第四章习题88173

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概率论与数理统计第四章习题解

7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
， , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) ＝1/2， D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解：应用密度函数的性质有：
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解：(1). E(ξ ) ＝－2×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8，
则： E(3ξ 2 + 5) ＝ 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解：
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量
(ξ
,η)
具有概率密度：
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
，试求：
-5-
E(ξ ) ， E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解：
E(ξ )
=
解：由连续型随机变量数学期望的定义式：
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002

物理化学习题第四章化学平衡.docx

第四章化学平衡一．基本要求1．掌握化学反应定温式的各种形式，并会用来判断反应的方向和限度。

2．了解标准平衡常数的定义，掌握标准平衡常数的各种表示形式和计算方法。

3．掌握标准平衡常数K与r G m在数值上的联系，熟练用热力学方法计算r G m，从而获得标准平衡常数的数值。

4．了解标准摩尔生成Gibbs 自由能 f G m的定义和它的应用。

5．掌握温度对化学平衡的影响，记住van’tHoff 公式及其应用。

6．了解压力和惰性气体对化学平衡的影响。

二．把握学习要点的建议把本章放在多组分系统之后的目的，就是要利用多组分系统中介绍的化学势的概念和各种表示方式，来导出化学反应定温式，从而用来判断化学反应的方向与限度。

本章又用到了反应进度的概念，不过其值处在 0 1 mol 的区间之内。

因为在利用化学势的表示式来计算反应的 Gibbs 自由能的变化值时，是将化学势看作为一个定值，也就是在有限的反应系统中，化学进度为d，如果在一个很大的系统中， 1 mol 。

严格讲，标准平衡常数应该用绝对活度来定义，由于本教材没有介绍绝对活度的概念，所以利用标准态化学势来对标准平衡常数下定义，其含义是一样的。

从标准平衡常数的定义式可知，标准平衡常数与标准化学势一样，都仅是温度的函数，因为压力已指定为标准压力。

对于液相反应系统，标准平衡常数有其相应的形式。

对于复相化学反应，因为纯的凝聚态物质本身就作为标准态，它的化学势就是标准态化学势，已经归入r G m中，所以在计算标准平衡常数时，只与气体物质的压力有关。

学习化学平衡的主要目的是如何判断反应的方向和限度，知道如何计算平衡常数，了解温度、压力和惰性气体对平衡的影响，能找到一个经济合理的反应条件，为科研和工业生产服务。

