方差分析培训教材
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《方差分析ANOVA》课件
假设检验
使用统计方法进行假设检验，确定因素对 均值的影响是否显著。
方差分析的应用领域
1 医学研究
2 市场调查
3 生物统计学
方差分析可用于比较 不同治疗方法的疗效， 评估药物的效果。
方差分析可帮助分析 不同广告策略的效果， 确定最佳市场推广方 案。
方差分析可应用于遗 传学研究、环境影响 评估等领域，探究不 同因素对生物现象的 影响。
方差分析中使用假设检验来确定样本均值之 间是否存在显著差异，从而判断因素的影响 程度。
统计软件的应用
方差分析通常使用统计软件进行计算和分析， 如SPSS、R、Python等工具。
单因素方差分析的步骤与示例
1
确定假设
设定原假设和备择假设，明确需要
收集数据
2
比较的样本组与因素。
采集各个样本组的数据，确保样本
方差分析的局限性与注意事项
局限性
方差分析假设样本来自正态分布总体，对离群 值敏感，样本不平衡可能导致结果不准确。
注意事项
在进行方差分析时，需要注意样本的选择、数 据的收集和处理，以及分析结果的有效解释。
总结与要点
1 方差分析
2Байду номын сангаас单因素与多因素
方差分析是一种统计 方法，用于比较多个 样本之间的均值差异。
方差分析的定义
方差分析是一种统计方法，用于比较三个或三个以上样本之间的均值差异。
方差分析的背景
方差分析起源于20世纪初的农学研究，用于比较不同农作物种植方法的效果。
方差分析的基本原理
方差分析基本原理
方差分析基于样本数据的方差和均值之间的 关系，通过计算方差的比值来判断均值是否 存在显著差异。
假设检验
使用统计方法进行假设检验，确定因素对 均值的影响是否显著。
方差分析的应用领域
1 医学研究
2 市场调查
3 生物统计学
方差分析可用于比较 不同治疗方法的疗效， 评估药物的效果。
方差分析可帮助分析 不同广告策略的效果， 确定最佳市场推广方 案。
方差分析可应用于遗 传学研究、环境影响 评估等领域，探究不 同因素对生物现象的 影响。
方差分析中使用假设检验来确定样本均值之 间是否存在显著差异，从而判断因素的影响 程度。
统计软件的应用
方差分析通常使用统计软件进行计算和分析， 如SPSS、R、Python等工具。
单因素方差分析的步骤与示例
1
确定假设
设定原假设和备择假设，明确需要
收集数据
2
比较的样本组与因素。
采集各个样本组的数据，确保样本
方差分析的局限性与注意事项
局限性
方差分析假设样本来自正态分布总体，对离群 值敏感，样本不平衡可能导致结果不准确。
注意事项
在进行方差分析时，需要注意样本的选择、数 据的收集和处理，以及分析结果的有效解释。
总结与要点
1 方差分析
2Байду номын сангаас单因素与多因素
方差分析是一种统计 方法，用于比较多个 样本之间的均值差异。
方差分析的定义
方差分析是一种统计方法，用于比较三个或三个以上样本之间的均值差异。
方差分析的背景
方差分析起源于20世纪初的农学研究，用于比较不同农作物种植方法的效果。
方差分析的基本原理
方差分析基本原理
方差分析基于样本数据的方差和均值之间的 关系，通过计算方差的比值来判断均值是否 存在显著差异。
假设检验
第03章 方差分析ppt课件
观
测
要素效应(treatment effect)：
值
程度不同引起
不
同
的
原
实验误差：实验过程中偶尔性
因
要素的干扰和丈量误差所致。
;
方差分析的根本思想
因
总
试
素
变
验
效
异
误
应
差
;
方差分析的目的
确定各种缘由在总变异中所占的重要程度。
要素效应 实验误差
相差不大，阐明实验处置对目的影 响不大。
相差较大，即要素效应比实验误差 大得多，阐明实验处置影响是很大 的，不可忽视。
检验P值
当 H 0 为真时，F 的值应在1 的周围动摇； 反之，F的值有增大的趋势。 检验p值为 pPH0(Ff)
f 为由观测数据求得的统计量F的观测值。
;
例1
测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5个地域黄鼬冬季针 毛的长度，每个地域随机抽取4个样本，测定的结果如表， 试比较各地域黄鼬针毛长度差别显著性。
