省优质课三角形中位线讲解学习
三角形中位线公开课课件
中位线定理在求线段长度中的应用
详细描述
中位线定理还可以用来求线段的长度。具体来说，如果知道三角形的一边和它所对应的中位线的长度 ，就可以利用中位线定理来求出其他边的长度。这个定理在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们 找到一些未知的长度。
03 三角形中位线的实际应用
在几何图形中的应用
三角形中位线定理
答案解析
基础练习题1解析
首先根据中位线的性质，我们知道DE平行 于BC且DE=0.5BC。由于DE平行于BC，根 据相似三角形的性质，我们可以得出△DEF 相似于△BCF。根据给定的BF:FC=1:3，我 们可以计算出DE:BC=1:6。因此，AC与CF 的长度比为6:1。
基础练习题2解析
同理于基础练习题1，我们可以根据中位线 的性质和相似三角形的性质得出DE:BC=1:4。 因此，AC与CF的长度比为4:1。
三角形中位线的其他性质
总结词
三角形中位线具有一些重要的性质，包括中位线与第三边的关系、中位线与三角形的高 的关系以及中位线与三角形的角平分线的关系等。
详细描述
三角形中位线具有许多重要的性质。其中，中位线与第三边的关系表明，中位线的长度 是第三边的一半。此外，中位线与三角形的高的关系表明，中位线平行于三角形的高， 并且等于高的一半。最后，中位线与三角形的角平分线的关系表明，中位线平行于角平
利用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，可以利用三角形中位线定理来找到解决问题的关键点，如测量、计算 等。
三角形中位线定理在实际问题中的应用举例
在测量河宽、计算建筑物的高度等实际问题中，可以利用三角形中位线定理来简化计算过 程。
三角形中位线定理在实际问题中的应用注意事项
在实际应用中，需要注意实际情况的限制条件，如测量角度、距离等误差的影响。
三角形中位线定理课件
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
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在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
三角形的中位线 知识讲解
三角形中位线定理责编：杜少波【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】（2015秋•青岛校级月考）在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO 中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC ＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】（2015春•泗洪县校级期中）如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN⊥BE 于N ，AM⊥CF 于M ，求证：MN∥BC．【答案】证明：延长AN 、AM 分别交BC 于点D 、G ．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．4、（2014•鞍山一模）（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【思路点拨】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．【答案与解析】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠HEO，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由.【答案与解析】解：四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.。
数学八年级下册《三角形的中位线定理》省优质课一等奖教案
三角形的中位线
质定理时辅助线的添法和性质的录活应用。
）剪一个三角形，记为△
将△ABC
、思考：四边形ABCD是平行四边形吗？
、探索新结论：若四边形是平行四边形，那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？
第二环节：教师讲授，传授新知
内容：引入三角形中位线的定义和性质
定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的生学习兴趣，然
流。
第三环节：师生共析，证明定理
证明:如图6-20(2),延长DE到F,使DE=EF,连接CF. （略）
第四环节：灵活运用，自我检测
）这节课学习了哪些具体内容：
）用什么思维方法提出猜想的？
）应注意哪些概念之间的区别？。
三角形的中位线ppt课件
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
数学八年级下册《三角形的中位线定理》省优质课一等奖教案
