新教材苏教版高中数学必修第一册第四章指数与对数课时分层练习题,精选最新配套习题,含解析

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第4章-4.2-对数高中数学必修第一册苏教版

D.2lg

lg ⋅lg
= 2lg +lg = 2lg ⋅ 2lg .故C,D正确.
= 2lg ⋅ 2lg
= 2lg ⋅ 2lg
= 2
lg lg
,
题型3 换底公式的应用
+
5,则log 36 45可用,表示为____.
−
例7 (2024·江苏省南通市期中)已知log18 9 = ,18 =
A.log 5 4 =
C.log 5 4 =
lg 4
lg 5
log−3 4
log−3 5
B.log 9 16 ⋅ log 8 81 =
D.
1
log1
4
1
9
+
1
log1
5
1
3
)
8
3
= −lg 3
【解析】由换底公式的定义知，A成立，C不成立．
lg 16 lg 81
4lg 2 4lg 3
8
B中，log 9 16 ⋅ log 8 81 =
令log 36 45 = ，则36 = 45 = 18+ ,（将所求对数式转化为以18为底的指数式）
即
18
3
×
18
3
= 18+ ,即182 = 9 × 18+ .
∵ 18 = 9,∴ 182 = 18
∴ 2 = + + ,∴ =

× 18+ = 18 × 18+ = 18++ ,
12
例9（1） (2024·湖北省武汉市期末)已知log 2 = ,log 3 = ,则2+ =____.

苏教版必修第一册_《第4章_指数与对数》单元测试卷(有答案)