2453.16
贵州 22.3 22.5 22.9 23.7 91.4 22.85
2089.64
合计
530.5 26.53
14258.21
〔1〕首先计算出 x ，及 x2 ，并列于表中。
〔2〕计算出离均差平方和与自在度：
SST 18.76
SSA 173.71
;
40
SE SSTSSA S＝186.7-173.71＝12.99
n-1=(a-1)+(n-a)
;
统计性质
▪ 无偏论 估计H 0；成立与否，SSE/(na)总是 2 的一个无 ▪ H 0为真时，SSA/(a1) 为 2 的一个无偏估计。
10方差分析
Minitab分析结果
strength 与 machine 的单值图
20
18
16
14
12
10
8
6
A
B
C
machine
strength 的箱线图
20
18
16
14
12
10
8
6
A
B
C
machine
练习1
某工程师认为反应温度对生产的塑胶产品的强度有影响，所以他为了证 实这一点，进行了实验。他设定了4种不同温度，每种温度测试了3回，总 共12次实验，数据如同下表。请分析并判断工程师的想法是否正确？
1.员工会否影响平均送餐时间？ 2.天气会否影响平均送餐时间？ 3.员工和天气间有否互双影响？
练习
若某工程师需要调查加热温度及加热时间对金属的硬度有无显著影响：
他收集数据如下：
40’ 50’
1200℃
94
91
93 87
1300℃
88
86
91 85
1400℃
80
84
78 85
请您应用Two-Way方差分析进行分析，判断加热温度及加热时间对 金属的硬度有无显著影响，并判断加热温度及加热时间的交互作用 对金属的硬度有无显著影响？
该例中影响Y的因子（输入变量）有几种？ 该因子有几个不同水平？
二元方差分析举例
假设对于送餐时间，除了不同的员工有影响外，天气（晴天，雨天）是另外 一个产生变异（影响送餐时间）的可能原因。
09-5
二元方差分析举例
假设影响送餐时间的原因有两种，员工和天气。
这种同时比较两个因子不同水平各自对Y的影响叫做双因子设 计，例如Y的输入变量(X)有两种：员工和天气。
《方差分析讲义》课件
双因素方差分析
介绍双因素方差分析，该方 法用于比较两个因素对一个 变量的影响，以及它们之间 的交互作用。
单因素方差分析
1 单因素方差分析的基本原理
解释单因素方差分析的基本原理，包括组内变异和组间变异的比较。
2 单因素方差分析中的F检验
介绍单因素方差分析中的F检验，用于判断组间差异是否显著。
3 单因素方差分析的应用举例
提供一些实际应用中的单因素方差分析案例，展示其在不同领域的应用。
双因素方差分析
双因素方差分析的基本原理
解释双因素方差分析的基本原理， 包括主效应和交互作用效应。
双因素方差分析中的交互 作用效应
讨论双因素方差分析中的交互作 用效应，即两个因素共同影响一 个变量。
双因素方差分析的应用举例
给出一些实际应用中的双因素方 差分析案例，展示其在研究中的 重要性。
方差分析在实际应用中的研究方向
展望方差分析在实际应用中的研究方向，如新的数据分析方法和技术。
方差分析的未来发展趋势
讨论方差分析的未来发展趋势，如与其他统计方法的整合和自动化分析工具的应用。
《方差分析讲义》PPT课 件
方差分析讲义是一份用于PPT演示的课件，主要介绍了方差分析的基本概念、 原理、应用以及局限性。
什么是方差分析
方差分析的基本概念
解释方差分析是一种统计方 法，用于比较两个或多个样 本间的差异。
单因素方差分析
介绍单因素方差分析，该方 法用于比较一个因素（组别） 对一个变量的影响。
方差分析的局限性
1
方差分析的局限性与注意事项
2
介绍方差分析的局限性和注意事项，帮
助用户正确解读结果。
3
方差分析的前提条件
方差分析教材
检验方法
因子 A
H0
A1 =A2 =…=Ar B1 =B2 =…=Br
H1
Ar不全相等 Br不全相等
拒绝域
临界值F1-(fA-1)(fe-1) 临界值F1-(fB-1)(fe-1)
统计量
F=MSA/MSe F=MSB/MSe
方差分析 B
LSQ培训教材
B A A1
. . .