而不要过多地去考虑各种浓度表示式和各种平衡常数表示式之间的换算，否则会把自己搞糊涂了，反而没抓住主要内容。

由于标准平衡常数与r G m在数值上有联系，r G m RT ln K p，所以有了r G m的值，就可以计算 K p的值。

概率论第四章习题解答

1第四章随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II 习题解答A 组1、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.400.300.30求()E X 、(35)E X +、2()E X ？解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-⨯+⨯+⨯=-；(35)3()5 4.4E X E X +=+=；2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-⨯+⨯+⨯=.2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元求产品的平均价值？解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为X 0 8 10 p0.00140.80880.1898则()80.1898100.80889.61E X =⨯+⨯≈(元).3、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()E X ？解：由分布函数知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它则4()()24x E X xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰.4、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()E X ？解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p pk p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知 211()[1(1)]E X p p p =⨯=--.5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即的泊松分布，即()!kp X k e k λλ-== (0,1,2,)k =求()E X 、2()E X ？解：1()!(1)!kk k k E X k ee ee k k λλλλλλλλλ-+∞+∞---======-∑∑；12201(1)()[]!(1)!!kk kk k k k k E X keee k k k λλλλλλλλ-+∞+∞+∞---===+===-∑∑∑1210[]()(1)!!k kk k e e e e k k λλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--===+=+=+-∑∑. 6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布X 10 11 12 13 p0.40.30.20.1(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；(2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？解：(1)()100.4110.3120.2130.111E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(月)；(2) ()[50(13)]65050()100E Y E X E X =-=-⨯=(万元). 7、若随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，即1()a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它求()E X 、2()E X ？解：()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞-∞+===-⎰⎰；22222()()3baxa ab b E X x f x dx dx b a +∞-∞++===-⎰⎰. 8、若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即的指数分布，即0()0x ex f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩０求()E X 、2()E X ？解：0()()xxE X xf x dx x edxxdeλλλ+∞+∞+∞---∞===-⎰⎰⎰1xxxeedxλλλ+∞+∞--=-+=⎰；2222202()()2xxxE X x f x dxx edxx exedxλλλλλ+∞+∞+∞+∞----∞-∞===-+=⎰⎰⎰.9、离散型随机变量X 的概率分布为X 0 2 6 p3/12 4/12 5/12求()E X 、[ln(2)]E X +？解：34519()0261212126E X =⨯+⨯+⨯=；34513[ln(2)]ln(02)ln(22)ln(62)ln 21212126E X +=+⨯++⨯++⨯=.10、设2~(,)X N μσ，求(||)E X μ-？解：22()21(||)||2x E X x e dx μσμμπσ--+∞-∞-=-⎰令x t μσ-=，由偶函数性质有222022(||)()2t t E X e d μσσππ+∞--==⎰.11、设某商品需求量(10,30)X U ，销售商进货量n 在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润Y 与X 、n 的关系为500300()1030500100()1030n X n n X Y X n X X n +-≤<≤⎧=⎨--≤<≤⎩则利润平均值为10101()[[500100()][500300()]20n n E Y X n X dx n X n dx =--++-⎰⎰ 27.53505250n n =-++由题意知27.535052509280n n -++≥解得62263n ≤≤，则最少进货量为21.12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件A 发生，则赔偿顾客a 元.以往资料表明事件A 发生的概率为p .为使公司收益期望值为0.1a ，则应向顾客收取都少保费?解：设应向顾客收取x 元保费，公司的收益为Y 元则Yx x a - p1p -p按题意()(1)()0.1E Y x p x a p a =-+-= 解得0.1x ap a =+.13、设随机变量X 的密度函数为1cos0()220x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.对X 进行独立重复观测4次，Y 表示观测值大于/3π的次数，求2Y 的数学期望？解：显然~(4,)Y b p ，其中p 是(/3)X π>的概率，故31()cos 0.5322xp p Xdx πππ=>==⎰所以44()0.50.5kkkp Y k C -==⨯ (0,1,2,3,4)k =则有42244()0.50.55k kkk E Y k C -==⨯=∑.14、设随机变量X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布求22Z X Y =+的数学期望？解：由题意知X 、Y 的联合密度函数为2221(,)2x y f x y eπ+-=于是22222221()(,)2x y E Z x y f x y dxdy x y edxdy π++∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞=+=+⎰⎰⎰⎰令cos x r θ=、sin y r θ=得222222201()22r r E Z r e drd r e drππθπ+∞+∞--===⎰⎰⎰.15、已知(,)X Y 的分布如下，令max{,}Z X Y =，求()E Z ？YX0 5 10 15 0 0.02 0.06 0.02 0.10 5 0.04 0.15 0.20 0.10 100.010.150.140.01解：由题设可得Z 的分布为Z 0 510 15 p 0.020.25 0.52 0.21()00.0250.25100.52150.219.6E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.16、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X 、()E Y 、()E XY 、22()E X Y +？解：12004()(,)125xE X xf x y dxdydx xy dy+∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 1303()(,)125x E Y yf x y dxdy dx y dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰；；131()(,)122xE XY xyf x y dxdy dx xy dy +∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 122222220016()()(,)()15xE XY xy f x y dxdydx xy y dy+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰. 17、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ？解：22007()(,)()88xE X xf x y dxdyxy dxdy+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰. 18、甲乙二人相约在12:00~13:00之间会面，设X 、Y 分别表示甲乙到达时间，且相互独立已知X 、Y 的密度函数为2301()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它、201()0y y f y <<⎧=⎨⎩其它求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为||X Y -，由于X 、Y 的联合密度函数为2601,01(,)0x y x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它11200(||)||6E X Y x y x ydxdy ⇒-=-⎰⎰112200001()6()|64xyx y x ydydx y xx ydxdy =-+-=⎰⎰⎰⎰.19、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求数学期望()E X 、()E Y ？