复变函数期末复习摘要
复变函数复习提纲
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
复变函数期末复习提要
2
2π i lim[( z z1 )
z z1
2i ] ( z z1 )( z z 2 )
残数在计算某些实积分上的应用
2π a2 1
（7.10）
n P( x) P( z ) d x 2 π i Res( , zj) Q ( x ) Q( z ) j 1
Res(
ei z ei z , a i ) lim ( z a i ) z a i ( z a i)( z a i) z2 a2 e a 2a i
最后，由（7.11）式得
ei x ei z d x 2 π i Res ( , a i) x 2 a 2 z2 a2 π a ae
z
1 4
5z 2 z 1 dz z
(
5z 2 ) z 1 z 0
2
注意 ： 这里的积分路径的半径并非只能取 件． 解法 2 因点 z 0 为 f ( z ) 的孤立奇点，所以，在 N * (0 , ) : 0 z
1 ，只须使半径小于 1 即可满足定义 7.1 的条 4 1 3 1 内有 3
x2 dx ． 例 4 计算积分 x 4 x 2 1
解
经验证，此积分可用（7.10）式计算．
首先，求出
P( z ) z2 4 在上半平面的全部奇点．令 Q( z ) z z 2 1
z4 z2 1 0
即
z 4 z 2 1 ( z 4 2 z 2 1) z 2 ( z 2 1) 2 z 2 ( z 2 z 1)( z 2 z 1)
4
Res( f , a )
复变函数复习重点
第一章复数与复变函数
1. 复数的四则运算，欧拉公式，复数的n次方根
2. 复平面上的曲线方程，参数方程和直角坐标方程以及与复数之间的互化。
3. 映射的概念
4. 复变函数的连续与极限
第二章解析函数
1. 掌握复变函数的导数与微分，解析函数的概念
2. 掌握函数解析的判断（大题）
3. 初等函数，掌握指数函数、对数函数、幂函数、三角函数；了解双曲函数（定义）、反三角函数与反双曲函数的定义。
（大题）
第三章复变函数的积分
1. 了解复变函数积分的概念和性质
2. 掌握柯西积分定理及其应用：柯西积分定理，原函数，复合闭路定理（大题）
3. 掌握柯西积分公式，解析函数的高阶导数（大题）
4. 掌握解析函数与调和函数的关系。
（大题）
第四章复级数
1. 掌握复数项级数的审敛法
2. 掌握幂级数的敛散性判断及收敛半径
3. 掌握泰勒级数与洛朗级数的展开（大题）
第五章留数及其应用
1. 函数的零点与极点及其判断
2. 留数及留数定理(大题)
3. 留数在定积分计算中的应用，掌握教材中的1, 2, 3三种类型。
(大题)
第六章拉普拉斯变换
1. 拉普拉斯变换的概念
2. 拉普拉斯变换的性质
3. 卷积，拉普拉斯逆变换
4. 拉普拉斯变换的应用（大题，求解微分方程）
第七章矢量分析
1. 矢量的微分与积分
2. 矢量的标量积、矢量积以及混和积
第八章场论
1. 方向导数与梯度（大题）
2. 通量与散度（散度定理）（大题）
3. 环量与旋度（斯托克斯定理）（大题）
4. 有势场与调和场。
复变函数复习(主要知识点)
• Ch6. 留数及应用
1.留数的定义及计算 2.利用留数定理计算复积分 3.利用 点的留数计算复积分 4. 利用留数计算实积分
部分实例
1. ez
|z|3
(
z
i)2
(
z
dz 1)
2. z |z|3(z1)12(z2)(z4)dz
3. I
dx
0 (4 x2)2
4.
I xsin xdx 0 x2 1
• Ch3. 复积分
1. 利用参数方程计算积分：
b
Cf(z)dzaf(z(t))z'(t)dt (C :zz(t),t:a b )
2. Cauchy积分定理、推广的Cauchy积分定理（复 合闭路定理）、Cauchy积分公式、高阶导数公 式
3. 利用原函数计算复积分 4. 调和函数及相关计算
部分实例
• Ch4. 幂级数
1.复数项级数的敛散性（绝对收敛、条件收敛） 2.幂级数收敛半径的计算 3.解析函数的Taylor展开 4. 三大定理
• Ch5. 洛朗级数与孤立奇点
1. 解析函数在圆环域内展开为洛朗级数 2.孤立奇点的定义、分类及判断
部分实例
1.