二、两因子方差分析数据收集表
LSQ管理自主培训教材
D C M
ANOVA
I
A
LSQ培训教材
一、自我简介
Page: 1
2005年06月 质量工程师证书
2005年10月 6黑带证书
尹红军,QM专员，黑带LEADER，内部顾问 讲师，负责LSQ推动工作，并兼顾持续改进课 经理的工作。 99年7月毕业于四川轻化工学院；01年6月 1日到华映工作；07年1月异动到6sigma课(现 持续改进课)。 期间，先后负责过后中前制程的有关工作， 受过3年的六西格玛培训，参与过4个BB项目并 带领过2个BB项目，获得中国质量协会的“中 级质量工程师证书和六西格玛黑带证书，两度 担任LSQ内部顾问讲师，培训的人时数近2千， 辅导项目近20个GB或BB项目。 现主要著作有《MINITAB(R14)操作》、《 MINITAB(R15)操作》、《MINITAB操作指南》、 《六西格玛管理-M阶段教材》、《六西格玛管 理-A阶段教材》、《六西格玛管理-串讲教材》 、《LSQ管理-项目改善》、《LSQ管理-加强教 材》、《精益理念》、《价值流分析》、《统 计基础》等11本教材。
i=1
r
Ti² T² — – — 。 n i=1 mi
r
LSQ培训教材
二、单因子方差分析步骤
第八讲-方差分析
x2 ij
j 1i 1
xij
N
k
2
SS B n j X j X t
i 1
2
k
j 1
nj
2
( xij)
i 1
nj
k nj
j 1i 1
xij
N
SSW SST SSB
2
nj
x k nj
x n j1 i1
k
2
ij j 1
ij i 1
j
3、确定自由度
df k 1 B
df N k W
二、（单因素）随机区组实验设计
1、模型
处理1
处理2 ……
区组1 被试1 x11 被试1 x21 ……
区组2 被试2 x12 被试2 x22 ……
处理k
被试1 xk1
被试2
xk
2
……… ……… ……
区组a 被试a x1a 被试a x2a ……
……
被试a xka
■注：每个区组内被试分配方式可以是以下 三种
T1
T2
8
39
20
26
12
31
14
45
10
40
T3
T4
17
32
工创问 具造题
21 20
23 28
教 程
丰 富 教
性 思 维
解 决 模
17
25
程教式 程教
20
29
程
T1: T2: T3: T4:CoRT
变异来源 自由度 平方和
处理 误差
总
3
1553.7
16 378.80
19 1932.55
均方
统计培训教材31方差分析
因素效应随机
注意：当 k 大于等于 2 时，还要考虑各因素之间的相互作用 （或交互效应）(Interaction).
方差分析-11
One way ANOVA的概念(1) – 概要
我们要观察的一个 input 变量(因子)有多个样本时, 我们实际上 在实施 单因子实验 (Single Factor Experiment).
方差分析-8
ANOVA — 假设
• 观察值相互独立. • 各水平的数据服从正态分布，即 因子水平 i ~ N(i,i²) • 各水平的方差相同，即 1²= 2²= = r²
方差分析-9
ANOVA — 模型
• 固定效应模型 (ANOVA I)
– 因子水平是指定的 – 相关结论只能对指定的因子水平而言
H0: 数据只描
述一个过程的
10
15
20
Strength
25 自然散布
你认为答案是什么？为什么？
方差分析-17
One ANOVA的概念(5) – 假设
• 此设计的数学模型是：
Yti = μ+τt+εti
其中:
yti=来自处理t的单个响应 μ=总平均值 τt=处理t εti=随机误差
Ho 假设处理项是零
方差分析-19
ANOVA的原理 (1) – 总变动
因子A的水平是I个,各水平的反复数都是m次,则数据矩阵 排列成下面的样子
实验的 反复
因子的水平
A1 A2 A3 A4 A5 A6 … Al x11 x21 x31 x41 x51 x61 … xl1 x12 x22 x32 x42 x52 x62 … xl2 x13 x23 x33 x43 x53 x63 … xl3 x14 x24 x34 x44 x54 x64 … xl4 x15 x25 x35 x45 x55 x65 … xl5 x1m x2m x3m x4m x5m x6m … xlm
注意：当 k 大于等于 2 时，还要考虑各因素之间的相互作用 （或交互效应）(Interaction).