苏教版必修第一册《第4章指数与对数》单元测试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 将√−2√23化为分数指数幂，其形式是（） A.212B.−212C.2−12D.−2−122. 已知log a 2b =c ，则有（） A.a 2b =c B.a 2c =b C.b c =2a D.c 2a =b3. 计算9−32的结果是（） A.127 B.18 C.36D.1364. 下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（） A.−√x =(−x)12(x >0) B.√y 26=y 13(y <0) C.x −34=√(1x )34(x >0) D.x −13=−√x 3(x ≠0)5. 若lg 2+lg (2x +5)＝2lg (2x +1)，则x 的值等于（） A.1 B.0或18C.18D.log 236. 下列各式中成立的是（）A.(n m )7＝n 7m 17 B.√(−3)412=√−33C.√x 3+y 34=(x +y)34D.√√93=√337. 已知log a 12=m ，log a 3=n ，则a m+2n 等于（） A.3B.34C.9D.928. 2log a (M −2N)＝log a M +log a N ，则MN 的值为（） A.14B.4C.1D.4或1二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）对于下列说法，其中错误说法为（） A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可以化成对数式C.以10为底的对数叫做自然对数D.以e 为底的对数叫做常用对数下列运算正确的是（） A.√a 44=a B.log 2a 2＝21og 2a C.√−a 33=−a D.(log 29)⋅(log 34)＝4已知a ＝2ln 3，b ＝3ln 2，则下列判断正确的是（） A.a ≥b B.a ≤bC.a ＝bD.无法比较它们的大小下列命题中，真命题是（）A.若log 189＝a ，log 1854＝b ，则182a−b =32B.若log x 27＝3(log 318−log 32)，则x ＝±√3C.若log 6[log 3(log 2x)]＝0，则x −12=√24D.若x 2+y 2−4x −2y +5＝0，则log x (y x )＝0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）10lg 2−ln e ＝________．若10x＝2，10y＝3，则103x−4y 2=________．若log （x−1）(3−x)有意义，则x 的取值范围是________．若√x 2+2x +1+√y 2+6y +9=0，则x ＝________，(x 2020)y ＝________ 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（1）已知3a ＝5b ＝15，求1a +1b 的值；（2）设10a ＝2，lg 3＝b ，用a ，b 表示log 26．（1）化简：log 4(24×642)+log 318−log 32+log 52×log 2125；（2）已知a ＝2√7，b ＝5√2，求6−64√a 6b −6−6a 3b −1+9b4⋅b 5a 3+3b 5的值．（1）求6423+(27125)−13−(279)0.5的值；（2）若log 23＝x ，求4x −4−x2x −2−x 的值．求下列各式中x 的值：（1）log 3(log 2x)＝0；（2）log 2(lg x)＝1；（3）52−log 53=x ；（4）(a log a b )log b c =x(a >0, b >0, c >0, a ≠1, b ≠1)．设M ＝{0, 1}，N ＝{11−a, lg a, 2a , a}，是否存在实数a ，使得M ∩N ＝{1}？设a ＝2×100023+6423+√(−2)2．（1）化简上式，求a 的值；（2）设集合A ＝{x|x >a}，全集为R ，B ＝(∁R A)∩N ，求集合B 中的元素个数．参考答案与试题解析苏教版必修第一册《第4章指数与对数》单元测试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】可得出√−2√23=−213⋅(212)13，然后进行分数指数幂的运算即可．【解答】√−2√23=−213⋅216=−212．2.【答案】B【考点】指数式与对数式的互化【解析】利用指数式与对数式的互化即可得出．【解答】解：∵loga2b=c，∴(a2)c=b，∴a2c=b．故选B．3.【答案】A【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】进行分数指数幂的运算即可．【解答】9−32=(32)−32=3−3=127．4.【答案】C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】利用根式与分数指数幂的关系得出A−√x=−x 12(x>0)，√y26=(y2)16，.x−34=√(1x)34(x >0)，.x−13=1x 13=√x3，从而选出答案．【解答】解：A ．−√x =−x 12(x >0)故A 错； B.√y 26=(y 2)16故B 错；C.x−34=√(1x )34(x >0)故C 正确； D.x−13=1x 13=√x3故D 错故选C ． 5.【答案】 D【考点】函数的零点对数的运算性质【解析】根据题意，由对数的运算性质可得2(2x +5)＝(2x +1)2，变形可得2x ＝3，转化为对数式即可得答案．【解答】根据题意，lg 2+lg (2x +5)＝2lg (2x +1)，即2(2x +5)＝(2x +1)2，变形可得(2x )2−9＝0，则有2x ＝3，解可得x ＝log 23， 6.【答案】 D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】利用根式与分数指数幂的互化及有理指数幂的运算性质逐一核对四个选项得答案．【解答】 ∵(nm)7＝n 7m −7≠n 7m 17，故A 错误；∵ √(−3)412=3412=313=√33，故B 错误； ∵√x 3+y 34=(x 3+y 3)14，故C 错误；∵ √√93=(323)12=313=√33故D 正确． 7.【答案】 D【考点】指数式与对数式的互化【解析】由已知中loga 12=m，loga3=n，可得a m=12，a n=3，结合指数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵loga 12=m，loga3=n，∴a m=12，a n=3，∴a m+2n=a m⋅(a n)2=92.故选D.8.【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算法则化简求解即可．【解答】2loga (M−2N)＝logaM+logaN，M>2N>0，可得(M−2N)2＝MN，即M2−5MN+4N2＝0，可得(MN )2−5⋅MN+4=0，解得MN=4，或MN=1（舍去）．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）【答案】B,C,D【考点】对数函数的定义对数及其运算【解析】根据对数的定义即可判断．【解答】只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有a x＝N⇔x＝logaN，故B错误．由定义可知CD错误．只有A正确．【答案】C,D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】根据对数的运算性质和根式的概念即可判断．【解答】当a<0时，A，B不成立，对于C显然成立，对于D由换底公式得[(log29)⋅(log34)=lg9lg2×lg4lg3=21g3lg2×21g2lg3=4．所以D正确，【答案】A,B,C【考点】对数的运算性质对数值大小的比较【解析】将已知等式两边取对数，利用对数的运算性质即可求解a＝b，从而得解．【解答】因为a＝2ln3，b＝3ln2，所以ln a＝ln2ln3＝ln3ln2，ln b＝ln3ln2＝ln2ln3．