《三角形的中位线》教案1.理解并能够说出三角形的中位线的定义.2.理解并能够说出三角形中位线的性质定理,能够证明这个定理,且能够应用这个定理解决有关的问题.经历探索三角形中位线性质定理的证明过程,体会转化的思想方法,进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力.通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境,激发学生学习数学的热情和兴趣;通过对三角形中位线的研究,体验数学活动充满探索性和创造性.【重点】三角形中位线的性质定理的理解和证明,并能应用它解决有关的问题.【难点】三角形中位线的性质定理的证明(辅助线的添加方法)及熟练应用.【教师准备】演示课件.【学生准备】复习旋转的意义和性质.导入一:如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下面的方法估测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并步测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说说其中的道理吗?[设计意图]通过教材中这个现实的生活情境,引入三角形中位线的定义和性质.导入二:【情境创设】怎样将一张三角形的硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?1.剪一张三角形纸片,记为△ABC;分别令AB,AC的中点为D,E,连接DE;沿DE 将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180度到△CFE的位置,得四边形BCFD.2.判别四边形BCFD是否为平行四边形,并说明理由.[设计意图]引导学生主动将三角形与平行四边形建立联系,从而发现三角形中位线定理的证明思路.此活动既是对将要探究的三角形中位线性质的一个铺垫,又渗透了转化的思想方法——将对三角形中位线性质的研究转化为对平行四边形性质的研究.一、三角形中位线的定义和性质连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.方法一:度量.(1)画图:画△ABC及△ABC的中位线DE.(D,E分别在AB,AC上)(2)度量:用量角器测角度:∠ADE=,∠B=;用直尺测长度:DE=,BC=.(3)结论:DE与BC的位置关系:DE BC;DE与BC的数量关系:DE BC.(4)猜想:三角形的中位线与第三边的关系.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.方法二:旋转拼图.如图(1)所示,先对折得到AB的中点D,AC的中点E.过点D作DF⊥BC,把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADH;同样过点E作EG⊥BC,把△CEG绕点E 逆时针旋转180°得到△AEM,形成长方形HFGM.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.如图(2)所示,先对折得到AB的中点D,AC的中点E.过点D作DF∥AC,把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADG,形成平行四边形AGFC.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.方法三:几何证明.已知:如图(1)所示,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,DE=BC.证明:如图(2)所示,延长DE到F,使EF=DE,连接CF.在△ADE和△CFE中,∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE,∴△ADE≌△CFE.∴∠A=∠ECF,AD=CF.∴CF∥AB.∵BD=AD,∴CF=BD.∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF∥BC,DF=BC.∴DE∥BC,DE=BC.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.[设计意图]通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明,由感性到理性,使学生经历定理的探究过程,积累数学活动的经验.二、议一议顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形有什么特点?学生容易发现:所得四边形是平行四边形.已知:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.证明的方法实际上并不难.证明思路是:作原四边形的一条对角线,利用三角形中位线定理证明新四边形的一组对边平行且相等.已知四条线段的中点,可设法应用三角形中位线定理,找到四边形EFGH的边之间的关系.而四边形ABCD 的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以连接AC或BD,构造“三角形的中位线”的基本图形.[知识拓展]三角形的中位线是证明线段、角相等的常用方法,也是证明线段平行的常用方法,在以后的学习中,如果知道中点时,经常用中位线定理来解答.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.顺次连接四边形各边的中点所成的四边形是平行四边形.1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE= 60°,则∠C的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°解析:在△ADE中,利用三角形内角和定理求出∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°,∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴∠C=∠AED=70°.