论文—双因素试验的方差分析
统计学双因素方差分析论文
关于林业部门对松树的不同树种在不同地区的生长情况的数据分析———--—－统计学双因素方差分析摘要：松树，又名常青树,顾名思义它四季都是绿色的,使人们四季都能有春天的感觉。
它不仅有很高的观赏价值,还很坚固顽强，常年不死。
因此如果在城市种植的话,不但可以供市民观赏,而且它的存活机率高,便于林业部门打理。
但它的种类繁多,而且不同地区的土壤也是有差别的,林业部门想根据其生长的直径,考虑不同的树种和不同的地区对它的生长状况有怎样的影响。
采用双因素方差分析方法。
关键词:双因素方差分析直径 SＰSＳ软件正文:一、引文:松树,又名常青树,顾名思义它四季都是绿色的，使人们四季都能有春天的感觉．它不仅有很高的观赏价值，还很坚固顽强，常年不死。
但它的种类繁多，而且不同地区的土壤也是有差别的，林业部门想根据其生长的直径，考虑不同的树种和不同的地区对它的生长状况有怎样的影响。
采取的分析方法:有重复双因素方差分析，单因素方差分析。
分析过程应用了Ｅxcel 20０3 软件和ＳＰSS 统计学软件。
二、统计学分析方法的理论依据：方差分析(AＮOVA)是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型数据自变量对数值型因变量是否有显著影响。
双因素方差分析法是一种统计分析方法,这种分析方法可以用来分析两个因素的不同水平对结果是否有显著影响,以及两因素之间是否存在交互效应。
因为在实际应用中,一个试验结果(试验指标）往往受多个因素的影响。
不仅这些因素会影响试验结果,而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
一般运用双因素方差分析法，先对两个因素的不同水平的组合进行设计试验,要求每个组合下所得到的样本的含量都是相同的。
在本分析中,我们所研究的因素是地区和松树种类，水平是不同的地区和不同的松树。
本分析中使用的有重复双因素方差分析方法即有交互作用的双因素方差分析方法。
有交互作用的双因素方差分析处理方法:把交互作用当成一个新因素来处理，即把每种搭配A i B ｊ看作一个总体X ｉj .基本假设:(1)X ij 相互独立；(2)X ij ～ N(μi ｊ,σ2）,(方差齐性）。
双因素试验方差分析
F0.053,64.76 F0.012,610.92
F BM SBM SE29.10
F 0 .0 53 ,6 F AF 0 .0 13 ,6 FBF0.012,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
双因素试验方差分析
例1的上机操作
原始数据，行因素水平，列因素水平
对应例1 的数据输入方式
Xa11
Xa21
...
Xab1
Aa
...
...
...
...
Xa1n
X ... 双因素a试2验n方差分析
Xabn
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
F值
F 值临介值
因素A S S A 因素B S S B
d fA
MSA
SS A df A
FA
MSA MSE
d fB
MSB
SSB dfB
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析
工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极显著。
（A）
*
（B）
**
0.010.0220.05 在 0.01下接受，在 0.05下否决
0.0010.01
在 0.01下否决
双因素试验方差分析
➢ 有交互作用的双因素试验的方差分析
有检验交互作用的效应，则两因素A，B的不同水 平的搭配必须作重复试验。
➢ 有交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型 X ijkij ij ijk
其中
1
ab
a i1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
双因素试验的方差分析
双因素试验的方差分析（一）摘要：实际问题中往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响，此时即使用双因素方差分析。
主要方法为建立合适的假设，并对分析已有数据的各部分方差平方和、自由度、均方，求得F 比后利用检验方法判断原假设是否成立。
