六年级奥数同余除法题
六年级奥数专题讲义（基础卷+提高卷）-第38讲 同余法解题 通用版（含答案）
第三十八讲同余法解题基础卷1、乘积418×814×1616除以13所得的余数是多少418÷13=32…2，814÷13=62…8，1616÷13=124…4，2×8×4=64，64÷13=4…12；答：乘积418×814×1616除以13所得的余数是12．2、已知2000年的儿童节是星期四，求2021年的儿童节是星期几2000年到2021年由十二年天数为12*3653（04,08,12年为闰年）=4383天4383/7=6261即2021年的5月31日为周四,则周五即为2021年儿童节3、求除以7的余数。
2021=7*28622021³=7*2862³=7m1m为正整数）“2021的2021次方”2021^2021=2021³^668=7m1^668所以2021的2021次方除以7的余数是14、有一个整数，除300，262，205，得到的余数相同，这个整数是多少300-262=38262-205=57这个数可以同时整除38和57这个数为195、有一个整数，用它去除63，91，129得到3个余数的和是25，这个整数是多少也就是说,（6391129）除以这个数的余数是25即：6391129-25=258能够被这个数整除258=2*3*43那么这个数可能是：2、3、43、6、86、129又这个数应小于63,经检验,这个数是436、一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少设这个数为X，因为这个数除以11余8，也就是说，X加上3（11-8）就可以整除11了；同理，X除以13余10，也就是说，X加上3（13-10）就可以整除13了因此，（X3）可以整除11和13的最小公倍数143，即这个数为143的倍数再减3，又因为这个数小于200，所以这个数是143*1-3=140提高卷1、自然数nn〉分别除442，297和210得到相同的余数，这个相同的余数是多少这个相同的余数是7方法同基础卷第42、有一个自然数，用它分别去除63，90，130，都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是几设这个自然数为m，m去除63，90，130所得的余数分别为a，b，c，则63-a，90-b，130-c都是m的倍数．可得：（63-a）（90-b）（130-c）=283-（abc）=283-25=258也是m的倍数．又258=2×3×43．则可能是2或3或6或43；abc=25，故a，b，c中至少有一个要大于8；根据除数必须大于余数，可以确定=43．从而a=20，b=4，c=1．显然，1是三个余数中最小的．故答案为：1．3、号码分别为101，126，173，193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
六年级奥数专题训练-同余问题
六年级奥数专题训练－同余问题1.若a为自然数，证明10│（a 2005－a1949）．2.给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数．3.求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．4.设2n＋1是质数，证明：12，22，…，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．5.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．参考答案：1.提示：对于任何自然数a，a5与a的个位数字相同．2.提示：有两个数的差能被11整除3.1734.分析这道题肯定不可能通过各数被2n＋1除去求余数．那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾．而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理．从而说明假设不成立，因此原来的结论是正确的．证明：假设有两个数a、b，（a≠b，设b<a，且1≢a≢n，1≢b≢n），它们的平方a2，b2被2n＋1除余数相同．那么，由同余定义得a2－b2≡0（mod（2n＋1））．即（a＋b）（a－b）≡0（mod（2n＋1）），由于2n＋1是质数．∴a＋b≡0（mod（2n＋1））或a－b≡0（mod（2n＋1））．由于a＋b，a－b均小于2n＋1且大于零，可知，a＋b与2n＋1互质，a－b也与2n＋1互质．即a＋b与a－b都不能被2n＋1整除．产生矛盾，∴原题得证．说明：这里用到一个重要的事实：如果A·B≡0（modp），p是质数，那么A或B 中至少有一个模p为零．p是质数这一条件不能少，否则不能成立。
例如2·3≡0（mod6），但2、3被6除余数不为0。
5.证明：∵质数中仅有一个偶数2，∴不小于5的质数是奇数．又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类：6n，6n＋1，6n＋2，6n＋3，6n＋4，6n＋5，（n是自然数），其中6n，6n＋2，6n＋4都是偶数，又3│6n＋3．∴不小于5的质数只可能是6n＋1，6n＋5．又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是：6n－1，∴（不小于5的质数）2－1＝（6n±1）2－1＝36n2±12n＝12n（3n±1），这里n与（3n±1）奇偶性不同，其中定有一个偶数，∴2│n（3n±1），∴24│12n（3n±1）．∴结论成立．说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法．-。
小学奥数同余定理单选题100道及答案
