平面和迹线的投影
机械制图——第一章投影法和点、线、平面的投影
两个空间的点，发生重影的条件： 两对坐标值相等，一对坐标值不相等.
Xa = Xc Za = Zc Ya > Yc
a'(c') Yc
Za/Zc C A
c" a"
c Ya
a Xa/Xc
a'(c') Za/Zc
（三）两点的相对位置
如图1－8所示，两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向 所反映的坐标差，即这两个点对应投影面W、V、H的距离差， 能反映两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置和其中 一点的投影，也能作出另一点的投影。
两点的相对位置
A(XA,YA,ZA) 和 B(XB,YB,ZB) 两点的相对位置： 如：b’→ a’ : a’(△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb )
投影法分为两类： 中心投影法 平行投影法（称平行光源）
二、中心投影法
如图所示，点 S（投射中心）射 出过A点射线，在 投影面 P形成 a点的投影图案， 该方法称为：
中心投影法。
三、平行投影法
如图所示，投射线（由平行光源）平行投射，在投影面P形 成的投影图案，称为平行投影法。
平行投影法又可分为：
正投影法：投影线（平行光源）垂至于投影面的投影法
例：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
先作正面投影
k c●
b
⒊ 两直线交叉
b′
c′
a′ X
a
V
d′
c′
O
a′
AC
d
a
工程制图之平面的投影及平面上的点
1.平面上取直线
直线在平面上的几何条件：
(1) 通过平面上的两已知点。
B
P
M
A
N
C
直线MN在平面上
(2) 通过平面上的一点并平行于平面上的另一 直线。
E
M
D
F
N
P
直线MN在平面P上
结论 -- 要在平面上取直线，应先在平面上的已知 直线上取点，再过点作直线。
例5 在△ABC给定的平面上作一任意直线。
B. 水平面投影r和正面投影r’ 都积聚为直线， 分别∥OYH轴和OZ轴。
侧平面的迹线表示法
V
Rv
Rv
R
X
x
R
(b)
H
H
侧平面R可只用(a它) 的正面迹线Rv或RH表示 。
投影面平行面的投影特性：
（1）在所平行的投影面上的投影反映实形。 （2）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线， 平行于相应的投影轴。
(1)平面的迹线: 即平面与投影面的交线。
正面迹线—PV
V
水平迹线—PH
侧面迹线—PW
PX
X
Z
PZ
PV
W
PW O
H PH
PY
Y
(2) 迹线的投影性质
① 迹线是投影面上的直线。 因此, 迹线的一个投影与其本身 重合, 另外两个投影与相应的投影轴重合（一般不画出）。
Z
V
PZ
PV
W
Z PZ
PV
PW
PX
X
作法1: 在平面内的两 已知边上各取一点连成 直线。
作法2: 在平面内的一 已知边上取一点，再过 点作平面内另一直线的 平行线。
b’
1’
工程制图第二章点直线平面的投影
′
βγ
α ″
′
″
′
″
第四节 直线的投影
三、点、直线的从属关系
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
′
第四节 直线的投影
例1：判别点C是否属于直线AB
′
″
′
′
″
′
′
″
′
第四节 直线的投影
例2：作属于直线AB的点K,使AK:KB=3:2
′ ′ ′
第四节 直线的投影
例3：在直线ＡＢ上确定点Ｋ，使点Ｋ到V与H面距离之比为2:3。
4.不变性：平行于投影面的直线（平面），其投影反映实长，实形。
第二节常用的两种投影图
多面正投影图
轴测投影图
第三节 点的投影
1 2 3
注意：点的一个投影不能确定空间点的位置
第三节 点的投影
一、点在三投影体系中的投影及其投影规律 1. 三面投影体系的建立：
第三节 点的投影
2. 点的三面投影图
3. 点的三面投影与直角坐标系的关系
′
′′
′
′′
′
′′
第五节 平面的投影
一、平面的表示法：
1.几何元素表示法
′
′ ′
′
′ ′
′
′ ′
′
′
′
′
′
′
′
2. 迹线表示法
第五节 平面的投影
二、各种位置平面 １、投影面的平行面： 正平面 水平面 侧平面
正 平 面(//v面）
′
′
′
′
″″
″″
′
′
′
′
″″ ″″
水 平 面(//H面）