f(z)1在 1 |z 1 | 内 展 开 为 洛 朗 级 数 z(z 1 )
复数复数的表示复数的模辐角和辐角主值区域与曲线相关概念复变函数概念2复数的化简复数的四则运算2
主要知识点
• Ch1. 复数与复变函数
1. 复数、复数的表示、复数的模辐角和辐角主值、 区域与曲线相关概念、复变函数概念 2. 复数的化简、复数的四则运算、复数的乘方与 开方 Nhomakorabea 部分实例
1. ，求 z 2 2 3i 3 4i
复变函数-期末考试-复习总结提示
'( z0
)
0
，则
Re
s[
f
( z ),
z0
]
p(z0 ) Q '(z0 )
。
计算规则，Re s[
f
(z), z0 ]
1 lim
(m 1)! zz0
d m1 dz m 1
{( z
z0 )m
f
(z)} ，m
可以高于
级数
2ez
e.g.:
Re s
z4
,0 ?
方程决定的曲线如何分析？例如 Re(z2 ) 1
不等式决定的平面区域如何给出？
f (z) 4x2 4 y2 2 e x sin y 8xyi ie x cos y 5i 是否解析，导数如何计算
？用的是哪个定理？
已知 u( x, y) e y sin x 2x 1，找 v( x, y) 使 f (z) u( x, y) i·v( x, y) 成为解析
dz
z 1 z(z 3)
柯西积分定理转化为 2i
z3
z0
ez i
dz
z z 1 5
12
高阶导数公式，注意分子求导比较容易
1
dz
z 4 z sin z
函数有一个 2 级极点 z 0 和两个 1 级极点 z 和 z
证明化为 C z z0 dz 使用柯
西积分公式，注意 5 在路径围成的区域之外。
3z 2
dz 0
z 3 z(z 1)2
留数定理，一个一级极点，一个二级极点
z sin z
z 1 z6 dz 转化成留数，展开得到 c1
复变函数复习资料
复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。
二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。
根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。
三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。
泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。
而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。
四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。
复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。
复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。
五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。
复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。
总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。
复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。
复变函数期末考试复习重点
复变函数期末考试复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；（当z 落于一、四象限时，不变。
）当0,x = 0,arg 20,arg 2y z y z ππ⎧>=+⎪⎪⎨⎪<=-⎪⎩（z 为纯虚数，落于虚轴） 当0,arg arctan (0,0,arg arctan (yy z xx yy z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩第二象限)第四象限)；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
3.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. z x iy =- 共轭复数的性质：教材P3(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()1122111121212122122222222222222222x iy x iy z x iy z z x x y y y x y x i z x iy z z x iy x iy x y x y +-++-====+++-++。
复变函数复习考试提纲
• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的 办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章 复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复 数的四则运算。
• 欧拉公式 由此可得 以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理 设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章 复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]
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第一章 复数与复变函数
1，复数的模、辐角及主值
辐角：ArgZ=argZ+2k π k=0、±1、±2…
主值： x y arctan
当x>0,R y ∈（第一、四象限） 2
π 当x=0,y>0 （正虚部） argz= π+x
y arctan 当x<0，y>0 （第二象限） π-x
y arctan 当x<0，y<0（第三象限） 2
π- 当x=0，y<0时 2，复数方程所表示的曲线
①1052=+++Z Z 的距离到表示11Z Z Z Z -
解：由题知，动点到定点的距离为10，所以，该方程表示的曲线为椭圆
②11+=-Z Z
解：由题知，方程所表示的曲线为Y 轴
3,21Z Z = −→−
否 1Z Z =
↓
21Z Z = 4，复变函数：i y x v y x u z f ),(),()(+=
分别连续、连续),(),()(y x v y x u z f ⇔