解：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)(,)0(,)c x y G f x y x y G∈⎧=⎨∉⎩，由密度函数性质解出9/2c =下面分别求出边沿密度函数当12x -≤≤时，有22222()(2)99x X xf x dy x x +==+-⎰，故此 22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它当01y ≤≤时，有24()99y Y y f y dx y--==⎰当14y <≤时，有222()(2)99y Y y f y dx y y --==+-⎰，所以 40192()(2)1490Y y y f y y y y ⎧≤≤⎪⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它从而22121()()(2)92XE X xfx dx x x x dx +∞-∞--==+-=⎰⎰； 1401428()()(2)995Y E Y yf y dy y yd y y y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰. 20、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.40 0.30 0.30求()D X ？解：由题意易知()0.2E X =-、2() 1.8E X =，所以22()()[()] 1.80.04 1.76D X E X E X =-=-=.21、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()D X解：由题意易知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它，且()2E X=，则242(2)4()(())()43x D X x E X f x dx dx +∞-∞-=-==⎰⎰. 22、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求()D X ？解：由题意易知()E X λ=、22()E X λλ=+，故22()()[()]D X E X E X λ=-=.23、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)80x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()D X ？解：由题意易知7()8E X =，故2222001711()[()](,)()()8636D X x E X f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞-∞=-=-+=⎰⎰⎰⎰. 24、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求方差()D X 、()D Y ？解：由题意易知22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它、40192()(2)1490Y yy f y y y y ⎧≤≤⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它1()2E X =、8()5E Y =22222127()()(2)910X E X x f x dx x x x dx+∞-∞--==+-=⎰⎰14222214247()()(2)9914Y E Yy f y dyy ydyy y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰229()()[()]20D X E X E X =-=；22279()()[()]350D YE Y E Y =-=.25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设X 表示取出合格品前已取出次品的数目，则X0 1 2 p8/10 16/90 2/90故2()9E X =、24()15E X =所以2288()()[()]405D XE X E X =-=.26、设随机变量X 的密度函数为||1()2x f x e -=.求()E X 、()D X ？解：||1()()02x E X xf x dx x e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰； 222||2011()(())()222x xD XE X E X x f x dx x e dx x e dx +∞+∞+∞---∞-∞=-====⎰⎰⎰.27、设X 为随机变量，证明:对任意常数C ，有2()()D X E X C ≤-，当()C E X =时等号成立.证明：22222()(2)()2()E X C E X CX C E X CE X C -=-+=-+22222()[()]{[()]2())}()[()]E X E X E X CE X C D X E X C =-+-+=+-由于2[()]E X C -非负，从而有2()()D X E X C ≤-，且当()C E X =时2()()D X E X C =-.28、设U 服从(-2，2)上的均匀分布，定义X 、Y 如下1111U X U -<-⎧=⎨>-⎩、1111U Y U -<⎧=⎨>⎩求()D X Y +？解：先求X Y +的分布(2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=-==-=-=<-<=<-= (2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=====≥-≥=≥= (0)1(2)(2)1/2p X Y p X Y p X Y +==-+=-+=-=所以()0E X Y +=，从而2()()2D X Y E X Y +=+=.29、已知()750E X =、2()15D X =.请估计概率(700800)p X <<？解：由切比雪夫不等式有2215(700800)(|750|50)10.9150p X p X <<=-<≥-≈.30、设()2E X =-、()1D X =、()2E Y =、()4D Y =、0.5XY ρ=-，利用由切比雪夫不等式估计概率(||6)p X Y +≥的上限？解：因为()0E X Y +=、()()()2(,)3D X Y D X D Y Cov X Y +=++=，所以，所以2()1(||6)(|()()|6)612D X Y p X Y p X YE X Y ++≥=+-+≥≤=. 31、设()4D X =、()9D Y =、0.5XY ρ=，求(23)D X Y -？解：(,)()()3XY Cov X Y D X D Y ρ==(23)4()9()2(2,3)16813661D X Y D X D Y Cov X Y -=++-=+-=.32、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求(,)Cov X Y ？解：由题意易知4()5E X =、3()5E Y =、1()2E XY =，故 1431(,)()()()25550Cov X Y E XY E X E Y ⨯=-=-=⨯. 33、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求协方差(,)Cov X Y 与相关系数XY ρ？解：由题意易知1()2E X =、8()5E Y =、9()20D X =、279()350D Y =2221225()994x x G E XY xy dxdy xdx ydy +-===⎰⎰⎰⎰所以9(,)()()()20Cov X Y E XY E X E Y =-=； (,)0.751()()XYCov X Y D X D Y ρ=≈.34、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布为YX-1 0 1 00.07 0.18 0.15 100.080.320.20求22(,)Cov X Y解：先求2X 、2Y 、22X Y 的分布2(0)0.4p X ==、2(1)0.6p X == 2(0)0.5p Y ==、2(1)0.5p Y == 22(0)0.72p X Y ==、22(1)0.28p X Y ==所以2()0.6E X =、2()0.5E Y =、22()0.28E X Y =，由此得222222(,)()()()0.02Cov X Y E X Y E X E Y =-=-.35、随机变量(,)X Y 的密度函数为201,11(,)0x x y f x y ≤≤-≤≤⎧=⎨⎩其它求()D X Y +？解：当01x <<时，有11()22X x f x d y x -==⎰；当01y <<时，有11()22Y y f y d x y -==⎰，故2()()3E X E Y ==、1()()18D X D Y == 由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，即X 与Y 不独立.所以11015()212xE XY xydxdy -==⎰⎰541(,)()()()12936Cov X Y E XY E X E Y =-=-=- 1()()()2ov(,)18D X Y D X D Y C X Y +=++=.36、将1枚硬币抛n 次，以X 、Y 分别表示正面向上与反面向上的次数，求(,)Cov X Y 、XY ρ解：由于X Y n+=，即Y n X=-，于是1XYρ=-；又因~(,0.5)X b n 、~(,,0.5)Y b n ，所以()()/4D X D Y n ==，故(,)(,)(,)()/4Cov X Y Cov X n X Cov X X D X n =-=-==.37、设X 与Y 独立，且都服从参数为λ的泊松分布，令2U X Y =+、2V X Y =-求U 与V 的相关系数？解：由于()(2)4()()5D U D X Y D X D Y λ=+=+= ()(2)4()()5D V D X Y D X D Y λ=-=+=所以(,)(2,2)Cov U V Cov X Y X Y =+-4()(,2)(2,)()3D X Cov Y X Cov X Y D Y λ=+--=由此得(,)35(),()XYCov X Y D X D Y ρ==. 38、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1||0,01(,)0y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它判断X 与Y 之间的相关性与独立性.解：由于12()3x xE X xdydx -==⎰⎰、、10()0x xE Y ydydx -==⎰⎰、10()0xxE XY xydydx -==⎰⎰，则(,)()()()0Cov X Y E X E Y E XY =-=故X 与Y 之间不相关；又因当01x <<时，有()2xXxf x dy x-==⎰，即201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它同理可以求出110()1010X y y f x y y +-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 之间不独立.39、设a 为区间(0,1)上一定点，随机变量(0,1)X U ，Y 是X 到a 的距离.问a 为何值时X 与Y 是不相关？解：由题设知()0.5E X =、||Y X a =-，所以11201()||()()2aaE Y x a dx a x dx x a dx a a =-=-+-=-+⎰⎰⎰3101()()()323a a a a E XY x a x dx x x a dx =-+-=-+⎰⎰31(,)3212a aCov X Y =-+令31(,)03212a a Cov X Y =-+=，可得方程2(21)(221)0a a a ---=在(0,1)内解得0.5a =，即0.5a =时，X 与Y 不相关. 40、设计算器进行加法计算时，所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布.