所以ln a＝ln b，即a＝b，【答案】A,C,D【考点】对数的运算性质命题的真假判断与应用【解析】利用对数与指数的转化判断A；求解对数方程判断B；对数与指数的转化以及对数的运算法则判断C，方程恒成立求解x，y，代入对数式子，求解即可判断D．【解答】对于A，因为log189＝a，log1854＝b，所以18a＝9，18b＝54，所以182a−b=182a18b =9254=32．即A正确；对于B，logx 27＝3(log318−log32)＝3⋅log39＝3×2＝6．所以x6＝27，所以x6＝33，又x>0，所以x=√3．即B错误；对于C，由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，转化为指数式为x＝23＝8，所以x−12=8−12=√8=√24，所以C正确．对于D，由x2+y2−4x−2y+5＝0，得(x−2)2+(y−1)2＝0，所以x＝2，y＝1，所以logx (y x)＝log2(12)＝0，即D正确．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）【答案】15【考点】对数的运算性质【解析】化简10lg2−ln e＝10lg2−1=210，从而解得．【解答】10lg2−ln e＝10lg2−1=210=15，2√29【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】根据指数幂的运算法则即可得到结论．【解答】∵ 10x ＝2，10y ＝3， ∴ 103x−4y 2=103x2−2y =(10x )32(10y )2=23232=√239=2√29，【答案】(1, 2)∪(2, 3) 【考点】对数函数的定义【解析】根据对数函数成立的意义进行求解即可．【解答】要使对数有意义，则{3−x >0x −1>0x −1≠1 ，即{x <3x >1x ≠2，解得1<x <2或2<x <3，即x 的取值范围是(1, 2)∪(2, 3)，【答案】 −1,1【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】根据√x 2+2x +1+√y 2+6y +9=0即可得出|x +1|+|y +3|＝0，从而可求出x ，y ，进而可得出(x 2020)y 的值．【解答】∵ √x 2+2x +1+√y 2+6y +9=√(x +1)2+√(y +3)2=|x +1|+|y +3|=0， ∴ x ＝−1，y ＝−3，∴ (x 2020)y ＝[(−1)2020]−3＝1−3＝1．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】∵ 3a ＝5b ＝15，∴ a ＝log 315，b ＝log 515， ∴ 1a =log 153，1b =log 155， ∴ 1a +1b =log 1515＝1． ∵ 10a ＝2， ∴ lg 2＝a ， ∴ log 26=lg 6lg 2=lg 2+lg 3lg 2=a+b a．对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】（1）根据指数式和对数式的互化，和对数的运算性质即可求出，（2）根据换底公式和对数的运算性质即可求出．【解答】∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，∴1a =log153，1b=log155，∴1a +1b=log1515＝1．∵10a＝2，∴lg2＝a，∴log26=lg6lg2=lg2+lg3lg2=a+ba．【答案】原式＝log4(42×46)+log3182+log5125＝8+2+3＝13．a6b−6−6a3b−1+9b4＝(a3b−3−3b2)2，由a＝2√7，b＝5√2，得a3b−3<3b2．∴原式=(a3b−3−3b2)(a3b−3+3b2)3b2−a3b−3⋅b5 a3+3b5=−(a3+3b5)b2a3+3b5，＝−b2．∵b＝5√2，故原式＝−50．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】（1）根据对数的运算性质即可求出，（2）根据指数幂的运算性质即可求出．【解答】原式＝log4(42×46)+log3182+log5125＝8+2+3＝13．a6b−6−6a3b−1+9b4＝(a3b−3−3b2)2，由a＝2√7，b＝5√2，得a3b−3<3b2．∴原式=(a3b−3−3b2)(a3b−3+3b2)3b2−a3b−3⋅b5 a3+3b5=−(a3+3b5)b2a3+3b5，＝−b2．∵b＝5√2，故原式＝−50．6423+(27125)−13−(279)0.5=16+53−53=16；∵ log 23＝x ，∴ 2x ＝3，2−x =13， ∴4x −4−x 2x −2−x=(2x +2−x )(2x −2−x )2x −2−x=2x +2−x =3+13=103．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）根据log 23＝x 即可得出2x =3,2−x=13，然后化简4x −4−x2x −2−x 即可．【解答】6423+(27125)−13−(279)0.5=16+53−53=16； ∵ log 23＝x ，∴ 2x ＝3，2−x =13， ∴ 4x −4−x2x −2−x =(2x +2−x )(2x −2−x )2x −2−x=2x +2−x =3+13=103．【答案】∵ log 3(log 2x)＝0， ∴ log 2x ＝1， ∴ x ＝2；∵ log 2(lg x)＝1， ∴ lg x ＝2， ∴ x ＝100； x ＝52−log 53 =525log 53=253；x ＝(a log a b )log b c ＝(b)log b c =c ．【考点】对数的运算性质【解析】由指数式与对数式的互化及对数的运算化简即可．【解答】∵ log 3(log 2x)＝0， ∴ log 2x ＝1， ∴ x ＝2；∵ log 2(lg x)＝1， ∴ lg x ＝2， ∴ x ＝100； x ＝52−log 53=525log53=253；x＝(a log a b)log b c＝(b)log b c=c．【答案】若M∩N＝{1}，则①若11−a＝1，则a＝10，此时N＝{1, 1, 210, 10}不满足元素的互异性，不满足条件．②若lg a＝1，则a＝10，此时N＝{1, 1, 210, 10}不满足元素的互异性，不满足条件．③若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义，不满足条件．④若a＝1，则N＝{10, 0, 2, 1}，则M∩N＝{0, 1}不满足条件．综上存在实数a，使得M∩N＝{1}．【考点】交集及其运算【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】若M∩N＝{1}，则①若11−a＝1，则a＝10，此时N＝{1, 1, 210, 10}不满足元素的互异性，不满足条件．②若lg a＝1，则a＝10，此时N＝{1, 1, 210, 10}不满足元素的互异性，不满足条件．③若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义，不满足条件．④若a＝1，则N＝{10, 0, 2, 1}，则M∩N＝{0, 1}不满足条件．综上存在实数a，使得M∩N＝{1}．【答案】a＝2×100+16+2＝218；∵A＝{x|x>218}，∴∁R A＝{x|x≤218}，B＝(∁R A)∩N＝{x|0≤x≤218, x∈N}，∴B中元素个数为219．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值交、并、补集的混合运算【解析】（1）进行分数指数幂和根式的运算即可求出a＝218；（2）可得出集合A＝{x|x>218}，然后进行交集和补集的运算即可得出集合B＝{x|0≤x≤218, x∈N}，然后即可得出集合B中的元素个数．【解答】a＝2×100+16+2＝218；∵A＝{x|x>218}，∴∁R A＝{x|x≤218}，B＝(∁R A)∩N＝{x|0≤x≤218, x∈N}，∴B中元素个数为219．试卷第11页，总11页。

