第三章 从弹性波到地震波
弹性波动理论
四、波动方程 若应力体内两相邻质点应力相同，无相对运动，静止平衡状态
若二者之间有应力差，产生波动
为研究弹性波动形成的物理机制和传播规律，须建立波的运动方程（波动方程）
波动方程: 研究介质中质点位移随时间和空间的变化规律。
在弹性理论中，对于均匀、各向同性、理想弹性介质中的三维波动方程式为
(
)
x
2u
2u t 2
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正
截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比
P K=-
(1.7)
(4) 切变模量（μ）
切变模量（刚性模量）:表示了物体切应力与切应变之比
μ=
(1.8)
对于液体: μ=0，不产生切应变，只有体积变化。
(5) 拉梅常数（λ、μ） 弹性力学中：受力物体内任意点受力 沿坐标轴分为三个分力，每个分力 都会引起纵向和横向沿三个轴的应力与应变。
因此：振动图是描述地震波质点位移随时间的变化规律的图像。 图中： t1――初至，质点刚开始振动 △t――波（质点振动）的延续时间，△t的大小直接影响地震勘探的分辨率。
1.8 (a) 振动图 (b)波形记录
体波：纵、横波，在整个空间
面波：弹性分界面附近 瑞利面波：自由界面，地滚波，R波 特点：低频、低速，能量大（强振幅），旋转（铅垂面，椭圆，逆转）
天然地震中，危害极大 勒夫面波：低速带顶底界面，平行界面的波动，振动方向垂直传播方向，
SH波 特点：对纵波勘探影响不大，对横波勘探严重干扰
图1.5 (a)瑞雷面波的传播 (b)勒夫面波的传播
自然界中绝大部分物体，在外力作用下，既可显弹，也可显塑
地震勘探，震源是脉冲式的，作用时间很短（持续十几～几十毫秒），岩土受 到的作用力很小，可把岩、土介质看作弹性介质，用弹性波理论来研究地震波。
第三章-地震学基础—地震波传播理论
地震学基础
第三章 地震波传播理论
第三章 地震波传播理论
地震学基础
令入射的波前A`B`，反射波的波前CD和透射波的波前CE与 界面R的夹角分别为α、β 、γ。叫α为入射角，β为反射角，γ为透 射角。从ΔA`Β`C 、ΔA‘EC 和 ΔA`DC的简单的三角函数关系可有：
1 t CB' A'C sin 1 t A'D A'C sin 整理后： 2 t A'E A'C sin
当 f 时，d 0
d
1 f
能量束成为“线”（射线）
d
第三章 地震波传播理论
地震学基础
非均匀介质中的地震射线
射线（Ray)
第三章 地震波传播理论
地震学基础
Fermat原理在地震学中的应用
Snell定律
入射波 （Incident Wave）
反射波 （Reflected Wave）
ref
V1 V2
第三章 地震波传播理论
地震学基础
传播定律定理： 用射线和波前来描述波的传播 位置和能量随时间变化的关系，这种关系是工程地 震勘察资料处理中的重要组成部分，是进行地震数 据资料处理和定性定量解释的依据。下面就地震波 传播中有关的运动学和动力学中的定律定理介绍给 大家。
第三章 地震波传播理论
地震学基础
发生波类型的转变（分裂），可以用斯涅尔定律来说明。
地震勘探原理各章重点复习资料
地震勘探原理各章重点复习资料第⼀章：1、地球物理勘探:是根据地质学和物理学的基本原理，利⽤电⼦学和信息论等许多学科领域的新技术建⽴起来的⽅法，简称物探⽅法。
也就是，根据地层和岩⽯之间的物理性质不同来推断岩⽯性质和构造。
2、主要物探⽅法：地震勘探(岩⽯弹性的差别)—勘探地震学⾮地震类：重⼒勘探(岩⽯的密度差别)磁法勘探(岩⽯的磁性差别电法勘探(岩⽯的电性差别)3、重⼒勘探是研究反映地下岩⽯密度横向差异引起的重⼒变化，⽤于提供构造和矿产等地质信息。
重⼒异常的规模、形状和强度取决于具有密度差的物体⼤⼩、形状及深度。