(1) 将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少；(2) 最多可以有几个数相加，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90? 解：设第i 个数的舍入误差为i X (1,,)i n = ，故()0i E X =、()1/12i D X = (1,,)i n =记1ni i X X ==∑(1) 由林德伯格－列维中心极限定理有15001150001515000(||15)(||)15001/1215001/12i i x p X p =-⨯-⨯>=>∑151[2()1]0.180215001/12≈-Φ-=；(2) 由林德伯格－列维中心极限定理有1100100.90(||10)(||)2()11/121/121/12ni i x n n p X p n n n =-⨯-⨯≤<=≤≈Φ-∑即10()0.951/12n Φ≥，由于(1.645)0.95Φ=，则101.6451/12n ≥因此443.45n £，再由n 为整数得满足题意的个数为443.41、一批木材中有80%的长度不小于3m ，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m 的概率？解：以X 表示100根木材中长度短于3m 的数目，则~(100,0.2)X b ，于是()20E X =，()16D X =.由于100n =较大，则由中心极限定理，近似有2~(20,4)X N ，由此有20302010(30)1(30)1()1()0.0062444X p X p X p --≥=-<=-<≈-Φ-=. 42、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，种蛋糕，每种蛋糕被购买的概每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1) 设第i 只蛋糕价格为iX (1,,300)i = .则i X的分布为i X1 1.2 1.5 p0.30.20.5于是可得() 1.29i E X =、2() 1.713iE X =、()0.0489i D X =令3001i i X X ==∑表示总收入，则由林德伯格－列维中心极限定理有300 1.29400300 1.29(400)()1(3.39)0.00033000.04893000.0489X p X p -⨯-⨯≥=>≈-Φ=⨯⨯；(2) 记Y 为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则~(300,0.2)Y b ，于是()60E Y =、()48D Y =，由中心极限定理，近似有~(60,48)X N ，由此有606060(60)1()1(0)0.54848Y p Y p --≥=-<≈-Φ=.43、进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少?此时A 发生的次数在什么范围内?解：设X 为1000次试验中事件A 发生的次数，则~(1000,0.25)X b ，由二项分布的性质知()250E X =、()187.5D X =，而事件A 发生的频率为/1000X .根据题意，可得如下不等式(|0.25|)0.951000X p ε-≤≥即(|250|1000)0.95p X ε-≤≥，由棣莫弗―拉普拉斯定理有25010001000(||)2()10.95187.5187.5187.5X p εε-≤≈Φ-≥即1000()0.975(1.96)187.5εΦ≥=Φ解得0.026ε³，这表明1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件A 发生的次数在224到276之间.44、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能性保证此车间正常工作？解：以X 表示同时工作的车床数，则~(150,0.6)X b ，于是()90E X =、()36D X =，由题意知x 应使得下式成立(0)0.995p X x ≤≤≥由中心极限定理，近似有~(90,36)X N ，故有090909090(0)()()(15)0.9956666X x x p X x p ----≤≤=<<≈Φ-Φ-≥ 查标准正态分布表得90 2.586x -≥，即105.28x ≥，取整得106x =.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能151061590⨯=()kw .B 组1、将n 只球(1n 号)随机的装入n 只盒子(1n 号)，一只盒子装一只球.若一只球装入的盒子与球同号，称为一个配对.记X 为配对数，求()D X ？解：引入随机变量i X (1,)i n = ，1i X =表示第i 号配对，0i X =表示第i 号不配对，则1n X X X =++ ，且1(1)i p X n ==(1,)i n = 即1()i E X n = (1,)i n =于是1()()1n E X E X X =++=因为i X 之间不独立，所以11111()()2(,)nn ni i i i j ii ij D X D X Cov X X -=====+∑∑∑∑下面考虑i j X X 的分布，由于i j X X 的取值只能是0、1，且1(1)(1,1)(1)i j i j p X X p X X n n =====- 所以1()(1)i j E X X n n =-，因此 21()()()()(1)i j i j i j Cov X X E X X E X E X n n =-=- 2211()21(1)nn D X Cnn n -⇒=+=-.2、设随机变量X 的分布函数为()F x ，其数学期望存在，证明()[1()]()E X F x dx F x dx +∞-∞=--⎰⎰.证明：00()()()()E X xf x dxxf x dxxf x dx +∞+∞-∞-∞==-⎰⎰⎰由于00()()()xxf x dxxdy f x dx +∞-∞=-⎰⎰⎰改变积分次序有00()(())()yxf x dxf x dx dyF y dy +∞-∞-∞-∞=-=-⎰⎰⎰⎰同理有()[1()]xf x dx F y dy +∞+∞=-⎰⎰ 0()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞⇒=--⎰⎰.3、设随机变量X 的分布函数为0111()arcsin 11211x F x x x x π⎧<-⎪⎪=+-≤<⎨≥⎪⎩求()E X ？解：由上一题结论有()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞=--⎰⎰111111[1arcsin ](arcsin )022x dx x dx ππ--=---+=⎰⎰.4、设连续随机变量X 的密度函数为()f x 若对任意常数c 有()()f c x f c x +=- (0)x >且()E X 存在.证明()E X c =.证明：令x t c =-则有()()()()()()E X xf x dxc t f c t dtcf c t dttf c t dt +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==++=+++⎰⎰⎰⎰由密度函数性质有()()cf c t dt cf c t dt c +∞+∞-∞-∞+=+=⎰⎰令u t =-，有()()()()tf c t dttf c t dtuf c u duuf c u du +∞+∞-∞-∞+=-=+=-+⎰⎰⎰⎰故()0tf c t dt +∞-∞+=⎰所以()E X c =.5、证明事件A 在一次试验中发生次数的方差不超过0.25.证明：设X 表示事件A 在一次试验中发生的次数，则(1,)X b p ，其中p 是事件A 发生的概率，则()(1)0D X p p =-≥由均值不等式得，当0.5p =时，()D X 有最大值0.25. 6、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()D X解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p p k p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知211()[1(1)]E X p p p =⨯=--又111[(1)](1)()(1)(1)k k k E X Xk k p Xk pk k p +∞+∞-==+=+==+-∑∑将21(1)x -的展开式两端求导得 1321223(1)(1)k x k kx x -=⋅+⋅++-+- 3222[(1)][1(1)]E X X pp p ⇒+==--222()()[()][(1)][()]D X E X E X E X X X E X ⇒=-=+-- 221[(1)]()[()]p E X X E X E X p-=+--=. 7、一只昆虫所生虫卵X 服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育成幼虫的概率为p ，且每个虫卵是否发育成幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y 的期望与方差？解：由题意知()!np X n en λλ-==(0,1,2,)λ= ，而n 个虫卵发育成k ()k n ≤个幼虫的概率为(|)(1)k kn knp Y k X n C p p -===- (0,1,,)k n =由全概率公式，对任意0,1,,k n = 有()()(|)(1)!nkkn kn n k n k p Y k p X n p Y k X n e C p p n λλ+∞+∞--========-∑∑(1)()[(1)]()()!()!!!k n kk kp pn k p p p p e e e e k n k k k λλλλλλλλ-+∞----=-===-∑即Y服从参数为pλ的泊松分布所以()()E Y D Y p λ==.8、设随机变量X 的密度函数()f x 是偶函数，且2(||)E X <+∞，证明X 与2X 不相关，但不独立.证明：因()f x 是偶函数，所以()xf x 、3()x f x 是奇函数，故此3()()0E X E X ==222(,)()()()0Cov X X E X X E X E X ⇒=⋅-=因而，X 与2X 不相关；选取0a >使得()1p X a ≤<，考察如下特定事件概率22(,)()()()p X a X a p a X a p X a p a X a ≤≤=-≤≤>≤-≤≤ 22()()p X a p X a =≤≤即2222(,)()()p X a X a p X a p X a ≤≤≠≤≤ 故X 与2X 不独立.9、设1X 、…、n X 中任意两个的相关系数都是ρ，试证:11n ρ≥--. 证明：因为111110()()2(,)nnni iiiji i i j D X D X Cov X X-====≤=+∑∑∑∑1111()2()()nni i i j i ij D X D X D X ρ-====+∑∑∑11111()[()()]()[1(1)]n ni ni i j i i i j i D X D X D X D X n ρρ-====≤++=+-∑∑∑∑11n ρ⇒≥--.。

