直线与圆的位置关系 (代数解法)
人教版高中数学(2019)选择性必修一第二章2.5.1直线和圆的位置关系
将月亮看作成一个圆， 海天交线看作一条直线，通 过月出的过程，你能感受到 直线与圆的位置关系吗？
直线与圆有两个（公共点）交点时， 叫做直线与圆相交； 直线叫做圆的割线
直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线与圆相切； 直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点
直线与圆没有公共点时， 叫做直线与圆相离；
代入直线方程，得两交点的坐标为 A2,3；B 2 3，0
求两点间的距离： AB 2 3 - 2 2 3 - 02 2 3
直线与圆的 位置关系
相交 相切 相离
两个交点 d<r ∆>0 一个 交 点 d=r ∆ =0 没有交点 d>r ∆ <0
弦长
AB 2 r2 d 2
AB xB xA 2 yB yA 2
3x y 2 3 3 0
①
x2 y2 4x 2y 1 0 ②
第二步：消元，消y，①式改写为 y 3x 2 3 3代入②式中；
化简得： x2 3 4 x 2 3 4 0
第三步：计算∆；
2
3 4 41 2 3 4 3 0
所以，直线与圆相交
解一元二次方程，得 x1 2；x2 2 3
点与圆的位置关系
(设|MA|=d，圆半径为r)
d=r 点在圆上
d<r 点在圆内
d>r 点在圆外
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
点到圆心的距离与半径 圆心到直线的距离与半径
探究：类比点与圆的位置关系，可得出直线与圆的位置关系 用d和r的大小关系来判断——几何法
回顾点到直线的距离公式： 点P(x0, y0)到直线l：Ax By C 0的
距离公式 d Ax0 By0 C A2 B2
直线与圆的相交问题
a 1
2、（2010.江西.10）直线 y kx 3与圆
( x 2) 2 ( y 3) 2 4 相交于 M、N两点
若 MN 2 3 ，则 k 的取值范围就（B ）
3 ( A)[ ,0] 4 2 3 3 ( B)[ , ] (C)[ 3, 3] ( D)[ ,0] 3 3 3
y 3 4 x x 有公共点，则 b 的取值范
2
围是______.
解释：曲线
1 y 3
2
y 3 4 x x 2 3 ( x 2) 2 4
所以原曲线方程化简为
2
( x 2) ( y 3) 4 （1 y 3）
表示的是直线y=3下方的半圆（包括边界）
解释：圆心（2,3）到直线 y kx 3 的距离
2 4 k 2 2 d MN 2 r d 2 4 2 2 3 2 k 1 k 1 3 3 2 3k 1 k 3 3
2k
故选B
还有其他解法吗？
y
3
o
2
x
题型三：由相交求参数
例3、(2010· 湖北，9)若直线 y x b 与曲线
2 2
故选D
还有其他解法吗？
练一练：
1、设直线 ax y 3 0 与圆 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
相交于 A、B 两点，且 AB 2 3 ，则
a _____ .
解释：由题知，弦心距
d a1
2 2
2tx y 2 t 0
(t R) 的位置关系为（
）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D） 以上情况均有可能 2 2 解释：圆方程变为 ( x 1) ( y 2) 9 圆心到直线的距离
2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时)
.
＝
所求切线的方程为 = 或 − − = .
例2 过点(, )作圆： + = 的切线，求切线的方程.
法2（代数法）：设切线的斜率为，则切线的方程为 − = − .
因为直线与圆相切，所以方程组
−= −
，只有一组解.
=
×+−
+
=
< .
所以，直线与圆相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理,得 = − = .
几何法：数形结合
判断直线与圆的位置关系
例题小结
方法二：几何法
方法一：代数法
联立直线和圆的方程
有两解
计算圆心到直线的距离
相交
＜
有一解
相切
＝
个数？
例1 已知直线 ： + − = 和圆心为的圆 + − − =
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
+ − =
①
解：（1）联立直线与圆的方程，得
+ − − = ②
解法2，把几何条件代数化，即用距离公式直接计算出，这种解法实
质上仍是几何方法.
P93练习1.判断下列各组直线与圆的位置关系:
(1) ： − + = ，圆： + = ；
(2) ： + + = ，圆C： + − = ；
(3) ： + + = ，圆： + + = .
d = r；
（3）直线与圆相离
直线与圆的位置关系 (代数解法)
点和圆的位置关系有几种？
1）d<r 2）d=r
3）d>r
点在圆内 ； 点在圆上 ；
点在圆外 ；
二、问题引入
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交； （2）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切；
思想：直线与圆连列方程组求解
法 二 ：
圆心到直线的距离d：
d=|k(2+1)+4-3|/(1+k^2)^1/2 因为是相切直线，所以d=r |k(2+1)+4-3|/(1+k^2)^1/2=1 解得：k=0,k=-3/4 我们可以看出从不同的角 度看问题会有不同方法。
思想：d与的大小关系
现在我们知道：
知道了他们之间的对应关系，我们要学会应用 例：过点（-1，4），作圆（X-2)^2+(Y-3)^2=1的切线方程
解：用点斜式，我们需要先考虑斜率不存在的情形：
X=-1是不满足要求的，故不成立。
法 一 ：
设切线方程为
y-4=k(x+1)
y-4=k(x+1) (x-2)^2+(y-3)^2=1
解得：(x-2)^2+(k(x+1)+1)^2=1 △=（2k^2+2k-4)^2-4(k^2+1)(k^2+2k+4)=0 K=0,k=-3/4
（3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
（1）
（2）
（3）
r
d
C l
C
C l
d r 相交
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。
直线与圆的位置关系ppt课件
新知讲解
想一想：自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作几条切线? 若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作几条切线? 若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点能作几条切线? 若点在圆内,则过此点不能作圆的切线，即可以作0条. 问题：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径.