小学奥数同余定理单选题100道及答案1. 下列算式中，余数相同的是（）A. 24÷5 35÷6B. 39÷5 27÷4C. 48÷7 45÷6答案：B解析：39÷5 = 7......4，27÷4 = 6......3，余数都是4。
2. 一个数除以8 余5，除以9 余6，这个数最小是（）A. 69B. 72C. 77答案：C解析：这个数加上3 就能被8 和9 整除，8 和9 的最小公倍数是72，所以这个数是72 - 3 = 69。
3. 11÷4 = 2......3，如果被除数和除数都扩大10 倍，那么余数是（）A. 3B. 30C. 0.3答案：B解析：被除数和除数都扩大10 倍，商不变，余数扩大10 倍，3×10 = 30。
4. 有一个数，除以5 余数是2，除以7 余数是3，这个数最小是（）A. 22B. 23C. 27答案：B解析：通过列举，可得23 除以5 余数是2，除以7 余数是3。
5. 47 除以一个数，余数是7，这个数最小是（）A. 8B. 9C. 10答案：B解析：除数要大于余数，所以这个数最小是9。
6. 一个数除以6 余4，除以8 余6，这个数最小是（）A. 22B. 20C. 26答案：A解析：这个数加上2 就能被 6 和8 整除，6 和8 的最小公倍数是24，所以这个数是24 - 2 = 22。
7. 35÷（）= 4......3，括号里应填（）A. 8B. 7C. 9答案：A解析：（35 - 3）÷4 = 8。
8. 下列算式中，余数最大的是（）A. 38÷5B. 47÷8C. 59÷9答案：C解析：38÷5 = 7......3，47÷8 = 5......7，59÷9 = 6......5，5 < 7 < 9。
六年级奥数同余问题
六年级奥数同余问题
同余问题是奥数中常见的一个数论问题。
在六年级的奥数中，同余问题通常涉及到模运算和同余关系。
下面是一个简单的例子：
例题：求满足以下条件的最小正整数x：x除以7的余数为3，x除以5的余数为2。
解题思路：
根据题目的条件，我们可以设x = 7a + 3，又因为x除以5的余数为2，我们可以得到新的条件x ≡ 2 (mod 5)。
将前一个条件代入后一个条件得到7a + 3 ≡ 2 (mod 5)。
进一步化简得到2a ≡ 4 (mod 5)，然后求解a的值，最后代回原方程解出x。
以上是一个简单的同余问题的求解过程，实际的同余问题可能会更加复杂，需要运用更多的数论知识和技巧来解决。
六年级奥数专题训练-同余问题
同余问题1、求437×309×1993被7除的余数。
2、求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．3、分别求满足下列条件的最小自然数（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。
（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。
（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。
4、有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.这个整数是几?5、今天是星期四，过14389天后是星期几？7千克大米，用每袋50千克的袋子装，最后余下多少千克？6.试一试：粮库有717、数2001，2232除以整数n，得到相同的余数，而且这个余数是合数，求n.8、用一个自然数去除715和903所得余数相同，且商相差4.求这个数.9、若2836，4582，5146，6522四个自然数被一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？10、有三个不同的三位数，它们分别除以 a ，得到的余数相同而且是最大二位偶数，当a为两位数时，这三个数最小的和是多少？11、某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？12、希望小学六年级和五年级去春游，每辆车可乘36人.六年级先坐满几车，剩下的16人与五年级坐满一车，五年级又坐满若干车.到达目的地后，每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张，每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组，并使每组的人数尽可能多，以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后，所剩的人数相同，问丁校分组后还剩下几个人？14、试一试：乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多.真巧！剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个？15、计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字，输入一篇有X679Y个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数，求五位数X679Y。
六年级同余问题练习题
六年级同余问题练习题在六年级数学学习中，同余问题是一个重要的概念。
同余可以理解为两个数除以某个数得到的余数相等，即它们在模这个数下是等价的。
同余问题的练习可以帮助学生巩固对同余概念的理解和运用。
本文将为大家提供一些六年级同余问题的练习题。
1. 小明班上有45个学生，他们每次排队时，按照三个一组排队。
请问，排队后剩余几个学生不够组成一组？解：我们可以将小明班上的学生数45除以每组学生数3，得到除数为15，余数为0。
所以小明班排队后不剩余学生。
2. 有一个机器人在一个方格上移动，每次只能向右或向上移动一个格子。
如果机器人从左下角的格子开始移动，向右移动6个格子，向上移动8个格子，最后能到达的格子是哪个？解：我们可以将机器人向右移动6个格子看作是对6取余，向上移动8个格子看作是对8取余。