方差分析-11
One way ANOVA的概念(1) – 概要
我们要观察的一个 input 变量(因子)有多个样本时, 我们实际上 在实施 单因子实验 (Single Factor Experiment).
方差分析-8
ANOVA — 假设
• 观察值相互独立. • 各水平的数据服从正态分布，即 因子水平 i ~ N(i,i²) • 各水平的方差相同，即 1²= 2²= = r²
方差分析-9
ANOVA — 模型
• 固定效应模型 (ANOVA I)
– 因子水平是指定的 – 相关结论只能对指定的因子水平而言
H0: 数据只描
述一个过程的
10
15
20
Strength
25 自然散布
你认为答案是什么？为什么？
方差分析-17
One ANOVA的概念(5) – 假设
• 此设计的数学模型是：
Yti = μ+τt+εti
其中:
yti=来自处理t的单个响应 μ=总平均值 τt=处理t εti=随机误差
Ho 假设处理项是零
方差分析-19
ANOVA的原理 (1) – 总变动
因子A的水平是I个,各水平的反复数都是m次,则数据矩阵 排列成下面的样子
实验的 反复
因子的水平
A1 A2 A3 A4 A5 A6 … Al x11 x21 x31 x41 x51 x61 … xl1 x12 x22 x32 x42 x52 x62 … xl2 x13 x23 x33 x43 x53 x63 … xl3 x14 x24 x34 x44 x54 x64 … xl4 x15 x25 x35 x45 x55 x65 … xl5 x1m x2m x3m x4m x5m x6m … xlm
方差分析ppt课件
推断控制变量是否给观测变量带来了显 著影响。
在观测变量总离差平方和中，如果组
间离差平方和所占比例较大，则说明观 测变量的变动主要是由控制变量引起的， 可以由控制变量来解释，控制变量给观 测变量带来了显著影响；反之，如果组 间离差平方和所占比例小，则说明观测 变量的变动不是主要由控制变量引起的， 不可以主要由控制变量来解释，控制变 量的不同水平没有给观测变量带来显著 影响，观测变量值的变动是由随机变量 因素引起的。
不同饲料对牲畜体重增长的效果等， 都可以使用方差分析方法去解决。
方差或叫均方，是标准差的平方，是
表示变异的量。在一个多处理试验中， 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的，有的是处 理不同引起的，叫处理效应或条件变异， 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致，称为实验误差。
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
dfe 5(4 1) 15
st 2
SSt dft
103.94 3
34.65
se2
SSe dfe
109.36 12
9.11
进行F检验：
F st2 34.65 50.15 se2 9.11
F0.05(4,15) 3.06, F0.01(4,15) 4.89, F
x1 x2
ts x1 x2
x1 x2
LSD0.05 t s 0.05 x1x2
LSD0.01
t0.01
s x1 x2
若
x1
x 2 ＞t0.05
s x1
x2
或
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
＞
t0.01
s x1 x2
在观测变量总离差平方和中，如果组
间离差平方和所占比例较大，则说明观 测变量的变动主要是由控制变量引起的， 可以由控制变量来解释，控制变量给观 测变量带来了显著影响；反之，如果组 间离差平方和所占比例小，则说明观测 变量的变动不是主要由控制变量引起的， 不可以主要由控制变量来解释，控制变 量的不同水平没有给观测变量带来显著 影响，观测变量值的变动是由随机变量 因素引起的。
不同饲料对牲畜体重增长的效果等， 都可以使用方差分析方法去解决。
方差或叫均方，是标准差的平方，是
表示变异的量。在一个多处理试验中， 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的，有的是处 理不同引起的，叫处理效应或条件变异， 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致，称为实验误差。