双因素试验的方差分析可分为无重复试验和等重复试验两部分讨论，无重复试验只需检验两个因素对实验结果有无显著影响，等重复试验还要考虑两个因素的交互作用对实验结果有无显著影响。
（二）关键词：双因素 方差分析 EXCEL 应用（三）引言：在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。
每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。
有些因素影响较大，有些较小，为了优化生产过程，通过进行试验找出对产品质量有显著影响的那些因素。
根据试验结果进行分析，鉴别各个有关因素对实验结果影响的有效方法即为方差分析。
本文双因素方差分析同时考虑两个因素的影响，涉及因素间的交互作用，在实际生产实践中较为实用。
（四）算法原理：双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的结合会产生出一种新的效应。
（一）双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标。
因素A 有r 个水平,,...,,21r A A A 因素B 有s 个水平.,...,21s B B B 现对因素A,B 的水平的没对组合（j i B A ,），i=1,2,...r,j=1,2,...,s 都作(t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如下表的结果。
因 素A 因素B1B 2B......s B 1AtX X X 11112111...,,,tX X X 12122121...,,,...... sts s X X X 12111...,,,2A t X X X 21212211...,,,t X X X 22222221...,,,...... st s s X X X 22212...,,,........................s Atr r r X X X 11211...,,,tr r r X X X 22221...,,,...... rstrs rs X X X ...,,,21并设),(~2σμij ijk N X ，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=;t k ,...,2,1=,各ijk X 独立。
双因素完全随机设计的方差分析
数据收集与整理
确定实验因素
明确实验的自变量和因变量，并确保实验因素之间无交互作用。
实验分组
根据实验因素将实验对象随机分配到不同的组别中，确保各组间具 有相似的基础特征。
数据记录
准确记录各组实验数据，包括实验对象的基本信息、实验操作过程 和结果等。
方差分析过程
数据正态性和方差齐性检验
在进行方差分析前，需检验数据是否符合正态分布和方差齐性要 求。
03 方差分析
方差分析基本概念
方差分析是一种统计分析方法，用于 比较不同组之间的平均值差异，并确 定这些差异是由组间差异还是随机误 差引起的。
它通过将总变异分解为组间变异和组 内变异，来评估组间变异是否显著大 于组内变异，从而判断各组的平均值 是否存在显著差异。
方差分析的数学模型
方差分析的数学模型通常包括固定效应和随机效应模型。固定效应模型是指实验 设计中的因素水平是固定的，而随机效应模型则是指实验设计中的因素水平是随 机的。
采用双因素完全随机设计，将4种肥料和3种 种植方式进行随机组合，共12个处理。每个 处理重复3次。
数据收集
在小麦收获时，对每个处理的小麦产量进行测量并 记录。
方差分析
使用方差分析方法对数据进行统计分析，分 别对肥料和种植方式的主效应以及它们之间 的交互效应进行分析。
实例结果解释与结论
结果解释
通过方差分析，我们发现肥料对小麦产量的影响显著，不同肥料处理之间产量差异较大；而种植方式 对小麦产量的影响不显著。此外，肥料和种植方式之间的交互效应也不显著。
05 实例分析
实例选择与数据来源
实例选择
为了说明双因素完全随机设计的方差分析的应用，我们选择了某农业试验的数据。该试验考察了不同肥料和不同 种植方式对小麦产量的影响。
双因子方差分析范文
双因子方差分析范文1.设置假设：确定双因子方差分析的零假设和备择假设。
通常，零假设是两个因素之间没有交互作用，并且它们对因变量的影响没有显著差异。
2. 计算总平方和：计算每个观测值与整体平均值之间的差异，然后将这些差异平方求和。
这个求和得到的值被称为总平方和（Total Sum of Squares, SS-T）。