重⼒勘探的任务是通过研究地⾯、⽔⾯、⽔下（或井下）或空间重⼒场的局部或区域不规则变化（即局部重⼒异常或区域重⼒异常）来寻找埋藏在地下的矿体和地质构造4、磁法勘探就是测定和分析各种磁异常，找出磁异常与地下岩⽯、地质构造及有⽤矿产的关系，作出地下地质情况和矿产分布等有关结论。
磁法勘探主要⽤来研究地质构造；研究深⼤断裂；计算结晶基底的埋深；寻找油⽓、煤⽥的构造圈闭、盐丘等，寻找磁铁矿床、⾦属和⾮⾦属矿床等。
5、电法勘探就是利⽤⼈⼯或天然产⽣的直流电场或电磁场在地下的分布规律来研究地球结构、地质构造及找矿的⼀种物探⽅法。
电法勘探是以岩⽯或矿⽯的电性差异为基础的，主要研究的电性差异参数包括：电阻率（ρ）、激发极化率（η）、介电常数（ε）、导磁率（µ）、电化学活动性等。
电法勘探的内容⼗分丰富，它们⼴泛应⽤于⾦属及⾮⾦属、⽯油、⼯程地质、⽔⽂地质等勘探研究⼯作中。
6、地震勘探⽅法就是利⽤⼈⼯⽅法激发的地震波(弹性波)，研究地震波在地层中传播的规律，来确定矿藏（包括油⽓，矿⽯，⽔，地热资源等）、考古的位置，以及获得⼯程地质信息。
地震勘探所获得的资料，与其它的地球物理资料、钻井资料及地质资料联合使⽤，并根据相应的物理与地质概念，能够得到有关构造及岩⽯类型分布等信息。
7、地震波的激发和接收，提取有⽤信息。
地震概论地概知识点整理
第一章地震学的研究范围和历史全球每年发生500万次地震，人们可以感觉的仅占1%，造成严重破坏的7级以上的大地震约有18次，8级以上的特大地震1~2次。
全世界有6亿多人生活在强震带上，上个世纪约有200万人死于地震，预计二十一世纪将有约1500万人死于地震。
我国是个多地震国家，20世纪以来，我国发生了800多次6级以上的地震，平均每年约8次；历史记载全球死亡超过20万人的地震有6次，其中在中国就有4次。
第一节什么是地震学？地震学包括：一、地震的科学以及地球内部物理学，后者主要研究地震波的传播，从而得出地球内部结构的结论；二、弹性波（地震波）的科学，主要研究地震、爆炸等激发的弹性波的产生、在地球内部的传播、记录以及记录的解释；三、应用：地震勘探、工程地震学、识别核爆。
固体地球物理学则是通过观测地球表面上的物理效应来研究地球内部的物质的性质第二节地震学的研究范围和主要的研究方面研究范围的三个方面一、宏观地震学：主要是指地震宵害的调查和研究、地区基本烈度的划分，以达到为建筑物的抗震设计提供合理的资料和指标，并为地震预报提供宏观数据。
二、地震波的传播理论：根据地震台风网观测得到的地震资料，研究地震波的发生及传播特征，并利用来研究地壳和地球内部的结构、组成和状态。
三、测震学：内容包括地震仪器的研制、地震观测台网的布局以及记录图的分析、处理和解释工作。
第三节地震学的基本名词和概念2）按震源深度划分：✧浅源地震：震源深度小于60km的天然地震；✧中源地震：震源深度在60-300km之间的地震称为中源地震；✧深源地震：震源深度大于300km的地震已记录到的最深地震的震源深度约700公里。
有时也将中源地震和深源地震统称为深震。
（3）按震中距划分：✧地方震：震中距小于100km的地震；✧近震：震中距小雨1000km的地震；✧远震：震中距大于1000km的地震；（4）按震级划分：✧弱震：M<3的地震；✧有感地震：3<M<4.5的地震；✧中强震：4.5<M<6的地震；✧强震：M 6的地震；地震波波长：数百米至数千米第三节古代人类对地震的认识一、地震学前史在科学不发达的过去，人们对地震发生的原因，常常借助于神灵的力量来解释。
第三章波动方程
拉普拉斯算子： 拉普拉斯算子： 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂u ∂u ) + (sin α ∇ 2u = 2 ( r 2 r ∂r r ∂α ∂r r ⋅ sin α ∂α ∂u ∂ u ↓← = =0 ∂ α ∂β
2 1 ∂u ∂ 2 u 2 ∂u 2 ∂ u )= 2 + = 2 ( 2r +r 2 r ∂r r ∂r ∂r ∂r
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解 、