故选C.2.已知△ABC的周长为50 cm,D,E,F分别为△ABC中AB,BC,AC边的中点,且DE=8 cm.EF=10 cm,则DF的长为 cm.解析:由三角形中位线定理可知:AC=2DE=16 cm.AB=2EF=20 cm,所以BC=50-16-20=14 (cm),根据三角形中位线定理可得:DF=BC=7 cm.故填7.3.如图所示,已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上的点,且CE=DC,连接AE分别交BC,BD于F,G,连接AC交BD于O,连接OF,求证:(1)AF=EF;(2)DE=4OF.证明:(1)如图所示,连接BE,易知CE AB,∴四边形ABEC为平行四边形.∴AF=EF.(2)由(1)知BF=FC,∵OA=OC,∴OF为△ABC的中位线,∴OF=AB,∴DE=2AB=4OF.3三角形的中位线一、三角形中位线的定义和性质二、议一议一、教材作业【必做题】教材第152页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第152页习题6.6的2,3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在四边形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,且AB=BF,添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是()A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDE2.如果三角形的两条边分别为4和6,那么连接该三角形三边中点,所得的三角形的周长可能是下列数据中的()A.6B.8C.10D.123.(娄底中考)如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD 的周长为18,则△DEO的周长是.4.如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF=厘米.【能力提升】5.已知1个三角形的周长为a,它的三条中位线组成第2个三角形,其周长为;第2个三角形的三条中位线又组成第3个三角形,其周长为;依次类推,第2014个三角形的周长为.6.如图所示,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长为.7.一个三角形的三边长分别是6 cm,8 cm,12 cm,它的三条中位线把它分成三个平行四边形,则它们中周长最小是 cm.【拓展探究】8.如图所示,在▱ABCD中,EF∥AB交BC于点F,交AD于点E,连接AF,BE交于点M,连接CE,DF交于点N,连接MN.求证:MN∥AD,MN=AD.9.如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD 于点F,点E是AB的中点,连接EF.求证:EF∥BC.【答案与解析】1.D(解析:由∠F=∠CDE,∠FEB=∠DEC,BE=EC,可证得△BEF≌△CED,∴DE=EF,又AB=BF,∴AD∥BE,又由∠F=∠CDE可知AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.)2.B(解析:设原三角形的三边分别是a,b,c,令a=4,b=6,依据三角形三边关系,得2<c<10,12<三角形的周长<20,连接各边中点所得的三角形周长是原三角形周长的一半,故6<中点三角形的周长<10.利用三角形三边关系,确定原三角形的周长范围是解题的关键.)3.9(解析:△DEO的周长是△BCD的周长的一半.)4.3(解析:根据平行四边形对角线互相平分,得OA+OB=(AC+BD) =12厘米,又C△=OA+OB+AB=18厘米,则AB=6厘米,∵点E,F分别是线段AO,BO的中点,∴EF是OAB△OAB的中位线,∴EF=AB=3厘米.)5.a a a (解析:第2个三角形的周长等于第1个三角形周长的一半,为a ;第3个三角形的周长为a ;…;第2014个三角形的周长为 a.)6.11(解析:∵BD ⊥CD , BD =4,CD =3,∴BC ===5,∵E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,CD ,BD 的中点,∴EH =FG =AD ,EF =GH =BC ,∴四边形EFGH 的周长=EH +GH+FG +EF =AD +BC ,又∵AD =6,BC =5,∴四边形EFGH 的周长=6+5=11.熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.)7.14(解析:如图所示, AB =6 cm, AC =8 cm,BC =12 cm,D ,F ,E 分别为三角形各边中点,三条中位线把它分成三个平行四边形,则它们中周长最小的应该是▱ADEF ,AD =EF =3 cm,DE =AF =4 cm,其周长为2×3+2×4=14(cm).)8.解析:要证明MN ∥AD ,MN =AD ,只需要证明MN 为△ADF 的中位线即可. 证明:在▱ABCD 中,AB ∥CD ,AD ∥BC.∵EF ∥AB ,∴AB ∥EF ∥CD ,∴四边形ABFE 和四边形EFCD 均为平行四边形,∴AM =MF ,FN =ND ,∴MN ∥AD ,MN =AD.9.解析:由等腰三角形“三线合一”的性质,得点F 为AD 的中点,又点E 为AB 的中点,所以EF 为△ABD 的中位线.证明:∵CF 平分∠ACB ,DC =AC ,∴CF 是△ACD 的中线,∴点F 是AD 的中点.