江苏省徐州市贾汪区建平中学高一数学《向量共线定理》教案2
高一下册数学 平面向量共线的坐标表示 教学案
2．3．4平面向量共线的坐标表示学习目标1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．3．掌握三点共线的判断方法．知识点 平面向量共线的坐标表示1．设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，,a b 共线，当且仅当存在实数λ，使a b λ=． 2．如果用坐标表示，可写为1122(,)(,)x y x y λ=，当且仅当____________________时，向量,(0)a b b ≠共线．注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成11220x y x y -=或12120x x y y -=都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2．( )2．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b ．( )3．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b ．( )4．向量a ＝(1,2)与向量b ＝(4,8)共线．( )题型一 向量共线的判定例1 (1)下列各组向量中，共线的是( )A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)(2)在下列向量组中，可以把向量a ＝(－3,7)表示出来的是( )A ．1e ＝(0,1)，2e ＝(0，－2)B ．1e ＝(1,5)，2e ＝(－2，－10)C ．1e ＝(－5,3)，2e ＝(－2,1)D ．1e ＝(7,8)，2e ＝(－7，－8)反思感悟 向量共线的判定题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断，特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪训练1 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是( )A ．1e ＝(0,0)，2e ＝(1，－2)B ．1e ＝(－1,2)，2e ＝(5,7)C ．1e ＝(3,5)，2e ＝(6,10)D ．1e ＝(2，－3)，2e ＝13(,)24题型二 三点共线问题例2 已知A (1，－3)，B 1(8,)2，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线．反思感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成： ①证明向量平行．②证明两个向量有公共点．(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．跟踪训练2 已知OA →＝(k ,2)，OB →＝(1,2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，B ，C 共线，则实数k ＝________．1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为() A．2 B．－2 C．3 D．－32．与a＝(12,5)平行的单位向量为()A．125(,)1313-B．125(,)1313--C．125(,)1313或125(,)1313--D．125 (,) 1313±±3．若a＝cos)α，b＝(3,sin)α，且a∥b，则锐角α=______．4．已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为________．5．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．。
高中数学第2章平面向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算教案含解析新人教B版必修4
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算1．平行向量基本定理 (1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量，如果a 的单位向量记作a 0，由数乘向量的定义可知：a ＝|a |a 0或a 0＝a|a |.2．轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与l 同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e .反过来，任意给定一个实数x ，我们总能作一个向量a ＝x e ，使它的长度等于这个实数x 的绝对值，方向与实数的符号一致．单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量)．(2)x 的绝对值等于a 的长，当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．(3)向量相等与两个向量的和：设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，于是：如果a ＝b ，则x 1＝x 2；反之，如果x 1＝x 2，则a ＝b ；另外，a ＋b ＝(x 1＋x 2)e ，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(4)向量AB →的坐标常用AB 表示，则AB →＝AB e .AB →表示向量，而AB 表示数量，且有AB ＋BA ＝0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x 上，已知点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝x 2－x 1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x 上，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则|AB |＝|x 2－x 1|.思考：在平行向量基本定理中，为什么要求b ≠0?[提示] 若b ＝0，则0∥a ，但是λ0＝0，从而a ＝λb 中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( ) A.AB →的坐标是2 B.CA →＝－3AB → C.CB →的坐标是4D.BC →＝2AB →C [CB →的坐标为1－5＝－4，故C 项不正确．故选C.] 2．以下选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1 B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2C [选项A ，b ＝－2a ；选项B ，b ＝14a ；选项D ，b ＝－23a .只有选项C 中a 与b 不共线．]3．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则λ＝________. －12[由题意可得存在实数k ，使得b ＝k a ，则 e 1＋λe 2＝2k e 1－k e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝1λ＝－k ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，λ＝－12.](1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC →＝－3AD →，求证：3CD →＝－4AC →.