实际问题与二次函数(面积问题)
------面积问题 金晶学校： 王志伟
一、学习目标
1. 能够分析和解决实际问题中面积与边长之 间的二次函数关系； 2. 会运用二次函数的知识求出实际问题的解， 培养建模思想； 3.了解中考这种类型题的解题步骤和评分标 准。
二、自我展示 底乘高或对角线乘积的一半 1.菱形的面积公式是________________. 2 2. 二次函数 y ＝ ax ＋ bx ＋ c （ a ＜ 0）中， b 4ac b 大 值，是____. 当x=___ 4a 2a 时，函数y有最____ － 2 3.二次函数y=a(x-h) +k（a＜0）中，当 h 时，函数y有最___ k 大 值，是_____. x=___ 2 4.若抛物线y＝x -8x＋15的值是3，那么x x=2或x=6 满足的条件是______________.
中考参考答案及评分标准
30 2 x 15 x 解：（1）根据题意AD= 2
………… 1分
S =x(15-x)= -x2+15x …………2分 （2）当S=50时，-x2+15x=50，整理得 x2-15x+50=0，
解得，
x1 5, x2 10
…………… 2分
当AB=5时，AD=10； 当AB=10时，AD=5； ∵AB＜AD ,∴AB=5 ……………… 1分 答：当矩形的面积为50平方米且AB＜AD时，AB的长为5米。
答：x=8时，S有最大值，最大值是128.
变式训练：（本题6分） 体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的 游戏场地，围成的场地是如图所示的矩ABCD．设 边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S （单位：平方米）． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自 变量x的取值范围）； （2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜ AD，请求出此时AB的长。
A B G F E
C
H
D
实际问题
抽象 转化
数学问题
运用 二次函数知识
问题的解决
求函数最值的方法： １.利用顶点坐标公式； ２.配方后利用二次函数的顶点式 ３.把顶点的横坐标代入二次函数的一般式
解题步骤： 1、分析题意，建立函数关系式； 2、选方法，求解； 3 、写出结论。
作业：
搜集并整理近几年中考 试题中与二次函数面积 有关的题。
2. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝， 这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱 2 形的面积S（单位：cm ）随其中一条对角线的长 x(单位：cm)的变化而变化。 (1) 求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量 x的取值范围）
(2) 当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积 是多少？
生活是数学的源泉， 我们是数学学习的主 人.
A B 2m
C
2、如图，要建立一个形状是直角梯形的存料 场，其中有两边是夹角为150度的两面墙， 另外两边是总长为30m的篱笆，篱笆两边 各是多少米时，存料场的面积最大？最大 面积是多少？
3. 用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗 框ACDF，其中BE,GH均是铝合金制成的格条， 且BE∥AF，GH⊥CD，EF＝0.5米，设AF的长为 x（单位：米），AC的长为y（单位：米） （1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值 范围） （2）若这个矩形窗框ACDF的面积等于10平方米， 且AF＜AC，求出此时AF的长。
中考参考答案及评分标准
解：（1）S=
（2）∵S= ∴S有最大值 ∴x=
b 2a
1 ……………… 2分 - x 30 x 2 1 1 ，a= - ＜0, - x 30 x 2 2
2
2
=-
30 2 ( 1 ) 2
30 ……………… 2分
S的最大值为
2 cm ∴当x为30cm时，菱形风筝面积最大，最大面积是450 .