已知球面纵波传播波动方程如下： 已知球面纵波传播波动方程如下： ∂ 2ϕ − VP2 ∇ 2ϕ = 0 ∂t 2 此式是直角坐标系中的波动方程， 此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中， 坐标系中，即
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 为了定量地描述微观粒子的状态， 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 波函数， 表示。一般来讲， 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。 的函数，并且是复函数，
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无限大、 3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
一、沿任意方向传播的平面波
如果使 t −
播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t 播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t为 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。
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因此，上式又可写为： 因此，上式又可写为：
ϕ=
ϕ
1 r ) = c1 ( t − r r VP
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无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 第一组解： 第一组解：当 V = V p = ( λ + 2 µ ) / ρ 时，
第三章 地质作用
纵波的传播速度最快，其次是横波，最慢的
是勒夫波和瑞雷波。
4.地震的分布
地震在全球的分布是不均匀的，地震多的地方
称地震区。地震区的震中常呈带状分布，也叫 地震带。 全球有三个地震带：环太平洋地震带、欧亚地 震带（也称阿尔卑斯地震带）和沿各大洋海岭 地震带。这是全球地震大环境。中国介于前两 个地震带之间，所以是一个多震国家。中国破 坏性地震多集中在一定的狭窄地带，按地震活 动性和地质构造特征，可分为23个强震活动 带。
（二）化学风化 化学风化系指岩石在水、水溶液和空气中的氧与二 氧化碳等的作用下所发生的溶解、水化、水解、碳 酸化和氧化等一系列复杂的化学变化。 1.溶解作用 水是一种好的溶剂。矿物遇水后就会不同程度地被 水溶解，一些质点离开矿物表面进入水中形成溶液 流失。 2.水化作用 有些矿物和水结合形成新的矿物。岩石中的矿物大 都不含水，但在地表与水接触形成新的矿物，却几 乎都含水。 CaSO4+2H2O→CaSO4· 2H2O
一、暂时性流水的地质作用
1、淋滤作用及残积层
2、洗刷作用及坡积层
3、冲刷作用及洪积层
二、河流地质作用
2、搬运和沉积：→冲积层
三、河谷地貌
洪水位
1、河谷地貌：
小结：
1、风化作用
2、地表流水的地质作用
1）暂时性流水的地质作用 2）河流的地质作用
第三节 地 震 一、概述 （一）地震的基本概念 1.地震 地震是地壳快速震动的一种地质作用，是地壳运动 的一种表现形式。地震以弹性波的形式传播，通常 发生在地球内部，有深有浅。 2.震源、震中和震域 地壳或地幔中发生地震的地方称为震源。震源在地 面上的垂直投影称为震中。震源传出的地震波在地 表面所能涉及的到的区域称为震域。
第三章波动方程培训课件
2 U ( )gr a F d 2 tU 2
两边分别取散度和旋度，并且令
V P 2(2)/
VS2 /
则可得纵波方程和横波方程
2t2 VP22
2t2 VS2