第四节平面的投影
2、平面上取点 60
(1) 一直线经过平面上两个点，则此直线一定在该平面上 (2) 一直线经过平面上一个点且平行于平面上另一直线， 则此直线一定在该平面上 如点在平面内任一直线上，则此点一定在该平面上，因 18 此在平面内取点，首先要在平面内取线
第四节 平面的投影
【例1】
例题
已知△ABC平面内一点 K的正面投影 k’，求出 它的水平投影。 • 通过点K在△ABC平 面内任取一直线，例如 取BK，交AC于D • 求出水平投影bd，则 k一定在bd上 分析：在平面上 取点，必须先在 平面上取直线。
50
7
第四节 平面的投影 二、平面与投影面的相对位置及其投影特性 类似形特点：
• 任何情况下边数，边的平行关系不变 根据平面对投影面的相对位置，可把平面分为三类： • 边长、相邻边的夹角随平面的空间位置的变化而变化 1）一般位置平面（投影面倾斜面） 2）投影面垂直面 3）投影面平行面 1）一般位置平面
3）投影面平行面
a) 水平面 的投影特性
57
1.水平投影反映实形（ △abc= △ABC） 2.正面投影积聚直线且平行OX，侧面投影积聚直线且 平行OYw
14
第四节 平面的投影 二、平面与投影面的相对位置及其投影特性
根据平面对投影面的相对位置，可把平面分为三类： 1）一般位置平面（投影面倾斜面） 2）投影面垂直面 3）投影面平行面
根据平面对投影面的相对位置，可 把平面分为三类： • 1）一般位置平面（投影面倾斜面） • 2）投影面垂直面 • 3）投影面平行面
6
第四节 平面的投影 二、平面与投影面的相对位置及其投影特性
根据平面对投影面的相对位置，可把平面分为三类： 1）一般位置平面（投影面倾斜面） 2）投影面垂直面 3）投影面平行面
机械制图-点、直线、平面的投影
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
直线平面的投影
直线平面的投影直线和平面的投影是物理学和几何学中的重要概念，用于描述一个对象在不同视角下的视觉效果。
在这篇文章中，我将详细介绍直线和平面的投影原理、计算方法以及应用。
一、直线的投影直线的投影是指直线在一些方向上的映射，投影的结果是一个线段或者点。
在几何学中，直线的投影通常是指直线在其中一平面上的影子。
1.1直线投影的原理直线的投影原理可以理解为光线的折射原理。
当一束直线光线遇到一个不透明的物体时，物体会遮挡光线，使得光线在物体的背面无法到达。
在这种情况下，我们只可以看到从物体那一侧射出的光线，也就是物体的投影。
1.2直线投影的计算方法计算直线的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。
假设直线的长度为l，直线与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影长度p。
根据三角形相似性，根据比例有：p/d=l/h其中，h为直线在投影平面上的投影高度。
因此，直线的投影长度为：p=(l*d)/h1.3直线投影的应用直线的投影在现实生活中有很多应用，例如日光灯的投影、桥梁的投影等等。
在建筑设计和工程施工中，直线的投影也是一个非常重要的概念。
通过计算直线的投影长度，可以确定施工中的尺寸和位置。
平面的投影是指平面在一些方向上的映射，投影的结果可以是一个线段、一个点或者一个图形。
2.1平面投影的原理平面的投影原理类似于直线投影的原理，也是基于光线的折射原理。
当一束平行光线垂直照射在一个平面上时，在投影平面上会形成一个平行于光线的投影。
2.2平面投影的计算方法计算平面的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。
假设平面的长度和宽度分别为L和W，平面与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影的长度P和宽度W'。
根据三角形相似性，根据比例有：P/d=L/hW/d=W'/h其中，h为平面在投影平面上的投影高度。
因此，平面的投影长度为：P=(L*d)/h平面的投影宽度为：W'=(W*d)/h2.3平面投影的应用平面投影在几何学和物理学中有很多应用。
直线与平面的投影关系与计算方法
直线与平面的投影关系与计算方法直线和平面是几何学中常见的基本图形，它们在现实世界中广泛应用于建筑、工程、物理学等领域。
在这篇文章中，我们将讨论直线与平面之间的投影关系，并介绍一些计算方法。
一、直线在平面上的投影直线在平面上的投影是指直线在平面上的垂直投影或平行投影。