新教材高中数学第4章指数与对数章末综合提升学案苏教版必修第一册

第4章指数与对数类型1 指数的运算指数的运算是本章的重点内容，是学好本章的前提和基础，为后续对数的学习作铺垫．指数的运算常与根式交汇考查，也常与方程等知识联系，主要考查数学运算的核心素养．〖例1〗 (1)求值： ⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－(0.01)0.5.(2)化简：〖解〗 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫49－⎝⎛⎭⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.〖跟进训练〗1．计算下列各式(式子中字母都是正数)：类型2 对数的运算对数的运算是本章的重要内容之一，在学习指数运算的基础上学习对数运算，指数运算与对数运算是互逆的．对数运算常与指数、方程等知识交汇考查，主要考查学生的数学运算和逻辑推理能力．对数的运算应遵循以下原则：对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．〖例2〗计算下列各式：(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2.〖解〗 (1)原式＝＝⎝⎛⎭⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝⎛⎭⎫34－1·log 55 ＝－14.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 〖跟进训练〗 2．计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1；(2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.〖解〗 (1)法一：原式＝lg 〖25×2×10×(10－2)－1〗＝lg(5×2×10×102)＝lg 1072＝72.法二：原式＝12lg 52＋lg 2＋12lg 10－lg 10－2＝(lg 5＋lg 2)＋12－(－2)＝lg 10＋12＋2＝1＋12＋2＝72.(2)法一：原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3＝log 332－3＝2－3＝－1. 法二：原式＝2log 32－(5log 32－2)＋3log 32－3＝2－3＝－1. 类型3 利用对数的运算性质进行求值对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题是本节的重点内容之一，常与对数的运算性质相结合，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．〖例3〗若lg a ＋lg b ＝4，lg a ·lg b ＝14，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．〖解〗 lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg b ＋lg a )2－2lg a lg blg a lg b＝4×42－2×1414＝248. 〖跟进训练〗3．若log a b ＋3log b a ＝132，则用a 表示b 的式子是________．b ＝a 或b ＝a 6 〖原式可化为1log b a ＋3log b a ＝132，整理得3(log b a )2＋1－132log b a ＝0，即6(log b a )2－13log b a ＋2＝0.解得log b a ＝2或log b a ＝16，所以b 2＝a 或b 16＝a .即b ＝a 或b ＝a 6.〗4．已知lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，求log 2ab 的值．〖解〗因为lg a ＋lg b ＝2lg(a －2b )，所以lg ab ＝lg(a －2b )2，ab ＝(a －2b )2，a 2－5ab ＋4b 2＝0，即(a －b )(a －4b )＝0，所以a ＝b 或a ＝4b . 又因为a －2b >0，所以a ＝4b ，log 2ab ＝log 24＝2.类型4 解简单的指数和对数方程简单的指数方程和对数方程是指数运算和对数运算的延伸，主要与方程结合交汇考查，培养学生的逻辑推理和数学运算能力，是对指数、对数运算的巩固和提升．具体解决方法如下：(1)化同底：将指数方程变形为a m ＝a n ⇔m ＝n .形如log a M ＝log a N (a ＞0，a ≠1)的对数方程，等价转化为M ＝N ，且⎩⎪⎨⎪⎧M >0，N >0 求解．(2)定义法：解形如b ＝log a M (a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M ＝a b 求解．(3)换元法：设t ＝a x (x ＝log a t )，将方程转化为关于t 的一元二次方程求出t ，再解出x . 〖例4〗根据下列条件，分别求实数x 的值： (1)log 2(2－x )＝log 2(x －1)＋1； (2)32x ＋1－6x ＝22x ＋2.〖解〗 (1)原方程可化为log 2(2－x )＝log 2〖2(x －1)〗，得2－x ＝2(x －1)，解得x ＝43.经检验知，原方程的解为x ＝43.(2)原方程可化为3×32x －2x ×3x －4×22x ＝0，因式分解得(3×3x －4×2x )(3x ＋2x )＝0，则3×3x－4×2x＝0，即⎝⎛⎭⎫32x＝43，解得x ＝log 32 43.〖跟进训练〗5．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0.25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0.25(2x ＋1)．〖解〗 (1)原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝x －1，x －1>0，解之得x ＝2.经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2.(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)．即log 43－x 3＋x ＝log 41－x2x ＋1.整理得3－x x ＋3＝1－x 2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0.当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0.1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天B 〖∵R 0＝1＋rT ，∴3.28＝1＋6r ，∴r ＝0.38.若⎩⎪⎨⎪⎧I (t 1)＝e 0.38t 1，I (t 2)＝e0.38t 2，I (t 2)＝2I (t 1)，则e 0.38(t 2－t 1)＝2,0.38(t 2－t 1)＝ln 2≈0.69，t 2－t 1≈1.8，选B.〗2．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，由学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数，当I (t *)＝0.95K ，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C 〖由题意可得，当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23(t *－53)＝0.95K ， ∴119＝e －0.23(t *－53)，∴ln 19＝0.23(t *－53)，∴t *－53≈13，∴t *≈66，故选C.〗。

