中考数学专题复习：直线与圆的位置关系
说教学过程 说教法学法 说课后反思
12
（4）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆 半径r＝___. （来源：九年级 上册 P103 拓广探索15 改编）
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
2 体系构建
具体过程
说目标 说重难点 说教学过程 说教法学法 说课后反思
10
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
1 知识梳理
具体过程
说目标 说重难点 说教学过程 说教法学法 说课后反思
11
问题1：请同学们完成下列问题，并思考运用了哪些与圆有关的知识点：
（1）圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是（1）4.5cm ，（2） 6.5cm ，（3）8cm，那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
（来源：九年级 上册 P94 练习2）
（2）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 （来源：九年级 上册 P95 例1）
D
OC P
B
A
说教材
说目标
说重难点
直线与圆的位置关系
1 知识梳理
具体过程
（3）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径， ∠BAC= 25°，求∠P的度数。 （来源：九年级 上册 P102 复习巩固5）
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
说目标
说重难点 说教学过程 说教法学法
让学生通过独立思考相 关问题，复习本单元的重点 内容，形成知识体系，体会 研究几何问题的思路和方法。
说课后反思
8
目标（1）
目标解析
通过例题和变式训练 使学生能够综合应用所学 的知识，树立转化思想， 进一步提高学生的逻辑思 维能力。
具体过程
说目标 说重难点 说教学过程
原型：知识梳理 问题1、（3）（来源：九年级 上册 P102 复习巩固5）
改编：（2012•襄阳10分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO 交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延 长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
说目标 说重难点 说教学过程 说教法学法 说课后反思
14
问题3：结合本节知识结构图，回顾本节的学习过程，在判定直线是圆的 切线时，结合图形和条件怎样选择恰当的判定方法？
连半径，证垂直
A
做垂直，证半径
Q
A
N O MP
N O MP
公共点确定
公共点没有确定
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
3 典型例题
改编：（2012•襄阳10分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO 交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延 长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系， 并加以证明；
说课后反思
16
分析：先证明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA与OD、 OP的关系，然后将EF=2 OA代入关系式即可．
说教法学法 说课后反思
难点： 1、借助图形的变化领会知 识的内在联系。 2、综合运用所学知识进行 证明、探究、计算。
9
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
教学流程
说目标
说重难点
说教学过程 说教法学法 说课后反思
复习 目标
基础过关
能力提高
达标检测 小结作业
基本图形 基本题组 典型例题 变式训练 分层练习 分层指导
问题2：请同学们通过以上问题整理一下直线与圆的位置关系这一小节所
学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？
D
OC P
O r
Q
A
A
r O
C
r rO
Pr
P
r
P
B
B
B
B
R A
直线与圆的位置关系
圆的切线
三角形的内切圆
13
切线的
切线的
切线长
判定
性质
定理
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
2 体系构建
具体过程
说教法学法
说课后反思
15
分析：连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB， 继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定 理即可得出结论．
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
具体过程
说目标 说重难点 说教学过程 说教法学法
原型：知识梳理 问题1、（3）（来源：九年级 上册 P102 复习巩固5）
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
具体过程
说目标 说重难点 说教学过程 说教法学法 说课后反思
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原型：知识梳理 问题1、（3）（来源：九年级 上册 P102 复习巩固5）
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
目标
说目标 说重难点 说教学过程
①复习巩固直线与圆的位置关系、切线的判定和性质、切线长定理、 三角形内切圆的性质等知识，形成知识体系，建立知识结构图。
说教法学法 说课后反思
7
②结合相关图形性质，结合具体问题的探索和证明，进一步培养学 生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力。
中考数学第一轮复习
A
A
M
CD
N
O
M PN O HM P
O
A
B Q
N
B
P
2014年中考数学第一轮复习
A
A
M
CD
N
O
M PN O HM P
O
A
B Q
N
B
P
襄阳市第十中学 陈荣海
直线与圆的位置关系
说教材
说课后反思
D
说目标
OC B
P 说教法学法
说重难点
A
说教学过程
3
直线与圆的位置关系
说教材
说课后反思
D
内容解析
说目标 说重难点 说教学过程
从知识体系上看，它是点和圆的位置关系的深
1 化和延伸，是研究直线形与圆的有关性质的基础。
其中切线的判定与性质尤为重要。
说教法学法 说课后反思
6
从思想方法层面看，它揭示了知识的发生过程