4ac b 2 302 450 1 4a 4 ( ) 2
………… 2分
实际问题
抽象 转化
数学问题
运用 二次函数知识
问题的解决
解题步骤： 1、分析题意，建立函数关系式； 2、选方法，求解； 3 、写出结论。
四、反馈提升
1. 某小区要用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的 斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰 好为17米。围成的花坛是如图所示的直角△ABC，其 中∠ACB＝90°，设AC边的长为x米，直角△ABC的 面积为S平方米。 (1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的 取值范围） (2)根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛面 积是30平方米，问直角三角形的两条直角边的长各为 多少米？
2
求函数最值的方法：
１.利用顶点坐标公式；
２.配方后利用二次函数的顶点式
３.把顶点的横坐标代入二次函数的一般式
三、合作交流
（本题5分）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长 的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图 所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平 方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
中考参考答案பைடு நூலகம்评分标准
解：由题意得S=AB· BC=x(32-2x), ∴S=-2x2+32x ……………… 2 分 ∵a=-2＜0 , ∴S有最大值 ……………… 1分
∴x=
b 2a
=
32 8 2 (2)
……………… 1分
……………… 1分
S 最大值
4ac b 2 322 128 4a 4 (2)
实际问题与二次函数(1)
D
C B A
25m
实际问题与二次函数（1）
探究1：面积问题
例题：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？针对训练（一）
用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，面积是多少？针对训练（二）
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如下图）．设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究（二）利润问题
例题：已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；如何定价才能使利润最大？
针对训练（一）
商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件。
每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
针对训练（二）
某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？。
实际问题与二次函数(面积问题)
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 (60 ml) ，场地的面积: S=l(30-l) 即(0S<=-ll<2+3300)l
2
要用总长为60米的铁栏杆，一面靠墙围成一个矩形的 花圃，怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？
解：设AB为x米，BC为（60－2x）米，
22.3 实际问题与二次函数 (面积最大问题)
1. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 x=-4 ， 顶点坐标是（-4，- .当x= -4 时，函数有最_大__ 值是 1 . 1）
2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 x=2 ，顶 点坐标是 （2,1）.当x= 2时，函数有最__小_____ 值是 1 .
矩形面积为y米2，则
A
D
y x60 2x (0<X<30)
即y 2x2 60 x
B
C
2x 152 450
当x=15时，y有最大值=450
这时，AB=15米，BC=60-2x=30米
所以当围成的花圃与墙垂直的一边15米，与墙平行的
一边长30米时，花圃的面积最大，最大面积为450米2
新知2 利用二次函数求图形的最大面积问
第1题
A
D
B
C
第2题
达标检测 反思目标
A A
25
用二次函数的知识解决图形面积等问 题的一般步骤：
把实际问题转化为数学问题
二次函数
问题求解
找出实际问题的答案
3.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 最值？写出求二次函数最值的公式
（1）配方法求最值 （2）公式法求最值
《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》教学反思
《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问
题》的教学反思
《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十二章第三节第一课时的内容。
首先以一般式为例复习二次函数的图象与性质，然后以现实中很多抛掷球类问题可以用二次函数来表示引入新课。
探究一中，学生通过建立平面直角坐标系、求解析式、确定图象与x轴的交点坐标得出小球运动时间和特定时刻的高度。
随之，教师引导学生及时归纳总结最值问题及表达形式。
探究二中，学生通过列实际问题的二次函数解析式，逐步探究熟悉的围篱笆问题，重点研究自变量的取值范围和最值问题。
同时也夯实了学生们心中的疑惑，因为之前学生掌握的一条规律，但又不知道为什么。
在周长一定的情况下，围成什么形状时，面积更大。
22.3实际问题与二次函数面积问题