5
3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解
已知球面纵波传播波动方程如下：
2t2 VP220
此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中，即
x rsic nos y rs in s in(0 r ,0 ,0 2 ) z rcos
前面是平行的。
▪ k1,k2,k3 是平面的法线方向数。有 k12k2 2k3 21
▪ 取负号时，表示随时间t的增加，波沿k方向前进，即延 迟一个时间。
▪ 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即 提前一个时间
▪ 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表 示沿任意方向传播的平面简谐波。
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二、沿X轴方向传播的平面波（即
kx
）
U Aex 2 p ik1xk2yk3zV td AieA co sisin
k1 1 ,k 2
U A exp
u A 1 exp
0 ,k 3 0
2i
x
Vt
2i
x
Vt
d
v
A 2 exp
2i
x
Vt
w
A 3 exp
2i
u rer u rr r
第三章地球内部圈层
圈 层
球 的 内
第 三 章
部
第三章地球内部圈层
第三章 地球的内部圈层
第一节 地球的内部圈层 第二节 地壳
第三章地球内部圈层
第一节 地球的内部圈层
大量资料充分证明，地球不是一个均质体， 它具有明显的圈层结构，而且各圈层之间的 物理、化学性质和物质运动状态差异较大。
一、地球内部圈层的划分
(一）划分依据：地震波 地震波：地震所激发出的弹性波在地球 中传播，这种弹性波就叫地震波。地震波主 要包括纵波（P）、横波（S）和面波（L）， 其中前两者最有意义。
（1）厚度：5～70km之间。其中大陆 地区厚度较大，平均为33km；大洋地区厚 度较小，平均约7km。总体平均厚度约 16km。
（2）体积：占地球总体积的1.55％， 而质量仅占地球的0.8％。
（3）密度：一般为2.6～2.9g/cm3。 （4）成分及状态：由固态岩石所组成， 包括沉积岩、岩浆岩和变质岩三大岩类。
／s突然降低为7.98km／s，而横波由7.23km／ s向下突然 消失。到了 5155km处又 重新出现。
第三章地球内部圈层
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2、地球内部圈层 （1）地壳：莫霍面之上的部分称为地壳。 （2）地幔：古登堡面以上至莫霍面之间的 部分称为地幔。 （3）地核：古登堡面以下至地心的部分称 为地核。
第三章地球内部圈层
第三章地球内部圈层
（二）压力
地内的压力又称为静压力或围压，按静 压力平衡公式可表示为ρ=hρh gh（即静压 力ρ等于某深度h和该深度以上的地球物质 平均密度ρh与平均重力加速度gh的乘积）。
因此，地内压力总是随深度连续而逐渐 地增加的。例如，地壳的平均密度 2.75g/cm3，那么深度每增加1km，压力将增 加约27.5MPa。计算证明，压力值在莫霍面 处约1200MPa、古登堡面处约135200MPa、 地心处361700MPa。
弹性波传播与波导技术
弹性波传播与波导技术弹性波传播与波导技术是现代科学研究中的重要内容，涉及到材料科学、地质工程、无损检测等多个领域。
本文将从弹性波的基本概念出发，探讨其传播特性与应用价值，并介绍波导技术在弹性波传播中的应用。
弹性波是一种在固体材料中传播的波动现象，包括纵波和横波两种形式。
纵波是材料中分子振动的一种沿着波传播方向的垂直波动，而横波则是分子振动与波传播方向垂直的波动。
弹性波的传播速度和传播方向与材料的性质密切相关，因此对于不同材料的弹性波传播研究具有重要的意义。