垂直投影是指直线在平面上的垂直投影线，而平行投影是指直线在平面上的平行投影线。
1. 垂直投影垂直投影是指直线在平面上的垂直投影线。
要计算直线在平面上的垂直投影，我们可以使用以下步骤：步骤一：确定直线和平面的相对位置。
首先，我们需要确定直线和平面的相对位置，即直线与平面是否平行或相交。
如果直线与平面平行，则直线在平面上的垂直投影长度为0。
如果直线与平面相交，则我们需要继续下一步。
步骤二：确定垂直投影的起点。
在确定直线与平面相交的情况下，我们需要确定垂直投影的起点。
起点可以是直线上的任意一点，通常选择离平面最近的点作为起点。
步骤三：确定垂直投影的方向。
垂直投影的方向是由直线在平面上的垂直投影线所确定的。
我们可以通过在平面上画出与直线平行的线段来确定垂直投影的方向。
步骤四：确定垂直投影的长度。
垂直投影的长度是直线在平面上的垂直投影线段的长度。
我们可以使用勾股定理或其他几何计算公式来计算垂直投影的长度。
2. 平行投影平行投影是指直线在平面上的平行投影线。
要计算直线在平面上的平行投影，我们可以使用以下步骤：步骤一：确定直线和平面的相对位置。
同样，我们需要确定直线和平面的相对位置，即直线与平面是否平行或相交。
如果直线与平面平行，则直线在平面上的平行投影长度可以通过直线在平面上的任意两点之间的距离来计算。
如果直线与平面相交，则我们需要继续下一步。
步骤二：确定平行投影的起点和方向。
与垂直投影类似，平行投影的起点可以是直线上的任意一点，通常选择离平面最近的点作为起点。
平行投影的方向由直线在平面上的平行投影线所确定。
步骤三：确定平行投影的长度。
平行投影的长度是直线在平面上的平行投影线段的长度。
工程制图 平面的投影-线面相对位置解读
b'
b' c'
z b"
c'
b" a' c" x O a"
c" yW
B
a'
A
a 投影特性：
C
b
c
b
a" a c yH
(1) 一般平面的三面投影既不反映实形也没有积聚性。 (2) 其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小。
平面投影特性判断
正平面
铅垂面
侧平面
正平面
正垂面
侧平面
侧垂面
一般位置平面
二、平面上的点和线
A D K E a B
G
a' d' e' x
g' k' A
F B g(f) b
K a
f'
g(f) k
b' O
d(e) k
d(e)
b
二、相交问题
1.直线与平面相交
若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用辅助平面法求出交点。
求一般位置线、面 P 交点的方法步骤： E Ⅱ A
2）作出辅助平面与已知 K 平面间的交线。
A
G
b'
DE a' B C x g(d) b a c F a
PF
f' l'
a'
A g'
g' Q
f' e'
c' b' E e' x D c f(e) e B b
c'O d' C g g(d) a c
O
f(e)
b
l
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RH
aLeabharlann 作铅垂面。 例2 包含AB（ab，a’b’ ）作铅垂面。
b’ a’ c’ X c a b O
完成侧垂面的水平投影。 例3 完成侧垂面的水平投影。
1‘ 2‘ 4‘ 3‘ 5 X ‘ 2 4 5 3 1 6‘ O Z 1“ 2“
投影分析： 投影分析：
侧垂面 注意： 注意：
4“ 3 V、H 投影的 “ 5“ 6“ 类似性” “类似性”。 YW
积聚性
βα X
O
X
YW
O
α 类似形
Y
YH
3.侧垂面 3.侧垂面
迹线表示
Z Z X QV
O
V
QV
β
QW α YW
QW
X
O
QH YH
QH
Y
的正垂面。 例1 包含A（a，a’）作α=30° 的正垂面。 两相交直线决定平面
c’ a’ b’ x d b a c d’ 30° o x a’
迹线表示平面
RV
30° o
V Z a’ A b’ X B b a c c’ a’’ C b’ b’ a’ c’ Z a’’ c’’
o
c’’ X b’’ Y
o
a
b’’ YW
b c YH
用迹线表示的一般位置平面
Z V PZ PV X PX PH PV PW PY Y
X PX O PZ Z
PW
PYW YW
P
PH
PYH YH
作一般位置平面。 例 包含A（a，a’）作一般位置平面。 任作两相交直线决定一平面. 任作两相交直线决定一平面.
a’ b’ x b a c o c’
无数解!