[思路探究] 据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解． [解] (1)∵AC ＝5， ∴c －(－4)＝5，∴c ＝1.(2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：因为CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋AD →， 而AC →＝－3AD →，所以CD →＝－(－3AD →)＋AD →＝4AD →， 所以3CD →＝12AD →，又－4AC →＝－4×(－3AD →)＝12AD →， 故3CD →＝－4AC →.正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.1．已知数轴上A ，B 两点的坐标为x 1，x 2，求AB →，BA →的坐标和长度． (1)x 1＝2，x 2＝－5.3；(2)x 1＝10，x 2＝20.5. [解] (1)∵x 1＝2，x 2＝－5.3，∴AB ＝－5.3－2＝－7.3，BA ＝2－(－5.3)＝7.3. ∴|AB →|＝7.3，|BA →|＝7.3. (2)同理AB ＝10.5，BA ＝－10.5. |AB →|＝10.5，|BA →|＝10.5.[思路探究] 解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证．[证明] 延长EF 到M ，使EF ＝FM ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得ECMB ， 由平形四边形法则得 EF →＝12EM →＝12(EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →，DC →共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0， ∴EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2DC →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB .1．用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明．2．用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系．2．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)将AD →用e ，f 表示； (2)证明四边形ABCD 为梯形．[解] (1)根据向量求和的多边形法则，有AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，即AD →＝2BC →.所以AD →∥BC →，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 为梯形.1.在平行向量基本定理中，为什么要求“b ≠0”？[提示] 若b ＝0，则λ不唯一，另外b 相对于a 而言是一个度量标准，度量标准不能为0.2．如何证明A 、B 、C 三点共线？[提示] 只需构造两个向量AB →，AC →，并证明AB →＝λAC →即可．【例3】 如图所示，已知在ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M ，N ，C 三点共线．[思路探究] 利用向量的运算法则将MC →，MN →两向量分别用AB →，AD →表示出来，再利用平行向量基本定理判定MC →，MN →共线，从而证明M ，N ，C 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ， MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点， ∴M 、N 、C 三点共线．平行向量基本定理的两个方面的应用：(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等．(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据．3．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解] 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2. 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8，所以存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．(教师用书独具)1．向量共线定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线． (2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线．2．证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．如图A 、B 、C 三点共线，则AB →＝λAC →，任取直线AC 外一点P ，则PB →－PA →＝λ(PC →－PA →)，所以PB →＝λPC →＋(1－λ)PA →，由此可推出三点共线的等价命题：A 、B 、C 三点共线等价于PB →＝λPC →＋μPA →(λ、μ∈R 且λ＋μ＝1).1．设e 1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．e 1＝e 2 B ．e 1∥e 2 C ．|e 1|＝|e 2|D ．以上都不对C [单位向量的模都等于1个单位，故C 项正确．]2.如图所示，已知OA →′＝3OA →，A ′B ′→＝3AB →，则向量OB →与OB ′→的关系为( ) A ．共线 B ．同向 C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′→的长度是OB →的3倍 D [由题意，知OA OA ′＝AB A ′B ′，∴AB ∥A ′B ′，∴OB OB ′＝OA OA ′＝13，∴OB ′→＝3OB →，故选D.] 3．设a ，b 是两个不共线的向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．－1 [∵A 、B 、D 三点共线， ∴存在实数λ使AB →＝λBD →，又BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ， ∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.]4.如图，ABCD 为一个四边形，E ，F ，G ，H 分别为BD ，AB ，AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵F ，G 分别是AB ，AC 的中点， ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →. 同理EF →＝HG →.∴四边形EFGH 为平行四边形．。
向量共线条件的坐标表示教案
向量共线条件的坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解向量共线的概念。
2. 让学生掌握向量共线的坐标表示方法。
3. 培养学生运用向量共线条件解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量共线的定义2. 向量共线的坐标表示方法3. 向量共线条件的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：向量共线的概念，向量共线的坐标表示方法。
2. 教学难点：向量共线条件的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解向量共线的概念和坐标表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过具体例子掌握向量共线条件的应用。
