高中数学选修1-1《变化率问题》教案
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_5
3.1变化率与导数3.1.1变化率问题教学目标：1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.教学重点：平均变化率的实际意义与数学意义教学难点：对生活现象作出数学解释教学过程：Ⅰ.问题情境,预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P72～P74的内容，回答下列问题．(1)气球膨胀率①当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率是多少？当V从0增加到1时,气球半径增加了)rr≈-)1(dm)0(62.0(当V从1增加到2时,气球半径增加了)r-r≈)2(dm(016)1((2) 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：米)与起跳后的时间t （单位：思考：(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均变化率的定义：数 )(x f y =从1x 到2x 的平均变化率.若设12x x x -=∆,可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”，可用x x ∆+1代替2x ，类似地12y y y -=∆。
平均变化率表示为： 平均变化率的几何意义：什么?即时训练已知函数53)(2+=x x f ,求:(1)从0.1到0.2的平均变化率.(2)在区间[]x x x ∆+00,上的平均变化率.求平均变化率的方法技巧：(学生阐述，教师归纳总结)1.求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的增量12x x x -=∆.第二步,求函数值的增量12y y y -=∆.变式训练：质点运动规律32+=t s ，则在()t ∆+3,3中的平均速度为（）当堂训练达标1.求 2x y =在 0x x =附近的平均速度2.过曲线 3)(x x f =上两点P （1，1）和Q(1+x ∆,1+y ∆)作曲线的割线，求出当x ∆=0.1时割线的斜率.3.已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x ∆,-2+y ∆), 则y ∆/x ∆=( )A.3B. 3x ∆-(x ∆)2C.3-(x ∆)2D. 3-x ∆小结：1. 2.求函数的平均变化率的步骤(1)求函数的增量)()(12x f x f y -=∆。
3.1.1 变化率问题教案2020-2021学年高二数学人教A版选修1-1第一章
《变化率问题》教学设计教材分析：导数与函数、不等式等内容有着密切的联系，是解决最值问题强有力的工具。
本节是导数的起始课，也是后续学习瞬时变化率以及导数的基础。
学情分析：学生对平均值的计算方法是不陌生的，这是这节课的知识基础。
另外，前面也已经学习过了直线斜率的有关知识，也为本节中理解平均变化率提供了知识储备。
但从实际问题抽象出数学模型，对学生来说是有些困难的。
教学目标：（1）初步了解微积分的发展，感受数学家的聪明智慧。
（2）让学生经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
（3）理解平均变化率的概念，会求函数在定区间和某点附近的平均变化率。
（4）结合平均变化率的几何意义，让学生体会数形结合的思想。
教学重点：1．由生活中的变化率问题归纳得出平均变化率的概念；2．理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数的平均变化率；教学难点：数学建模思想的应用教学方法：问答法、自主探究法教学过程：1.整体介绍师：我们用函数来描述物体运动变化的现象，随着对函数的进一步研究，产生了微积分。
微积分是由两位伟大的科学家牛顿、莱布尼茨共同创立的，可以说啊，微积分的创立是数学史上对的里程碑，被誉为“人类精神的最高胜利”。
微积分的创立，与四类问题的处理直接相关：①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。
②求曲线的切线。
③求已知函数的最大值与最小值。
④求长度、面积、体积、重心等。
在本章中，我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一，也是研究解决问题最一般、最有效的工具。
今天，就让我们从变化率问题开始导数的学习吧。
【简要介绍微积分创立的背景，加深学生对微积分的认识，顺利引出本节课的课题】2．引例初探教师ppt 展示姚明的身高变化曲线图，请同学们读图并思考：在哪个年龄段，他的身高变化是最快的呢？【引导学生从形的陡和缓做直观判断，学生不难看出在13-16岁身高变化最快】师：华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。
人教版高中数学选修1-1教案3.1.1变化率问题
位：）存在函数关系() . .如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其
运动状态?
思考计算：
和
的平均速度
在
这段时间里，
；
在
这段时间里，
探究：计算运动员在
这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
ห้องสมุดไป่ตู้
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数() 的图像，结合图形可知，
课堂小结： ．平均变化率的概念 ．函数在某点处附近的平均变化率 布置作业：
，
问题 高台跳水 平均变化率的概念 板书设 表示,称为函数()从到的平均变化率 计 设, 则平均变化率为 例 例
§变化率问题
问题 气球膨胀率
以实例引入平均变化率的概念，利于学生对此概念的理解和掌握。在给出平均
教学反
变化率概念以后，再结合实例说明可以取正，也可以取负。
§变化率问题
项目
内容
课题
教学 目标
（共课时）
．理解平均变化率的概念； ．了解平均变化率的几何意义； ．会求函数在某点处附近的平均变化率
修改与 创新
教学重、 难点
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．
教学 准备
多媒体课件
一、导入新课：
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对
分析:
，
⑴ 当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
⑵ 当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐 变小了．
思考：当空气容量从增加到时,气球的平均膨胀率是多 少?