2
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= 1 x.
2
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
解法2：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆
心C(1,3)到直线l的距离为1≠ 5 ，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0,
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
思路1 直线与圆相切
直线的方程，
圆的方程
0
直线方程
思路2
d r
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
当堂检测
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为__相__切____ (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为___相__离___ (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为__相__交____
直线与圆的位置关系
O
系类 型 一 、 直 线 与 圆 的 位 置 关
答案： 1、C 3 5; 2、 3x 2 y 14 0; 3、a 2.
天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿 阳光的幸福是如钻石般耀眼 老师的幸福是因为认识了你们 愿你们努力进取，永不言败
系类 型 例1 一 、 直 线 与 解法二、（几何法）先将直线方程化成一般式：x-y+b=0 圆 则 圆 心 到 直 线 的 距 离： 为 的 |00b| 2 |b| 位 d 2 置 12 ( 1) 2 关
考点突破
跟踪训练： 2 . (1)直 线x y m与 圆x 2 y 2 m(m 0)相 切 ， 则 m ______
跟踪训练：
已知圆 C： ( x 3)2 ( y 2)2 16，则过点 M（3， 2）与圆 C
y-2=0 ___. 相切的切线方程是： __________
注意：用上述结论是先判断点与圆的位置关 系，只有点在圆上才能用此结论。
课后思考： 若点不在圆上，如何求圆的切线方程？
例如、已知直线 l过点P（2,3）且与圆 C： ( x 1)2 ( y 2)2 1 相切，求直线 l的方程。
例2
题类 2 2 2 已知圆的方程是x +y =r ,求经过圆上一
y0 x ,从 而 切 线 的 斜 率 k - 0, x0 y0 x0 ( x x0 ) y0
2 2
点M0(x0，y0)的切线方程。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
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知道了他们之间的对应关系，我们要学会应用 例：过点（-1，4），作圆（X-2)^2+(Y-3)^2=1的切线方程
解：用点斜式，我们需要先考虑斜率不存在的情形：
X=-1是不满足要求的，故不成立。
法 一 ：
设切线方程为
y-4=k(x+1)
y-4=k(x+1) (x-2)^2+(y-3)^2=1
解得：(x-2)^2+(k(x+1)+1)^2=1 △=（2k^2+2k-4)^2-4(k^2+1)(k^2+2k+4)=0 K=0,k=-3/4
（3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
（1）
（2）
（3）
r
d
C l
C
C l
d r 相交
d r 相切
三、构建新知
现在，如何用直线方程和圆的方程判断它们之间 的位置关系？
直线： 圆：
AX+BY+C=0
X^2+Y^2+DX+EY+F=0
方程组解的问题
•
直线与圆连列方程组 AX+BY+C=0 X^2+Y^2+DX+EY+F=0 解：
思想：直线与圆连列方程组求解
法 二 ：
圆心到直线的距离d：
d=|k(2+1)+4-3|/(1+k^2)^1/2 因为是相切直线，所以d=r |k(2+1)+4-3|/(1+k^2)^1/2=1 解得：k=0,k=-3/4 我们可以看出从不同的角 度看问题会有不同方法。
思想：d与r的大小关系
现在我们知道：
由（1）式得：X=(-C-BY)/A(A不为0） 把X代人（2）式得：
（1） （2） 从而我们建立了方程组解与直线与 圆位置关系之间一一对应的关系
(（-C-BY）/A)^2+Y^2+D(-CBY)/A+EY+F=0
解一元二次方程,我们知道方程的解用根式判别法
△<0，解只有0个，则交点为0个 △=0，解只有1个，则交点为1个 △>0，解有2个，则交点为2个
• 事物之间的等价性
直线与圆的位置关系
d与r的大小关系
方程组解的问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归纳小节
几何方法
直线和圆的位置关系的判断方法
代数方法
把 直 线 方 程 代 入 圆 的 方 程
确 定 圆 的 圆 心 坐 标 和 半 径 r
计 算 圆 心 到 直 线 的 距 离 d
得 到 一 元
二 次 方 程
判 断
d 与 圆 半 径 r 的 大 小 关 系
一、回顾
点和圆的位置关系有几种？
1）d<r 2）d=r
3）d>r
点在圆内 ； 点在圆上 ；
点在圆外 ；
二、问题引入
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交； （2）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切；
求
出
△
的
值
d r, 直线与圆相离 d r, 直线与圆相切 d r, 直线与圆相交
0,直线与圆相交 0, 直线与圆相切 0, 直线与圆相离
今天我们学到了什 么呢？
思考：
1：直线与方程的位置关系 2：多角度的思考问题