高一上学期苏教版必修第一册第四章指数与对数单元测试

本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.log 318-log 32= ( )A.1B.2C.3D.4 2.设a >0,则下列运算正确的是 ( )A.a 43a 34=a B.(a14)4=aC.a 23a -23=0 D .a ÷a 23=a 323.方程42x -1=16的解是 ( )A.x =-32 B .a =32C.x =1D.x =2 4.已知ab =-5,则a √-a a +a √-aa的值是 ( )A.2√ B .0 C .−2√ D .±2√ 5.若x log 43=12,则9x +log 23x 等于( )A.3B.5C.7D.106.已知lg 2=0.301 0,由此可以推断22 014是位数. ( )A.605B.606C.607D.6087.围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现黑、白、空三种情况,因此有3361种不同的情况.我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即10 00052种,下列最接近336110 00052的是(注:lg 3≈0.477) ( )A.10-25B.10-26C.10-35D.10-36 8.设a =log 23,b =log 34,c =log 58,则 ( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若n ∈N,a ∈R,则下列四个式子中有意义的是 ( )A.√(-4)2a 4B .√(-4)2a +14C.√a 45D .√a 5410.下列各式的值为1的是 ( ) A.log 26·log 62 B.log 62+log 64C.(2+√3)12·(2-√3)12D.(2+√3)12-(2-√3)1211.设a ,b ,c 都是正数,且4a =6b =9c ,则 ( )A.ab +bc =2acB.ab +bc =acC.2a=2a+1aD .1a =2a −1a 12.已知正数x ,y ,z 满足3x =4y =6z ,则下列说法正确的是 ( )A.1a+12a =1aB.3x >4y >6zC.x +y >(32+√2)z D.xy >2z 2三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上) 13.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即a b =N ⇔b =log a N ,其中a >0且a ≠1,N >0.现已知a =log 48,则4a = ;4a +4-a = .14.设35x =49,若用含x 的式子表示log 535,则log 535= .15.(2020江苏安宜中学高一期末,)从1,2,3,4,9这五个数中任取两个数分别作为对数的底数和真数,则可以得到种不同的对数值.16.已知实数α,β满足αe α=e 3,β(ln β-1)=e 4,其中e 为自然对数的底数,则αβ= .四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算:(1)1-312−2+3−(338)13+(√7−√0;(2)log 20.25+ln √e +24×log 23+lg 4+2lg 5−√(-2)44.18.(本小题满分12分)已知x +x -1=4,求下列各式子的值: (1)a 12+a -12; (2)a 32+a-32;(3)a 2+a -2+2a 2+a -2-2.19.(本小题满分12分)求函数y =log 2(8x )·log 2(4x )(1≤log 2x ≤3)的最大值与最小值.20.(本小题满分12分)已知log32=a,log53=b,试用a,b分别表示下列各式:(1)log25;(2)lg 2;(3)log2045.21.(本小题满分12分)光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃后强度为y,则至少通过几块这样的玻璃,光线强度能减弱以下?(参考数据:lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)到原来的1422.(本小题满分12分)若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,求lg(ab)·(log a b+log b a)的值.答案全解全析本章达标检测一、单项选择题1.B log318-log32=log3182=log39=2.故选B.2.B选项A中,a 43a34=a43+34=a2512,故A错误;选项B中,(a 14)4=a14×4=a,故B正确;选项C中,a 23a-23=a23-23=a0=1,故C错误;选项D中,a÷a 23=a1-23=a13,故D错误.故选B.3.B因为42x-1=16,所以2x-1=log416=log442=2,所以2x-1=2,所以x=32.故选B. 4.B a √-a a+a √-a a=a √-aa a2+a √-aa a2=a √5a2+a √5a2=a√5|a |+a√5|a |,由题意知ab <0,故a |a |=−a|a |,则原式=0.故选B.5.B 由x log 43=12,得log 43x =12,∴3x=412=2,∴9x +log 23x =22+log 22=5.故选B.6. C 令22 014=t ,两边同时取常用对数得2 014×lg 2=lg t ,则lg t =2 014× 0.301 0=606.214,∴22 014是607位数.故选C.7.D 将336110 00052取常用对数可得lg336110 00052=lg 3361-lg 10 00052=361×lg 3-52×4≈-35.8,∴336110 000≈10-35.8. 分析选项,可得10-36与其最接近.故选D. 8.B 因为b =log 34=log 2764=lg64lg27,c =log 58=log 2564=lg64lg25,又lg 64>0,0<lg 25<lg 27,所以b <c.因为a =log 23=log 49>log 48=lg8lg4,c =log 58=lg8lg5,又lg 8>0,0<lg 4<lg 5,所以c <a.所以a >c >b.故选B. 二、多项选择题9.AC A 中,2n 为偶数,则(-4)2n >0恒成立,A 中式子有意义;B 中,(-4)2n +1<0,无意义;C 中,a 4为恒大于或等于0的数,有意义;D 中,当a <0时,式子无意义.故选AC . 10.AC 选项A 中,log 26·log 62=1,故A 符合题意;选项B 中,原式=log 6(2×4)=log 68≠1,故B 不符合题意;选项C 中,原式=[(2+√3)·(2-√3)]12=112=1,故C 符合题意;选项D 中,[(2+√3)12-(2-√3)12]2=2+√3+2−√3-2(2+√3)12·(2-√3)12=4-2=2≠1,故D 不符合题意.故选AC.11.AD 由于a ,b ,c 都是正数,故可设4a =6b =9c =M ,则a =log 4M ,b =log 6M ,c =log 9M ,∴1a =log M 4,1a =log M 6,1a =log M 9.∵log M 4+log M 9=2log M 6,∴1a+1a=2a,即1a=2a−1a,去分母整理得,ab +bc =2ac.故选AD.12.ACD 设3x =4y =6z =t (t >1),则x =1log a 3,y =1log a 4,z =1log a 6.1a+12a=log a 3+12log a 4=log a 6=1a,故A 正确;4a=4log t 3=log t 81,3a=3log t 4=log t 64,log t 81-log t 64=log t 8164>0,所以4a >3a,即3x <4y ,故B 不正确;a +a a =a a+a a=lg6lg3+lg6lg4=32+lg2lg3+lg32lg2>32+√2,故C 正确;aa a2=a a ×a a=lg6lg3×lg6lg4=(lg6)2lg3×2lg2=(lg2)2+2lg2×lg3+(lg3)22lg2×lg3=1+12(lg2lg3+lg3lg2)>2,故D正确.故选ACD. 三、填空题 13.答案 8;658解析因为a =log 48,所以4a =8. 所以4a +4-a =8+18=658.14.答案22-a解析对35x =49两边取以5为底的对数,可得x log 535=log 549,即x (log 55+log 57)=2log 57,所以log 57=a2-a ,所以log 535=1+log 57=1+a2-a=22-a.15.答案 9解析当构成的对数式含有1时,只能真数为1,底数可为2,3,4,9,得到的对数值均为0;当构成的对数式不含1时,有log 23,log 24,log 29,log 32,log 34,log 39,log 42,log 43,log 49,log 92,log 93,log 94,其中log 23=log 49,log 24=log 39,log 32=log 94,log 42=log 93,故有8种不同的对数值.综上,可以得到1+8=9种不同的对数值. 16.答案 e 4解析对αe α=e 3,β(ln β-1)=e 4两边取以e 为底的对数,得α+ln α=3,lnβ+ln(ln β-1)=4,即α+ln α-3=0,ln β-1+ln(ln β-1)-3=0,所以α和ln β-1是方程x +ln x -3=0的根. 易知方程x +ln x -3=0的根唯一,所以α=ln β-1,所以3-ln α=ln β-1,整理得ln α+ln β=4,所以αβ=e 4. 四、解答题 17.解析 (1)1-312−1−(338)13+(√7−√103)0 =1-√3−√3−(278)13+1 (2分)=1-√3−2+√3−(32)3×13+1(4分)=-32. (5分)(2)log 20.25+ln √e +24×log 23+lg 4+2lg 5−√(-2)44=log 214+ln e 12+2log 234+lg 4+lg 52−√244(7分)=-2+12+81+lg 100-2 (9分)=7912. (10分)18.解析 (1)由条件可知x +x -1=(a 12+a -12)2-2=4,所以(a 12+a -12)2=6, (2分)又a 12+a -12>0,所以a 12+a -12=√6.(4分)(2)a 32+a -32=(a 12+a -12)(x +x -1-1) (6分) =√-1)=3√.(8分)(3)等式x +x -1=4两边平方得x 2+x -2+2=16,所以x 2+x -2=14.(10分)所以a 2+a-2+2a2+a-2-2=14+214-2=1612=43.(12分)19.解析y=log2(8x)·log2(4x) =(log2x+3)·(log2x+2) (2分) =(log2x)2+5log2x+6 (4分)=(log2a+52)2−14.(6分)∵1≤log2x≤3, (8分)∴当log2x=1,即x=2时,y min=12; (10分) 当log2x=3,即x=8时,y max=30.(12分)20.解析(1)log25=log35log32=log55log53log32=1aa=1aa.(4分)(2)lg 2=log32log310=log32log3(2×5)=log32log32+log35=log32 log32+log55log53=aa+1a=aa1+aa.(8分)(3)log2045=log345log320=log3(5×9)log3(4×5)=log35+log39log34+log35=log35+log332log322+log35=log35+2log332log32+log35=log55log53+2log332log32+log55log53=1a+22a+1a =1+2a1+2aa.(12分)21.解析光线经过1块玻璃后,强度变为y=(1-10%)k=0.9k; (2分) 光线经过2块玻璃后,强度变为y=(1-10%)·0.9k=0.92k; (4分)……光线经过x块玻璃后,强度变为y=0.9x k. (6分)由题意得0.9x k<a4,即0.9x<14, (8分)两边同时取常用对数,可得x lg 0.9<lg14. (10分) 因为lg 0.9<lg 1=0,所以x>lg 1 4lg0.9=-2lg22lg3-1≈-2×0.32×0.477-1≈13.04,又x∈N*,所以至少通过14块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下.(12分)22.解析原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0.(2分)设t=lg x,则方程化为2t2-4t+1=0,∴t1+t2=2,t1t2=12.(4分)∵a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实数根,∴不妨令t1=lg a,t2=lg b,∴lg a+lg b=2,lg a·lg b=12, (6分)∴lg(ab)·(log a b+log b a)=(lg a+lg b)·(lg alg a +lg alg a)=(lg a+lg b)·(lg a)2+(lg a)2lg a·lg a(8分)=(lg a+lg b)·(lg a+lg a)2-2lg a·lg alg a·lg a(10分)=2×22-2×1212=12,故lg ab·(log a b+log b a)=12.(12分)。

