复变函数复习s
复变函数总复习资料
性质: (1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
(2) Ln z1 z2
（3）Lnzn
Lnz1 nLnz
Lnz2 Ln n
, z
1
Lnz
n
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支
处处连续, 处处可导, 且 (ln z) 1 , (Lnz) 1 .
z
z 15
3.乘幂与幂函数：ab、zb
乘幂 ab ebLna.
由于 Lna ln a i(arg a 2k ) 是多值的, 因而ab 也是多值的.
(1) b 为整数:
a e e e e b
bLna
b[ln a i(arga2k )]
b(ln a iarga)2kbi
ez的性质：
1. f (z) ez 0
2. ez ez 处处解析
3. 满足加法定理：ez1ez2 ez1z2
4. 周期性：周期为 2k i
14
2.对数函数：Ln z ln z iArg z ln z i arg z i2k
多值！
主值： ln z ln z i arg z arg z 分支： Ln z ln z 2k i k 1, 2
3、 复数运算
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
加法、减法： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
乘法: 除法:
z1z2 (x1 i y1)(x2 i y2ห้องสมุดไป่ตู้)
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z
各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的: (zb ) bzb1.
《复变函数》复习资料
《复变函数》 复习资料1一、判断题1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）2.3.4.5.6.7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。
（ ）8.9.10.二、解答题1.设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项）.2.利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数).3.利用留数定理计算实积分θθθπd ⎰-20cos 452cos 4.三、解答与证明题1.如果在1z <内，函数()f z 解析，且1()1f z z≤-，求()(0)n f 的最优估计值. 2．（1）函数211x +当x 为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式： -+-=+422111x x x却只当1<x 时成立，试说明其原因； （2）利用惟一性定理证明：210(1)sin ,(21)!n n n z z n ++∞=-=+∑1z <. 3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C,在C 上()1z ϕ<试证 在C内部2()3z z z ϕ=+只有一个根0z .4. 设D 为单连通区域，()f z 在D 内解析，C 在D 内一条周线，0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭⎰，则在D 内恒有()f z 1ic =+，其中c 为实常数.答案一、1-5 FFTTF 6-10 TFFTF二、解答题1、设)1()(2z z e z f z+=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项） 解：)1()(2z z e z f z+=211z e z z=+ =21(1)2!3!z z z ++++（2421(1)n n z z z -+-+-+）=215126z z z +--+（1||0<<z ）.2、利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数)解：因为 ||1a <，||1b <且a b ≠ 所以1||1()()n n z dzI z a z a ==--⎰=2i π[Re ()z a s f z =+Re ()z bs f z =] =12121(1)...(22)112(1)()0(1)!()()n n n n n n i n b a a b π---⎡⎤---+=⎢⎥---⎣⎦设2I =21az z e dz =⎰，因为在单位圆周1z =内2az e 只有一个本质奇点0z =，在该点的去心领域内有洛朗展式：2az e =22412!a az z+++所以2Re 0az z s e ==，故20I =，因此原积分值为零。
复变函数复习
1 知识要点
1.1 复平面上的复变函数
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复数的 四则运算。 • 欧拉公式 eiθ = cos θ + i sin θ 由此可得 cos θ = 以及 ei2kπ ≡ 1, • 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义 z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . . y . y . r . θ . . O . x . x . z . k 为整数 eiθ + e−iθ , 2 eiθ − e−iθ 2i
z →z0
• 留数计算法则3
设 f (z ) = φ(z ) ψ (z )
其中φ(z )及ψ (z )都在z0 点解析，z0 为ψ (z )的一级零点，则 Res(f, z0 ) = φ(z0 ) ψ ′ (z0 )
5
• 留数计算法则4
若z0 是f (z )的m级极点，则 Res(f, z0 ) = 1 dm−1 m lim [(z − z0 ) f (z )] (m − 1)! z→z0 dz m−1
• 若R(cos θ, sin θ)是cos θ和sin θ的有理函数，在0 ≤ θ ≤ 2π 上连续，则定积分 ∫ 2π I= R(cos θ, sin θ)dθ
0
可在作积分变换z = eiθ 后，化为围道积分。 ∫ 2π ∮ I= R(cos θ, sin θ)dθ =
0 |z |=1
f (z )dz = 2πi
C C C C
0 ≤ θ ≤ 2π
计算办法：先求出积分曲线的参数方程，设为z = z (t)，α ≤ t ≤ β ，则 ∫ ∫ β f [z (t)]z ′ (t)dt f (z )dz =
复变函数复习资料
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()Arg z =()arg z +2k π3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
复变函数复习(主要知识点)
• Ch6. 留数及应用
1.留数的定义及计算 2.利用留数定理计算复积分 3.利用 点的留数计算复积分 4. 利用留数计算实积分
部分实例
1. ez
|z|3
(
z
i)2
(
z
dz 1)
2. z |z|3(z1)12(z2)(z4)dz
3. I
dx
0 (4 x2)2
4.