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，
b 当 x 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小 2a 4ac b 2 ． （大） 值 y 4a
方法点析
构造二次函数在几何图形中的应用，主要是求几何图
形的面积最大值的问题，求解这类问题，只要能充分运用 条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、
全等三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，构造
出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解．
探究1：
用总长为60m的篱笆围成矩形场地， 矩形的面积S随矩形一边长L的变化而 变化，当L是多少米时，场地的面积S 最大？ 分析：先写出S关于L的函数关系式
再求最大值。
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？ 解： 整理得:
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶 点坐标。 2 2 ( 2 ) y 4 x 8x 10 (1) y 6 x 12x ；
2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数 有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别 是多少？
引例
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小 球最高？小球运动中的最大高度是多少？ b 30 t 3， 2a 2 （ 5） 2 2 4ac b 30 h 45． 4a 4 （ 5）
实际问题与二次函数
实际问题与二次函数引言：二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将从几个实际问题入手，探讨二次函数在解决这些问题中的作用和应用。
第一部分：抛物线与物体运动问题一：一个物体从地面上以初速度v0竖直向上抛出，忽略空气阻力，求物体的运动轨迹。
解决方法：根据物体竖直上抛运动的运动方程，可以得到物体的高度y与时间t的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度。
这个运动方程正好是一个二次函数，它的图像是一个抛物线，描述了物体的运动轨迹。
问题二：一个人从桥上向下抛掷物体，求物体的最大高度和落地点。
解决方法：根据物体竖直抛体运动的运动方程，可以得到物体的高度与时间的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度，v0是初速度。
我们可以通过求解二次函数的顶点，得到物体的最大高度和落地点的位置。
第二部分：二次函数与开口方向问题三：一块矩形花坛，长边是20米，宽边是10米，现在要在花坛四周修建一圈高度为h的围墙，求围墙的最小高度h。
解决方法：假设围墙的高度为h，围墙的长度为L，围墙的宽度为W。
根据题意，可以得到L=2(20+2h)，W=2(10+2h)，围墙的面积为S=LW。
我们可以将围墙的面积S表示为关于h的二次函数，然后求解这个二次函数的最小值，即可得到围墙的最小高度h。
第三部分：二次函数与最值问题问题四：某公司生产某种产品，每生产x单位的产品需要花费C(x)=80x+2000元，售价为p(x)=0.1x^2+2000元，求使得利润最大的生产数量。
解决方法：利润等于售价减去成本，即P(x)=p(x)-C(x)=0.1x^2-80x。
我们可以求解二次函数P(x)的最大值，得到使得利润最大的生产数量。
问题五：某人在银行存款10000元，银行的年利率为r%，每年计息一次，求多少年后存款会翻倍。
解决方法：存款的本利和可以表示为S(t)=10000(1+r/100)^t，其中t为年数。
实际问题与二次函数反思
《实际问题与二次函数—面积问题》教学反思今天解决《实际问题与二次函数（第1课）》，这节课重点解决实际问题中的面积问题，我的目的是通过这节课我能解决三个问题 1.建立二次函数关系式；2.用配方法或公式法求最值；3.自变量的最值范围与最值的关系。
在课前我一直认为第一点不用建立坐标系不会太难，并且矩形面积对初三学生来说不会有什么问题，所以有在上课时对图形的认识这一点的分析上是欠缺的，当发现矩形的一边为x另一边很多学生表示成60-2x 时，我发现学生在建函数关系式时分析图形能力比较差，所以在变式练习1、2、3我就先放手让学生写关系式，同时加强巡查及对学生的指导，然后分析学生错误给出正确遥解答。
通过变式之后，学生基本能解决全闭合矩形与半闭合矩形和多边矩形的面积与过的关系，从而正确列出函数关系式。
后面我附加了一个自变量的取值不在取值范围内，如何求函数最大值问题，学生演板，效果还不错。
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=x m.(1)若花园的面积为192 m2,求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值.通过本节课的教学，启示我们在教学中要紧密结合实际，让学生学有所用，在教学中应注意以下几个问题：（一）把实际问题数学化。
首先要深入了解实际问题的背景，了解影响问题变化的主要因素，然后在舍弃问题中的非本质因素的基础上，应用有关知识把实际问题抽象成为数学问题，并进而解决它。
（二）函数的教学应注意自变量与函数之间的变化对应。
函数问题是一个研究动态变化的问题，让学生理解动态变化中自变量与函数之间的变化对应，可能更有助于学生对函数的学习。
（三）二次函数的教学应注意数形结合。
要把函数关系式与其图像结合起来学习，让学生感受到数和形结合分析解决问题的优势。
实际问题与二次函数(一)几何图形面积问题(课件)-2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
1 2
1
S
• x x 30 x ( x 30) 2 450
2
2
2
4.当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
18
不正确.