5，复平面三点共线：3
121z z z z --实数= 第二章 解析函数
点的导数在0)(z z f y =z
z f z z f z f z ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000' 点的某邻域内可微
在点解析在00)()(z z f z z f ⇔ 1，点解析在可微点连续在否
否00)()()(z z f z f z z f −−
←−−←−→−−→− 2，可微在点满足柯西黎曼方程在否00)()(z z f z z f −→−−−←
3，Rez （实部）、Imz （虚部）、Z 、Z 不解析
4，可能不解析解析，)()(z f z f
5，在区域D 内，
内解析在的共轭调和函数，则是D i y x v y x u z f y x u y x v ),(),()(),(),(+=
6，i e e z iz iz 2sin --=，2
cos iz
iz e e z --=是周期函数，π2=T z e 为周期函数，i T π2= 7，z e ∞→z lim 、z z sin lim ∞→、z z cos lim ∞
→ 不存在 8，z sin 、cosz 在复平面上（或Z 平面上）无界 i
e e i e e zi i i i i 22sin 2
2)2(2-=-=--∙∙ 9，)2(arg ln ln πk z i z z W ++== k=0、±1、±2… eg:πππππ)12()2(1ln )2(1ln )1ln(+=++=++-=-k i k k i
10，会解一些方程 eg:01=-z e 求z
解：由题知1=z e 两边同时取对数 得i k z π21ln ==
11，判断函数的可微性与解析性
①，y ix xy z f 22)(+= ②，22)(iy x z f +=
解：2),(xy y x u = y x y x v 2),(= 解：2),(x y x u = 2),(y y x v = 2y u x =xy u y 2= xy v x 2= 2x v y = x u x 2= 0=y u 0=x v y v y 2= 根据C-R 方程，y x v u = x y v u -= 根据C-R 方程，y x v u = x y v u -=
即22y x = xy xy 22-= ∴0=x ，0=y 即y x 22= 00= ∴y x = ∴)(z f 仅在原点可微，无解析点 ∴)(z f 在直线0=-y x 上可微不解析
12，设5z W =，确定在从原点0=z 起与正实轴割破了的Z 平面上，并且1)1(-=-W ，试求)(i W -的值
解：设θi re z =，则5255π
k i i e r re W +==θθ k=0、±1、±2…
C z ∈，π2
arg 0≤≤z 当1-=z 时，1=r ，π=θ
由211)1(525=⇒-==-+k e W k i ππ
当i z -=时，1=r ，π2
3=θ i k i e e i W 10522
351)(ππ
π-==-+ 教材P93 第22题
第三章 复积分
1，计算积分dz ix y x ⎰+-c
2)(，积分路径C 是0到i +1的直线段 解：找出C 的方程：C 的参数方程t i t z )1()(+= 10≤≤t
故⎰⎰⎰+=++-=+-1
02102c 2)1()1()()(dt t i i dt i it t t dz ix y x )1(313
)1(102
i t i +-=+-= eg:①i i z zdz i
i 22
32)2(2220220+=+==++⎰ ②i z zdz i i
sin sin cos 00==⎰
2，柯西积分定理
设)(z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则⎰=c
dz z f 0)( eg:①0sin 1
=⎰=z zdz ②012722=+-⎰=dz z z e z z
3，柯西积分公式
)(2)(a if dz a z z f c π=-⎰ a 为区域C 内的一点 高阶导数公式⎰∙=-+c n n i n z f dz a z z f π2!
)()()()(1 eg:①⎰=++1252z z z dz
解：i z z z z 2104)1(5222±-=⇒=++=++ ∴5=z >1 在1=z 外
∴ ⎰=++125
2z z z dz 0= ②0sin 2sin 2==⎰=θπdz z
z z ③0)(cos !22)2(cos 2''23==-==⎰πππz z z i dz z z
④i z z I z z z dz z z z z z z 49219)1)(9(12
2222
222ππ=-=--=--===⎰⎰ ⑤2sin 212sin 212cos 00i z dz z i
i ==⎰ ⑥3
20)3()2(2020232=+=+⎰z z dz z z 4，调和函数
证明：22),(y x y x u -=为z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，结合条件0)0(=f
解：x u x 2=，y u y 2-=，2=xx u ，2-=yy u
0=+yy xx u u ),(y x u ∴为Z 平面上的调和函数
i y x v y x u z f ),(),()(+= y v x u ∂∂=∂∂ x
v y u ∂∂-=∂∂ ⎰⎰+=+=+=)(2)(2)(),(y xy y ydx y dx v y x v x ϕϕϕ
0)(2)(2''=⇒==+=y x u y x v x y ϕϕ 即c y =)('ϕ c xy y x v +=∴2),(
)2()(22c xy i y x z f ++-=∴ 令0=y 则ic x x f +=2)( ic z z f +=∴2)(
由00)0(=⇒=c f 2)(z z f =∴ 教材P143 第16题①②
第四章 解析函数的幂级数表示法
1，收敛半径
①，∑∞
=13n n
n z 的收敛半径 R=1
31n C n = 1lim 1==+∞→n
n n C C L 11==∴L R ②，∑∞=0n n
n
z 的收敛半径是 R=1
③，∑∞
=-02)!2()1(n n
n n z 的和函数的收敛半径 R=+∞
0)!2()1())!1(2()1(lim 1=-+-=+∞→n n L n
n n +∞==∴L
R 1 常用级数 ① +++=!
212z z e z +∞<z ②∑∞=-=02)!2()1(cos n n
n n z z +∞<z ③∑∞
=++-=0
1
2)!12()1(sin n n n n z z
+∞<z ④ ++-=+32)1ln(22z z z z 1<z。