数学物理方法学习心得

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篇一：数学物理方程的感想

数学物理方程的感想

通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。

当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。

后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的

理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程不仅要数学好物理也不能够太差。

接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解

释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式

特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的

数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。

然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发

展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，

20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：

一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程，即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题，由于研究的深入，也必须重新考虑非线性效应。对非线性偏

微分方程研究，难度大得多，然而对线性偏微分方程的已有结果，将提供很多有益的启示。

二、实践中的是由很多因素联合作用和相互影响的。所以其数学模型多是非线性偏微分方程组。如反应扩散方程组，流体力学方程组电磁流体力学方程组，辐射流体方程组等，在数学上称双曲－抛物方程组。

三、数学物理方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式。而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域，甚至在经济等社会科学住房领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程。

四、一个实际模型的数学描述，除了描述过程的方程（或方程）外，还应有定解条件（如初始条件及边值条件）。传

统的描述，这些条件是线性的，逐点表示的。而现在提出的很多定解条件是非线性的，特别是非局部的。对非局部边值问题的研究是一个新的非常有意义的领域。

五、与数学其他分支的关系。例如几何学中提出了很多

重要的非线性偏微分方程，如极小曲面方程，调和映照方程，方程等等。泛函分析、拓扑学及群论等现代工具在偏微分方程的理论研究中被广泛应用，例如空间为研究线性信非线性偏微分方程提供了强有力的框架和工具。广义函数的应用使得经典的线性微分方程理论更系统完善。再就是计算机的广泛应用，计算方法的快速发展，特别是有限元广泛的应用，使得对偏微分方程的研究得以在实践中实现和检验。

接下来举几个例子来更确切的了解数学物理方程。

（一）检验下面两个函数：

u(x,y)?ln

都是方程1u(x,y)?exsiny

uxx?uyy?

的解。

证明：（1）u(x,y)?ln

1ux?(?)?21

(x?y)2322x?2x??2x?y2

x2?y2?x?2xx2?y2

uxx2222(x?y)(x?y2)2

11yuy?(?)??2y??232x?y2

222

因为(x?y)

x2?y2?y?2yy2

u?x2

yy??(x2?y2)2?(x2?y2)2

x2?y2y2?x2

uxx?uyy?(x2?y2)2?(x2?y2)2?0

所以u(x,y)?uxx?uyy?0的解。

（2）u(x,y)?exsiny

因为

ux?siny?ex,uxx?siny?ex

uy?ex?cosy,uyy??ex?siny

所以

uxx?uxx

yy?esiny?esiny?0

u(x,y)?exsiny是方程uxx?uyy?0的解。

（二）求解下述定解问题：

?uxx?uyy?00?x?a,0?y?b??u(0,y),u(a,y)?00?y?b

?

?u(x,0)?g(x),u(x,b)?00?x?a

解：u?u1(x,y)?u2(x,y)

其中u1(x,y)满足

?uxx?uyy?00?x?a,0?y?b?(1)?u(0,y)?0,u(a,y)?00?y? b?u(x,0)?g(x),u(x,b)?00?x?a?

u2(x,y)满足

?uxx?uyy?00?x?a,0?y?b?(2)?u(0,y)?f(y),u(a,y)?00 ybu(x,0)0,u(x,b)00xa

用分离变量法解得（1）得

a2?1n??n?(y?b)n?xu1(x,y)[g(?)sind?]shsinan?1sh(n b/a)0aaa

b2?1n??n?(x?a)n?yu2(x,y)[f(?)sind?]shsinbn?1sh(n a/b)0bbb

（三）求解定解问题

?utt?a2uxx,0?x?l,t?0??uxx?0?0,ux?l?0,t?0?3u?x,u tt?0?0,0?x?l?t?0

解：令特解u(x,t)?x(x)T(t)满足齐次方程和齐次边界条件，则

T??(t)x??(x)2x(x)T(t)?ax(x)T(t)2aT(t)x(x) ?T??(t)??a2T(t)?0?，代入边界条件得x?(0)?x(l)?0从而得到决定??x(x)??x(x)?0?

?x??(x)??x(x)?0

x(x)的如下常微分方程边值问题??x(0)?x(l)?0?

①??

0，r0,r?