在材料科学领域，弹性波传播研究可用于材料的力学性质和结构分析。
通过测量材料中弹性波传播速度以及振动模式的成分，可以推断出材料的导波特性和内部结构。
这对于材料的设计和制备具有重要参考价值。
例如，在复合材料的制备过程中，可以利用弹性波传播研究不同层次之间的黏结情况，从而优化制备工艺，提高材料的性能。
地质工程领域也广泛应用了弹性波传播技术。
地震波是一种弹性波，通过测量地震波在地下传播的速度和方向，可以了解到地下的岩石结构以及地震波在不同介质中的传播规律。
这对于地质勘探和灾害预警具有重要意义。
此外,也可以通过分析地震波的传播路径和传播速度，推断地下物质的化学组成和温度分布等信息，从而为资源勘探和环境保护提供依据。
无损检测是另一个利用弹性波传播技术的应用领域。
无损检测是指在不破坏被检测物体的条件下，通过测试其表面弹性波的传播和反射情况，来判断被测物体内部的结构和缺陷情况。
例如，在建筑结构和航空航天领域，人们可以利用弹性波传播速度和反射率的变化来检查墙壁、桥梁和飞机零件是否存在微裂纹等缺陷。
这种方法快速、准确，可以检测到被检测物体内部微小的隐蔽缺陷。
在实际应用中，波导技术是弹性波传播的重要工具之一。
波导是一种能够将波导向特定方向传播的结构。
在弹性波传播中，波导可以通过特定的几何形状和材料参数来控制波的传播路径和传播速度。
例如，利用波导技术可以设计出一种弓形结构，使得弹性波从一端进入，沿着弓形路径传播到另一端，而在其他方向上则无法传播。
高二地理选修六第三章第三节教案5篇
高二地理选修六第三章第三节教案5篇全面贯彻“三个面向”战略指导思想，渗透和灌输可持续发展的战略思想。
以素质教育为根本宗旨，以培养创新精神和实践能力为重点，充分发挥学生的潜能，提高学生的全面素质和自学能力。
那么在学习地理的过程中有哪些教案会比较好呢下面是小编为大家整理的5篇高二地理选修六第三章第三节教案内容，感谢大家阅读，希望能对大家有所帮助！高二地理选修六第三章第三节教案1【教学目标】一、知识要求:1.使学生了解地球的圈层构造，初步掌握地球内部圈层的组成和划分依据2.使学生了解各内部圈层的界限、厚度、物理性状等。
二、能力要求：1.使学生了解研究地球内部构造的方法，从而认识人类对未知事物所进行的探索实践，激发同学们学科学、爱科学的兴趣及责任感。
2.了解地球内部圈层划分实况及各层主要特点，从宏观上认识全球的整体面貌，形成地球系统观念。
3.通过归纳、总结、对比地球内部各层的特点，对学生进行综合归纳等思维能力的培养和训练。
三、情感目标通过学习对学生进行热爱自然、热爱科学的教育，鼓励学生献身于科学教育事业。
【教学重点】1.地震波的波速及传播特点，区别横波与纵波。
2.地球内部圈层划分实况及各层主要特点，特别是地壳的特点。
3.岩石圈概念，软流层知识。
4.激发同学学科学、爱科学的兴趣及责任感，地球系统观念的形成。
【教学难点】1.“地幔”的有关知识。
2.激发学生学科学、爱科学的兴趣及责任感，形成地球系统观念。
【课时安排】1课时【教具设计】地震波速度与地球内部构造图，地球内部结构示意图，投影片(或多媒体、图片)。
【教具设计】【讲授过程】【导入新课】“谈天”是为了“说地”，“谈天”中已知地球的形状──球体，但它既不同于篮球──空心，也不同于铅球──均质体，而是从里向外划分为若干个球形的层次──圈层(出示“地球的圈层构造”示意图)。
地球有六大圈层：内部三个，外部三外，界限是固态的地表。
六大圈层中，与人类关系最密切的有四个(“立足之地”──地壳、“空气”──大气圈、“水”──水圈、“食物”──生物圈)，今天我们这节课就主要讲述这几大圈层，【板书】第四节：地球的圈层结构【过渡】首先我们学习地球的内部圈层：【引发思考】地球内部因地壳的阻挡，对人类来说始终是神密的，我们怎么会知道地球内部是由地壳、地幔、地核组成的呢【讨论】学生讨论人类用什么方法可以了解地球【学生回答】略。
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体积元总体体积模量?
