高考导数压轴题型归类总结
导数压轴题型归类总结
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1）
二、交点与根的分布 （23）
三、不等式证明 （31）
（一）作差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 （51）
（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离常数
（三）恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 （70）
六、导数应用题 （84）
七、导数结合三角函数 （85）
书中常用结论
⑴sin,(0,)xxx，变形即为sin1xx，其几何意义为sin,(0,)yxx上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵1xex
⑶ln(1)xx
⑷ln,0xxxex.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数axxf2)(.
（1）当1a时，求函数)()(xxfxg在区间]1,0[上的最小值；
（2）当0a时，曲线)(xfy在点)))((,(111axxfxP处的切线为l，l与x轴交于点)0,(2xA求证：axx21.
解：(1)1a时，xxxg3)(，由013)(2xxg，解得33x.
)(xg的变化情况如下表：
0 1
- 0 +
0 ↘ 极小值 ↗ 0
所以当33x时，)(xg有最小值932)33(g. (2)证明：曲线)(xfy在点)2,(211axxP处的切线斜率112)(xxfk
曲线)(xfy在点P处的切线方程为)(2)2(1121xxxaxy.
令0y，得12122xaxx，∴12111211222xxaxxaxxx
∵ax1，∴02121xxa，即12xx.
又∵1122xax，∴axaxxaxxaxx11111212222222
所以axx21.
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR
⑴当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；
⑵当23a时，求函数()fx的单调区间与极值.
解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴.3)1(')2()(')(022efexxxfexxfaxx，故，时，当
⑵.42)2()('22xeaaxaxxf
以下分两种情况讨论：
①a若＞32，则a2＜2a.当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
②a若＜32，则a2＞2a，当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
3. 已知函数221()2,()3ln.2fxxaxgxaxb
⑴设两曲线()()yfxygx与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a，试建立b
关于a的函数关系式，并求b的最大值；
⑵若[0,2],()()()(2)bhxfxgxabx在(0,4)上为单调函数，求a的取值范围。
4. （最值，按区间端点讨论）
已知函数f(x)=lnx－ax.
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a的值.
解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝1x＋2ax＝2xax.
∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x)＝2xax，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝32，∴a＝－32 (舍去).
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1－ae＝32，∴a＝－2e(舍去).
③若－e
当1
当－a0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32⇒a＝－e.
综上可知：a＝－e.
5. （最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2xaxxxf，其中aR.
（Ⅰ）若2x是)(xf的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求)(xf的单调区间；
（Ⅲ）若)(xf在[0,)上的最大值是0，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）(1)(),(1,)1xaaxfxxx.
依题意，令(2)0f，解得 13a. 经检验，13a时，符合题意.
（Ⅱ）解：① 当0a时，()1xfxx.
故)(xf的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0,1(.
② 当0a时，令()0fx，得10x，或211xa.
当10a时，()fx与()fx的情况如下：
↘ ↗ ↘
所以，()fx的单调增区间是1(0,1)a；单调减区间是)0,1(和1(1,)a.
当1a时，)(xf的单调减区间是),1(.
当1a时，210x，()fx与()fx的情况如下：
↘ ↗
↘
所以，()fx的单调增区间是1(1,0)a；单调减区间是1(1,1)a和(0,).
③ 当0a时，)(xf的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0,1(.
综上，当0a时，)(xf的增区间是(0,)，减区间是)0,1(；
当10a时，()fx的增区间是1(0,1)a，减区间是)0,1(和1(1,)a；
当1a时，)(xf的减区间是),1(；
当1a时，()fx的增区间是1(1,0)a；减区间是1(1,1)a和(0,).
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a时，)(xf在(0,)上单调递增，由0)0(f，知不合题意.
当10a时，)(xf在(0,)的最大值是1(1)fa，
由1(1)(0)0ffa，知不合题意.
当1a时，)(xf在(0,)单调递减，
可得)(xf在[0,)上的最大值是0)0(f，符合题意.
所以，)(xf在[0,)上的最大值是0时，a的取值范围是[1,).
6. （2010北京理数18）
已知函数()fx=ln(1+x)-x+22xx(k≥0).
(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=()fx在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()fx的单调区间.
解：（I）当2k时，2()ln(1)fxxxx，1'()121fxxx
由于(1)ln2f，3'(1)2f，
所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为3ln2(1)2yx
即322ln230xy
（II）(1)'()1xkxkfxx，(1,)x.
当0k时，'()1xfxx.
所以，在区间(1,0)上，'()0fx；在区间(0,)上，'()0fx.
故()fx得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).
当01k时，由(1)'()01xkxkfxx，得10x，210kxk
所以，在区间(1,0)和1(,)kk上，'()0fx；在区间1(0,)kk上，'()0fx
故()fx得单调递增区间是(1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk.
当1k时，2'()1xfxx 故()fx得单调递增区间是(1,).
当1k时，(1)'()01xkxkfxx，得11(1,0)kxk，20x. 所以没在区间1(1,)kk和(0,)上，'()0fx；在区间1(,0)kk上，'()0fx
故()fx得单调递增区间是1(1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk
7. （2010山东文21，单调性）
已知函数1()ln1()afxxaxaRx
⑴当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；
⑵当12a时，讨论()fx的单调性.