第4章-4.1-指数高中数学必修第一册苏教版

( C
)
A. > 0， > 0
B. > 0， < 0
> 0,
< 0,
【解析】由题可知，ቊ
∴ቊ
> 0.
< 0,
C. < 0， > 0
D. < 0， < 0
+ = 6,
∴ቊ
（由根与系数的关系得出 + ,的值）
= 4.
∵ > > 0,∴ > > 0.
∵
−
+
2
=
+−2
++2
=
6−2 4
6+2 4
=
2
10
（将所求式子平方，进而代入求值）
∴
−
+
=
1
5
=
5
.
5
=
1
,
5

−
的值为___.
2

3
4
=
=
=
2
2
12
4
3
3
4
D.
= −8，∴ −2 =
1
3
34 = 3 =
+
3
≠
3
12
−3
2

3，故B错误；
4
3 + 3 ，故C错误；
4
=
3
−3
= 2 ⋅
−8，故A正确；
3
1
2
)
= 2 ⋅ −2 ≠ 2 ⋅ ，故D错误.故选A.
1
2
3.(2024·河南省郑州市检测)若 ≠ 0，那么等式 4 2 3 = −2 成立的条件是

新教材高中数学第4章指数与对数4 2 1对数的概念课后素养落实含解析苏教版必修第一册

课后素养落实(十六) 对数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．(多选题)下面四个结论中正确的是( )A ．lg(lg 10)＝0B ．ln(ln e)＝0C ．若10＝lg x ，则x ＝10D ．若e ＝ln x ，则x ＝e 2AB 〖lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A 正确．ln(ln e)＝ln 1＝0，故B 正确．若10＝lg x ，则x ＝1010，故C 错误．若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故D 错误．〗2．在M ＝log (x －3)(x ＋1)中，要使式子有意义，x 的取值范围为( )A ．(－∞，3〗B ．(3,4)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3,4) B 〖由函数的解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x －3>0x －3≠1，解得3<x <4，或x >4.〗3．若log 2(log x 9)＝1则x ＝( )A ．－3B ．3C ．±3D ．9 B 〖由题意知log x 9＝21＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3.又x >0 ∴x ＝3.〗4．设log 45＝2m ，则4m ＝( )A ．125B ．25C ．15D ． 5D 〖∵log 45＝2m ，∴m ＝log 45，∴4m ＝4＝ 5.〗 5．已知a ＝49(a >0)，则log 23a 的值为( ) A ．49B ．13C ．3D ．－3C 〖∵已知a ＝49(a >0)， ∴a ＝⎝⎛⎭⎫49＝⎝⎛⎭⎫233，则log 23 a ＝log 23⎝⎛⎭⎫233＝3.〗二、填空题6．若log a 3＝m ，log a 5＝n .则a 2m ＋n 的值为________．45 〖由log a 3＝m ，得a m ＝3.由log a 5＝n 得a n ＝5，∴a 2m ＋n ＝()a m 2·a n ＝32×5＝45.〗7．已知a ＝23＋log 23，b ＝ 32＋log 32，则a ，b 的大小关系是________．a >b 〖a ＝23＋log 23＝23×2log 23＝8×3＝24，b ＝32＋log 32＝32×3log 32＝9×2＝18，所以a >b .〗8．已知log 7(log 3(log 2x ))＝0，则x ＝________，x －12＝________. 8 24〖由题意得，log 3(log 2 x )＝1，即log 2 x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8，∴x ＝8＝18＝18＝122＝24.〗三、解答题9．求下列各式中的x .(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23； (3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2 x )＝0；(5)x ＝log 27 19. 〖解〗 (1)由log x 27＝32，得x ＝27， ∴x ＝27＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2＝x ，∴x ＝1322＝322. (3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)＝2－1.(4)由log 5(log 2 x )＝0，得log 2 x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 27 19，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23. 10．计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26；(2)22＋log 23＋32－log 39.〖解〗 (1)10lg 3－10log 41＋2log 26＝3－0＋6＝9.(2)22＋log 23＋32－log 39＝22×2log 23＋323log 39＝4×3＋99＝12＋1＝13.1．(多选题)使log (3a －1)(4－a )有意义的a 的可能取值为( )A ．23B ．1C ．2D ．5 BC 〖由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a >03a －1>03a －1≠1解得13<a <4，且a ≠23.〗 2．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3B 〖由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3.〗3．把对数式log 84＝x 化成指数式是________；可求出x ＝________.8x ＝4 23 〖∵log 84＝x ， ∴8x ＝4，∴23x ＝22，所以x ＝23.〗 4．求值：31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝⎛⎭⎫19log 3 4＝________. －4716〖原式＝31·3log 3 6－24·2log 2 3＋(10lg 3)3＋3－2·log 3 4 ＝3×6－16×3＋33＋(3log 3 4)－2＝18－48＋27＋116＝－4716.〗分贝是计量声音强度相对大小的单位，物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小，把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压．把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值成为声压级，声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)，分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)2013年央视春晚中，蔡明、潘长江等表演小品《想跳就跳》时，现场多次响起响亮的掌声，某观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少？〖解〗 (1)根据题意可知，y ＝20lg P P 0. (2)声压P ＝0.002，代入可得：y ＝20lg 0.0022×10－5＝40，故属于无害区． (3)将90dB 代入可得：90＝20lg P 2×10－5解得：P ＝105Pa.。

苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件分层作业第4章指数与对数第2课时换底公式及对数的应用

=
+

=
+
.