2 以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分
类讨论、类比、化归等数学思想。
D
说目标
OC B
P 说教法学法
说重难点
A
说教学过程
4
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
内容
说目标
说重难点
D
说教学过程
OC P
B
O r
B
Q
A
A
r O
C
r rO
P
r
P
r
P
B
B
R
说教法学法
A
直线与圆的
说课后反思 位置关系
圆的切线的 判定、性质
切线长定理
三角形的 内切圆
5
D
OC P
B
A
说教材
直线与圆的位置关系
目标（2）
D
OC P
B
A
直线与圆的位置关系
说教材
说目标 说重难点 说教学过程
重点： 直线和圆的位置关系、切线 的判定与性质、切线长定理、 三角形的内切圆的性质。
关键： 1、在于抓住圆的切线这个核 心概念，通过图形变化，发挥 直观到抽象的支柱作用； 2、通过知识的梳理与沟通， 形成知识本质上的融合。
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结直线和圆的位置关系是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到点、线、圆之间的相对位置关系。
我们可以通过以下几个方面来总结这一知识点：1.判定圆和直线的位置关系：a.直线包含于圆内：当直线上的所有点都在圆内时，称直线包含于圆内。
此时，直线与圆的交点为无穷个（无限多个）。
b.直线与圆相交：当直线和圆有一个或两个交点时，称直线与圆相交。
相交的情况还可以细分为相离相交、相切相交和截割相交。
-相离相交：直线和圆相切于两个点，相交与标准的两个正数圆相交；-相切相交：直线和圆相交于一个点，直线切圆；-截割相交：直线和圆相交于两个点，直线截割圆；c.直线与圆相离：当直线上的所有点都不在圆内时，称直线与圆相离。
此时，直线与圆的交点为零个。
d.直线与圆重合：当直线上的所有点都在圆上时，称直线与圆重合。
2.圆心与直线间的距离：a.圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于圆心到直线的垂直距离，垂直距离是圆心到直线的最短距离。
b.两圆心间的距离：两个圆心之间的直线距离等于两个圆相切时的直线距离。
3.判断点与直线的位置关系：a.点在直线上：当一个点恰好在直线上时，称这个点在直线上。
b.点在直线上方：当一个点位于直线的上方时，称这个点在直线上方。
c.点在直线下方：当一个点位于直线的下方时，称这个点在直线下方。
4.判断点与圆的位置关系：a.点在圆内：当一个点位于圆内时，称这个点在圆内。
b.点在圆上：当一个点正好位于圆上时，称这个点在圆上。
c.点在圆外：当一个点位于圆外时，称这个点在圆外。
5.判断直线与圆相交的条件：a.直线与圆有交点的条件：直线和圆有交点当且仅当直线的距离小于圆的半径。
b.直线与圆相切的条件：直线和圆相切当且仅当直线的距离等于圆的半径。
6.判断两圆的位置关系：a.内离：两圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和，此时两个圆的内部没有共同点。
b.相离：两圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，此时两个圆相切于外公切点。
九年级数学直线和圆的位置关系
高档题型解析及思路拓展
例题3
解析
思路拓展
已知直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，直线$l_{2}$过点$P$且与圆 $O_{1}$相交于另一点$Q$，求直线 $l_{2}$的方程。
由于直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，因此点$P$是切点，且直线 $l_{1}$在点$P$处的切线斜率与直线 $l_{2}$的斜率相等。我们可以通过求 出点$P$的坐标和切线斜率，再利用点 斜式求出直线$l_{2}$的方程。
若直线与圆相切，则直线到圆心的距 离等于半径，由此可求出切线方程。
直线与圆的交点坐标
联立直线方程和圆方程求解，可得交 点坐标。若有两个交点，则它们关于 圆心对称。
02
直线与圆的位置关系分类
相离关系
定义
直线与圆没有公共点，称为相离。
判定方法
通过比较圆心到直线的距离与圆的 半径大小来判断。若圆心到直线的 距离大于圆的半径，则直线与圆相 离。
直线与圆的交点个数
通过观察图形或计算，确定直线与圆的交点个数。若有两个交点，则直线与圆 相交；若有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离。
综合应用举例
解法一
联立直线l和圆C的方程，消去一 个未知数得到一个一元二次方程 。根据判别式的值判断位置关系 。
解法二
计算圆心(a,b)到直线l的距离d，根 据d与半径r的大小关系判断位置关 系。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距 离等于半径；圆的任意弦 所对的圆周角等于弦所对 圆心角的一半。
圆的切线
与圆有且仅有一个交点的 直线称为圆的切线，切线 与半径垂直。
直线与圆的交点问题
直线与圆的位置关系
直线与圆的切线问题
初三数学直线与圆的位置关系知识精讲
初三数学直线与圆的位置关系知识精讲一. 本周教学内容：直线与圆的位置关系二. 重点、难点：重点：直线与圆的三种位置关系以及圆的切线的判定难点：圆的切线的判定三. 知识回顾1. 直线与圆的位置关系是指：相离，相切与相交三者之一设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。
则（1）若 d>r 直线l与⊙O相离（2）若d=r 直线l与⊙O相切（3）若d<r 直线l与⊙O相交其中：重点是直线与圆的相切关系。
2. 圆的切线的判定与性质主要涉及到①切线，②切点，③圆心，④垂直这四个知识点，其中已知三个，就可以推出第四个3. 切线的判定（1）与圆只有唯一公共点的直线（2）与圆心的距离等于半径的直线（3）过半径外端且垂直于该半径的直线4. 切线的性质（1）过圆心且垂直于切线的直线过切点（2）切线垂直于过切点的半径（3）过切点且垂直于切线的直线过圆心【典型例题】例1. 一个圆的周长和面积值相等。
若一条直线到圆心距离为Π，则判断这条直线与这个圆的位置关系。
解：∵C⊙O =S⊙O∴2RΠ=R2Π，∴R=2，又d=Π>2∴d>R∴直线与圆相离例2. AB为⊙O的直径，AB=12，点P在BA的延长线上，C在⊙O上，CE⊥AB于E。
若∠POC=∠PCE，PA=4，求PC的长解析：∵∠PCE=∠POC 且CE⊥AB∴∠PCE+∠ECO=∠POC+∠ECO=90∴OC⊥PC于C∴PC切⊙O又AB=12，PA=4∴OC=6，PO=PA+OA=10∴PC=822=-OC PO例3. 如图CD 为⊙O 的弦,延长CD 到A ，过A 作直线AB 交⊙O 于B ，使AB AC AD •=2求证：AB 是⊙O 的切线解析：① 欲证AB 切⊙O ，只需证OB ⊥AB 。