解：⑴ln20xy
⑵因为 11ln)(xaaxxxf，
所以 211)('xaaxxf221xaxax，),0(x，
令 ,1)(2axaxxg),,0(x
8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密)
已知函数()ln,().xfxxgxe
⑴若函数φ (x) = f (x)－11xx，求函数φ (x)的单调区间；
⑵设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．
解：（Ⅰ） 1()1xxfxx11lnxxx，22211121xxxxxx．
∵0x且1x，∴0x∴函数()x的单调递增区间为，和11,0．
（Ⅱ）∵1()fxx ，∴001()fxx，
∴ 切线l的方程为0001ln()yxxxx, 即001ln1yxxx, ①
设直线l与曲线()ygx相切于点11(,)xxe，
∵()xgxe，∴101xex，∴10lnxx,∴0ln101()xgxex.
∴直线l也为00011lnyxxxx， 即0000ln11xyxxxx， ②
由①②得 0000ln1ln1xxxx，∴0001ln1xxx．
下证：在区间（1,+）上0x存在且唯一.
由（Ⅰ）可知，()x11lnxxx在区间1,+（）上递增．
又12()ln011eeeee，22222213()ln011eeeeee，
结合零点存在性定理，说明方程()0x必在区间2(,)ee上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x，故结论成立．
9. （最值应用，转换变量）
2023年高考数学二轮复习讲练测专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类(原卷版)
专题16 函数与导数常见经典压轴小题全归类
【命题规律】
1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．
2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．
【核心考点目录】
核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型
核心考点二：函数嵌套问题
核心考点三：函数整数解问题
核心考点四：唯一零点求值问题
核心考点五：等高线问题
核心考点六：分段函数零点问题
核心考点七：函数对称问题
核心考点八：零点嵌套问题
核心考点九：函数零点问题之三变量问题
核心考点十：倍值函数
核心考点十一：函数不动点问题
核心考点十二：函数的旋转问题
核心考点十三：构造函数解不等式
核心考点十四：导数中的距离问题
核心考点十五：导数的同构思想
核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
核心考点十七：三次函数问题
核心考点十八：切线问题
核心考点十九：任意存在性问题
核心考点二十：双参数最值问题
核心考点二十一：切线斜率与割线斜率
核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
核心考点二十四：函数的伸缩变换问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）当1x时，函数()lnbfxaxx取得最大值2，则(2)f（ ）
A．1 B．12 C．12 D．1
2．（2022·全国·统考高考真题）函数cos1sin1fxxxx在区间0,2π的最小值、最大值分别为（ ）
A．ππ22， B．3ππ22， C．ππ222， D．3ππ222，
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数3()1fxxx，则（ ）
A．()fx有两个极值点 B．()fx有三个零点
C．点(0,1)是曲线()yfx的对称中心 D．直线2yx是曲线()yfx的切线
高考数学导数压轴题7大题型的总结
实用标准
文案大全 高考数学导数压轴题7大题型总结
北京八中
高考数学导数压轴题7大题型总结
高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。导数解答题是高考数学必考题目，今天就总结导数7大题型，让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题
01导数单调性、极值、最值的直接应用 实用标准
文案大全
02交点与根的分布 实用标准
文案大全
03不等式证明
（一） 做差证明不等式
实用标准
文案大全 （二） 变形构造函数证明不等式
（三） 替换构造不等式证明不等式
实用标准
文案大全 实用标准
文案大全
04不等式恒成立求字母范围
（一）恒成立之最值的直接应用 实用标准
文案大全
（二）恒成立之分离参数 实用标准
文案大全
（三）恒成立之讨论字母范围
实用标准
文案大全 05函数与导数性质的综合运用
06导数应用题 实用标准
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07导数结合三角函数 实用标准
文案大全
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类
【命题规律】
函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：
（1）含参函数的单调性、极值与最值；
（2）函数的零点问题；
（3）不等式恒成立与存在性问题；
（4）函数不等式的证明．
（5）导数中含三角函数形式的问题
其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．
【核心考点目录】
核心考点一：含参数函数单调性讨论
核心考点二：导数与数列不等式的综合问题
核心考点三：双变量问题
核心考点四：证明不等式
核心考点五：极最值问题
核心考点六：零点问题
核心考点七：不等式恒成立问题
核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
核心考点九：利用导数解决一类整数问题
核心考点十：导数中的同构问题
核心考点十一：洛必达法则
核心考点十二：导数与三角函数结合问题
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知abR，，函数sin,xfxeaxgxbx
(1)求函数yfx在0,0f处的切线方程；
(2)若yfx和ygx有公共点，
（i）当0a时，求b的取值范围；
（ii）求证：22eab．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()eln(1)xfxx．
(1)求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；
(2)设()()gxfx，讨论函数()gx在[0,)上的单调性；
(3)证明：对任意的,(0,)st，有()()()fstfsft．
3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx．
(1)求()fx的单调区间；
(2)已知,abR，曲线()yfx上不同的三点112233,,,,,xfxxfxxfx处的切线都经过点(,)ab．证明：
导数压轴题7大题型归类总结
导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
设 a> 0,函数 g(x)= (aA2 + 14)eAx + 4•若 E 1、E 2 € [0 , 4],使得 |f( E 1) - g( E 2)| v 1 成立, 求a的取值范围.
