小学奥数同余问题
小学奥数—同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要.许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1）当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商（2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1。
余数的加法定理a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.2。
余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
五年级奥数同余问题
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：28812.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？解析：被除数是424，除数是79.3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来的除数。
解析：除数是10.4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.6.求413除以5的余数。
解析：1.7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？解析：5.8. 19992000÷7的余数是多少？解析：0.9.……199200除以9的余数是________;解析：3.10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?解析：711.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313——2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .因数与倍数：两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
同余问题的奥数题
同余问题的奥数题同余问题是一个数学中的问题，它涉及到整数除以某个数后的余数的性质和关系。
具体来说，给定一个整数n和一个正整数m，同余问题就是研究关于a 的同余方程a ≡b (mod m) 的性质和解的情况。
其中，a是被除数，b是余数，"≡"表示同余关系，即a除以m的余数等于b，而mod表示取模运算。
这个问题可以进一步扩展为求解满足特定条件的整数解的数量或者找到所有满足条件的整数解等。
以下是一些常见的同余问题奥数题：1. 一个数除以5的余数是4，除以6的余数是3，除以7的余数是2，求这个数是多少？解答：我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
首先，我们设这个数为x，则有x ≡4 (mod 5)，x ≡3 (mod 6) 和x ≡2 (mod 7)。
根据中国剩余定理，我们有：x = 5 * k1 + 6 * k2 + 7 * k3，其中k1、k2、k3是整数。
由于5、6和7互质，所以可以分别求解得到：k1 = (4 - 2) / 5 = 0k2 = (3 - 0) / 6 = 1/2k3 = (2 - 0) / 7 = 2/7将k1、k2和k3代入x的表达式中，得到x = 5 * 0 + 6 * (1/2) + 7 * (2/7) = 19。
所以这个数是19。
2. 求方程x^2 - y^2 = 1999的所有正整数解。
解答：我们可以使用费马小定理来解决这个问题。
根据费马小定理，如果p 是一个素数且a是模p的一个原根，那么a^(p-1) ≡1 (mod p)。
在本题中，我们考虑模p=n，即要求满足x^2 - y^2 = n的正整数解的数量。
根据费马小定理，有：当n是完全平方数时，若n的质因数分解形式为p^2，且存在整数a使得a^((p-1)/2) ≡±1 (mod p)，则n有一个非平凡的正整数解；当n不是完全平方数时，不存在满足条件的正整数解。
对于本题中的n=1999，它是一个完全平方数，因为1999 = 13 * 153。
小学奥数同余定理单选题100道及答案
小学奥数同余定理单选题100道及答案1. 下列算式中，余数相同的是（）A. 24÷5 35÷6B. 39÷5 27÷4C. 48÷7 45÷6答案：B解析：39÷5 = 7......4，27÷4 = 6......3，余数都是4。
2. 一个数除以8 余5，除以9 余6，这个数最小是（）A. 69B. 72C. 77答案：C解析：这个数加上3 就能被8 和9 整除，8 和9 的最小公倍数是72，所以这个数是72 - 3 = 69。
3. 11÷4 = 2......3，如果被除数和除数都扩大10 倍，那么余数是（）A. 3B. 30C. 0.3答案：B解析：被除数和除数都扩大10 倍，商不变，余数扩大10 倍，3×10 = 30。
4. 有一个数，除以5 余数是2，除以7 余数是3，这个数最小是（）A. 22B. 23C. 27答案：B解析：通过列举，可得23 除以5 余数是2，除以7 余数是3。
5. 47 除以一个数，余数是7，这个数最小是（）A. 8B. 9C. 10答案：B解析：除数要大于余数，所以这个数最小是9。
6. 一个数除以6 余4，除以8 余6，这个数最小是（）A. 22B. 20C. 26答案：A解析：这个数加上2 就能被 6 和8 整除，6 和8 的最小公倍数是24，所以这个数是24 - 2 = 22。
7. 35÷（）= 4......3，括号里应填（）A. 8B. 7C. 9答案：A解析：（35 - 3）÷4 = 8。
8. 下列算式中，余数最大的是（）A. 38÷5B. 47÷8C. 59÷9答案：C解析：38÷5 = 7......3，47÷8 = 5......7，59÷9 = 6......5，5 < 7 < 9。
小学的奥数同余问题
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几最后余数是几分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
六年级奥数同余问题
六年级奥数同余问题
同余问题是奥数中常见的一个数论问题。
在六年级的奥数中，同余问题通常涉及到模运算和同余关系。
下面是一个简单的例子：
例题：求满足以下条件的最小正整数x：x除以7的余数为3，x除以5的余数为2。
解题思路：
根据题目的条件，我们可以设x = 7a + 3，又因为x除以5的余数为2，我们可以得到新的条件x ≡ 2 (mod 5)。
将前一个条件代入后一个条件得到7a + 3 ≡ 2 (mod 5)。
进一步化简得到2a ≡ 4 (mod 5)，然后求解a的值，最后代回原方程解出x。
以上是一个简单的同余问题的求解过程，实际的同余问题可能会更加复杂，需要运用更多的数论知识和技巧来解决。
小学奥数竞赛专题之同余问题
小学奥数竞赛专题之同余问题关于小学奥数竞赛专题之同余问题[专题介绍]：同余问题中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。
因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。
[分析]1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……[经典例题]例1：求437×309×1993被7除的余数。
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同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，
，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7
时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：
2. 同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：