两个弹性参数k和μ便可以得到地震 波速度
两个弹性参数k和μ便可以得到地震 波速度
• Φ大到固体骨架断开时ks>>kt，方程(3.46)右边 第二项在沉积岩石的弹性参数中起主要作用， 沉积岩石的总体体积模量中kf起重要作用。 • 双相介质中的地震波速度可以从弹性参数k和μ 求出。在孔隙的尺度远小于地震波长的条件下， 平面纵波和横波的传播速度的分别为 • Vp=[(3k+4μ)/(3ρ)]1/2 • Vs=[μ/ρ]1/2 (3.57) • Gassmann的模型是用弹性力学中完全弹性介 质理论对多相介质理论的最简练的推广，仿照 的是导出标量波动方程的例子。
• 以上的Gassmann与Boit岩石模型用于描述砂岩 等均匀分布的夥粒碎屑沉积岩石是可以的，但 是对于含不规则孔洞和裂缝的灰岩就不行了。 含不规则孔洞和裂缝的平面波散射理论，是由 Kuster和Toksöz在1974年提出的。Kuster-Toksöz 的模型似乎把Gassmann模型反过来，把无限 均匀的完全弹性介质作为固体骨架，而把其中 椭球形孔洞充填以流体，根据后者对平面波的 散射来表述双相介质中的波动规律。当然，理 论上也可以把无限均匀的介质作为流体，，而 把其中的椭球形孔洞充填以完全弹性固体，但 这种模型更接近悬浮介质模型。
第三章 从弹性波到地震波
地震波专指地球内部传播的声波与 弹性波，而物理学中讨论的是均匀 介质中传播的声波与弹性波
地震波在海洋、岩石及地球外核熔 体中传播，传播介质更为复杂
• 从理论上看地震波理论必须进一步解决以下五 个问题： • 变系数波动方程的合法性及使用条件， • 地震观测记录的准确描述 • 多层介质中弹性波的传播理论 • 无相变多相介质中弹性波的传播理论， • 可流变熔体中波的传播理论， • 组构复杂地层的连续介质弹性力学模型，包括 其中的边界层模型
Berrymann的理论
• Berryman(1993)进一步研究了同时包含孔洞 和缝隙的介质模型，称为双隙隙介质模型。 针对裂缝-孔隙型储层岩石，双孔隙介质模 型是指具有两种不同孔隙类型（如孔隙、 裂隙）的介质模型，研究弹性波传播的一 般规律，以及波属性与双孔隙岩石特性参 数之间的基本关系。在声波测井与地震资 料解释中，Kuster- Toksöz和Berrymann的理 论是判别油气储层孔隙类型、计算地层渗 透率参数和流体饱和度的理论基础。
3.2 地震记录与录与波 传播方程
3.2.3 陆地三分量记录与波传播方程
3.3 多个水平层介质中弹性波的传播
柱坐标弹性波传播方程
三组方程式都不含对z的偏导数，即假设在地层内介质为均匀 介质时，剪切位移与应力分量的偏导数为0，即不随层内体 元垂向变化。
广义解
变系数波动方程间断的初边值
• “边界层”理论。所谓间断面只是一种简化的 理论模型，代表一个复杂的薄层区域。间断面 条件可用来研究波场穿过薄层时物理量在薄层 外的总体变化特征，但不宜用于波场穿过薄层 时内部物理量的变化特征研究。于是，连续介 质力学应用就与研究对象的尺度有关。数学家 早已发现，双曲型方程初边值问题解的非唯一 性多出现在个别的局部邻域（即奇点）上，它 们就是用不能用连续介质力学描述的微尺度波 场分布的局部邻域。
递推公式
地面反射地震道合成
3.4多相介质弹性波 Gassmann模型
• 将沉积岩石简化为固体骨架和流体孔隙两部分 组成，并认为孔隙全部为流体充满（饱和）。 为建立物理模型，Gassmann作出的最简化假 设是：固体骨架是线性各向同性弹性体，而且 它和流体孔隙之间的相对运动可以忽略不计。 这时，假设Φ为孔隙度，与实际情况符合，Φ 一般小于0.25。用下角标s或f分别注记固体骨 架和流体孔隙，则双相介质的密度为两种介质 的加权平均： • ρ=Φρf +(1-Φ)ρs (3.49)
如何表述波动场?
• 在流体中波动用压力，而固体中用位移矢量，在双 相介质中用什么？Gassmann选择了压力。设双相介 质体积元相对前一时刻的压力差为∆P，∆V为体积元 相对前一时刻的体积差，由于假设固体骨架和流体 孔隙之间的相对运动可以忽略不计， 有 • ∆P=∆Pt+∆Pf (3. 50) • ∆V=∆Vs+∆Vf (3. 51) • 式中∆Vs为骨架的体积变化，∆Pf为流体压力，∆Pt为 骨架承受的压力，它由两部分组成，其一为来自流 体的压力∆Pf，其二为来自相邻体积元骨架的应力 ∆Ps。
利用Fourier-Bessel变换将位移变化到 频率域
位移-应力关系便可用以下常微分矩 阵方程
位移应力矢量=传播关联矩阵*位移 应力矢量+体力矢量
传播关联矩阵为A，位移应力矢量的 矩阵方程
3.3.2 边界条件的加入
传播矩阵P
3.3.3 平面波垂直入射层状介质半空 间中波的传播
位移矩阵方程与传播矩阵
简化的地球模型V(x,y,z)
• 1. 连续性模型, V为连续可微函数，无界面
• 2. 离散模型：很多边界面，之间为常数 • 3. 混合模型
层状地球模型
• （1）地层界面用二变量单值函数zi(x,y)定义， i=1,2,…, 它必须是连续函数；（2）层间介质 弹性参数，如，Vpi(x,yz)，为单值光滑函数， 实际上通常用层间波速Vpi(x,y,z)垂直方向的 平均值作为层速度，记为Vpi(x,y)，以它代 替层间波速；（3）变系数波动方程中不存 在对t的一阶偏导数项，即在不考虑波频散 和衰减的情况下，变系数波动方程的广义 解存在
扩展的Gassmann模型
如何把压力波动场随时间的变化与 流体运动联系起来?