5.如何求自变量的取值范围？
0＜x≤18.
6.如何求最值？
由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.
【点睛】实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶
直线x=h
抛物线
点坐标是_______.
(h,k)
b
1
1
BQ=t∴S=S△ABC－S△PBQ= ×AB×CB－ ×PB×QB
2
2
1
1
= ×8×6－ ×（8－2t）×t=t2－4t+24（0≤t≤4）
2
2
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点
A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度
(1)求出S与x之间的函数关系式；
(2)求健身活动区域的面积S的最大值．
解：(1)由题意解得：
= 40 × 30 − 4 − 5 = −4 2 + 20 + 1200；
6 ≤ ≤ 10
例1.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；
设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数面积问题优秀教学案例
4.结合学生的兴趣和经验，设计富有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中，提高数学素养。
（二）问题导向
1.引导学生发现生活中的问题，将其转化为数学问题，激发学生的思考。
2.设计具有逻辑顺序的问题，引导学生逐步深入，提高学生的思维能力。
3.通过提问，引导学生反思自己的学习过程，培养学生的自我监控能力。
2.学生通过归纳总结，提高对二次函数的理解，为后续学习打下基础。
3.教师对学生的讨论成果进行点评，给予肯定和鼓励，增强学生的自信心。
（五）作业小结
1.布置具有代表性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。
2.要求学生撰写作业心得，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，提高自我监控能力。
3.通过解决实际问题，让学生进一步理解二次函数的图象与性质，提高学生的数学素养。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
（二）过程与方法
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式来解决问题，培养学生的数学思维能力和团队合作能力。
2.利用多媒体教学手段，展示二次函数在实际问题中的应用，帮助学生建立直观的数学模型。
3.强调团队合作，让学生在合作交流中，培养良好的沟通能力和团队协作精神。
4.通过对实际问题的解决，使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，提高学生的数.结合生活实际，设计具有代表性的例子，让学生在具体的情境中，感受到二次函数在实际问题中的应用。
2.利用多媒体手段，展示二次函数图象，使学生能够直观地理解二次函数的性质。
（三）学生小组讨论
1.学生分组讨论，每组选择一个实际问题进行研究，尝试运用二次函数的知识解决问题。
数学人教版九年级上册实际问题与二次函数问题(面积问题)
二次函数与图形面积
1．(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )
A ．60 m 2
B ．63 m 2
C ．64 m 2
D ．66 m 2
2．(咸宁中考)用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为( )
A ．20
B ．40
C ．100
D ．120
3．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )
A.6425 m 2
B.43 m 2
C.83 m 2 D ．4 m 2
4．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，
用80 m 长的篱笆围一个矩形场地．
当AD ＝________时，矩形场地的面积最大，最大
值为________．
6．将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm 2.
7．(淮安中考)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．。
22.3 实际问题与二次函数正式稿3
y O
C A
h 20 m
D B
x
y 1 92 3.24 25
（2）由题意可得D点的横坐标为9 上升的高度 4 3.24 0.76m
∴此时水深= 2+0.76= 2.76m
答：水深超过2.76 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行
例3 如图，一名运动员在距篮圈下4m跳起投篮，篮球运行的路 线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心距离地面3.05m，若 该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m出手，问球出手时， 他跳离地面的高度是多少米？
∴3.05= a×1.52 +3.5
C
出手处
D
篮A圈
？E 3.05
解得a 1
P
5
抛物线的解析式为y 1 x2 3.5
2.5 O 1.5
Q
5
n 1 (2.5)2 3.5 2.25 5
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2
（2， 2）
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2 k
（0，2） （2，0）
①
③
②
④
对比一下，哪种建系方式最为简单？
（1）求宽度增加多 少需要什么数据？ （2）表示水面宽的 线段的端点在哪条 曲线上？
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？