12.若，， ∈ +
，且3
=
4
=
+

12 ，

4
∈ (, + 1)， ∈ ，则的值是___.
[解析]令 = = = > ，则 = =
= =
+ = + = = ，所以 = .故选D.
4.（多选题）已知，均为不等于1的正数，则下列选项与log 相等的有() AD
1
lg
B. C.log D.log
log lg

+ .

B层能力提升练
7.1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数；16
37年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数
的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若5 = 2，lg 2 ≈ 0.301 0，
则的值约为() A
由③得(lg + 2)2 = 0，所以lg = −2.
代入①，得lg = 1 − lg = 3.
代入②，得 = lg ⋅ lg = (−2) × 3 = −6.
所以 = 0.01， = 1 000， = −6.
当 = 时，log = log = ，
2
所以log = − 3 + 3.所以 =
2 −3+3
( ≠ 0).
C层拓展探究练
14.已知0.301 0 < lg 2 < 0.301 1，则log 4 2 022 ∈() B

江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数测评课件新人教A版必修第一册

解求函数的零点,即求方程的实数根.当时,由得；当时,由得（舍去）或 .所以函数的零点是和 .
19.（12分）已知定义在上的奇函数 ,当时的解析式为 .
（1）写出在上的解析式；
解因为是定义在上的奇函数,所以 ,即 ,得 .设 ,则 ,所以 ,即当时, .
（1）当时,求梯形的周长；
解由题意可知 , , , , , ,故梯形的周长为 .
（2）用表示的面积 ,并求的最大值.
由题意可知 , , , , , , . , , , ,即的面积的最大值为 .
22.（12分）在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年年底新能源汽车保有量为1 500辆，2020年年底新能源汽车保有量为2 250辆，2021年年底新能源汽车保有量为3 375辆.
C
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得或 ,故选C.
3.设 ,则在下列区间上,使函数有零点的区间是( )
D
A. B. C. D.
[解析] , , , , , , 使函数有零点的区间是 .
4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量（单位:只）与引入时间（单位:年）的关系为 ,若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们的数量为( )
[解析] 设 .由题意知, ,即 ,所以 .
16.如图,已知点 , 是函数图象上的两点,点是函数图象上的一点,且直线垂直于轴,若是等腰直角三角形（其中为直角顶点）,则点的横坐标为_ _,点的横坐标为__.
[解析] 设 , , ,则 , , , .因为是等腰直角三角形（其中为直角顶点）,所以 , ,即 , ,化简可得 , ,解得 , .