北师大版七年级下册数学第四章测试卷

20、（本小题满分10分）青春期男、女生身高变化情况不尽相同，下图是小军和小蕊青春期身高的变化情况．
（1）上图反映了哪两个变量之间的关系？自变量是谁？因变量是谁？
（2）A、B两点表示什么？
（3）小蕊10岁时身高多少？
（4）比较小军和小蕊的青春期身高情况有何相同与不同
21、（本小题满分12分）温度的变化，是人们常谈论的话题．下图是某地某天温度变化的情况．
三、解答题（本大题共有5个小题，共52分）
17、（本小题满分10分）如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中，__________是自变量，_________是因变量．
（2）甲的速度________乙的速度.
（大于、等于、小于）
（3）6时表示________
（4）路程为150km，甲行驶了____小的________（前面、后面、相同位置）
（6）乙比甲先走了3小时，对吗？__________
18、（本小题满分10分）已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：
底面半径x（cm）
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
17、（1）时间，路程；（2）小于；（3）甲乙路程相同为100千米；（4）9小时；4小时；（5）后面；（6）不对，晚走3小时
18、（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量（2）当底面半径为2.4cm时，易拉罐的用铝量为5.6cm
（3）易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适，因为此时用铝较少，成本低
19、（本小题满分10分）如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图．

第4章习题与参考答案20-35

第4章习题与参考答案【题4-1】写出图题4-1的输出逻辑函数式。

图题4-1解：（1）C A A AC B A Y +=++=1（2）D B C B A CD B A CD B A D BD CD A B A Y ++=++=+=++=）（2 【题4-2】使用与门、或门实现如下的逻辑函数式。

（1）1Y ABC D =+ （2）2Y A CD B =+（）（3）3Y AB C =+ 解：&1≥AB C DY11≥&&A B C DY2&A B 1≥Y3C....【题4-3】使用与门、或门和非门，或者与门、或门和非门的组合实现如下的逻辑函数式。