∵点E 是AB 的中点,∴EF ∥BD ,即EF ∥BC.本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线,开展教学活动.在三角形中位线定理的探究过程中,学生先是通过动手画图、观察、测量、猜想出三角形中位线的性质,然后师生利用几何画板的测量和动态演示功能验证猜想的正确性,再引导学生尝试构造平行四边形进行证明.通过知识的形成过程,使学生体会探究数学问题的基本方法;通过定理的探究与证明,培养了学生分析问题和解决问题的能力,提升了学生的思维品质.课堂时间有限,练习不够充分.三角形中位线的性质定理是一个很重要的定理,对很多问题的解决很有帮助,在课堂上多设计典型的题目,提高学生的思维和对三角形的中位线的性质定理的应用意识.随堂练习(教材第152页)1.解:周长等于(8+10+12)=15(cm).2.提示:MN是△ABC的中位线,AB=2MN.习题6.6(教材第152页)1.证明:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,∴DE=AB=BF,DF=AC=EC,∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+AE+EC=AB+AC.2.已知:如图所示,在△ABC中,中位线EF与中线AD相交于点O.求证:AD与EF互相平分.证明:如图所示,连接DE,DF,∵点D,E分别是BC, AB的中点,∴DE∥AC,同理得DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∴AD与EF互相平分.3.解:四边形EGFH是平行四边形.证明如下:∵点E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中点,∴EG∥BC,HF∥BC,GF∥AD,EH∥AD,∴GE∥HF,GF∥EH,∴四边形EGFH是平行四边形.4.解:取△CMN的边CM和CN的中点E,F,量出线段EF的长度即可求出MN的长度,因为线段EF是△CMN的中位线,所以MN=2EF,可求出A,B间的距离AB=4EF.三角形中位线定理的引入:三角形中位线定理的引入可以用开放式的方法,课前让学生准备一个任意三角形.问题:把三角形剪一刀,然后把它重新拼成一个平行四边形!你能用什么办法解决这个问题?学生一般都会从中位线处剪切,把原三角形剪切成一个三角形和一个梯形.然后把三角形旋转180°与原来的梯形拼成一个平行四边形.说明:本过程学生基本都能通过思考解决,但教师要注重学生表达自己思路形成的过程,同时要求学生说明这样做的道理.这个过程既可以为中位线性质的证明做好准备,又可以让学生形象地接受中位线的定理,而不显得唐突.如图(1)所示,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE(不需证明).小明的思路是:在图(1)中,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.问题:如图(2)所示,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD 的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明.解:判断△AGD是直角三角形.证明如下:如图(2)所示,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE,∵F是AD的中点,∴HF∥AB,HF=AB,∴∠1=∠3,同理HE∥CD,HE=CD,∴∠2=∠EFC,∵AB=CD,∴HF=HE,∴∠1=∠2,∵∠EFC=60°,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,∴△AGF为等边三角形,∴AF=GF, ∴GF= FD,∴∠FGD=∠FDG=30°,∴∠AGD=180°-60°-30°=90°,即△AGD是直角三角形.[解题策略]本题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是参考题目给出的思路,作出辅助线.连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE,则HF是△ABD的中位线,HE是△BDC的中位线,从而判断HE= HF,从而得出∠1=∠2,判断△AGF 为等边三角形,求出∠FGD=∠FDG=30°后即可得出结论.。
三角形中位线-全国优质课一等奖-课件
如图DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中 心，顺时针旋转180度，使点A与点C重合。 师友交流：
（1）△ADE和△CFE又怎样的关系？ A （2）由两个三角形的关系能得出那些
结论？
（3）CF与BD有怎样的关系？
D
EF
四边形DBCF是什么四边形?
（4）DF与BC有怎样的位置关系B和数量关系？ C
课题 §22.3
一、回顾交流
什么叫三角形的中线？ 你还能画出几条三角形的中位线？
A 连接三角形一个顶点和对边中点的线 段叫三角形的中线。
D
如图: △ABC中CD是一条中线
B
C
二、合作探究一 (三角形的中位线定义)
连结三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线 A
如图 DE是三角形的中位线
.
D
.E
B
C
二、合作探究一 （三角形的中位线的定义）
用符号语言表示
① ∵D.E分别为AB、AC的中点
∴ DE为△ABC的 中位线 D
B
② ∵ DE为△ABC的中位线
∴ D.E分别为AB、AC的 中点
A
E
C
三角形中共有几条中
A
位线？
E.
.F
B
.