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高考压轴题！导数的综合应用题型归类及详细解析
高考压轴题！导数的综合应用题型归类及详细解析
导数的综合应用题型归类是高考每年必然考察的主要内容，填空题和选择题都出现过相关的考试试题，小题更是每年高考必考。为了让同学们更好地掌握此类问题解题方法、技巧与思路，轻松拿下相关的试题12分，这里给同学们准备了高考大题类型规范训练。其中包括题组点对点训练和题型模板训练。
题组点对点的训练，就是把高考的相关类型题，结合考点和教材内容知识点进行强化训练，以求迅速掌握此类小题涵盖的知识点和类型题解题思路，从而迅速提升解决此类问题的能力。
易错易混训练就是通过此类大题得训练，强化容易出现错误的知识点，通过训练达到进一步的掌握，同时对容易混淆不清的知识点进行梳理归类。以后再遇到此类问题，就能轻松解决问题。
即将要高考了，小编把最美好的祝愿送给你们——我亲爱的同学们，在这里衷心地预祝同学们在2020年高考中超常发挥考出优异的成绩，金榜题名考上理想大学！
高考导数压轴题型归类总结
导数压轴题型归类总结
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1）
二、交点与根的分布 （23）
三、不等式证明 （31）
（一）作差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 （51）
（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离常数
（三）恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 （70）
六、导数应用题 （84）
七、导数结合三角函数 （85）
书中常用结论
⑴sin,(0,)xxx，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵
⑶
⑷.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.
解：(1)时，，由，解得.
的变化情况如下表：
0 1
- 0 +
0 ↘ 极小值 ↗ 0
所以当时，有最小值.
(2)证明：曲线在点处的切线斜率
曲线在点P处的切线方程为.
令，得，∴
∵，∴，即.
又∵，∴
所以.
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数其中
⑴当时，求曲线处的切线的斜率；
⑵当时，求函数的单调区间与极值.
解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴
⑵
以下分两种情况讨论：
①＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+ 0 — 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
3. 已知函数
⑴设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立 关于的函数关系式，并求的最大值；
⑵若在(0,4)上为单调函数，求的取值范围。
高考数学导数压轴题7大题型总结
高考数学导数压轴题7大题型总结
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高考数学导数压轴题7大题型总结
高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。导数解答题是高考数学必考题目，今天就总结导数7大题型，让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题
01导数单调性、极值、最值的直接应用
02交点与根的分布
03不等式证明
（一） 做差证明不等式
（二） 变形构造函数证明不等式 （三） 替换构造不等式证明不等式
5 / 10 6 / 10 04不等式恒成立求字母范围
（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离参数 （三）恒成立之讨论字母范围
05函数与导数性质的综合运用 9 / 10 06导数应用题
07导数结合三角函数 10 / 10
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高考数学导数压轴题7大题型总结
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高考数学导数压轴题7大题型总结
高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。导数解答题是高考数学必考题目，今天就总结导数7大题型，让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题
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02交点与根的分布
03不等式证明
（一） 做差证明不等式
（二） 变形构造函数证明不等式 （三） 替换构造不等式证明不等式
04不等式恒成立求字母范围
（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
（三）恒成立之讨论字母范围
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07导数结合三角函数
高考数学导数压轴大题7大题型梳理归纳
导数压轴大题7个题型梳理归纳
题型一：含参分类讨论
类型一：主导函数为一次型
例1：已知函数lnfxaxax，且0fx.求a的值
解：1axfxx.当0a时，0fx，即fx在0,上单调递减，所以当01x时，010fxf，与0fx恒成立矛盾.
当0a时，因为10xa时0fx，当1xa时0fx，所以min1fxfa，又因为1ln10faa，所以11a，解得1a
类型二：主导函数为二次型
例2: 已知函数320fxxkxxk.讨论fx在,kk上的单调性.
解：fx的定义域为R，23210fxxkxk，其开口向上，对称轴3kx，且过0,1，故03kkk，明显不能分解因式，得2412k.
（1）当24120k时，即30k时，0fx，所以fx在,kk
上单调递增；
（2）当24120k时，即3k时，令23210fxxkx，解得：
221233,33kkkkxx，因为210,010fkkf，所以两根均在,0k上.
因此，结合fx图像可得：fx在2233,,,33kkkkkk上单调递增，在2233,33kkkk上单调递减. 类型三：主导函数为超越型
例3：已知函数cosxfxexx.求函数fx在区间0,2上的最值.
解：定义域0,2，cossin1xfxexx，令cossin1xhxexx，则cossinsincos2sin.xxhxexxxxex
高考数学导数压轴题7大题型总结汇编
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（二） 变形构造函数证明不等式 学习-----好资料
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（一）恒成立之最值的直接应用
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（二）恒成立之分离参数
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