3. 计算处理组平方和：计算每个因素和其水平之间的平方和，得到的值被称为处理组平方和（Between-Group Sum of Squares, SS-B）。
它反映了因素的主效应。
4. 计算误差平方和：计算每个观测值与其所在处理组的平均值之间的差异，然后将这些差异平方求和。
这个求和得到的值被称为误差平方和（Within-Group Sum of Squares, SS-W）。
它反映了每个处理组内的随机变异。
5. 计算交互作用平方和：计算两个因素交互作用效应的平方和，得到的值被称为交互作用平方和（Interaction Sum of Squares, SS-I）。
6. 计算均方：将处理组平方和、误差平方和和交互作用平方和依次除以相应的自由度，得到的值被称为均方（Mean Square, MS-B, MS-W, MS-I）。
7.计算F值：将均方（MS-B,MS-W,MS-I）之间的比值作为F值，用于检验每个因素和交互作用效应的显著性。
8.假设检验：根据F分布表，确定每个因素和交互作用平方和的显著性水平。
9.结果解释：根据显著性水平，确定每个因素和交互作用在因变量上的影响。
如果一些因素或交互作用显著，则说明这个因素对因变量具有显著影响。
总结起来，双因子方差分析是一种重要的统计方法，在许多领域（如实验设计、社会科学和医学研究）中得到广泛应用。
它能够帮助研究者确定两个或多个因素对一些连续变量的主效应和交互效应，并确定它们之间是否存在显著差异。
双因素的方差分析
双因素的多重比较方法生物工程 10212575 陈晓穗摘要：本文首先扼要地介绍了多重比较的方法种类，其次引用了一个实例具体地展示了无交叉相互作用的双因素的多重比较方法。
关键词：最小显著差数法 最小显著极差法 双因素 多重比较1.前言用方差分析检验样本的差异是否显著后，获得了显著或极显著的结论。
此时人们便想进一步的了解具体到哪些平均数间有显著差异，哪些不显著。
这就有必要进行两两地比较平均数，以判断这两组数据的显著差异性。
统计学把多个平均数两两间互相比较称为多重比较。
多重比较常有的方法有：最小显著差数法和最小显著极差法。
2．多重比较法 2.1 多重比较法的种类 2.1.1 最小显著差数法最小显著差数法，简称LSD 。
它其实只是t 检验的一个简单变形,并未对检验水准做出任何校正,只是在标准误的计算上充分利用了样本信息, 为所有组的均数统一估计出了一个更为稳健的标准误,其中MS 误差是方差分析中计算得来的组内均方,它一般用于计划好的多重比较。
由于单次比较的检验水准仍为α,因此可认为LSD 法是最灵敏的。
此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x -与其比较。
若..j i x x -＞LSDa 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由..)(j i e x x df a a S t LSD -=计算。
式中)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由n MS S e x x j i /2..=-算得。
其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t 和)(01.0e df t ，代入式得：....)(01.001.0)(05.005.0ji e ji e x x df x x df S t LSD S t LSD --==2.1.2 最小显著极差法最小显著极差法，简称LSR 。
3-2双因素方差分析
s
因子B的偏差平方和 SB r(x j x)2 j 1
反映了因素B的水平间的差异引起的波动。
rs
误差平方和 Se
(xij xi x j x)2
i1 j1
反映了随机误差引起的波动。
在H01，H02为真时
1
2
St
~
2 (rs
均方 44.88 3.53 2.19
36.0
35.5
34.3
36.1
35.8
32.8
28.5
29.4
F 值 显著性
20.49
**
1.61
查表得临界值F0.05(4，12)=3.26，F0.01(3，12)=5.95。由于 FB＜F0.05(4，12)，故认为地块不同对收获量无显著影响。 由于FA＞F0.01(3，12)，故认为品种不同对收获量影响极显著。
F比
FA
Se
SA /(s
/(r 1) 1)(r 1)
FB
Se
SB /(s
/(s 1) 1)(r 1)
对给定的显著性水平，当
FA>F(r-1, (s-1)(r-1))时拒绝H01, FB>F(s-1, (s-1)(r-1))时拒绝H02 .