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
dfe 5(4 1) 15
st 2
SSt dft
103.94 3
34.65
se2
SSe dfe
109.36 12
9.11
进行F检验：
F st2 34.65 50.15 se2 9.11
F0.05(4,15) 3.06, F0.01(4,15) 4.89, F
x1 x2
ts x1 x2
x1 x2
LSD0.05 t s 0.05 x1x2
LSD0.01
t0.01
s x1 x2
若
x1
x 2 ＞t0.05
s x1
x2
或
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
＞
t0.01
s x1 x2
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方差来源 平方和 自由度 均方
F比
因素A 0.00105333 2 0.00052661 32.92
误差 0.000192
12 0.000016
总和 0.00124533
14
因 F0.05 (2,12) 3.89 32.92,故在水平0.05下拒绝 H 0 ,认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。
即有
(21)
例4 如上所述，在例1中需检验假设
H0 : 1 2 3 , H1 : 1, 2 , 3 不全相等。 试取 0.05，完成这一假设。
解 现在 s 3, n1 n2 n3 5, n 15,
ST
3 j 1
5 i 1
xi2j
T..2 15
0.963912 (3.8)2 /15 0.00124533
xn1 1
xn2 2
…
xns s
T. 1
T. 2
…
T. s
x.1
x.2
...
x.s
1
2
...
s
我们假定：各个水平Aj (j=1,2,…,s)下的样本x1j , A2j , … , Anj j 来自具有相同方差s2，均值分别为j(j=1,2,…,s)的正态 总体N (j,s2) , j与s2未知。且设不同水平Aj 下的样本之间 相互独立。
(11)
i1
i1
nj
注意到 (xij x. j )2是总体N ( j ,s 2 )的样本方差
i 1
nj
的n j 1倍,故有 (xij x. j )2 / s 2 ~ 2 (n j 1).
i 1
因各xij独立，故（11）式中各平方和独立，由 2
分布的可加性知
S E / s 2
~ 2
试验指标：在试验中要考察的指标称为试验指标。 因素：影响试验指标的条件称为因素。
可控因素： 如，反应温度，原料剂量，浓度。 不可控因素：如，测量误差，气象条件等。 水平：因素所处状态称为因素的水平。 单因素试验：试验中只有一项因素在改变称为单因素 试验。否则就称多因素试验。
例1 设有三台机器，用来生产规模相同的铝合金薄板,
j 1
(1) '
ij ~ N (0,s 2 ), 各 ij 独立
而假设（2）等价假设
H0 ： 1 = 2 = … = s = 0
(2)’
H1 ： 1 , 2 , … , s 不全为零。
这是因为当且仅当1 = 2 = … = s 时, j = ,即 j =0.
三 平方和的分解
引入总平方和
s nj
s2
由此得检验问题（2） 的拒绝域为
F
SA SE
/( s /(n
1) s)
F
(s
1, n
s)
(20)
单因素试验方差分析
总和
ST
自由度 均方 F 比
s-1
SA
SA s 1
F SA SE
n-s
SE
SE ns
n-1
在实际中，可用下面的简便公式计算。
nj
s nj
x
.j
x.k
t / 2 (n
s)
S
E
1 nj
1 nk
.
(22)
例5 求例4中的未知参数s2, j, j(j=1,2,3)的点估计及均值 差的置信度为0.95的置信区间。
sˆ 2 SE /(n s) 0.000016, ˆ1 x1 0.242,
ˆ 2 x2 0.256, ˆ3 x3 0.262, ˆ x 0.253, ˆ1 x1 x 0.011, ˆ2 x2 x 0.003, ˆ3 x3 x 0.009.
(0.242 0.262 0.006) (0.026,0.014),
(0.256 0.262 0.006) (0.012, 0).