（1）1Y AB BC =+（2）2Y A C B =+（）（3）3Y ABC B EF G =++（）ABC.Y2A B C .E F G...【题4-4】试写出图题4-4所示电路的逻辑函数式，列出真值表，并分析该电路的逻辑功能。

图题4-4解：=1+ACBCABY+此电路是三人表决电路，只要有两个人输入1，输出就是1。

Y+CDABCDBA++⋅=⋅⋅=2BCDABCDCDDABCABBDCAABCDA该电路在4个输入中有3个为1时，输出Y2为1。

【题4-5】逻辑电路与其输入端的波形如图题4-5所示，试画出逻辑电路输出端Y 的波形。

图题4-5解：B A Y +=BA.Y..【题4-6】图题4-6所示的逻辑电路中，与非门为74LS00，或非门是74LS02，非门是74LS04。

试分析该电路的最大传输延迟时间。

图题4-6解：74LS00、74LS02和74LS04的最大t PHL 和t PLH 都是15ns ，因为A 信号经过4级门达到输出端X ，因此最大传输延迟时间为4×15ns=60ns 。

【题4-7】图题4-7所示的是家用报警器装置，该装置具有6个开关，各开关动作如下：ALARM....图题4-7人工报警开关M ，该开关闭合时，报警信号ALARM=1，开始报警。

线性代数简明教程方小娟科学出版社第四章习题答案

第四章
线性方程组习题答案
1、克拉默法则 2、线性方程组解的判定定理 3、线性方程组解的结构
对方程组研究的重点是：对方程组研究的重点是：
1、方程组是否有解，、方程组是否有解， 2、如果有解，求出所有的解并能很好的、如果有解，表示出来
1、解： 1 1 0
0 A = 2 1 1 2 5 3 2 2
x3 = 1, 则 AX = ϑ 的一个基础解系为：的一个基础解系为：
的一个特解为： x3 = 0, 则 AX = b 的一个特解为：
*
ξ = (− 1 1 1 0)
T
η = (− 8 13 0 2)
*
T
∴ AX = b 的通解为
X = kξ + η (k ∈ ∀R)
线性相关， 8、（1）假设 η , ξ1 , ξ 2 , Lξ n− r 线性相关，）
1 −2 α4 ) =ϑ 1 0
的一个解。是 AX = ϑ 的一个解。
T
T
Q R ( A) = 3
∴ (1 −2 1 0 )
的一个基础解系。是 AX = ϑ 的一个基础解系。
⇒ x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 = α1 + α 2 + α 3 + α 4
⇒ x1 (2α 2 − α 3 ) + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 = 2α 2 − α 3 + α 2 + α 3 + α 4
⇒ (2 x1 + x2 + 3)α 2 + (− x1 + x3 )α 3 + ( x4 − 1)α 4 = ϑ

南京财经大学概率论第四章客观题答案

D(nX ) = n 2 DX = n, 所以
3. (C)
1
根据定理 4. 6, Y =
σ2
∑(X i − X ) =
i =1
n
2
(n − 1)
1 n ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1
σ2
=
(n − 1) S 2
σ2
~ χ 2 (n − 1), 故应选
(C). 4. (D)
由定理 4. 4 推论,
2 i
n −1 6. 由样本的性质知 X i ~ N (0,3 2 ), i = 1,2,L,10 , 且 X 1 , X 2 , L, X 10 相互独立, 则 E ( X 1 + L + X 5 ) = EX 1 + L + EX 5 = 0 D ( X 1 + L + X 5 ) = DX 1 + L + DX 5 = 45
习题四
一. 单项选择题 1. (C) (A), (B), (D)中均不含未知参数, 而(C)中含未知参数σ 2 . 2. (C) 总体 X ~ N (0,1), 故由样本的性质知 X i ~ N (0,1)(i = 1,2, L, n), 且 X 1 , X 2 , L , X n 相互独立, 根据定义 4. 2,
σ
Y n
~ t (n).
8. (B)
由 F 分布的性质,
1 ⎧1 ⎫ ~ F (n, n), 则 q = P{ X ≤ 1} = P ⎨ ≥ 1⎬ = P{ X ≥ 1} = p. X ⎩X ⎭
9. (D)
ˆ 2为θ 2 的有 ˆ) = θ , 所以 D(θ ˆ) = E (θ ˆ 2 ) − [ E (θ ˆ)]2 = E (θ ˆ 2 ) − θ 2 ≠ 0 , 故 E (θ ˆ 2 ) ≠ θ 2 , 即θ 因为 E (θ

教科版物理必修一第四章物体的平衡7 应用正交分解法解平衡问题(同步练习)-学习文档

（答题时间：20分钟）1. 如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P 连接，P 与固定挡板MN 接触且P 处于静止状态。

则斜面体P 此时刻受到外力的个数有可能为（）A. 2B. 3C. 4D. 52. 如图所示，一直杆倾斜固定，并与水平方向成30°的夹角；直杆上套有一个质量为0.5kg 的圆环，圆环与轻弹簧相连，在轻弹簧上端施加一竖直向上，大小F ＝7N 的力，圆环处于静止状态，已知直杆与圆环之间的动摩擦因数为0.7，g ＝l0m ／s 2。