左下角的格子为(0,0)，那么向右移动6个格子就是(0+6,0)=(6,0)，向上移动8个格子就是(6,0+8)=(6,8)。
所以机器人最后能到达的格子是(6,8)。
3. 有一串数字：435289143764。
请问这串数字中能被3整除的数字有哪些？解：我们可以将这串数字中的每个数字相加，即4+3+5+2+8+9+1+4+3+7+6+4=56。
因为56除以3的余数为2，所以这串数字中没有能被3整除的数字。
4. 某班有32个学生，老师要将他们分成若干个小组。
要求每个小组都有7个学生，并且每个小组的学生之间不能互相交流。
请问老师最少能分成几个小组？解：我们可以将32除以7，得到商为4，余数为4。
所以老师最少能分成4个小组。
其中3个小组有7个学生，1个小组有4个学生。
5. 有一串数字：235892651971。
请问这串数字中能被9整除的数字有哪些？解：我们可以将这串数字中的每个数字相加，即2+3+5+8+9+2+6+5+1+9+7+1=58。
因为58除以9的余数为4，所以这串数字中没有能被9整除的数字。
通过以上练习题，我们可以加深对六年级同余问题的理解和应用。
(完整版)小学奥数同余问题
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
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例4、在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
．
例5、一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
三、中国剩余定理
1.中国古代趣题
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
那么我们可以计算 得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
一、带余除法的定义和性质
例1、两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
例5、设 的各位数字之和为 ， 的各位数字之和为 ， 的各位数字之和为 ， 的各位数字之和为 ，那么 ？
四、中国剩余定理
例1、一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．
例2、一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？
5、 的末三位数是多少？
6、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
课后反击
1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
，其中k是从1开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
例2、 被 除所得的余数是多少？
例3、 除以41的余数是多少？
例4、求所有的质数P，使得 与 也是质数．
例5、甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数 除甲数所得余数是 除乙数所得余数的2倍， 除乙数所得余数是 除丙数所得余数的2倍．求 等于多少？
三、余数综合应用
例1、设 是质数，证明： ， ，…， 被 除所得的余数各不相同．
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
2、求 的最后两位数．
3、试求不大于100，且使 能被11整除的所有自然数n的和．
4、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位12345678910111213 20072008，试求这个多位数除以9的余数．
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由 ，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数 是否可以，很显然70除以3余1
例2、从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？
例3、已知n是正整数，规定 ，令 ，则整数m除以2008的余数为多少
例4、有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。
学科教师辅导讲义
学员编号：
年级：六年级
课时数：3
学员姓名：
辅导科目：奥数
学科教师：
授课主题
第27讲——同余法解题
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、带余除法的定义及性质
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当 时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当 时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
2.核心思想和方法
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:
例2、用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
例3、一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．
二、三大余数定理的应用
例1、一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？