I xsin xdx 0 x2 1
• Ch3. 复积分
1. 利用参数方程计算积分：
b
Cf(z)dzaf(z(t))z'(t)dt (C :zz(t),t:a b )
2. Cauchy积分定理、推广的Cauchy积分定理（复 合闭路定理）、Cauchy积分公式、高阶导数公 式
3. 利用原函数计算复积分 4. 调和函数及相关计算
部分实例
• Ch4. 幂级数
1.复数项级数的敛散性（绝对收敛、条件收敛） 2.幂级数收敛半径的计算 3.解析函数的Taylor展开 4. 三大定理
• Ch5. 洛朗级数与孤立奇点
1. 解析函数在圆环域内展开为洛朗级数 2.孤立奇点的定义、分类及判断
部分实例
1.
f(z)1在 1 |z 1 | 内 展 开 为 洛 朗 级 数 z(z 1 )
复数复数的表示复数的模辐角和辐角主值区域与曲线相关概念复变函数概念2复数的化简复数的四则运算2
主要知识点
• Ch1. 复数与复变函数
1. 复数、复数的表示、复数的模辐角和辐角主值、 区域与曲线相关概念、复变函数概念 2. 复数的化简、复数的四则运算、复数的乘方与 开方 Nhomakorabea 部分实例
1. ，求 z 2 2 3i 3 4i
复变函数总复习资料
总结词
导数与微分在解决实际问题中具有广泛的应 用。
详细描述
导数与微分的应用包括求函数的极值、判断 函数的单调性、求函数的拐点、近似计算等 。这些应用在物理学、工程学、经济学等领 域都有广泛的应用，如波动方程、热传导方 程、弹性力学等领域的研究都需要用到复变
函数的导数与微分。
04
复变函数的积分
积分的定义与性质
解析性是实变函数的导数的定义基础，因此解析性在实变函数中有 着广泛的应用。
在复变函数中的应用
解析性是复变函数的导数的定义基础，因此解析性在复变函数中有 着广泛的应用。
在物理中的应用
解析性在物理中也有着广泛的应用，例如在电磁学、光学等领域中， 解析性可以帮助我们更好地理解物理现象。
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总结词
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛应用。
详细描述
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在电路分析中，电压和电流可以用复数表示，方便计 算；在信号处理中，复数可以用于表示和处理信号；在量子力学中，波函数通常用复数表示。此外，许多数学问 题也可以通过复数和复变函数得
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等 性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函 数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、 可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、 微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
幂级数的概念与性质
定义
幂级数是无穷多个形如$a_n x^n$的项按照一定的顺 序排列的数列，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
性质
收敛半径，幂级数的展开式，幂级数的加减乘除等。
复变函数复习要点
复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。
5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。
第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算（即直接利用这些函数的结构表示来计算）；8、熟练幅角连续改变量的计算公式；熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求终值的公式，并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值；P z是多项式）的单值化方法（包括支点的确定方法，支割线的作法），9、()以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。
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06
复变函数的积分方程与 微分方程
积分方程的概念与解法
概念
复变函数积分方程是描述函数在某个路 径上的积分值的等式。
VS
解法
通过适当的变换和代数运算，将积分方程 转化为更易于解决的形式，如转化为微分 方程或代数方程。
微分方程的概念与解法
要点一
概念
复变函数微分方程是描述函数及其导数之间关系的等式。
解析函数的积分表
示
解析函数在复平面上的积分可以 用实部和虚部来表示，也可以用 极坐标形式表示。
柯西积分公式
01
柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式，它可 以用来计算复变函数沿着曲线的积分。
02
柯西积分公式由三个部分组成：被积函数、被积函 数的导数和被积函数的二阶导数。
03
柯西积分公式的应用范围很广，可以用于解决很多 复变函数的问题。
三角形式
复数可以表示为三角形式 r(cosθ + i sinθ)，其中 r 是模长，θ 是辐角。
三角函数的定义
cosθ = x/r, sinθ = y/r，其中 x 和 y 是复数的实部和虚部。
复变函数的概念
定义域
函数自变量 x 的取值范围。
可微性
函数在定义域内每一点都可微分。
值域
函数因变量 y 的取值范围。
要点二
解法
通过求解微分方程，可以得到函数的表达式或找到函数的 特定性质。
解析函数的应用
解析函数的定义
如果一个复变函数在某个区域内的导数存在 且连续，则称该函数在该区域内解析。
应用
解析函数在复变函数理论中具有重要地位， 它们具有许多良好的性质，如柯西定理、泰 勒级数展开等。这些性质在解决各种数学问 题中具有广泛的应用，如求解积分方程、微 分方程等。
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ez
zn
1 z z2 z3 ,
|z| .
n0 n!
2! 3!
5
主要内容
复 二、将函数展开为洛朗级数
变 函
注意
无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，
数
都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定
与
积
的展开区域 )分为若干个解析环。
分 变 比如 设函数的奇点为 z1, z2 , z3 ,
8
主要内容
复 三、利用留数计算闭路积分
变 函 2. 计算闭路积分
数
与
积
分
变
换
复
习
其中，Res[
f
(z),
]
- Res[
f(
1 z
)
1 z2
,
0].