下列说法正确的是（）A. 圆环受到直杆的弹力，方向垂直直杆向上B. 圆环受到直杆的摩擦力，方向沿直杆向上C. 圆环受到直杆的摩擦力大小等于1 ND. 圆环受到直杆的弹力大小等于325N 3. 两个物体M 、m 用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，如图所示放置，OA 、OB 与水平面的夹角分别为30°、60°，物体M 的重力大小为20 N ，M 、m 均处于静止状态，则（）A. 绳OA 对M 的拉力大小为B. 绳OB 对M 的拉力大小为10 NC. m 受到水平面的静摩擦力大小为ND. m 受到水平面的静摩擦力的方向水平向左4. 如图所示，倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k 的轻质弹簧一端系在质量为m 的小球上，另一端固定在墙上的P 点，小球在斜面上静止时，弹簧与竖直方向的夹角为60°，则弹簧的形变量大小为（）D. mg k5. 在广场游玩时，一小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块静止置于水平地面上，如图所示。

风沿水平方向吹，气球受到的风力2kSv F =（k 是阻力系数，S 是迎风横截面积，v 是风速）。

若水平的风速逐渐增大（设空气密度不变，气球所受的空气浮力不变），则下列说法中正确的是（）A. 细绳的拉力变大B. 地面受到小石块的压力逐渐减小C. 小石块滑动前受到地面施加的摩擦力逐渐增大D. 小石块有可能连同气球一起被吹离地面6. 如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m 的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为（） A. mg 31 B. mg 32 C. mg 63 D. mg 932 7. 如图所示，在粗糙水平面上放着一个三角形木块abc ，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m 1和m 2的两个物体，已知m 1>m 2。

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第四章习题
一、选择题
1.在动态测试中，电桥的输出量通常采用（）。

A.电阻量 B.电压量 C.电流量 D.电感量
2.直流电桥同一桥臂增加应变片数时，电桥灵敏度将( )。

A.增大 B.减少 C.不变 D.变化不定
3.为提高电桥的灵敏度，可采取的方法是（） A.半桥双臂各串联一片电阻应变片 B.半桥双臂各并联一片电阻应变片 C.适当提高电桥的电源电压 D.增大应变片的初始电阻值
4.为了保证实现极距变化型差动电容传感器的差动工作，传感器的两个电容应当连接成（）。

A.并联电路 B.串联电路 C.电桥电路
5.交流电桥的供桥电压频率为0f ，输出信号最高频率为m f 。

它们之间的关系应满足（）。

A.0m f f = B.0m f f < C.0m f f ≥ D.0m f f ? ７.调制可以看成是调制信号与载波信号（）。

Ａ.相乘Ｂ.相加Ｃ.相减Ｄ.相除８.在调幅信号的解调过程中，相敏检波的作用是（）。

Ａ.恢复载波信号Ｂ.恢复调制信号的幅值和极性Ｃ.恢复已调制波Ｄ.恢复调制信号的幅值
11.要使RC 低通滤波器的通带加宽，则RC 值应（）。

A.增加 B.减少 C.不变
12.在一定条件下RC 带通滤波器实际上是低通滤波器与高通滤波器（）而成的。

A.串联 B.并联 C.串并联 D.叠加
16.滤波器的上、下截止频率为21,c c f f ，中心频率0f 则它们的关系是（）。

A.
0f =
B.1202c c f f f +=
C.1202
c c f f
f -= 17.滤波器的—3dB 频率截止频率，是指信号幅值衰减为输入幅值的（）处的频率。

B.1 /2 D.1/2
18.重复频率为1000Hz 的方波，经过一截止频率为2000Hz 的理想低通滤波器后的输出量为（）。

A.1000Hz 的失真的方波 B.1000Hz 的正弦波 C.2000Hz 的正弦波 D.不知是什么波形 19.滤波器的频率分辨力越高，则测量时的响应速度（）。

A.越快 B. 越慢 C. 不变
20.已知某倍频程滤波器的下截止频率为3000Hz ，则其上截止频率为（）Hz ，其中心频率为（）Hz 。

A.150 B1000 C.600 E.450
H.225
21.倍频程滤波器是一种（）滤波器，跟踪滤波器是一种（）滤波器。

A.高通 B.低通 C. 恒带宽 D. 恒带宽比
22.1/3倍频程滤波器是一种恒带宽比滤波器，因此当分析的频率范围越高时它的分辨率（）。

A. 越高
B.越低
C.不随分析频率的变化而变化
二、填空题
2.载波为
0sin E t ω的电桥，当单臂输入调制信号0()sin t εε=⋅Ω时，其输出调幅拨的
幅值为＿＿＿，频率＿＿＿
3.将电桥接成差动方式可以提高＿＿＿，改善＿＿＿
4.为了补偿温度变化给应变测量带来的误差，工作应变片与温度补偿应变片应接在＿＿＿桥臂上。