D
C
D 中线DC
中位线DE
（1）B相同之处—C—都和边B中的点 有关C
（2）不同之处:
三角形中位线两的个端点 都边的是中__点_____
三角形中线只一有个端点 边是的中点
，
另一三端角点形的是顶点
。
二、合作探究二 三角形中位线性质（师友互助）
如图DE是△ABC的中位线, 将△ADE以点E为 中心, 顺时针旋转180度, 使点A与点C重合。
数学教案：三角形的中位线
数学教案：三角形的中位线教学目标学习三角形的中位线的定义和性质，掌握中位线的作图方法和应用。
教学内容1.什么是中位线？2.中位线的性质3.中位线的作图方法4.中位线的应用教学步骤第一步：介绍中位线的定义•通过示意图，向学生解释中位线的定义：三角形的中位线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
第二步：讲解中位线的性质•中位线有三个性质：–性质1：三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
–性质2：三角形的重心到各个顶点的距离是相等的，这个距离被称为中位线的中点距。
–性质3：三角形的重心将中位线按照 2:1 的比例分割。
第三步：演示中位线的作图方法•通过示意图和步骤演示，教授学生如何作出一个三角形的中位线：–步骤1：画出一个三角形 ABC。
–步骤2：在边 AB 上标出中点 D，在边 AC 上标出中点 E。
–步骤3：用直尺连接顶点 A 和中点 D，得到线段 AD，这条线段就是三角形的中位线。
第四步：讨论中位线的应用•引导学生思考中位线的应用场景和意义：–三角形的重心是一个很重要的概念，可以应用于建筑、物理、地理等方面的问题。
–中位线的中点距可以帮助我们推导出三角形的面积公式。
教学要点1.中位线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
2.三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
3.三角形的重心到各个顶点的距离是相等的，这个距离被称为中位线的中点距。
4.三角形的重心将中位线按照 2:1 的比例分割。
5.通过标出对边的中点，可以作出一个三角形的中位线。
教学延伸1.练习题：请计算以下三角形的中位线的中点距和面积。
–三角形 ABC，AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm。
–三角形 DEF，DE = 9 cm，EF = 12 cm，DF = 15 cm。
2.利用中位线的性质，探究其他三角形的性质，如等腰三角形、直角三角形等。
3.探索三角形的中位线与其他线段（如高线、角平分线等）的关系，发现一些有趣的定理。
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在三角形的中位线定理的证明及应用中， 处处渗透化归思想，它是一种重要的思想方法， 无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，
它对拓展学生的思维有着积极意义。
二、教学目标
1、经历三角形中位线的探索过程。
2 、会证明三角形中位线定理，体会证明过 程中辅助线的作用及转化的思想。
3、会运用三角形的中位线定理进行有关的 计算和证明。
C
N
B
在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，
连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N. 测出MN的长，就可知A、B两点的距离
（五）、课堂小结 布置作业
课堂小结： 1，本节课你通过怎样的学习收获到了什么？
2，证明三角形中位线定理的关键在于什么？
添加辅助线 3，定理有几个结论，如何应用？
两个结论， 一是表明位置关系， 一是表明数量关系，应用时要根据需要而选择。
A E C
中位线定理在同一条件下有两个结论，一是表明位置关 系，一是表明数量关系，应用时要根据需要而选择。
(三)、交流引导，突破难点
回忆 设疑 探索 发现 论证
严密理论验证
三角形中位线 定理的证明
已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。
1
求证：DE∥BC且DE= 分析：
2
BC
A
延长DE到F，EF=DE，
解：四边形EFGH是平行四边形.
D
连接AC，在△ABC中，
E
G
∴E、F分别是AB、BC边的中
点，即EF是△ABC的中1 位线.
B
F
C
∵ EF//AC， EF= AC
2
在△ADC中，同理可得 1
HG//AC，HG= AC
2 ∵EF//HG，EF=HG
∵四边形EFGH是平行四边形
达标检测：
已知，如图，在△ABC中， AD=DB，BF =FC，AE=EC 求证：AF、DE互相平分。
D
连接FC。
△ADE≌△CFE
B
E
F
C
四边形BCFD是平行四边形。
定理证明方法的探索：
延长中位线到点F，使得EF=DE，联结DC、AF、CF 根据对角线互相平分 A
∴四边形ADCF是平行四边形
D
E
F
∴AD∥CF 且AD=CF
B
C
∴BD∥CF 且BD=CF
四边形DBCF是平行四边形
定理证明方法的探索：
E，连接DE；
部分,并将△ADE绕点E
旋转180°得四边形BCFD,如图.
