相似三角形基本类型
相似三角形的常见模型
初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【基本模型】①如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，//DEBC ，则ADE ABC △△∽，AD AE DEAB AC BC．②模型拓展1：斜交A 字型条件：C ADE ，图2结论：~ADE ACB ；③模型拓展2： 如图，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC CDAC AB BC．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例1】如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走2米到达B 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于_________．【变式1-1】有一块直角三角形木板，∠B ＝90°，AB ＝1.5m ，BC ＝2m ，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式1-2】（2022•衢州二模）已知菱形ABCD ，E 是BC 边上一点，连接AE 交BD 于点F （1）如图1，当E 是BC 中点时，求证：AF ＝2EF ；（2）如图2，连接CF ，若AB ＝5，BD ＝8，当△CEF 为直角三角形时，求BE 的长； （3）如图3，当∠ABC ＝90°时，过点C 作CG ⊥AE 交AE 的延长线于点G ，连接DG ，若BE ＝BF ，求tan ∠BDG 的值．初中数学 ︵九年级 ︶培优篇 ③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB∽△CJD ⇔A B JA C D JC【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC 、BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式2-1】如图，在△ABC 中，BC ＝6，AEA F EBFC，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝14CE 时，EP ＋BP 的值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24【变式2-2】如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD 于点F ，当AD =CD 时，求CE 的长．【变式2-3】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD的中点．求AN:NC的值．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BEEG的值为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．34【变式3-1】（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例4】如图，在△ABC 中，45ABC ，AB A D A E ，D A E 90 ，C E，则CD 的长为______．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-1】矩形ABCD 中，AD ＝9，AB ＝12，点E 在对角线BD 上（不与B 、D 重合），EF ⊥AE 交CD 于F 点，连接AF 交BD 于G 点． （1）如图1，当G 为DE 中点时． ①求证：FD ＝FE ； ②求BE 的长．（2）如图2，若E 为BD 上任意点，求证：AG 2＝BG •GE ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式4-2】如图，ABC 中，,,AB AC AB AC 点D E 、分别是BC AC 、的中点，AF BE ⊥与点F ．（1）求证：2AE FE BE ；（2）求A F C 的大小；（3）若DF=1，求△ABF 的面积．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇结论：AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，GF AHBC AM【例5】如图1，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，正方形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上． （1）求正方形DEFG 的边长；（2）如图2，在BC 边上放两个小正方形DEFG 、FGMN ，则DE= ．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式5-1】有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC ＝120cm ，高AD ＝80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点均分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示． （1）求矩形纸片较长边EH 的长；（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．初中数学 ︵ 九年级︶培优篇 ②拓展：（1）在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【例6】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边的点F 处，若AD ＝3，BC ＝5，则EF 的长是（ ） A.15B ．215C ．17D ．217初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式6-1】如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，DE ⊥BC ，垂足分别为D 、E 两点，则图中与△ABC 相似的三角形有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式6-2】如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，且AD AC ＝ACAB． （1）求证 △ACD ∽△ABC ；（2）若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．【变式6-3】ABC 中，90ABC ，BD AC ，点E 为B D 的中点，连接A E 并延长交B C 于点F ，且有AF CF ，过F 点作FH AC 于点H ． （1）求证：AD E CD B ∽； （2）求证：=2A E EF ； （3）若FHB C 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇②如图所示，BDE 和ABC 则ABD CBE ∽△△，且相似比为总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇【例7】如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ） A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【变式7-1】如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，相似比是：2，连接EB ，GD ．（1）求证：EB ＝GD ；（2）若∠DAB ＝60°，AB ＝2，求GD 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式7-2】如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于O ，Q 为线段DB 上的一点，90MQN ，点M 、N 分别在直线BC 、DC 上．（1）如图1，当Q 为线段OD 的中点时，求证：1132DN BM BC ；（2）如图2，当Q 为线段OB 的中点，点N 在CD 的延长线上时，则线段DN 、BM 、BC 的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，连接MN ，交AD 、BD 于点E 、F ，若:3:1M B M C ，N Q ，求EF 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 补充：其他常见的一线三等角图形【例8】【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B D PC ．若4PD ，8P C ，6BC ，求AP 的长．【拓展】如图③，在ABC 中，8AC BC ，12A B ，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-1】如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan ∠AEB 43，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ¢处，当A P D △是直角三角形时，PD 的值为（ ）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187初中数学 ︵ 九年级 ︶培优篇 【变式8-2】（2022秋•温州校级月考） 【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ． （1）求证：BCE CDG △△≌． 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF ，9C E ，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC ，45HD HF ，求DEEC的值（用含k 的代数式表示）．。
九下数学(人教版)课件- 基础专题 相似三角形的基本类型
斜交型 2．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 BC 的延长线于点 F. 求证∴AF＝DF，∴∠FAD
＝∠3.又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∠1＝∠2，∴∠B＝∠4. 又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.