例3 将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又 分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分 种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位： 公斤），试以显著性水平α1=0.05,α2=0.01考察品种和地块对收获 量的影响是否显著。
地块
品种
B1
B2
B3
B4
B5
双因素的方差分析
双因素的多重比较方法生物工程 10212575 陈晓穗摘要：本文首先扼要地介绍了多重比较的方法种类，其次引用了一个实例具体地展示了无交叉相互作用的双因素的多重比较方法。
关键词：最小显著差数法 最小显著极差法 双因素 多重比较1.前言用方差分析检验样本的差异是否显著后，获得了显著或极显著的结论。
此时人们便想进一步的了解具体到哪些平均数间有显著差异，哪些不显著。
这就有必要进行两两地比较平均数，以判断这两组数据的显著差异性。
统计学把多个平均数两两间互相比较称为多重比较。
多重比较常有的方法有：最小显著差数法和最小显著极差法。
2．多重比较法 2.1 多重比较法的种类 2.1.1 最小显著差数法最小显著差数法，简称LSD 。
它其实只是t 检验的一个简单变形,并未对检验水准做出任何校正,只是在标准误的计算上充分利用了样本信息, 为所有组的均数统一估计出了一个更为稳健的标准误,其中MS 误差是方差分析中计算得来的组内均方,它一般用于计划好的多重比较。
由于单次比较的检验水准仍为α,因此可认为LSD 法是最灵敏的。
此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x -与其比较。
若..j i x x -＞LSDa 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由..)(j i e x x df a a S t LSD -=计算。
式中)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由n MS S e x x j i /2..=-算得。
其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t 和)(01.0e df t ，代入式得：....)(01.001.0)(05.005.0ji e ji e x x df x x df S t LSD S t LSD --==2.1.2 最小显著极差法最小显著极差法，简称LSR 。
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X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1
t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B
B1
B2
…
Bs
A1
A2
X 11 X 21
X 12 X 22
… …
X 1s
X 2s
…
X rs
Ar
X r1
X r2
1. 假设前提 与单因素方差分析的假设前提相同，仍假设： 1) X ij ~ N (ij , 2 ) ， ij , 2 未知， i 1,, r; j 1,, s. 2) 每个总体的方差相同； 3) 各 X ij 相互独立， i 1,, r; j 1,, s. 那么， 要比较同一因素的各个总体的均值是否一致， 就是要检验各个总体的均值是否相 等，故检验假设为：
二、无重复试验双因素方差分析 设因素 A，B 作用于试验指标. 因素 A 有 r 个水平 A 1 ，A 2 ， ，A r ，因素 B 有 s 个水 平 B 1 ，B 2 ， ，B s . 对因素 A，B 的每一个水平的一对组合（A i ，B j ） ，(i=1，2， ，r， j=1，2， ，s)只进行 t (t 2) 次实验（称为等重复实验） ，得到 rst 个试验结果
r
ij
0 ，j=1，2， ，s，
从而前述数学模型可改写为
X ijk i j ij ijk， ijk ~ N（ 0， 2 ),
各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t.
i 0, j 0, ij 0, ij 0,
2 分布;
2) ST , S A , S B , S E 相互独立.
3. 检验方法 当 H 0 A 为真时，可以证明 FA=
S A ( r 1) ~ F (r 1, (r 1)( s 1)); S E ( r 1)( s 1))
取显著性水平为 ，得假设 H 0 A 的拒绝域为 FA=
引入记号： =
1 r s ij ， rs i 1 j 1
i =
1 s
j 1
s
ij
，i=1，2， ，r，
j =
1 r
i 1
r
ij
，j=1，2， ，s，
i = i ，i=1，2， ，r，
j
= j ，j=1，2， ，s，
内容分布图示
★ 引言 ★ 无重复试验双因素方差分析 ★ 例1 等重复试验双因素方差分析 ★ 数学模型 ★ 偏差平方和及其分解 ★ 检验方法 ★ 例3 ★ 内容小结 ★ 返回
★ 例2 ★ 数学模型的改进 ★ 偏差平方和的统计特征 ★ 例4 ★ 习题 8-2
内容要点： 一、 无重复试验双因素方差分析
设因素 A，B 作用于试验指标。因素 A 有 r 个水平 A 1 ，A 2 ， ，A r ，因素 B 有 s 个 水平 B 1 ，B 2 ， ，B s . 对因素 A，B 的每一个水平的一对组合（A i ，B j ） ，(i=1，2， ， r，j=1，2， ，s)只进行一次实验，得到 rs 个试验结果 X ij ，列于下表中 表 8-2-1
易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0 . 称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称
.