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第四章指数与对数1指数 .............................................................................................................................. - 1 - 2对数的概念 .................................................................................................................. - 6 - 3对数的运算性质......................................................................................................... - 10 -1指数基础练习1.(2020·惠州高一检测)已知a>0,则= ( )A. B. C. D.【解析】选D.===.2.已知=4,则x等于( )A.±B.±8C. D.±2【解析】选A.由=4,得=4,即=,所以x2=,得x=±.3.计算:++(2 019)0= ( )A.6B.7C.8D.【解析】选B.++(2 019)0=2++1=2+22+1=7.4.用分数指数幂表示=________.【解析】===-.答案:-5.计算下列各式:(1)-(-9.6)0-+;(2)b-2(-3b-1)÷(4b-3.【解析】(1)原式=-1-+=-1=.(2)原式=-×3·b-3÷(2)=-.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.化简(其中a>0,b>0)的结果是( )A. B.-C. D.-【解析】选C.===.2.计算(-2)2 019·(+2)2 020= ( )A.+2B.-2C.--2D.-+2【解析】选C.原式=[(-2)(+2)]2 019·(+2)=(-1)2 019·(+2)=--2.3.化简·的结果是( )A. B.-C. D.-【解析】选B.由题意可知a≤0,则·=(-a·=-(-a·(-a=-(-a=-=-.【补偿训练】化简的结果是( )A.-B.C.-D.【解析】选A.由题意知,解得x<0,所以=====-.【误区警示】本题容易忽视x的范围,式子隐含x<0.4.(多选题)在下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是( )A.(-x)0.5=-(x≠0)B.=C.=(xy>0)D.=-【解析】选BC.对于A,(-x)0.5和-必有一个无意义,错误;对于B,==,正确;对于C,因为xy>0,则==,正确;对于D,==,错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.计算:0.06-+1+0.2=________.【解析】原式=-1+8+=-1+8+=10.答案:106.(2020·海安高一检测)已知x+x-1=3,则+的值为__________.【解析】由题意得,=x+2+x-1=5,所以+=,所以+=(+)(x-1+x-1)=(3-1)=2.答案:2三、解答题7.(10分)化简y=+,并画出简图,写出最小值. 【解析】y=+=|2x+1|+|2x-3|=其图象如图所示.由图易知函数的最小值为4.【补偿训练】已知a<b<0,n>1,且n∈N*,化简+.【解析】因为a<b<0,所以a-b<0,a+b<0.当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n是偶数时,原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.所以+=2对数的概念基础练习1.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( )A. B. C. D.【解析】选C.由条件知,log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以x=8,所以=.【补偿训练】若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(2,3)∪(3,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义,需,解得t>2且t≠3,所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).2.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即a b=N⇔b=logaN.现在已知a=log23,则2a=________.【解析】由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.答案:33.e0++=________.【解析】原式=1+2+8=11.答案:114.已知log62=a,6b=12,则a2+b(1-a)的值为______.【解析】由log62=a,则6a=2,又6b=12,所以b=a+1,所以a2+b(1-a)=a2+(1+a)(1-a)=1.答案:15.(1)将log232=5化成指数式.(2)将3-3=化成对数式.(3)log4x=-,求x.(4)已知log2(log3x)=1,求x.【解析】(1)因为log232=5,所以25=32.(2)因为3-3=,所以log3=-3.(3)因为log4x=-,所以x===2-3=.(4)因为log2(log3x)=1,所以log3x=2,即x=32=9.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是( )A.128B.16C.8D.256【解析】选B.由题意,令log2x=2,解得x=4,则f(log2x)=2x=24=16.2.(2020·西安高一检测)已知2×9x-28=,则x= ( )A.log37-log32 B.lo 4C.log34 D.log37【解析】选C.2×9x-28=,所以2×(3x)2-28-3x=0,即(3x-4)(2·3x+7)=0,解得3x=4,则x=log34.3.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(y x)的值是( )A.1B.0C.xD.y【解题指南】先对方程配方,求出x,y后再利用对数性质求值. 【解析】选B.由x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1,所以logx (y x)=log2(12)=0.【补偿训练】若10α=2,β=lg 3,则= ( ) A. B. C.1 D.【解析】选D.因为β=lg 3,所以10β=3.所以====.4.(多选题)下列各式正确的有( )A.lg(lg 10)=0B.lg(ln e)=0C.若10=lg x,则x=10D.若log25x=,则x=±5.【解析】选AB.对于A,因为lg(lg 10)=lg 1=0,所以A对; 对于B,因为lg(ln e)=lg 1=0,所以B对;对于C,因为10=lg x,所以x=1010,C错;对于D,因为log25x=,所以x=2=5.所以只有AB正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若loga 2=m,loga3=n,其中a>0,且a≠1,则a m+n=________.【解析】loga2=m,可得a m=2.loga3=n,a n=3.a m+n=a m a n=2×3=6.答案:66.(2020·绍兴高一检测)已知方程loga(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a=________;当a=2时,方程的解x=________.【解析】因为x=2是方程的解,所以loga(52-32)=2.所以a2=16,且a>0,所以a=4.当a=2时,log2(5x-3x)=x.所以5x-3x=2x,显然x=1是方程的解.答案:4 1【补偿训练】方程log3(9x-4)=x+1的解x=________.【解析】因为log3(9x-4)=x+1,所以9x-4=3x+1,所以(3x)2-3·3x-4=0,所以3x=4,x=log34,或3x=-1(舍).答案:log34三、解答题7.(10分)若lo x=m,lo y=m+2,求的值.【解析】因为lo x=m,所以=x,x2=.因为lo y=m+2,所以=y,y=,所以====16.【补偿训练】已知loga b=logba(a>0,a≠1;b>0,b≠1),求证:a=b或a=.【证明】令loga b=logba=t,则a t=b,b t=a,所以=a则=a,所以t2=1,t=±1,当t=1时,a=b;当t=-1时,a=.所以a=b或a=.3对数的运算性质基础练习1.化简2lg 5+lg 4-的结果为( )A.0B.2C.4D.6【解析】选A.原式=2lg 5+2lg 2-2=2(lg 5+lg 2)-2=0.2.+等于( )A.lg 3B.-lg 3C.D.-【解析】选C.原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.3.(2020·新乡高一检测)设a=lg 6,b=lg 20,则log23= ( )A. B.C. D.【解析】选D.因为a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=1+lg 2,所以log23==.4.计算:2-1+lg 100-ln=________.【解析】原式=+2-=2.答案:25.已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.【解析】因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,c>0,所以=logc 3,=logc5,所以+=logc15.由logc15=2得c2=15,即c=(负值舍去).提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.设函数f(x)=loga x(a>0,a≠1),若f(x1x2…x2 020)=4,则f()+f()+…+f()的值等于( )A.4B.8C.16D.2log48【解析】选B.因为函数f(x)=loga x(a>0,a≠1),f(x1x2…x2 020)=4,所以f(x1x2…x2 020)=loga(x1x2…x2 020)=4,所以f()+f()+…+f()=loga(××…×)=loga (x1x2…x2 020)2=2loga(x1x2…x2 020)=2×4=8.2.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则的值等于( )A.2B.C.4D.【解析】选A.由根与系数的关系,得lg a+lg b=2,lg a·lg b=,所以= (lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×=2.3.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,所以lg=10.1,则=1010.1.4.(多选题)(2020·滨州高一检测)已知a,b均为正实数,若loga b+logba=,a b=b a,则可以取的值有( )A. B. C. D.2【解析】选AD.令t=logab,则t+=,所以2t2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0,所以t=或t=2,所以loga b=或logab=2.所以a=b2或a2=b.又因为a b=b a,所以2b=a=b2或b=2a=a2.所以b=2,a=4或a=2,b=4.所以=2或=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(lg 5)2-(lg 2)2+lg 4=________.【解析】原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+lg 4=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.答案:16.已知lg a+b=3,a b=100,则a lg 2·b=________.【解析】lg a+b=3,a=103-b,又因为a b=100,所以10(3-b)b=100,b(3-b)=2,所以b=1或2,a=100或10,所以a lg 2·b=102lg 2·1=4或a lg 2·b=10lg 2·2=2×2=4. 答案:4三、解答题7.(10分)(2020·漳州高一检测)计算下列各式:(1)(log32+log92)(log43+log83)+;(2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22.【解析】(1)(log32+log92)(log43+log83)+=+5 =···+5=×+5=.(2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22=2lg 5+lg 23+lg 5·lg(4×5)+lg22=2lg 5+2lg 2+2lg 5·lg 2+lg25+lg22 =2(lg 5+lg 2)+2lg 5·lg 2+lg25+lg22 =2+(lg 5+lg 2)2=2+1=3.【补偿训练】计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;(2)log2+log212-log242-1.【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.(2)原式=log2+log212-log2-log22=log2=log2=log2=-.。