需求的价格点弹性的几何意义

需求的价格点弹性的几何意义

先考虑线性需求曲线的点弹性。用图1来说明。

图1 线型需求曲线的点弹性

在图中，线性需求曲线分别与纵坐标和横坐标相交于A、B两点，令C点为该需求曲线上的任意一点。从几何意义看，根据点弹性的定义，C点的需求的价格弹性可以表示为：

d dQ P GB CG GB CB FO

e

dP Q CG OG OG AC AF

=-•=•===

由此可得出这样一个结论：线性需求曲线上的任何一点的弹性，都可以通过由该点出发向价格轴或数量轴引垂线的方法来求得。

线性需求曲线上的点弹性有一个明显的特征：在线性需求曲线上的点的位置越高，相应的点弹性系数值就越大；相反，位置越低，相应的点弹性系数值就越小。这一特征在图2 (a)中得到了充分的体现。在图(a)中，随着需求曲线上的点的位置由最低的A点逐步上升到最高的E点的过程，相应的点弹性由e d＝0逐步增加到e d＝∞。具体地分析，在该线性需求曲线的中点C，有e d＝1，因为CA=EC。在中点以下部分的任意一点如B点，有e d<1，因为BA1，又因为DA>ED。在线性需求曲线的两个端点，即需求曲线与数量轴和价格轴的交点A点和E点，分别有e d＝0和e d＝∞。可见，线性需求曲线上每一点的弹性都是不相等的。这一结论对于除了将要说明的两种特殊形状的线性需求曲线以外的所有线性需求曲线都是适用的。

在图(b)和图(c)中各有一条特殊形状的线性需求曲线。图(b)中一条水平的需求曲线上的每一点的点弹性均为无穷大，即e d＝∞。图(c)中的一条垂直的需求曲线上每一点的点弹性均为零，即e d＝0。可见，对于线性需求曲线上每—点的点弹性都不相等的结论来说，水平的和垂直的需求曲线是两种例外。

图2 线性需求曲线点弹性的五种类型

再考虑非线性需求曲线的点弹性。用图3来说明。

关于非线性需求曲线上的任何一点的弹性的几何意义，可以先过该点作需求曲线的 切线，然后用与推导线性需求曲线的点弹性的几何意义相类似的方法来得到。具体地，为了计算图中非线性需求曲线上C 、F 两点的弹性值，先过C 、F 两点分别作两条切线，各自交P 轴和Q 轴于A 、B 点和A ’、B ’点。再从C 、F 两点出发向Q 轴引垂线，各自交Q 轴于G 、H 两点。可以自己证明：

图3 非线性需求曲线的点弹性

在C 点有：

167 3.3450d GB e OG ===

在F 点有： '2610.84310d HB e OH =

=≈ 当然，也可以通过C 、F 两点分别向P 轴引垂线的方法，来分别求得C 、F 两点的需求点弹性。在此从略。

显然，就非线性需求曲线而言，曲线的不同形状和曲线上的点的位置不同，都会影响需求点弹性系数值的大小。

在非线性需求曲线中，直角双曲线的点弹性是很有特点的。那就是曲线上的每点都有e d ＝1。在图4中，需求函数500Q P =的几何图形是一条直角双曲线，曲线每一点的点弹性都是单位弹性e d ＝1.例如，

在a 点：

2501251125d e -==

图4 需求直角双曲线的点弹性

在b 点：

2502501250d e -==

如此等等。 需求直角双曲线的点弹性具有这一特点的原因在于：对于任何直角双曲线的需求函数K

Q P = (其中，K 为大于零的常数)来说，不管价格的变化率是多少，需求量总是以相同的

比率成反方向的变化，从而使得需求曲线上每点的点弹性系数dQ

Q dP

P -的值均为1。

最后，要注意的是，在考察需求的价格弹性问题时，需求曲线的斜率和需求的价格弹性是两个紧密联系却又不相同的概念，必须严格加以区分。

首先，由于必须要消除度量单位，所以经济学使用弹性而不是曲线的斜率来衡量因变量对自变量反应的敏感程度。因为，在现实的应用中，斜率是具有单位的。每一分钱价格的变动所造成的面粉需求量的改变和每一元价格的变动所造成的面粉需求量的改变存在着很大的差别。此外，不同物品的衡量往往必须使用不同的度量单位。例如，面粉用斤、吨、桶

等。为了比较不同物品反应的敏感程度，单位的消除是必要的。其次，由前面对需求的价格

点弹性的分析可以清楚地看到，需求曲线在某一点的斜率为dP

dQ。而根据需求的价格点．弹

性的计算公式，需求的价格点弹性不仅取决于需求曲线在该点的斜率的倒数值dP

dQ，还取决

于相应的价格－需求量的比值P

Q。所以，这两个概念虽有联系，但区别也是很明显的。这

种区别在图2 (a)中得到了充分的体现：图中的线性需求曲线上每点的斜率都是相等的，但每点的点弹性值却都是不相等的。

由此可见，直接把需求曲线的斜率和需求的价格弹性等同起来是错误的。严格区分这两个概念，不仅对于线性需求曲线的点弹性，而且对于任何形状的需求曲线的弧弹性和点弹性来说，都是有必要的。