渭南市临渭区 2021年高三教学质量检测(Ⅰ)数学(理科)
陕西省渭南市2021届新高考五诊数学试题含解析
陕西省渭南市2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )AB．3CD．【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B. 2．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r ，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎣⎦B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =u u u r u u u r ，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以36,e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．1C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【详解】 画出图形：若O 为ABC V 的外心，则2OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确; ABC V 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得222622PC PO OC AC =+=+==，矛盾，②错误;若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ 可得2,2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d 由C PAB P ABC V V --=可得11112223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 即有222242AC BC AC BC d +⋅==„，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d 的最大值为2，2sin 22d θ=„即θ的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦，③正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN 由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC 可得M 在线段KN 上，而122KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C 【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 4．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积()222114466E ABC V x x x x -=-=-因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==， 设AC x =，则)02BC x =<<，所以1122ABC S AC BC x ∆=⋅=以16E ABCV x -==又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即x 时等号成立，所以()max 13E ABC V -=. 故选：B ． 【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值． 5．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据题意依次计算得到答案. 【详解】根据题意知：18a =，214a a =，故232a =，322a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.6．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+【解析】 【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【详解】∵复数1z i =+，∴||z =()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题7．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得R =，此外接球的体积为3，三棱锥O EFG -体积为3，得到答案. 【详解】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，在Rt OHD V 中，OD R =，HD ==，133R OH OA ==，由勾股定理：22233R R ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得R =， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ，则1262333R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为2113624343⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心【答案】A 【解析】 【分析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.故，即，两三棱锥高相等，故，故，故为中点.故选：. 【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】D 【解析】 【分析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.10．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ） A ．37 B ．13C 13D 37【答案】D 【解析】 【分析】直接根据余弦定理求解即可． 【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=， ∴37c =， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题． 11．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=∴+=∴=±>∴=Q Q ，选B. 12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省渭南市临渭区尚德中学2021届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析
数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的.请将正确选项填涂在答题卡上.） 1. 设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =（ ）A. ∅B. {2}C. {2,2}-D.{2,1,2,3}-【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求解.【详解】{}{1,2,3}{2,2}2A B ⋂-==⋂， 故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 设21z i i ⋅=+，则z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. 2i -+D. 2i --【答案】B 【解析】 【分析】在等式21z i i ⋅=+的两边同时除以i ，利用复数的除法法则可求出复数z .【详解】21z i i ⋅=+，22122i i i z i i i+-∴===-.故选：B.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.3. 已知向量()1a m =，，()2b m =，，若//a b ，则实数m 等于（ ） A. 2- B.2 C. 2-2D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：因为()1,a m =，()2b m =，，且//a b 所以212m ⨯= 解得2m =± 故选：C.【点睛】本题考查向量共线求参数的值，属于基础题.4. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A. y =x 2B. 1y lnx= C. y =2|x | D. y =cosx【答案】B 【解析】 【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2yx 的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据ln y x = 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据2xy = 的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据cos y x =的图象判断单调性. 【详解】因为()22x x -=，所以2y x 是偶函数，又因为2y x 在（0，+∞)上单调递增，故A 错误. 因为11=-lnln x x ，所以1y ln x =是偶函数，又因为10,ln >==-x y ln x x，在(0，+∞)上单调递减，故B 正确.因为22x x -=，所以 2x y =是偶函数，又因为 0,22>==xx x y 在(0，+∞)上单调递增，故C 错误.因为()cos cos x x -=，所以cos y x =是偶函数，又因为cos y x =在 (0，+∞)上不单调，故D 错误. 故选;D【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题.5. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）A. 1433AD AB AC =-+ B. 1433AD AB AC =- C. 4133AD AB AC =+D. 4133AD AB AC -=【答案】A 【解析】【详解】∵3BC CD = ∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −13AB . 故选A.6. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A.316B.38C.516D.716【答案】D 【解析】 【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果. 【详解】设正方形的边长为1则①处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形 等腰直角三角形面积为：1111224⨯⨯= 直角梯形面积为：12223242416⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴黑色部分面积为：13741616+= 则所求概率为：77161116=⨯ 本题正确选项：D【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题. 7. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A1920B.2021C.2122D.2223【答案】C 【解析】 输出结果为求和：111111111210111223212222321222222S =++++=-+-++-=--=⨯⨯⨯ ,选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 8. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若3,3a A π==， 则b+c 最大值为（ ） A. 3 B. 2C. 33 D. 4【答案】A 【解析】分析：由正弦定理可得32sin sin sin 3b c B C ===，于是2sin 2sin b c B C +=+22sin 2sin 2336B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用三角函数的单调性与值域即可得出.详解：由正弦定理可得32sin sin sin 3b c B C ===， 于是2sin 2sin b c B C +=+22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 312sin 2sin 2B B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭ 3sin 3B B =+36B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B 为三角形内角， ∴当3B π=时，()max 23b c +=故选A.点睛：边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．同时应熟练掌握和运用内角和定理，可以减少角的种数.9. 已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是（ ） A. l ∥β或l β⊂ B. //l m C. m α⊥ D. l m ⊥【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质和线面平行的性质逐个分析判断即可得答案【详解】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l ∥β或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；对于C ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 故选：A【点睛】此题考查线面垂直的性质和线面平行的性质的应用，属于基础题10. 已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.11. 函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.12. 设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A. 222e e +B. 25050e e +C. 2100100e e +D. 222e e --【答案】A 【解析】 【分析】由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称 又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+故选：A【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m =_______. 【答案】7 【解析】 【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出a b +，再由向量a b +与a 垂直，利用向量垂直的条件能求出m 的值． 【详解】向量(1,2)a =-，(,1)b m =，∴(1,3)a b m +=-+，向量a b +与a 垂直，()(1)(1)320a b a m ∴+⋅=-+⨯-+⨯=，解得7m =． 故答案为：7．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算法则和向量垂直的坐标表示，是基础题 14. 函数32cos 2y x x =+ 最小正周期为______________.【答案】π 【解析】 由3132cos 22(2cos 2)2y x x x x =+=+2sin(2)6x π=+知，周期22T ππ==，故填π.15. 函数()f x =2ln x +2x 在x =1处的切线方程是_____ 【答案】43y x =- 【解析】 【分析】欲求在点1x =处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【详解】2()2ln f x x x =+，(1)1f ∴=，()22f x x x'∴=+，当1x =时，(1)224f '=+=,得切线的斜率为4； 所以曲线在点1x =处的切线方程为：14(1)y x -=⨯-，即43y x =-．故答案为：43y x =-．【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 16. 已知tan 2α，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ． 【答案】3 【解析】【详解】()()()()12tan tan 7tan tan 311tan tan 127αβαβαβααβα++-=+-===+++⨯-，故答案为3.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S ，sin 3cos a B b A =.（1）求角A 的大小； （2）若3a =3S =b c +的值. 【答案】（1）3A π=（2）3【解析】 【分析】（1）因为sin 3cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 3cos A B B A =，即得tan 3A =解出A （2）利用cos A 得出223b c bc +-=，由3ABC S =得出2bc =，联立求b c +即可. 【详解】（1）因为sin 3cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 3cos A B B A =， 化简得tan 3A =，0,3A A ππ<<∴=（2）22,333A a b c bc π==+-= 又313sin 23ABC S bc π==，即2bc = 联立可得()29b c +=，又0b c +>，3b c ∴+=18. 由于受大气污染的影响，某工程机械的使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）之间，有如下统计资料：x （年）2 3 4 5 6 y （万元）2.23.85.56.57.0假设y 与x 之间呈线性相关关系.（1）求维修费用y （万元）与设备使用年限x （年）之间的线性回归方程；（精确到0.01） （2）使用年限为8年时，维修费用大概是多少？参考公式：回归方程y bx a =+，其中1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1） 1.230.08y x =+ （2）9.92万元 【解析】【分析】（1）根据统计表，利用公式求得x ，y ，b ，a ，代入回归方程y bx a =+求解.（2）将8x =，代入（1）求得的回归方程求解. 【详解】（1）2345645x ++++==，2.23.8 5.5 6.57.055y ++++==，20x y ⋅=，512 2.23 3.84 5.55 6.567.0i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑112.3=，52190ii x==∑，所以51522155112.31001.239080i ii i i x y x yb x x==-===---∑∑，5 1.2340.08a y bx =-=-⨯=，故线性回归方程为 1.230.08y x =+.（2）将8x =，代入回归方程 1.230.08y x =+ 得 1.2380.089.92y =⨯+=所以使用年限为8年时，维修费用大概是9.92万元.【点睛】本题主要考查了线性回归分析，还考查了数据处理的能力，属于中档题. 19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =．（1）证明：1AC BC ⊥；（2）求二面角1C AB C --的余弦值大小． 【答案】（1）见解析（2）334【解析】 【分析】（1）根据AC ，BC ，1CC 两两垂直，建立如图以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直． （2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．【详解】直三棱柱111ABC A B C -，底面三边长3AC =，4BC =，5AB =，AC ∴，BC ，1CC 两两垂直．如图以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则11(0,0,0),(3,0,0),(0,0,4),(0,4,0),(0,4,4)C A C B B（1）(3,0,0)AC =-，1(0,4,4)BC =-，∴10AC BC =，故1AC BC ⊥。
