，2，…，r ，称为因素A 的第i 个水平的均值； μj ∙=r1∑=ri j i 1μ j =1，2，…，s ，称为因素B 的第j 个水平的均值；αi = μ∙i -μ i =1，2，…，r ，称为因素A 的第i 个水平的主效应； βj = μj ∙-μ j =1，2，…，s ， 称为因素B 的第j 个水平的主效应； 易见∑=r i i 1α= 0 ，∑=sj j 1β= 0，γj i = μij -μ-αi -βj i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，（3.2.2）A i ×B j 对指标值的总效应μij -μ，减去水平A i 的效应αi 及B j 的效应βj ，剩余的γj i 为A i ×B j 对指标值的交互效应．在双因素试验中因素A 取A i 水平，因素B 取B j 水平时，对试验指标值的影响，并不一定恰好等于因素A 取A i 水平时的主效应αi 与因素B 取B j 水平时的主效应βj 的迭加．现举一简单的例子来说明在实际中交互作用确实存在．例3.2.1 为研究氮肥量（因素N ）与磷肥量（因素P ）对大豆亩产量的影响，每个因素取两个水平，选择其它条件都相同的四块地，对同一品种的大豆进行种植试验，亩产量如表3-5．表3-5 大豆亩产量（单位：公斤）由表3-5的数据可以看出：既不施氮肥也不施磷肥的地大豆亩产只有300公斤；而仅施磷肥3公斤的地，大豆亩产为340公斤，显然，施3公斤磷肥对亩产量的增效为40公斤；而仅施氮肥5公斤的地，大豆亩产为330公斤，显然，施5公斤磷肥对亩产量的增效为30公斤；而即施磷肥又施氮肥的地，大豆亩产为440公斤，这比既不施氮肥也不施磷肥的地大豆亩产增加了140公斤，如果除去仅施磷肥的增效40公斤和仅施氮肥的增效30公斤，剩余的70公斤显然就是磷肥和氮肥对大豆亩产量的交互效应．在双因素方差分析中，通常把因素与因素的交互效应看作为一个单独因素的效应，这个因素记为A ×B ，称为因素A 与B 对试验指标的交互作用．由（3.2.2）可得μij = μ+αi +βj +γj i i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，于是，双因素方差分析的数学模型（3.2.1）可以改写为如下形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======+++=∑∑∑∑=+====相互独立且～，，，，，，，，，εσεγγβαεγβαμijk ijk s j ij r i ij s j j ri i ijk j i j i ijk N t k s j r i X ,),0(0,0,0,021,21,2121111（3.2.3）称其为有交互效应的方差分析模型．二．交互效应模型下的的方差分析在模型（3.2.3）下要检验因素A ，B 及A ×B 对试验指标的影响是否显著，就是分别对原假设H 01：α1=α2= …= αr = 0H 02：β1=β2= …= βs = 0H 03：γj i = 0， i =1，2，…，r ；j =1，2，…，s ．作显著性检验．推导检验H 01、H 02和H 03统计量的方法与推导单因素方差分析时的方法类似，若 记∑∑∑====r i s j tk ijk X rst X 1111 总均值X ij .=∑=tk ijk X t 11 水平A i ×B j 下的样本均值X i ..=∑∑==s j tk ijk X st 111 水平A i 下的样本均值 X j ..=∑∑==r i tk ijk X rt 111 水平B j 下的样本均值 可得到总偏差平方和的平方和分解公式：S t = S A +S B +S B A ⨯+S e （3.2.4）其中S t =∑∑∑-===ri sj tk X X ijk 1112)( 总平方和；S e =∑∑∑-===ri sj tk X X ij ijk 1112)(. 误差平方和；S A = st ∑-=ri X X i 12)(..因素A 的平方和；S B = rt ∑-=s j X X j 12)(.. 因素B 的平方和；S B A ⨯= t ∑∑+--==ri s j X X X X j i ij 112)(..... 因素A ×B 的平方和；在模型（3.2.3）下可求得：S E e = rs (t-1) σ2 S E A = (r-1) σ2+st ∑=ri i 12αS E B = (s-1)σ2+rt ∑=sj j 12βS E B A ⨯= (r-1) (s- 1)σ2 + t ∑∑==r i sj ij 112γ由此可见 S e 主要反映的是误差在数据波动中的作用；S A 除了反映误差的作用外，主要还反映了因素A 的不同水平的差异在数据波动中的作用；S B 除了反映误差的作用外，主要还反映了因素B 的不同水平的差异在数据波动中的作用；S B A ⨯除了反映误差的作用外，主要还反映了因素A ×B 的不同水平的差异在数据波动中的作用．