j
为水平 B j
的效应. 且
ij
= + i +
j
于是上述模型进一步可写成
X ij i j ij , (i 1,2, , r , j 1,2, , s ) 2 2 ij ~ N (0, ), ij , 未知，各 ij 相互独立， r s 0, 0. i j i 1 j 1
X ijk （ i 1,, r; j 1,, s; k 1,, t ) .
1． 假设前提 1) X ijk ~ N (ij , 2 ) ， ij , 2 未知， i 1,, r; j 1,, s; k 1,, t; 2) 每个总体的方差相同； 3) 各 X ijk 相互独立， i 1,, r; j 1,, s; k 1,, t . 由假设有
其中 ij ij i j （ i 1, , r; j 1, , s ） ， 称 ij 为水平 A i 和水平 B j 的交互效应，这 是由 A i 与 B j 搭配联合起作用而引起的。易见
j 1
s
ij
0, i 1,, r,
i 1
( X
i 1 j 1
r
s
ij
X )2
[(X
i 1 j 1
Байду номын сангаас
r
s
i
X ) ( X j X ) ( X ij X i X j X )]2
由于在 ST 的展式中三个交叉项的乘积都等于零，故有
ST S A S B S E ,
其中,
SA
( X
i 1 j 1
r
s
i
X )2 s
(X
i 1
r
i
X )2 , ,
SB
i 1 j 1
r
s
( X j X )2 r
(X
j 1
s
j
X )2 ,
SE =
( X
i 1 j 1
r
s
ij
X i X j X )2 .
我们称 S E 为误差平方和；分别称 S A ，S B 为因素 A、因素 B 的偏差平方和. 类似地，可以证明当 H 0 A 、 H 0 B 成立时，有 1) ST 2 , S A 2 , S B 2 , S E 2 分别服从自由度依次为 rs 1, r 1, s 1, (r 1)( s 1) 的
X
j 1
ij
sX i , i 1, , r ;
r
T j = T j
X
i 1
ij
rX j , j 1,, s;
则
ST =
i 1 j 1
r
r
s
2 X ij
T2 , rs
SA=
1 s
1 r
i 1
Ti 2
T2 , rs
SB =
j 1
取显著性水平为 ，得假设 H 0 B 的拒绝域为 FB =
S B ( s 1) F (s 1, (r 1)( s 1)); S E (r 1)( s 1))
实际分析中，常采用如下简便算法和记号： 记 T=
X
i 1 j 1 s
r
s
ij
rsX ,
T i =
S A ( r 1) F (r 1, (r 1)( s 1)); S E ( r 1)( s 1))
类似地，当 H 0 B 为真时，可以证明 FB =
S B ( s 1) ~ F (s 1, (r 1)( s 1)); S E (r 1)( s 1))
第二节 双因素试验的方差分析
在许多实际问题中，往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响. 例如，要同时考虑工 人的技术和机器对产品质量是否有显著影响 . 这里涉及到工人的技术和机器这样两个因素 . 多因素方差分析与单因素方差分析的基本思想是一致的， 不同之处就在于各因素不但对试验 指标起作用， 而且各因素不同水平的搭配也对试验指标起作用. 统计学上把多因素不同水平 的搭配对试验指标的影响称为交互作用 . 交互作用的效应只有在有重复的试验中才能分析 出来. 对于双因素试验的方差分析， 我们分为无重复和等重复试验两种情况来讨论. 对无重复 试验只需要检验两个因素对试验结果有无显著影响； 而对等重复试验还要考察两个因素的交 互作用对试验结果有无显著影响.
由假设有
X ij ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ij i = ij ， 即 有