高中数学的变化率问题教案
高中数学的变化率问题教案教学目标：1. 理解变化率的定义和概念；2. 掌握求解变化率的方法；3. 能够应用变化率解决实际问题。
教学重点和难点：1. 变化率的概念和定义；2. 求解变化率的方法；3. 将变化率应用于实际问题中。
教学准备：1. 教材：高中数学教材中有关变化率的知识点；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教案复印件；3. 知识点整理：准备变化率的定义、求解方法和相关例题。
教学流程：一、引入教师通过一个简单的生活场景引入变化率的概念，让学生了解变化率与日常生活的联系。
二、概念和定义1. 教师讲解变化率的定义和概念，引导学生理解变化率表示的是某一情况随时间、空间或其他变化而发生的程度。
2. 教师让学生通过实例理解变化率的计算方法，如函数的导数表示函数在某一点的变化率。
三、求解变化率的方法1. 教师让学生通过实例计算函数的导数，并解释导数的物理意义；2. 教师讲解变化率计算的一般步骤，如根据已知量列方程、求导、代入数值等。
四、实际问题应用1. 教师让学生通过应用例题，实践变化率的计算方法；2. 教师引导学生分析实际问题，找出关键信息，运用变化率解决问题。
五、课堂练习教师设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识点。
六、总结教师对本节课所学内容进行总结，强调变化率的重要性和应用。
七、作业布置教师布置相关作业，让学生巩固所学内容。
教学反思：1. 教师要注意引导学生提高数学思维，培养解决问题的能力；2. 教师要根据学生的表现及时调整教学方法，确保教学效果。
（备注：以上教案仅供参考，具体教学过程根据实际情况进行调整和改进）。
高中数学选修1-1教学设计-变化率问题+导数的概念
3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点)2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点)[基础·初探]教材整理1 变化率问题阅读教材P72～P74“思考”部分，完成下列问题.函数的变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零.( )(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零.( )(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.( )【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 导数的概念阅读教材P74导数的概念～P75例1以上部分，完成下列问题.1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率(1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值.(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢. 2.函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零.( ) (4)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[小组合作型]平均变化率(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为______，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________.(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.【自主解答】 (1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx 2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3.【答案】(1)6x0＋3Δx12.3 (2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1.计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).2.计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3.得平均变化率ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.[再练一题]1.求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【导学号：97792034】【解】在x＝1附近的平均变化率为：k 1＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k 2＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k 3＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－32Δx＝6＋Δx.若Δx＝1 3，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.若一物体的运动方程为s ＝⎩⎨＋t －2，0≤3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s).求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度. 【精彩点拨】根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解 【自主解答】 (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s).(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δs Δt ＝Δt 2－12Δt Δt＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s).求物体瞬时速度的步骤1.设非匀速直线运动的规律s ＝s (t ).2.求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0).3.求平均速率v ＝ΔsΔt.4.计算瞬时速率：当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数).[再练一题]2.质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s).求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【解】 v ＝lim Δt →0s ＋Δt －sΔt＝lim Δt →0＋Δt 2－2×22Δt＝lim Δt →0(2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s 3－s 13－1＝2×32＋3－2×12＋32＝8(cm/s).[探究共研型]探究导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？【提示】导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.(1)求函数y＝x在x＝1处的导数；(2)求函数y＝x2＋ax＋b在x处(a，b为常数)的导数.【精彩点拨】本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解. 【自主解答】(1)Δy＝1＋Δx－1，Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，lim Δx→011＋Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝1 2 .(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，Δy Δx ＝x＋aΔx＋Δx2Δx＝(2x＋a)＋Δx，lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴f′(x)＝2x＋a.1.求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限.2.利用定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率ΔyΔx时，要注意对ΔyΔx的变形与约分，变形不彻底可能导致limΔx→0ΔyΔx不存在；(2)当对ΔyΔx取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式.[再练一题]3.求函数y＝x－1x在x＝1处的导数.【导学号：97792035】【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，∴f′(1)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.1.已知函数y＝f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.【答案】 B2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A.f′(x)＝aB.f′(x)＝bC.f′(x0)＝aD.f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx＝a＋b·Δx，f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.【答案】 C3.一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________. 【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.【答案】84.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.【解析】f′(1)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.【答案】 25.求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.【解】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.。