同时，还可以看出 当H 01成立时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1r S E A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)1(t rs S E e ，否则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1r S E A ＞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-)1(t rs S E e ； 当H 02成立时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1s S E B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)1(t rs S E e ，否则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1s S E B ＞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-)1(t rs S E e ；当H 03成立时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯)1)(1(s r E S B A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-)1(t rs S E e ，否则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯)1)(1(s r E S B A ＞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)1(t rs S E e ． 令 S A =1-r S A S B =1-s S B S B A ⨯=)1)(1(--⨯s r S B A S e = )1(-r rs S e由柯赫伦（Cochrom ）定理和F –分布的定义可建立如下统计量：当H 01成立时，F A = S A /S e ～F （r-1，rs (t -1)）； （3.2.5） 当H 02成立时，F B = S B /S e ～F （s-1，rs (t -1)）； （3.2.6） 当H 03成立时，F B A ⨯= S B A ⨯/S e ～F （(r-1) (s-1)，rs (t -1)）；（3.2.7） 以上统计量，在H i 0（i =1，2，3）不成立时都有偏大的趋势．对给定的显著性水平α若F A ＞F （r-1，rs (t -1)）则拒绝H 01，即认为在α水平上，因素A 对指标的作用显著．F B ＞F （s -1，rs (t -1)）则拒绝H 02，即认为在α水平上，因素B 对指标的作用显著．F B A ⨯＞F （(r-1) (s-1)，rs (t -1)）则拒绝H 03，即认为在α水平上，因素A ×B 对指标的作用显著．注意：当t =1时，误差平方和的自由度为0，这时，所构造的统计量无意义．因此，对有交互作用的双因素试验，在每一个水平下等重复试验的次数t 至少要大于1．在具体计算时可用如下记号： 记 W = ∑∑∑===ri sj tk X ijk 1112，T = ∑∑∑===ri sj tk ijk X 111T i .. = ∑∑==sj tk ijk X 11， T j ..= ∑∑==r i t k ijk X 11 ，T ij . = ∑=tk ijk X 1则 S t = W -T rst21 S A =∑=r i i T st 12..1-T rst21S B = ∑=sj j T rt12..1-T rst21 S B A ⨯=∑∑==r i s j ij T t 112.1-T rst21-S A -S BS e =S t -S A -S B -S B A ⨯与单因素方差分析类似，将上述计算结果以方差分析表的形式列出．表3-6双因素等重复试验的方差分析表例3.2.2 为了提高某种农作物的亩产量，选择较好的种子与肥料，某县农业科技推广站，选择了四个不同品种的种子A i (i = 1,2,3,4)与三种肥料B j (j = 1,2,3)，在其它条件相同的试验田里作试验，所得数据列于表8-7中．试分析种子、肥料及它们的交互作用对该农作物的亩产量是否有显著影响？（α=0.05）表3-7亩产量数据（单位:公斤）中，与单因素方差分析类似，可以证明进行这种变换，所有的平方和之值保持不变． 表3-8设 X ijk 表示采用第i 个品种的种子并使用第j 种施肥量的第k 快地的农作物的亩产量i = 1,2,3,4 ，j =1,2,3，k =1，2， 假定X ijk ～N (μij , σ2) 并所有X ijk 相互独立。