即证明∠ABD+∠DBO=90∴延长BO 交⊙O 于E ，证明∠ABD=∠E 使∠DBE+∠ABD=90 即可延长BO 交⊙O 于E ，连BD ，DE ，BC则∠BDE=90º 又AB AC AD AB =, ∠A 为公共角。
中考数学复习之与圆有关的位置关系,考点过关与基础练习题
34.与圆有关的位置关系➢知识过关1.点和圆的位置关系2.直线与圆的位置关系3.切线的判定与性质切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.到圆心距离等于______的直线是圆的切线.➢考点分类考点1直线与圆的位置关系的判定例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=x cm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D考点2切线的判定例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.(1)求证：直线MN是△O的切线；(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.考点3 切线的性质 例3 如图所示，在△O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作△O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：△A=△BDC(2)若CM 平分△ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长.➢ 真题演练1.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，P A ＝2，PC ＝4，则△ABC 的面积为（ ）A ．43√3B ．32√3C ．2√3D ．3√32．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝2，则AD 的长为（ ）A ．2√3B ．4−√3C ．√3+1D ．2+√33．如图，P A 、PB 、CE 分别与⊙O 相切于点A 、B 、D 点，若圆O 的半径为6，OP ＝10，则△PCE 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．204．如图所示，点P 是⊙O 的半径OC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，连接AC ，BC ，若∠P AB ＝70°，则∠ACB 的大小为（ ）A ．70°B ．110°C ．120°D ．140°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝12，若⊙O 与△ABC 的三边分别相切于点D ，E ，F ，且△ABC 的周长为32，则DF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，已知DC 是⊙O 的直径，点B 为CD 延长线上一点，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，且∠BAD ＝35°，则∠ADC ＝（ ）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°7．如图，PC 、PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长PC ，与BA 的延长线交于点E ，过C 点作弦CD ，且CD ∥AB ，连接DO 并延长与圆交于点F ，连接CF ，若AE ＝2，CE ＝4，则CD 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．185D ．2458．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB ，交CB 的延长线于点E ．若BA 平分∠DBE ，AD ＝7，CE =√13，则AE 的长度为 ．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF ＝5，则AB 的长为 ．10．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上一点连接AC、BC，若∠C＝55°，则∠P的度数是°．11.如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．12．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．13．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．➢ 课后练习1．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，过半径OB 的中点C 作CD ⊥OB 交P A 于点D ，若PD ＝3，AD ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．2√7B ．4√2C ．3√3D ．2√52．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为AB 边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ）A ．12B ．√3C ．2√3D ．33．如图，点O 是矩形ABCD 对角线BD 上的一点，⊙O 经过点C ，且与AB 边相切于点E ，若AB ＝4，BC ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．165B ．258C ．5√419D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC =√2，点D 是AB 边上一个动点，以点D 为圆心r 为半径作⊙D ，直线BC 与⊙D 切于点E ，若点E 关于CD 的对称点F 恰好落在AB 边上，则r 的值是（ ）A ．√2−1B ．1C ．√2D ．√2+15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．6．如图，△ABD内接于⊙O，AD为直径，CD为⊙O的切线，连接BC，若CD＝AD，AB ＝2，BC=2√13，则BD＝．7．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC 上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为．8．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF ⊥AC于点F．给出以下四个结论：̂=DÊ；④∠A＝2∠FDC．①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③AE其中正确结论的序号是．9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，点O为边BC上一动点，连接OA．以O为圆心，OB为半径作圆，交OA于D，过D作⊙O的切线，交AC于点E．当⊙O与边AC相切时，CE的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=12∠DOQ．若AQ＝AC，AD＝4时，写出BP的长为．11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．12．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．➢冲击A+。
