直角三角形中比例线段

21．直角三角形中比例线段
借助相似三角形法，研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论。

如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ，则
1．图中角的关系
∠B=∠DAC ，∠C=∠DAB
2．同一三角形中三边平方关系
AB 2=AD 2＋BD 2，AC 2=AD 2＋CD 2，BC 2=AB 2＋AC 2.
3．三角形之间的关系
△ABD ∽△CAD ∽△CBA ，由此得出的线段之间的关系：
AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC.
例1．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE ⊥CD 于E ，若BE=6，CE=4，则
AD=_______.
解题思路 图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD.
例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，下列结论
（1）CD ·AB=AC ·BC ；
（2）22AC AD BC BD
=； （3）222111AC BC CD +=； （4）AC ＋BC ＞CD ＋AB
其中正确的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解题思路 综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断。

例3．如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=1，∠A=90°，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积。

解题思路 欲求△EFC 的面积，由于EC=
12
，只需求出△EFC 中EC 边上的高，或求出EC 边上的高与EC 的关系。

例4．如图，在等边△ABC 的边BC 上取点D ，使12
BD DC =，作CH ⊥AD 于H ，连结BH ，
求证：∠DBH=∠DAB 。

解题思路 要证∠DBH=∠DAB ，只要证明△ADB ∽△BDH ，作等边△ABC 的高AM ，利用△ADM ∽△CDH 求证。

例5．如图，AB 是Rt △ABC 的斜边，AE 是∠CAB 的平分线，
CD ⊥AB 于D ，交AE 于F ，FM//AB 交CB 于M.
求证：（1）AE AB AF AC =； （2）EB AE MB AF
=； （3）CM=EB.
解题思路
练习一
1．如图，在两个直角三角形中∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，当AB=_______时，这两个直角三角形相似。

2．如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB 于D ，∠A 的平分线AF 交CD 于E ，过E 引EG//AB 交BC
于G ，若BG 的长为_________.
3．如图，ABCD 为矩形，，ABDE 为等腰梯形，BD=20，EA=10，则AB=_________.
4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，则与Rt △CDE 相似的直角三角形有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．如图，矩形ABCD中，BC=3，AE⊥BD于E，则EC等于（）
A B C
6．在△ABC中，AD是高，且AD2=BD·CD，那么∠BAC的度数是（）。

A．小于90° B．等于90° C．大于90° D．不确定
7．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，点E在AB上，DE//CA，CD=12，BD=15，求AE、BE的长.
8．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：AG2=AF·FC.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，D、E、F分别为垂足，求证：CD3=AB·AE·BF.
练习二
1．如图，在Rt△ABC，∠A=90°，AD⊥BC，P为AD的中点，BP交AC于E，EF⊥BC于F，，AE=3，EC=12，则EF=________.
2．如图，在Rt△ABC中，两条直角边AB、AC的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于_________（厘米）.
3．如图，矩形ABCD中，
3
4
AD
AB
=，BD=10，CE⊥BD于E，则S AED=________.
4．如图，EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则AH：AE=________.
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD和CE分别是底边AB上的高和∠C的平分线，若△CED ∽△ABC，则∠ECD等于（）
A．18° B．20° C．22.5° D．30°
6．如图，在△ABC中，D、E分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AE⊥BC，BD=DC=EC=1，则AC=（）
A．． E．
7．如图，在等腰Rt△ABC中，F为AC边的中点，AD⊥BF，求证：BD=2CD.
8．如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP=BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H，求证：DH⊥HQ.
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证：
2
22
AC BC AD BD
=.
10．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，P是AD的中点，连结BP并延长交AC于E，已
知AC ：AB=K ，求AE ：EC 的值。

参考答案
例1
例2．选B 提示：只有结论（4）是错误的。

例3．
124 提示：过F 点作FM ⊥EC 于M ，由Rt △ABE ∽Rt △MEF ，得EM AB MF AE
==2， EM=2MF ，又FM=MC=13EC=16
. 例4．提示：作AM ⊥BC 于M ，由△ADM ∽△CDH 得，AD MD CD HD =，BM=CM ，12
BD CD =， ∴CD=2BD ，DM=12BD ∴122BD AD BD HD =，即AD BD BD HD = 又∠ADB=∠BDH ， ∴△ADB ∽△BHD ，故∠DAB=∠DBH.
例5．证明 （1）由Rt △ABC ∽Rt △ACD ，Rt △ACE ∽Rt △ADF ，得
AB AC AE AC AD AF == （2）∵FM//AB ， ∴EB AE MB AF
=， （3）∵FM//AB ， ∴CM CF MB FD
=， ∵∠1=∠2，∠2＋∠4=90°，∠3＋∠5=90°
而∠4=∠5 ∴∠2=∠3，即∠1=∠3， ∴CF=CE. ∴
CF CE AE FD FD AF
== 由（2）得,AE EB CM EB AF MB MB MB ==， ∴CM=EB.
练习一
1．3或
2
3．10
4．
A
5．D
6．D 提示：分类讨论
7．AE=20，BE=25
8．提示：BF 2=AF ·CE ，只需证明AG=BF
9．提示：AD 2=AE ·AC ，BD 2=BF ·BC ，两式相乘得AD 2·BD 2=AE ·BF ·AC ·BC
练习二
1．6 提示：延长FE 、BA 交于G ，
AP BP PD GE BE EF ==，GE=EF ，△AGE ∽△FCE
2提示：过B 作BE//AD ，交CA 的延长线于E 3．2524
4．5：1
5．C
6．C 提示：由△AFC ∽△EFB ，得AD=DE ，设AD=DE=x ，BF=y ，由
BE BF AC CF = 得111
y y x -=+，又AB 2=BF ·BC=y(y ＋1)即1－x 2=y(y ＋1) 7．提示：过C 作AC 的垂线，交AD 延长线于G ，则BD AB CD CG
=，△ABF ∽△CAG. 8．提示：由Rt △PBH ∽Rt △BCH 及BP=BQ ，得BQ BH BC HC =，从而有HC BH DC BQ =，可推证得△BHQ ∽△CHD.
9．证明 过C 作AD 的垂线，垂足为E ，CE 的延长线交AB 于F ，
则AC 2=AE ·AD
∵∠CAD=∠FAE ，AE ⊥CF ，
∴CE=EF
过E 作EG//BC 交AB 于G ，则BC=2EG ， ∴2222AC AE AD AE EG BC AD AD AD BD BD
==== 10．由Rt △ADC ∽Rt △BDA ∽Rt △BAC ，得
DC AD AC AD BD AB ===k ，令BD=a ，则AD=ka ，DC=k 2a ，从而得DC
BD =k 2，BC BD
=1＋k 2. 如图，延长BE 到F ，使AF//BC ，有△AEF ∽△CEB ， 得AE AF EC BC
=，又由Rt △AFP ≌Rt △DBP ，得AF=BD ， 从而，211AE AF BD EC BC BC k ===+。