5.调幅信号由载波的＿＿携带信号信息，而调频信号则由载波的＿＿携带信号信息。

6.调制有＿＿＿、＿＿＿、和＿＿＿三种类型，将调制高频振荡的缓变信号称为＿＿＿，载送缓变信号的高频振荡称为＿＿＿，经调制后的高频振荡波称为＿＿＿。

7.调幅过程在频域相当于＿＿＿过程，调幅装置实际上是一个＿＿＿
8.调幅波的解调器是＿＿＿，调频波的解调器是＿＿＿。

9.调幅波经过相敏检波后，既能恢复信号电压的＿＿＿，又能反映其＿＿＿。

11.滤波器的＿＿＿和＿＿＿要求是相互矛盾的。

12.RC 低通滤波器中的RC 值越大，则其上限频带越＿＿＿。

15.带通滤波器的中心频率0f 与上、下截止频率间的关系是＿＿＿。

16.要使得重复频率为同频率的方波信号转换为500Hz 的正弦波信号，应使用＿＿＿滤波器，其＿＿＿截止频率应为＿＿＿Hz 。

一、选择题
1.B
2.C
3.C
4.C
5.D 7.A 8.B 11.B 12.A 1
6.A 1
7.C 1
8.B 1
9.B 20.C ；D 21.D.C 22.B 二、填空题
2.001/4;;()E t εωε为正时与载波同相位，()t ε为负时与载波反相位180°
3.灵敏度；非线形；温度
4.相邻
5.幅值；频率
6.调幅；调频；调相；调制波；载波；已调波
7. 频率搬移；乘法器
8.相敏检波器；鉴频器
9.幅值；极性
11.选择性；响应速度 12.窄
15.0f =
16.低通；上；1000
20.输出功率最大；获得合适的阻尼率使ξ=0.7 21. 0.5；5%；线形 22电磁阻尼；油阻尼 23.5000Hz
24.磁头；放大器；磁带及走带机构；振动子及磁系统；光学系统；机械系统；电气系统 25. 5kHz ；1MHz ；10Hz
典型例题
例1.有人使用电阻应变仪时，发现灵敏度不够，于是试图在工作电桥上增加电阻应变片数以提高灵敏度。

试问，在半桥双臂上各串联一片的情况下，是否可以提高灵敏度？为什么？答：不能提高灵敏度。

因为半桥双臂时，其输出电压为 12o i R u u R
∆=
⋅ 当两桥臂各串联电阻应变片时，其电阻的相对变化量为 22R R
R R
∆∆= 即仍然没有发生变化，故灵敏度不变。

要提高灵敏度只能将双臂电桥改为全桥联接。

这时
o i R
u u R
∆=⋅
例2.用电阻应变片及双臂电桥测量悬臂梁的应变ε。

其贴片及组桥方法如下图所示。

已知图
中''
1122120R R R R ====Ω，上、下贴片位置对称，应变片的灵敏度系数k=2。

应变值
31010-ε=⨯，电桥供桥电压3i u V =。

试分别求出图（b ）、图（c ）组桥时的输出电压o
u =？
R
R
解：如图（b）组桥时的输出电压为
11
1122
11
12
1
22
1
0.03()
2
o i i
i i i
i
R R R
u u u
R R R R R R
R R R
u u u
R R R
k u V
+∆
=⋅-⋅
+∆+-∆+
+∆∆
=⋅-⋅=⋅
+
=⋅ε⋅=
如图（c）组桥时的输出电压为
''
1111
''''
11112222
221
42
11
0.03()
22
o i i
i i
i i
R R R R R
u u u
R R R R R R R R R R
R R
u u
R
R
u k u V
R
+∆++∆
=⋅-⋅
+∆++∆++-∆-∆+
+∆
=⋅-
∆
=⋅=⋅ε⋅=
例3.下图中所示为两支流电桥，其中图（a）称为卧式桥，图（b）称为立式桥，且12340
R R R R R
====。

12
,
R R为应变片，
34
,
R R为固定电阻。

试求在电阻应变片阻值变化为R
∆时，两电桥的输出电压表达式并加以比较。

解：图（a）中，卧式桥的输出电压为
114
1122340000
()222o b d i i
i i
R R R u u u u u R R R R R R R R R R
u u R R R +∆=-=⋅-⋅+∆+-∆++∆∆∆ =-⋅=⋅
图（b ）中，立式桥的输出电压为
1122
114223
000000
22
200
(
)222241()2o b d i i
i
i i
R R R R u u u u u R R R R R R R R R R u R R R R
R
R R R u u R R R R +∆-∆=-=⋅-⋅+∆+-∆++∆-∆ =-⋅+∆-∆∆⋅∆ =⋅=⋅∆-∆-
由此可知，当20
()12R R ∆=时，得0
2o i R
u u R ∆=⋅，在忽略了高阶无穷小之后，两电桥的输出
电压是一样的，均为2o i R
u u R
∆=⋅，不同之处是：立式桥有非线形误差，而卧式桥没有，所以卧式桥更精确。

例 4.用电阻应变片接成全桥，测量某一构件的应变，已知其变化规律为：
()cos10cos100t A t B t ε=+，如果电桥的激励电压sin10000i u U t =⋅，试求此电桥的输出信号频
谱。

画出频谱图。

例5.有一个1/3倍频程带通滤波器，其中心频率80n f Hz =，求上、下截止频率21,c c f f 。

解：由于：
2
2
12
212
2,2n n n c n c n
c c f f f f f f f -
= = =⋅
当80n f Hz =时，则有 16
2
12
28071.3()n c n f f Hz --==⨯=
16
2
2228089.8()n c n f f Hz ==⨯=。