流体饱和双相介质中第II类压力波波 动方程
流体饱和双相介质中第II类压力波波 动方程
3.5 多相介质中波的理论I I: Biot理论
• Biot理论用相互连接的等轴状夥粒描述双相介质中的固体骨架， 典型的等轴状夥粒就是球体。因此，空的固体骨架在微观上与 线性各向同性弹性体相同，而孔隙为粘滞性流体所充填。他区 分了固体夥粒的位移矢量与孔隙流体的平均位移，描述了体积 元内二者之间的相对运动和波动场。固体夥粒与孔隙流体之间 的位移速度之差称为相对速度，它与固体夥粒与孔隙流体之间 的振动摩擦力成正比。此摩擦力也与流体的粘滞系数成正比， 是双相介质波动方程力源项所特有的。他通过体积元位移势表 示的应变，导出用以描述含孔隙流体的双相介质应力应变关系 式和运动平衡方程式，并进一步导出一对描述固体和流体介质 中波动传播的微分方程。最后，他得出结论：对于无限大双相 介质，有两类胀缩波和一类旋转波存在，第II类胀缩波频散严重， 频散有一个阶跃区段，其中心称为临界频率。只有在流体粘滞 系数很小（对应岩石渗透率很大）时，胀缩波和旋转波的频散 和衰减才可以忽略。
如何表述双相介质的弹性参数?
• Gassmann选择了体积模量k。体积模量k的定义 是∆P和∆V/V比值的负值，其中V为体积元的体 积，∆P=-k (∆V/V)。在双相介质中，流体压力的 变化引起不仅固体骨架和流体孔隙体积的变化， 即 • ∆Vf=-ΦV∆Pf /kf (3.52) • ∆Vs1=-(1-Φ)V∆Pf/ks ; (3. 53) • 而且，相邻的骨架压力的变化会使体积元总体 积发生变化: • ∆Vs2=-V∆Pt/kt; (3. 54)
3.1 变系数波动方程
u(x,t)<<<->>>u[x,t;V(x)]
• 解的存在性?
• 对边界的依赖性? • 解的唯一性? • 间断面的处理：边界层假设
常系数波动方程<->变系数波动方程
• 常系数波动方程(2.19)具有一些优越的性质，如对坐标 平移的不变性，对时间变量t是对称的，基本解的存在 性是可以证明的，任何一个充分光滑的解的偏导数也是 原方程的解，等等。 • 变系数波动方程(3.1)并不一定具有这些优越的性质。实 际上，的基本解不一定存在。 • 1变系数波动方程与常系数波动方程不同之处在于，要 研究它的共轭方程（伴方程）才知道它的解的存在性和 唯一性。2变系数波动方程初边值问题属于广义的初边 值问题，唯一解的存在性是没有保证的，常常要导出更 多的附加条件才能求出广义的唯一解。3广义解是否存 在还与边界类型有关，即对相同的方程与初始条件，某 些类型的边界解存在，对另一些类型的边界解不存在。
3.5.1 低频段流体饱和多孔隙固体中 的弹性波
表示固体胀缩对流体的耦合--压力， 相邻体积元流体的牵引力
作用于体积元固体上的运动方程， 作用于体积元流体上的运动方程
两个方程代表两种相互耦合的波动， 它们分别是第I类和第II类波。
流体饱和多孔隙固体旋转波速度
第I-II类波的胀缩波方程组
Kuster-Toksöz的模型