旋转型 3．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1＝∠2，AB＝6， BC＝4，BD＝3，BE＝2. (1)△ABD 与△CBE 相似吗？请说明理由； (2)△ABC 与△DBE 相似吗？请说明理由．
解：(1)相似．理由：因为ABBC＝BBDE＝23，且∠1＝∠2，所以△ABD∽△CBE；
一线三等角型 5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在边 BC 上移动(点 E 不与点 B、C 重合)，满足∠DEF＝∠B，且点 D、F 分别在 AB、AC 上． (1)求证：△BDE∽△CEF. (2)当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.
证明：(1)因为 AB＝AC，所以∠B＝∠C，因为∠DEF＋∠CEF＝∠B＋ ∠BDE，∠DEF＝∠B 所以∠CEF＝∠BDE，所以△BDE∽△CEF；
【专题概述】相似三角形有一些基本模型，及时识别基本图形，从中寻找 求解的条件是证明相似的捷径．
平行线型 1．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.
证明：∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE，∴AADF＝AAGE，∵AB＝AD，AC＝AE， ∴AAFB＝AAGC，∵∠BAC＝∠FAG，∴△ABC∽△AFG.
(2)因为△BDE∽△CEF，所以BCEF＝DEFE.因为点 E 是 BC 的中点，所以 BE＝ CE，即CCEF＝DEFE，所以DCEE＝CEFF，又因为∠C＝∠DEF，故△CEF∽△EDF， 所以∠CFE＝∠EFD，即 FE 平分∠DFC.
相似三角形概念
相似三角形概念
相似三角形，即三角形中的两个内角互为相等，三条边长度互为等比数，
称为一种特定形状。
也叫“等比三角形”或“等比比率三角形”，是计算机图形学中计算复杂图形时常见的形状。
从几何的角度来看，相似三角形可以分为两个类型：等边三角形和不等边
三角形。
等边三角形是三角形中的特殊情况，它的三边全部相等；不等边三角形又可分为两种：等腰三角形和一般不等边三角形。
等腰三角形的两边长相等；一般不等边三角形是普通的三角形，三边不相等，也被称为等角三角形。
只要这两个三角形相似，就称为相似三角形。
当三角形有两个内角夹线相等、两边比例等比时，就说明该三角形是相似
三角形，它除了边比等比，并且有共同点，就是它们内角满足内角夹线等于180度，满足这两个条件的三角形就可以称之为相似三角形。
当在进行计算时，首先要知道这两个三角形的夹角是多少，其次，要了解
这两个三角形的比例定义为等比数，这种百分比叫做偏转率，比率为1/3，表示该
三角形有共同边应该满足：a：b：c＝1：最后，要知道这两个三角形的实例尺寸，如a的边的长度，b的边的长度，c的边的长度等。
掌握相似三角形的基本概念是学习几何学的重要组成部分，它不仅有助于
深入理解几何的知识，而且在其他学科中也有重要作用，例如计算机、建筑、机械等。
因此，学习得当的相似三角形能够强化数学知识，利用所学习到的知识丰富思维，对学生有好处，希望大家在学习中取得更大的进步。
《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解
《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。
【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。
比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。
比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。
平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
(教师1份) 第12讲(相似三角形的基本模型)
第12讲 相似三角形的基本模型一、相似三角形的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）AB CDE（平行） CB ADE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二．例题精讲作辅助线构造“A ”“X ”型例1：如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE交AB 于点F ．若AF=1.2cm ，则AB=______cm ．作DG ∥CF 于G ，根据平行线等分线段定理，得BG=FG，根据平行线分线段成比例定理，得： AF/AG=AE/AD ，AG=3.6cm ，则FG=2.4cm ，所以AB=1.2+4.8=6cm ．例2：已知：在△ABC 中，AD 为中线，F 为AB 上一点，CF 交AD 于E ，求证： AE:DE=2AF:BF证明：如图，过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点． ∵DG ∥CF ，D 为BC 中点，∴G 为BF 中点，FG=BG=1/2BF ,∵EF ∥DG ， ∴AE:DE=AF:GF=AF:1/2BF=2AF:BF ．例2：如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF=2DE·AF.证明:过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN=BF.∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴=.又DN=BF，∴=，即AE·BF=2DE·AF.双垂型例1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴∵A（2，1），＝45° ∴OC＝1，AC ＝2，AO ＝AB ∴AD＝OC ＝1，BD ＝AC ＝2∴D 点坐标为（3，1） ∴B 点坐标为（3，﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y ＝x例2.在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点M 是AC 上的一点，点N 是BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点．求证：MC ：NC=AP ：PB ．证明：方法一：连接PC ，过点P 作PD ⊥AC 于D ，则PD//BC根据折叠可知MN ⊥CP ∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90° ∴∠2=∠CNM ∵∠CDP=∠NCM=90° ∴△PDC ∽MCN ∴MC ：CN=PD ：DC ∵PD=DA ∴MC ：CN=DA ：DC ∵PD//BC ∴DA ：DC=PA ：PB ∴MC ：CN=PA ：PB 方法二：如图，过M 作MD ⊥AB 于D ，过N 作NE ⊥AB 于E 由双垂直模型，可以推知△PMD ∽NPE ，则，根据等比性质可知，而MD=DA ，NE=EB ，PM=CM ，PN=CN ，∴MC ：CN=PA ：PB 练习：1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED（1）∵∠A=∠A,∠ADB=∠AEC=90°, ∴△ABD ∽△ACE ． （2）∵ABD ∽△ACE, ∴ AD/AB= AE/AC, ∵∠A=∠A,∴△ADE ∽△ABC ．2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，D E AB CDE=62，求：点B 到直线AC 的距离。
相似三角形分类整理(超全)
nih的相似比，当且仅当它们全等时，才有e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC 中，点E 为BC 的中点，过点E 作一条直线交AB 于D 点，与AC 的延长线将于F 点，且FD=3ED ，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示： ①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； ②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛． ③如图，可简单记为：在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，则△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．直角三角形的身射影定理：AC 2=AD*ABCD 2=AD*BDBC 2=BD*ABgnihtlt he i rb ee an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o例5. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC ∆于F ，FG AB 于G ，求证：FG =CF BF ⊥2∙四、作中线例6 如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求ABC ∆AC 。
相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)
专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。
相似三角形中的 基本模型 (共21张PPT)
连接BE并延长BE交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD=2，
ED BC
1 3
，求线段DC的长.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)求证:
EF BF
GE GB
.
(2)求证 EF GB BF GE .
AD AE ED AC AB BC
模型二：相交线型
例3 如图，要判断△ADE与△ACB相似，添加一个条件，不正
确的是：（C )
A. ∠ADE=∠C C. AE DE
AB CB
B. ∠AED=∠B D. AE AD
AB AC
模型二：相交线型
例4 如图，EC和BD相交于点A，且∠D=∠C, 则△EDA∽ △ BCA ; AD: AC = AE :AB
△BDC∽△CDA △BDC∽△BCA △CDA∽△BCA
练习4 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为
AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角（∠A、∠B）
向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，AD=3,BC=5，
则EF的长为
.