例6 设在例2中的四种类型电路的响应时间的总体均 为正态且各总体的方差相同。又设各样本相互独立。试取 水平0.05,检验各个类型电路的响应时间是否有显著差异。
由于 xij ~ N ( j ,s 2), 即有 x ij j ~ N (0,s 2 ), 故xij j可以看成随机误差. 记xij j ij ,则xij可写成
xij j ij , i 1,2, ... , n j ; j 1,2, ... ,s,
ij ~ N (0,s 2 ), 各 ij 独立，
记 T.j xij , j 1,2,..., s,T..
xij
i 1
j1 i1
ST
s nj
xi2j nx 2
j1 i1
s j 1
nj i 1
xi2j
T..2 n
,
S A
s
n j x.2j
j1
nx 2
T s 2 .j
n j1 j
T..2 n
,
SE ST SA.
s
(n j 1) ,
j1
即
S E / s 2 ~ 2 (n s),
(12)
s
这里 n n j .由(12)式还知，SE的自由度为 j 1
n s,且有
E(SE ) (n s)s 2 .
(13)
我们研究S A的统计特性，因S A是s个变量
n j (x. j x（) j 1,2,..., s)的平方和，它们之间仅有
j1 i1
j 1
i 1
s
nj
2 (x. j x)( xij n j x. j ) 0 .
j 1
i 1
于是我们将ST分解成为：
ST SE SA ,
(8)
s nj
其中
SE
( xij x. j ) 2
(9)
j 1 i1
s nj
s
s
SA
(x. j x)2 n j (x. j x)2 n j x.2j nx 2 (10)
取样测量薄板至千分之一厘米，得结果如下表所示；
机器1
机器2
机器3
0.236
0.257
0.258
0.238
0.258
0.264
0.248
0.255
0.259
0.245
0.254
0.267
0.243
0.261
0.262
x = 0.242
x = 0.256
x = 0.262
这里，试验指标是薄板的厚度。机器为因素，不同 的三台机器是这个因素的三个不同的水平。试验的目的是 为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著差异。
五、 未知参数的估计
我们已经知道，不管H0是否为真
sˆ 2 S E
ns
是s 2的无偏估计。又由(14), (7)式知
E(x) ,
1 E(x.j ) n
nj
E(xij ) j ,
i 1
j 1,2,...,s.
故
ˆ x,
ˆ j x. j
分别是，
的无偏估计。
j
又若拒绝H0 ,则效应1, 2 ,..., s不全为零，由于 j j , j 1,2,..., s
(16)
四、假设检验问题的拒绝域
由（15）式知，当H
为真时
0
E( SA ) s 2 ,
s 1
而当H
为真时，
1
n s
2
j1 j j
0,此时
E( SA ) s 1
s2
1 s -1
s j1
n j
2 j
s2
又由（13）式知，
E( SE ) s 2 ,
ns
(17) (18) (19)
即不管H 0是否为真，S E /(n s)都是s 2的偏估计。
二 单因素试验
在例 1 中，我们在因素的每一个水平下进行了独立试
验，其结果是一个随机变量。表中的数据可看成来自三个 不同总体的样本值。将各个总体的均值依次记作1 , 2 , 3,按题意需检验假设
H0 ： 1 = 2 = 3 H1 ： 1 , 2 , 3 不全相等。 现在若假设各总体均为正态变量，且各总体的方差相等，
记
1 n
s
nj j
j 1
(3)
s
其中 n n j , 称为总平均。再引入
j 1
j j , j 1,2, ... ,s,
(4)
此时有 n11
n2 2
... ns s
0,
j称水平A
的效应。
j
利用这些记号，模型（1）可改写成
xij j ij , s
n j j 0, i 1,2,..., n j , j 1,2,..., s .
那么这是一个检验同方差的多个正态总体均值是否相等的
问题。
设因素A有s个水平A1 , A2 , … , As, 在水平Aj (j=1,2, …s) 下，进行了nj (nj2) 次独立试验，得到如下表的结果
表9.4
水平
观察值
A1
A2
…
As
x11
x12
…
x1s
x21
x22
…
x2s
…
…
…
…
样本总和 样本均值 总体均值
知
ˆ j x. j x
是
的无偏估计。
j
当拒绝H0时，常需作出两总体N ( j ,s 2 )和
N (k ,s 2 )的均值差 j
k
j
的估计。可证
k
(x.j x.k ) ( j k ) ~ t(n s).
S
E
1 nj
1 nk
据此，可得均值 j k j k的置信度为1
的置信区间为
ST
(xij x)2