3. 采用互动提问法，激发学生的思考，提高课堂参与度。
五、教学过程1. 导入：简要介绍向量共线的概念，引导学生思考如何用坐标表示向量共线。
2. 新课讲解：a) 讲解向量共线的定义，让学生理解什么是向量共线。
b) 引入向量共线的坐标表示方法，引导学生掌握如何用坐标判断向量共线。
3. 案例分析：a) 给出具体例子，让学生运用向量共线条件解决问题。
b) 分析例子，引导学生总结向量共线条件的应用。
4. 课堂练习：a) 布置练习题，让学生巩固向量共线条件的坐标表示方法。
b) 引导学生互相讨论，共同解决问题。
5. 总结与拓展：a) 总结本节课的主要内容和知识点。
b) 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固向量共线条件的坐标表示方法。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对向量共线条件的理解和掌握程度。
2. 练习题解答：检查学生对向量共线条件坐标表示方法的掌握情况。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
2. 反思教学内容：根据学生的掌握程度，调整教学内容，确保学生扎实掌握向量共线条件。
八、教学拓展1. 向量共线与线性方程组：引导学生探讨向量共线与线性方程组之间的关系。
2. 向量共线在几何中的应用：讲解向量共线在几何领域中的应用，如线段平分、角度平分等。
高中数学 向量共线定理教案 苏教版必修4
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学必修四教案：向量共线定理 ，E 分别为△ABC AB ，AC 的中点，BC 与DE 共线，并将DE 用BC 线性表示分别为AB,AC 的中点，所以DE ∥BCBC 与DE 共线，BC DE 21=，且DE 与BC 同向 所以DE =21BC 你能从这道题目中发现什么吗?二、互动探究向量共线定理：如果有一个实数λ,使b a λ= )0(≠a ,b 与a 是共线向量b 与a )0(≠a 是共线向量那么有且只有一个实数λ,使b a λ=证:由向量数乘的定义可知,对于向量a)0(≠a 和b ,如果有一个实数λ, 使b a λ=,那么b 与a 是共线向量.反过来,如果b 与a )0(≠a 是共线向量,b 与a 同方向时,令||||b a =λ b 与a 反方向时, 令-=λ0=b ,则令=λ从而有一个实数,使b a λ= ,AC CB λ=（λ≠OA OB OC 1λλ+=+ 将已知条件中AC ,CB 用结论式中的OC OB OA ,,表示,进而解出OA OC -=OC中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
2016-2017学年高一数学人教B版必修4教案2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算
教学设计一、 课前延伸预习检测：判断下列命题是否正确（1） 向量AB 与向量CD 平行，则向量AB 与向量CD 方向相同或相反。
（ ）（2） 向量AB 与向量CD 是共线向量则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上。
（ ）（3） 若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于零向量。
（ ）（4） 起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。
（ ） 师问生答的形式完成检测。
设计意图：通过几个小题检测一下预习的效果。
二、 课上探究学习目标叙写：1.通过经历平行向量基本定理的得出过程,能够理解并掌握向量共线的条件，并且能够正确运用定理证明三点共线和平行问题。
2.借助几何直观引导，能够认识单位向量和理解轴上向量的坐标运算，并能够区分轴与数轴的区别，记住数轴上两点的距离公式。
（一） 情景导入通过三个问题引入新课。
问题1：向量共线是如何定义的？由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知：平行向量基本定理。
引出新课。
（二） 新知讲解1、平行向量基本定理（老师板演定理）通过几个例子解释剖析定理的内容，结合图像直观体现。
2、单位向量：（由数乘向量的定义推知）（三）合作探究展示的方向有何关系？与，：根据向量的数乘运算问题)0,0(2≠≠a a a λλ共线吗？为常数与：向量问题)(3λλa a小组合作讨论学习做学案上 探究一、变式1、探究二、变式2探究一 已知 MN 是ABC ∆的中位线，求证:,21BC MN =且BC MN // 变式训练1：已知：在ABC ∆中，AN AM ==求证：,//BC MN 并且.31BC MN = 第3小组展示探究一答案（板演）第4小组展示变式1答案（板演）第5组点评，老师补充强调规范解题，总结规律。
探究二 已知.2,3e b e a -==试问向量b a ,变式训练2： 设两个非零向量b a ,不共线，若)(3,82,b a CD b a BC b a AB -=+=+=，求证：A,B,D 三点共线第6小组展示探究二答案（板演）第1小组展示变式2答案（板演）第7组点评，老师补充规范解题步骤，总结规律。
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1
备 课
时 间
2012 年 12 月 24 日
编写人：董平
上 课 时 间
第 周 周 月
日
班级 节次
课题 2.2.4 向量共线定理 总课时数 第 节
教学
目标
1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；
2．培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
教学
重难
点
共线向量定理的应用.
教学
参考
教材、教参
授课
方法
问题探究式学习
教学辅助手段
多 媒 体
专用教室
教学过程设计 教 学
二次备课
2
教学
过程
设计
教 学
二次备课
一、问题情境 问题1 上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a，记b＝3a ，b与a共线吗？ a O A （给出线性表示：如果ba(a0)，则称向量b可以用非零向量a线性表示） 问题2 如果向量a和b共线，是否存在一个实数，使ba？ 二、构建教学 1．整理归纳向量共线定理． 如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a (a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba. 2．对定理的理解与证明 为什么要求a是非零的？b可以为0吗？ 对于向量a和
b，如果有一个实数
，使得ba，
那么a与b共线
吗？
（可以引导学
生从的不同取值
来探讨）
（若有向量a
和b，实数，使
ba，则由实数
与向量积的定义
知：a与b为共线
向量）
教学过程设计 教 学
二次备课
3
B
D A
C
E
三、教学运用
例1 如图，ED,分别为ABC的边AB
和AC中点，求证：BC与DE共线，并将DE用
BC
线性表示.
例2 判断下列各题中的向量是否共线：
（1）a=4e1-25e2，b=e1-110e2；
（2）a= e1＋e2，b=2 e1-2 e2，且1e，2e共线．
例3 如图2-2-11，ABC中，C为直线AB上
一点，AC)1(CB 求证：
1
OBOA
OC
.
练习
（1）已知向量
a=2e1-2e2，b=-3
（e2-e1），求证：a
与b是共线向量．
（2）已知
4MP
e12e
2
,2PQ
e1＋e2，求
证：M，P，Q三点
共线．
课外
作业
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教 学
小 结