高中数学选修1-1《变化率问题》教案
人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74t (d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)C (34, 33.4)T (℃)210教材分析本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。
这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。
二、教学目标分析1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以及勇于探究、积极思考的学习精神。
三、重点与难点分析:根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率概念的理解和运用四、学情分析1、有利因素：高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。
2、不利因素：学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。
五、教法学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。
遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。
依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
六、教学过程设计（一）创设情景、激发热情[情境1]：法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。
数学选修《变化率与导数》高中教案
数学选修《变化率与导数》高中教案数学选修《变化率与导数》高中教案数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。
它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。
下面是本文库整理的有关数学选修《变化率与导数》高中教案。
高中数学选修1-1《变化率与导数》教案1教学准备1. 教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y=f（x）在x=x0处的导数3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究[1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢气球的体积V（单位:L）与半径r（单位:dm）之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数，那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.【思考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少解析：探究2 高台跳水【师】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态（请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_6
3.1.1 变化率问题内容和内容解析：变化率是建立数学重要概念——导数的基石，对理解导数概念及其几何意义有着重要作用。
新课标对此有明确阐述：通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。
变化率是一个重要的过渡性概念，是“进军”导数的必经之路。
对变化率概念意义的建构直接影响导数概念的学习。
目标和目标解析：1、通过微积分发展史的认识，了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的精神与智慧；2、通过实例，理解平均变化率及其几何意义，初步感受以直代曲的思想；能计算函数的平均变化率；3、通过实例，培养学生将实际问题抽象成数学问题的能力。
教学问题诊断分析：微积分概念的产生、形成、建立、完善经历了一个漫长的过程，在这个过程中，极限思想的形成到数学化经过了无数数学家的努力。
两千年的形成的一个知识，学生需要在十几个课时就要接受，他们最大的困难也在对极限思想的理解。
平均变化率是理解瞬时变化率的基础，虽然平均变化率的定义很简单，运用也很简单，但是理解以直代曲的意识，极限的思想是这节课要给建立的基本意识。
另外如何用平均变化率解决实际问题，关键在于能不能把实际问题转化为数学问题，这也是学生遇到的难点。
例如温度突降，突增；吹气球时为什么越到后面膨胀越来越慢。
学生需要把生活常识与数学联系起来，并解决它，是难点。
本节课存在大量的计算，对于文科生，公式多了，计算量大了，都对他们是考验。
这也是这节课面临一个难点。
教学支持条件分析：学情分析：作为文科生，数学是他们的拦路虎。
部分文科生就是因为数学不好才选择文科，我现在班上学生就是这样的情况。
班级优势：我班一共只有31名学生，我会在上课期间用大量的时间巡视他们的书写过程，并在课堂及时个别辅导。
技术手段：本节课需要动态演示，我利用了几何画板；并且利用投影将学生书写当面批改。
教学过程设计：一、启中入在物理上，我们会遇到这样的问题：1、如图1，从图象我们可以得知：物体是匀速运动，物体在不同时刻的速度都是一样的。
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人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74
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教材分析
本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。
这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。
二、教学目标分析
1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学
模型提供丰富的背景。
2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研
究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以
及勇于探究、积极思考的学习精神。
三、重点与难点分析:
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：
重点：平均变化率的实际意义和数学意义
难点：平均变化率概念的理解和运用
四、学情分析
1、有利因素：
高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。
2、不利因素：
学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。
五、教法学法
根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：
探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。
遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。
依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
六、教学过程设计
（一）创设情景、激发热情
[情境1]：
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。
这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。
平均速度的数学意义是什么?
【设计意图】
数学学习过程中的兴趣是主体性学习的内在动力，也是学好数学的基本保证。
一个引人入胜的开头，会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，大大提高教学效率。
（二）感知过程、建构概念
[情境2]：广州市2009年1月18日到2月18日的日最高气温变化曲线:
) (C
T
20
30
（1）温度曲线上A 、B 、C 三点的坐标的涵义是什么？
（2）曲线AB 、BC 哪段更陡峭？
（3）陡峭的现实意义是什么，如何量化陡峭程度？ 【设计意图】
应用温度变化曲线图引导学生从图形直观感知哪一段陡峭，而后要求学生用数量刻画陡峭程度，体现数学是经验性与演绎性的辨证统一。
将 “陡峭程度”以及“变化速度”结合起来，并把“数学”与“生活”和“图形”融为一体。
为平均变化率的概念及几何意义的学习作好铺垫。
[情境3] 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单
位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.