探索
A
D B
E F 连接三角形两边中点的线段， 叫做三角形的中位线。
C
三角形中线 C
D
E
A
F
B
三角形中位线 C
D
E
A
FB
三角形有三条中线，它们相交于一点。 三角形有三条中位线，它们组成一个三角形；
(二)、动态演示, 落实重点
证明：连接DF、EF ∵AD=DB，BF=FC ∴DF∥AC，同理FE∥AB
A D B
F
∴四边形ADFE是平行四边形
∴AF、DE互相平分
E C
问题：A、B两点被池塘隔开,如何 测量A、B两点距离呢？为什么?
A B
A
M
若MN=36 m，则AB=2MN=72 m
如果，MN两点之间还有阻 隔，你有什么解决办法？
（四）、配套练习 巩固新知 （五）、课堂小结 布置作业
（一）、动手操作, 引出概念
提出问题 运用教具做实验 反馈实验结果
动手操作，观察实验 用幻灯片演示实验
通过实验引出 三角形中位线
概念
活动
怎样将一张三角形纸片剪成两部分， 使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
A
D
E
F
B
C
(1)分别取AB、AC的中点D、 (2)沿DE将△ABC剪成两
省优质课三角形中位线
地位和 教学目标 作用
教学重 点难点
教材分析
教材分析
一 地位和作用
二 教学目标 三
教学重点和难点
一、地位和作用
本节既是上节平行四边形的性质和判定 后对平行四边形知识的应用和深化， 也为下节梯形中位线打下良好的基础， 做好了铺垫。
为今后证明线段平行及线段倍 分关系提供了方法和依据。
布置作业：
1、P39 A 1、2、3
2、能力拓展：顺次连接什么样的四边形 各边中点的线段所围成的四边形是平行 四边形、矩形、菱形、正方形？
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
E
∠AED＝
°.
B
C
（2）若在△ABC中， D、E、F分别是AB、AC、
BC的中点, AB、AC、BC的长分别为6cm、8cm
和10cm. 则△DEF的周长是 cm.
C
E
F
A DB
6cm
例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、
H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边
形EFGH是平行四边形吗？为什A么？ H
4、通过教学，培养学生主动探究精神与合 作意识。
三、教学重点和难点
重点:三角形中位线定理的证明与应 用。
难点:三角形中位线定理的证明。
三角形的中位线
1
教材分析
2
学情分析
3
教法和学法
4
教学程序设计论证明
探究归纳 巩固深化
学法
实
验
分
观
析
讨
察
比
论
概
较
释
况
巩
疑
归
固
纳
提
高
三角形的中位线
作CF∥AB，与DE的延长线交于点F
A
△ADE≌△CFE
D
E
F
四边形BCFD是平行四边形 B
C
数学化归的思想
(四)、配套练习，巩固新知
一、巩固练习 二、例题展示 三、达标检测 四、实际应用
练习： A
（1）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC
的中点,DE=3cm, ∠C＝70°,那么BC= cmD,
提出问题 几何画板做实验 归纳结论
观察，测量，猜测得出关系
. 用几何画板验证大小 角的关系
通过实验探究 三角形中位线
与第三边的关系
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半。
几何语言表述：
在△ABC中，
∵AD=DB，AE=EC
D
∴DE∥BC （位置关系）
DE= 1 BC （数量关系）B 强调： 2
1
教材分析
2
学情分析
3
教法和学法
4
教学程序设计
5
设计意图
教学程序 设计
创设A情dd 境You，r T情ext趣in 导her入e 动手操作，引入新知 自主探索，探求新知 合作交流，推理证明 尝试运用，巩固新知
课堂小结，理清脉络 布置作业，巩固新知
教学程序设计
（一）、动手操作 引出概念 （二）、动态演示 落实重点 （三）、交流引导 突破难点