人教版初中数学九年级上册第24章圆知识复习第二部分点和圆、直线和圆的位置关系
*有兴趣的同学可以尝试证明： (1)如图，正五角星中AC=a， 求该五角星外接圆的直径.(用三角函数表示) (2)圆内接四边形两组对边乘积之和等于两条对角线 的乘积。（提示：构造相似形）
(3)若圆内接四边形的对角线互相垂直，则过对角线 的交点所作任一边的垂线将对边平分. A
B
E
•
O
C
D
中考试题精选
O• 5 A 4P B
【及时巩固】
7、如图,AB是ʘO的直径,AC是弦,∠CAB=30º, 过C点作ʘO的切线交AB的延长线于D，如果 OD=12cm，那么ʘO的半径为 6 .
C
30º • 60º 30º
AO
BD
【及时巩固】
8、如图，PB、PC分别切ʘO于B、C两点，A 是ʘO上一点，∠CAB=50º，则∠P等于 80º .
6、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线 与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相 交于点F，且CB=CE.求证：(1)BE∥DG； (2)CB2-CF2=BF·FE.
A
O•
E
FB
G CD
中考试题精选
7、如图，PC为⊙O的切线，C为切点, PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，
若 tan B 1，PC=10cm,求△BCD的面积. 2
A
对应的一个基本图
E O• C D
P
形，其中有很多关
系，你能找出多少？
B
弦切角：圆的切线和过切点的弦所夹的角。 P
O•
O•
B
A
M
(5)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角.
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么 这两个弦切角也相等.
(6)和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 内切圆的圆心是三角形的内心(即三角形三内角 平分线的交点)。各边都和圆相切的三角形叫圆 的外切三角形。
中考数学直线与圆的位置关系专题含答案
【知识梳理】1、点与圆的位置关系：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。
2、直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：知识点梳理：直线与圆的位置关系______ ______ ______ 图形公共点的个数______ ______ 0公共点的名称交点______ 无直线名称割线______ 无d与r的关系d________r d________r d________r 【经典例题1】在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．(只需写出一个符合要求的数)【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在B上，∴B的半径为5，∵如果D与B相交，∴D的半径R满足8∵点B在D内，∴R>13，∴14符合要求，故答案为：14(答案不唯一).练习1-1在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 ()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F练习1-2已知☉O的直径等于12，圆心O到直线l的距离恰好为一元二次方程2x2-10x+3=0的两根的和，那么直线l和☉O的位置关系是.练习1-3如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝23．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与x轴相切，则平移距离为_____．练习1-4（20上海中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点O 在对角线AC 上，⊙O 的半径为2，如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 .320310<<x练习1-5如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且O 的半径长为1，求：(1)线段AB 与O 没有公共点时m 的取值范围。
直线与圆的位置关系及性质和判定
直线与圆的位置关系及性质和判定
直线与圆是在平面几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系及性质有很多种，下面我们来一一介绍。
1. 直线与圆的位置关系有三种情况：
（1）直线与圆相交；
（3）直线与圆内含。
2. 直线与圆的位置关系具有对称性质，即交换直线和圆的位置仍然成立，特别地，直线可以看成是以半径为无限大的圆。
3. 直线与圆的位置关系决定了它们之间的交点数目，以及交点的性质。
（1）交点数目：一条直线与一个圆最多有两个交点，最少有一个交点，如果切线重合，则只有一个交点。
（2）交点的位置：
① 两交点的连线经过圆心；
② 被交点的角度相等，且互为补角；
③ 两条切线垂直于径，且互相垂直；
④ 两条切线在点处的切线垂直于过该点的直径。
（3）判定方法：
① 如果直线与圆的方程可通过联立求解得到交点，则两者相交；
③ 如果扫描线经过圆时出现奇数个交点，则该直线与圆相交（扫描线法）。
① 交点在切线上；
① 确定圆心和半径，然后根据切线的判定条件求出切点；
② 针对某一求交点的定点，使各定点到圆心的距离相等，然后根据勾股定理求出交点。
（1）交点数目：一条直线与一个圆内含时，无交点。
① 切线内含于圆；
（3）判定方法：只需要判断过直线的所有圆的半径与直线的距离之差是否有大于零的情况即可。
总结：
在解决直线与圆的位置关系问题时，需要熟练掌握判定条件和数学技巧，才能快速判断它们的位置关系，从而有效地解决问题。