（1） 计算[][]2,15.0,0∈∈t t 和 的平均速度。
（2）一般地，[]21,t t t ∈的平均速度如何计算？
【设计意图】
通过层层深入的问题设置，意图让学生再一次在问题解决过程中学习新概念，加深对概念的了解。
并教会学生从局部到整体的辨证思维。
（三）归纳概括、恰当表述
1、平均变化率的概念 ：
一般的，函数f(x)在区间上[x 1,x 2]的平均变化率为
2、平均变化率的几何意义：曲线上经过A 、B 两点的斜率。
（四）应用知识、形成图式
例 1 多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢，从数学角度如何解释这种现象? 引导学生从以下三个方面去思考：
（1）问题中的变量是哪两个，并指出哪个是自变量？请写出它们的函数关系。
（2）计算时半径的增加量。
，和]21[]1,0[∈∈V V
（3）“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢”，从数学角
度怎样描述？
【设计意图】
通过运用数学知识解释生活现象，不仅可以培养学生解决实际问题的能力，而且可以激发学生深入探究的兴趣，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，
20
30 34 2
10 A 02 10 2
121)
()(x x x f x f --
又服务于生活。
另外，通过层层深入的问题设置突破难点。
（五）变式练习、巩固概型
1、已知函数12)(+=x x f ，试求函数在区间[][]501,1，
和-上的平均变化率。
2、试求函数2)(x x f =在下列各区间上的平均变化率。
（1）[-1，1]（2）[1，2]
【设计意图】
选择一次函数模型目的是加深学生对平均变化率几何意义的理解。
选择二次
函数为材料探讨在区间[-1，1] 上的平均变化率，目的是让学生了解平均变化率只能粗略描述物体的运动状态，为瞬时变化率及导数的学习作好铺垫。
另外通过变式练习固化学生新知与旧知的联系，有效将新知纳入已有的认知结构。
（六）归纳小结、深化目标
问题1：本节课你学到了什么？
问题2：本节课体现了哪些数学思想方法？
问题3：用平均速度描述刘翔的跨栏运动有什么问题？ 【设计意图】
以问题的形式帮助学生梳理知识，让学生总结，加深对本节课内容的认识。
通过问题三给学生留有继续思考的空间，为瞬时变化率及导数的学习作好铺垫。
（七）布置作业，提高升华 【设计意图】
将作业分为必做题和选作题两个部分，必做题面向全体，注重知识反馈，选作题更注重知识的延伸性和连贯性，让有能力的同学去探求。
必做题：1、 P79 1
2、在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位:秒）近似存在函数关系h(t)=-5t 2+7t+10，能否粗略地描述运动员在0到0.5秒和1到2秒内的运动状态?
选做题：
1．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图像可能是（ ）
2．直角梯形OABC 中AB ∥OC 、AB=1、OC=BC=2，
直线t x l :截该梯形所得位于左边图形面积为S ， 则函数S=)(t f 的图像大致为（ ）
（A ）
（B ） （C ） （D ）
六、教学评价
教学评价的及时有效能调动课堂的气氛、感染学生的情绪，对课堂教学发挥着积极的推动作用，因此，我将教学评价贯穿于本节课的每个教学环节中。
例如情景导入的表达式评价、得出函数平均变化率概念的归纳评价、解题时的规范性评价等。
通过多种评价方式让更多的学生获得学习的自信，使学生在轻松融洽的课堂评价氛围中完成本节课的学习任务。
当然我也会通过对学生作业的批改获得更全面的对学生知识掌握的评价和课堂效果的反思，并在后续的时间里修订课堂设计方案，达到教学相长。
附：
教 案 设 计 说 明
此教学方案是依据新课程标准、教材及本人的教学风格并考虑学生的学习兴趣来设计的，下面就本课教案做以下几点说明：
一、选材：
本节课选取的内容为数学发展中具有代表性的知识。
教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。
这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。
通过本节内容的学习，让学生在掌握知识的同时感受到数学的实用价值。
二、理念：
本节课的教案设计体现了“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。
在教学的每一个环节中均设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生解决问题的方式进行，让课堂活动变得生动而愉悦。
三、注重知识扩展：
本课设计时有意识的选取了“温度变化曲线”、“高台跳水问题”、“气球膨胀率问题”等知识，让学生感受到生活中到处都有数学，要学会用数学的眼光观察世界，发现自然界的奥秘。
四、精选习题：
课堂教学中的例题、习题和课后作业具有代表性、实用性和可操作性，均围绕着教学的重点、难点选取，选取题目数字简单易于操作注重知识的运用。
选题时注重知识的延续性，为以后的学习奠定了基础，同时考虑到了学生学习过程中可能出现的各种错误，预先准备好了解决的方案。
五、课堂教学模式：
“特殊引例探求→一般知识探索→特殊练习题求解”符合学生认知习惯，易于学生接受。
并根据学生的个体差异，在各个环节采用分层教学法。