如果
那么（的差一定能被k整除）
这是为什么呢？
k也就是的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？
分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？
分析与解答：
这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，
我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？
则
所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 求下列算式中的余数。
（1）（2）
（3）（4）
2. 6254与37的积除以7，余数是几？
3. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？
同余问题（二）
【例题分析】
例1. 除以7，余数是几？
分析与解答：
例2. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？
分析：假设这个自然数为a
那么
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：
一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，这个自然数若减去2，便同时是3，5，7的倍数，这样的自然数有：
105，210，315，……
分别被3，5，7除余2的数是
2，107，212，317，……
最小的自然数是2。
回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？
稍加变式，可以写成：
这样同时是3，5，7倍数的数有105，210，315，……
那么同时被3，5，7余8的数有：
8，113，218，323，……
其中最小的自然数为8。
例3.在求被7除的余数时，小明这样做：
所以余数是5
刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？
分析与解答：
看了下面的算式，你就会明白的。
小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。
例4. 除以3的余数是几？为什么？
分析与解答：
在上式的加项中，显然可以被3整除，因此只须计算
被3除余数是几。
由于
因此
由此可知，只须计算被3除的余数，它又等于
被3除的余数。
由于，所以
所以余数是1
【模拟试题】
1. 今天是星期日，再过天又是星期几？
2. 求除以3所得的余数。
3. 某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几？
4. 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几？
5. 若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？若每箱装17千克，最后还余多少千克？
6、1309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。
7、1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。
8、求2001×2000除以7的余数。
9、求123×345+234×456除以11的余数。
10、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少？
11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。
12、两个自然数相除，商15，余3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。
8、两数相除商40余7，被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。
13、有一个数除以3余1，除以4余2，问这个数除以12，余数是几？
14、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余4，这个数最小是几？
15、3867×4253＝1644□351，求□里的数。
4937×6845＝3379□765，求□里的数。
16、两个自然数相除，商8余16，被除数、除数、商与余数的和为265，求除数是多少？
17、写出除以8所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。
18、2002×2002-2001除以9的余数是多少？
19、当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1，那么这个数最大是多少？
20、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？
21、有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3 。
这个数除以12，余数是多少。
22、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？
23、有一个数加上22的和被9除余3，这个数加上35的和被9被余几？
B组
24、有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个伤痕的和是20，这个数是多少？
25、有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数。
26、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个每份4个余3个。
这堆苹果共有多少个？
27、有一个数被5和11整除均余4，被3正好整除，这个数最小是几？
28、求被4除余2，被6除余2，被9除余5的两位数。
29、一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余7，这个数最小是几？
30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组元，第二组元，第三组元，第四组元，又知道每本练习本价格都超过1角，求数学学习小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。
）
31、五年级两个班的学生一起排队出操，如果8人排一行，多出一个人；如果11人排一行，同样多出一个人。
这两个班最小共有多少人？（提示：如果减去一人那么人数就能被8和11整除了。
）
32、一个数被4除余3，被5除余4，被6除余5，这样的数中最小的是几？（提示：余数
与除数有什么关系？）
33、一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个；如果按6个一堆放，最后多出4个；如果按7个一堆放，还多出1个；这筐苹果至少有多少个？（提示：先满足被7除余1，再从中找出被6除余4……）
竞赛题精选
1、若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为（）。
（2001小学数学奥林匹克试题决赛B卷）
2、一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，则满足这些条件的最小自然数是（）。
（1996年我爱数学少年冬令营试题）
3、某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是（）。
（1998年小学数学奥林匹克试题预赛A卷）
4、一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是（）。
（1998年小学数学奥林匹克试题预赛B卷）
5、在一道有余数的除法算式中，被除数、除数，商和余数的和是599，已知商是15，余数是12，请问，题目中的除数是多少？（厦门实小2000-2001学年第二学期数学科竞赛卷B 组）。