2各种位置平面的投影
一、投影面垂直面 二、投影面平行面 三、一般位置平面的投影特性
一、投影面垂直面
垂直于某一投影面， 垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面的平面 称为投影面垂直面。 称为投影面垂直面。 投影面垂直面分为三种： 投影面垂直面分为三种： 铅垂面 (⊥于H 面，∠于V 面和W 面) 正垂面 侧垂面 (⊥于V 面，∠于H 面和W 面) (⊥于W 面，∠于H 面和V 面)
6
YH
二、投影面平行面
• 平行于某一投影面的平面称为投影面平行面 平行于某一投影面的平面称为投影面平行面。 投影面平行面分为三种： 投影面平行面分为三种： 水平面 (∥于H 面，⊥于V 、W 面) 正平面 (∥于V 面，⊥于H 、W 面) 侧平面 (∥于W 面，⊥于H 、V 面)
1.水平面 1.水平面
投影反映实形； 投影特点： 投影特点： H 投影反映实形；
V 投影和 W 投影积聚为直线； 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OZ 轴。 V Z a’ A X B a b
实形
b’
c’
a’
b’
Z
c’ a” c” b”
C
a” b”
X
O
YW
o c
c” a c Y b
YH
1.水平面 1.水平面
迹线表示
V
Z
QV
γ
A D
积聚性
类似形
d’ (a’ )
Z
a”
d”
c’ α (b’ )
γ
b” O a d
c”
X
α
B C
O
Xb
YW
Y
类似形
c
YH
2.正垂面 2.正垂面
迹线表示
V
Z
Z RW X
RV
α
γ
O
RW YW
RV
X RH
O
RH Y
YH
3.侧垂面 3.侧垂面 空间分析： 空间分析：
V
类似形
W 投影积聚为-倾斜线； 投影积聚为-倾斜线； 投影特点： 投影特点：反映α和β ； H 投影和 V 投影为类似形。 投影为类似形。 Z Z β
b’ a’ c’ x a b c o
例2 含水平线BC（bc，b’c’）作平面P 平行于H 面。
b’ c’ PV
x b c
o
三、一般位置平面
倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面。 倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面。 类似形。 投影特点： 三个投影均是类似形 投影特点： 三个投影均是类似形。
A B
QV
C
Z
QW
QW
X
O
X
o
YW
Y
YH
2.正平面 2.正平面
实形
投影特点： 投影反映实形； 投影特点： V 投影反映实形；
H 投影和 W 投影积聚为直线； 投影积聚为直线； 积聚投影都垂直于 积聚投影都垂直于OY 轴。 Z
Z
V
X
O
YW
X
o Y
YH
2.正平面 2.正平面
迹线表示
Z
V
Z
X
O
PW
YW
P
X o
PW
Y
PH
YH
PH
3.侧平面 3.侧平面
投影特点： 投影反映实形； 投影特点： W 投影反映实形；
H 投影和 V 投影积聚为直线； 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OX 轴。
V
Z
实形
Z
X
o Y
X
O
YW
YH
3.侧平面 3.侧平面
迹线表示
V
Z
RV R
X
Z
RV
O
X
o
YW
RH
Y
RH
YH
作正平面。 例1 包含点A（a，a’）作正平面。 轴的直线。 正平面的水平投影为一条∥OX 轴的直线。
1.铅垂面 1.铅垂面 H 投影积聚为-倾斜线； 投影积聚为-倾斜线； 空间分析： 投影特点： 空间分析： 投影特点：
类似性
Z
a' b' B A c' O a cγ C a” b”
反映β和γ 投影为类似形。 V 投影和 W 投影为类似形。
V
类似性
a' b'
Z b” c' O
a”
X
β b
c”
X
b a
β
c” YW
γ c YH
积聚性
Y
1.铅垂面 1.铅垂面
迹线表示?
Z Z PV X β PH γ YH Y
O
V
PV
X
P PW
PW YW
O
PH
2.正垂面 2.正垂面 空间分析： 空间分析：
V
V 投影积聚为-倾斜线； 投影积聚为-倾斜线； 投影特点： 投影特点：反映α和γ； H 投影和W 投影为类似形。 投影为类似形。 Z