同时，本文的介绍也只是直线与圆位置关系的一些基本性质，实际问题中还可能存在更加复杂的情况和解决方法。
中考数学基础复习第26课直线与圆的位置关系课件
∵∠DAC=∠CAB, ∴△ACD∽△ABC,
AD＝AC， 2x ＝2 6 ， AC AB 2 6 3x
∴x=2(负值舍去),∴AD=4, ∴CD= AC2 AD2＝2 2．
变式(202X·武汉)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点 D,AE与过点D的切线互相垂直,垂足为E. (1)求证:AD平分∠BAE; (2)若CD=DE,求sin∠BAC的值.
BF AB 10 BF
∴BF=5,∴CF=BC-BF=3,
∵∠ABC+∠A=90°,∠ABC+∠BFD=90°, ∴∠BFD=∠A, ∴∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC, ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC, ∴△OAC∽△ECF,∴ EC CF ，
OA AC
∴EC= OA CF＝5 3＝5．
(B)
A.25°
B.20°
C.30°
D.35°
3.(202X·苏州)如图,已知AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,连接OC交☉O于点D, 连接BD.若∠C=40°,则∠B的度数是___2_5___°.
4.如图,量角器的0度刻度线为AB.将一矩形直尺与量角器部分重叠、使直尺一 边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10 cm,点D在量 角器上的读数为60°.则该直尺的宽度为___5_3_3__cm___.
当☉C与斜边AB相交时,点A在圆内部,点B在圆上或圆外时,圆与AB只有一个公
共点,如图,此时AC<R≤BC,即3<R≤4.
答案:3<R≤4或R= 12
5
反思:直线与圆的位置关系转化为圆心与直线的距离.
【考点2】切线的性质 例2.如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D. (1)求证:∠CAD=∠CAB; (2)若 AD＝2，AC＝2 6，求CD的长.
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。
理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。
接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。
想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。
这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。
当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。
直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
若 d ＜ r，则直线与圆相交。
比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。
若 d ＝ r，则直线与圆相切。
比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。
若 d ＞ r，则直线与圆相离。
比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。
若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。
若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。
三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。
弦长的计算可以通过勾股定理来推导。
设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。
首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
直线与圆的位置关系题型归纳
直线与圆的位置关系题型归纳引言在几何学中，直线和圆是基本的几何元素。
研究直线与圆的位置关系不仅有助于理解几何学基本原理，还可以应用到实际问题中。
本文将归纳总结几种常见的直线与圆的位置关系题型，并给出相应的解题方法。
一、直线与圆相交直线与圆相交通常有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线既与圆相切又穿过圆。
1. 直线与圆相切当直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。
这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。
求解这类问题时，可以利用以下方法： - 根据已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。
- 判断交点是否满足直线方程和圆的方程，从而确定直线与圆相切。
2. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，称直线穿过圆。
这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。
求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。
- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。
3. 直线既与圆相切又穿过圆当直线与圆既有一个交点又有两个交点时，称直线既与圆相切又穿过圆。
这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。
求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。
- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。
二、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆没有交点。
这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。
求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。
- 求解直线方程和圆的方程的解集。
- 判断解集是否为空集，从而确定直线与圆相离。
三、总结与应用对于直线与圆的位置关系题型，我们可以通过确定直线方程和圆的方程，求解交点的坐标，判断交点的坐标与圆心的位置关系来确定直线与圆的位置关系。