练习5. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD，BC＝AD
∴△EDF∽△CBF ∴DF:BF＝DE:BC 又∵ DE:BC＝ DE:AD= 2:5 ∴DF:BF＝2:5 而BF＝15 cm
∴DF＝6 cm
A B
ED F
C
模型二：相交线型
△AED∽△ACB AE AD ED AC AB CB
△AED∽△ABC
例4 如图，△ABC中，∠A=∠DBC，BC=3 ,CD=2,
9
则AC= 2 .
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相似三角形基本模型
模型1X字型及其变形
(1)对顶角得对边平行;(2)对顶角得对边不平行,且∠OAB＝∠OCD
例1(2０１6哈尔滨)如图,在△ＡＢC中,D、Ｅ分别为AB、AC边上得点,DE∥B Ｃ,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确得就是( )
A。
AD:AＢ=AE:AＣB、ＤF:FC=AE:EC
C。
ＡD:ＤB=DE:ＢC D.DＦ:BＦ=EF:ＦC
1、(2016贵港)如图,▱ＡBCD得对角线AC,BD交于点O,ＣE平分∠BCＤ交AB
于点E,交BD于点F,且∠ABC=６0∘,AB=2ＢC,连接OE.下列结论:
①∠ACD=30∘;②S▱ABCD=AC⋅ＢC;③OE:AC=√３:6;④Ｓ△OＣF=2Ｓ△OEF
成立得个数有()A。
1个B。
2个C。
3个Ｄ、 4个
模型2A字型及其变形
例２、如图,已知△ABC中,ＣE⊥AＢ于E,ＢF⊥ＡC于F,求证:△AEF∽△ＡＣＢ、2、如图,ＡD与BＣ相交于E,点Ｆ在BD上,且AＢ∥EＦ∥CＤ,求证:＼f(1,ＡB)＋
1 CD=１
EF。
模型3子母型
例2、如图,在Rt△ABC中,CD⊥AB,Ｄ为垂足。
（1）若AD=3,ＡC＝3５,则斜边ＡＢ得长为;
（2）若ＡＤ:DB=2:3,则AC:CB＝
3、(2016云南)如图,Ｄ就是△ABC得边BC上一点,AB＝4,AD=2,∠ＤAC=∠B。
如果△ABＤ得面积为1５,那么ＤC= 。
模型4一线三等角型
例4.如图,在正方形ABCD中,E为边ＡD得中点,点F在边ＣD上,且CF=３FＤ,∠ＢＥF=9０°.
(１)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若ＡB=４,延长ＥF交BC得延长线于点G,求BG得长.
4、(2017潮阳)如图,在边长为9得等边△ABC中,ＢD=3,∠ＡDＥ=60∘,则CE得长为_＿_、
模型5旋转型
例５、(２015秋•滦县期末)如图,已知∠1=∠２,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABＣ∽△ＡDＥ得就是( )
A.∠Ｃ＝∠ＥB、∠B=∠ADE C. D.
5、如图,在△ABＣ中,AＤ⊥BＣ,ＢE⊥ＡC,垂足分别为D,Ｅ,AＤ与BＥ相交于点
F.
(1)求证:△ＡCD∽△BFD;
(2)当ＡDBD=1,AC=3时,求ＢF得长、
模型6垂直型
例６、如图,在平面直角坐标系中,直线y=34ｘ−3分别与x轴、y轴交于点Ａ. B,点P得坐标为(0,4)。
若点M在直线AB上,则PM长得最小值为___.
ﻫ６、(１)问题
如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠Ａ＝∠B=９０∘时,求证:AＤ⋅BＣ=ＡP⋅ＢP。
(２)探究
如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠Ｂ=α时,上述结论就是否依然成立?说明理由、。