9
主要内容
复 四、计算定积分
变
函 数
1. I
2π
R(cos , sin )d
0
与 要求 R(u, v) 是 u, v 的有理函数。
保形映射：(1) 求象区域； (2) 构造保形映射。
Fourier 变换的概念, δ函数，卷积。
利用 Laplace 变换求解常微分方程(组) 。 2
主要内容
复 一、构造解析函数
变 函
问题
已知实部 u，求虚部 v (或者已知虚部 v，求实部 u )，
数 与
使 f (z) u( x, y) i v( x, y) 解析，且满足指定的条件。
主要内容
复 四、计算定积分
变
函
3. I
P( x) eiaxd x
(a 0)
数
- Q( x)
与 积
要求
(1) P (x) , Q(x) 为多项式，
分
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 ,
变
换
(3) 分母 Q(x) 无实零点。
复
习 方法 设 R(z) P(z) , Q(z)
则 I
P( x) eiaxd x 2π i
- Q( zk ].
其中， zk 是 R(z) 在上半平面内的孤立奇点。 12
主要内容
复 四、计算定积分
变
函
3. I
P( x) eiaxd x
(a 0)
数
- Q( x)
与 积
分
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高二次 ,
变
换
(3) 分母 Q(x) 无实零点。
复 习 方法 设 R(z) P(z) ,
Q(z)
则 I
P(x) d x 2πi - Q( x)
k
Res[ R(z), zk ].
其中， zk 是 R(z) 在上半平面内的孤立奇点。 11
换 复
展开点为 z0 , 则复平面
习
被分为四个解析环：
z1 r2 r1 z2 z0 r3
z3
6
主要内容
复 三、利用留数计算闭路积分
变 函 1. 计算留数
数 与
法则
若 z0为 f (z) 的 m 级极点，则
积
分
变
换 复
特别，若 f (z)
P(z) , Q(z)
Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0, P(z0 ) 0,
4
主要内容
复 二、将函数展开为洛朗级数
变 函 1. 直接展开法 (略)
数 与
2. 间接展开法
积
根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、
分
变
代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。
换
复
两个重要的已知展开式
习
1
zn 1 z z2 z3 ,
|z| 1.
1 - z n0
习
则
Res[ f (z) ,
z0]
P(z0 ) Q(z0 )
.
法则 若 z0为 f (z) 的可去奇点，则 Res[ f (z), z0 ] 0.
若 z0为 f (z) 的本性奇点，则在 z0的邻域内展开为洛朗级数。 7
主要内容
复 三、利用留数计算闭路积分
变 函 2. 计算闭路积分 数 与 积 分 变 换 复 习 注意 只需计算积分曲线 C 所围成的有限区域内奇点的留数。
考试安排
复
考试安排
变
函 一、考试时间: 2010 年 11 月 29 日 晚上 7:00 ~ 9:30
数 与
考试地点: (略)
积
分 变
二、答疑时间:
2010 年 11 月 26 日 上午 下午 晚上
换
27 日 上午 下午 晚上
复
习
28 日 上午 下午 晚上
29 日 上午 下午 晚上
答疑地点: 科技楼南楼 813 室 计算数学系
要求
(1) P (x) , Q(x) 为多项式，
分
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 ,
dz iz
f (z)dz
| z| 1
2πi Res[ f (z), zk ].
k
其中， zk 是 f (z) 在 | z | 1内的孤立奇点。 10
主要内容
复 四、计算定积分
变
函
2. I
P(x) d x
数
- Q( x)
与 积
要求
(1) P (x) , Q(x) 为多项式，
积 分
方法
(1) 令 z ei ,
则 d z iei d i z d
变 换
cos z z-1 z2 1 , sin z - z-1 z2 - 1 ,
复
2
2z
2i
2i z
习
(2) I
|z| 1 R
z2 1 2z
,
z2 -1 2i z
1
主要内容
复
主要内容
变
函 复数的几种表示及运算；区域，曲线；初等复变函数。
数 与 Cauchy - Riemann 方程：(1) 判断可导与解析，求导数；
积 分
(2) 构造解析函数。
变 Cauchy 积分公式，Cauchy 积分定理，高阶导数公式。 换
复 Laurent 展式。
习
留数：(1) 计算闭路积分； (2) 计算定积分。
积 分 注意 必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。
变
换 方法 偏积分法 复
习
全微分法 (略)
3
主要内容
复 一、构造解析函数
变 函
方法
偏积分法 ( 仅考虑已知实部 u 的情形 )
数 与 积 分 变 换
(1) 由u及C-R方程 得到待定函数 v 的两个偏导数：
v y
u x
,
v x
- u . y
(A) (B )
复 习
(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：
v( x,
y)
v y
dy
u x
dy
v~( x,
y)
c ( x),
(C )
其中，v~( x, y)已知，而 ( x) 待定。
(3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数 ( x).