陕西省渭南市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
陕西省渭南市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 2．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于32x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于32x =对称， 又1123()3(3)x f x x x x x -'=-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.3．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12B．CD【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫-⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-， 2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C .本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B 【答案】C 【解析】试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系 5．在ABC V 中，12BD DC =u u u vu u uv ，则AD uuu v =（ ） A ．1344+AB AC u u uv u u u vB ．21+33AB AC u u uv u u u vC ．12+33AB AC u u uv u u u vD ．1233AB AC -u u uv u u u v【答案】B 【解析】 【分析】在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+，即可得到答案．【详解】如下图，12BD DC =u u u r u u u r ，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．6．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．280【答案】C由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x+=-，则()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r r r n T ab -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.7．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积()222114466E ABC V x x x x -=-=- 【详解】因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==， 设AC x =，则)2402BC x x =-<<，所以211422ABC S AC BC x x ∆=⋅=-以16E ABCV x -==又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即x 时等号成立，所以()max 13E ABC V -=. 故选：B ． 【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．8．直线0(0)ax by ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切【答案】D 【解析】 【分析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论． 【详解】解：由题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，∵圆心到直线的距离为d =222a b ab +≥Q ，1d ∴≤，故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．9．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L ，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【答案】D 【解析】 【分析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L 的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=. 故选:D. 【点睛】样本123,,,,n x x x x L 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++L 的平均数为ax b +,方差为22a s .10．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.11．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r（ ）A ．4B ．C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可. 【详解】因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=，所以||4EB =u u u r ，故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题. 12．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可； 【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =， 可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则42a b =+≥2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个； 故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届陕西省渭南市临渭区高三第一次质量检测数学(理)试题【含答案】
2022届陕西省渭南市临渭区高三第一次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则等于（ ）{}12M x x =->{}1128x N x -=≤≤M N ⋂A ．B ．C ．D ．(]1,4-[)1,3(]3,4[)4,+∞【答案】C【分析】先化简集合，再根据交集运算法则计算即可．M N 、【详解】解：，12x - >或，3x ∴>1x <-∴ 集合M =，()(),13,-∞-⋃+∞，1128x -≤≤ 即，013222x -≤≤，14x ∴≤≤∴ 集合N =，[]1,4．(]3,4M N ∴⋂=故选：C ．2．（ ）43i2i +=-A ．B ．C ．D ．2i +2i -12i -12i+【答案】D【解析】由复数的除法运算法则计算．【详解】解：.()()()()43i 2i 43i 510i12i 2i 2i 2i 5++++===+-+-故选：D ．3．已知，为不同直线，，为不同平面，则下列选项：m n αβ①，；②，；③；④，其中能使成立的充//m n n α⊥m n ⊥//n α//,m βαβ⊥,//m βαβ⊥m α⊥分条件有A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④【答案】C【分析】结合线面垂直、线面平行的性质与判定定理，对四个选项中的结论逐一进行分析,即可得到结果.【详解】①中，，由线面垂直的第二判断定理，可得,故①正确.//m n n α⊥m α⊥②中，，,则与可能平行也可能相交，故② 错误.m n ⊥//n αm α③中，，则与可能平行也可能相交也可能线在面内，故③错误.//,m βαβ⊥m α④中， ，由面面平行的性质，可得得,故④正确， ,//m βαβ⊥m α⊥故能使成立的充分条件有① ④ ，故选C.m α⊥【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4．已知第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点216y x =M y 15的坐标为M A ．B ．C ．D ．()1,8-()1,4-(1,-(2,-【答案】B【分析】利用抛物线上点到焦点距离与到准线的距离相等，设，列式计算即可得解.(,)M x y 【详解】解：设，则根据题意及抛物线的定义可得:，解得，(,)M x y 1(4)5x x =+1x =代入抛物线方程得：，4y =±又点在第四象限，所以，故.M 4y =-(1,4)M -故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查的数学核心素养是数学运算,属于基础题.5．的展开式的常数项为，则实数（ ）61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭160-=a A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】B【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而列方程可求出x r 的值a 【详解】的展开式的通项，令，得，61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6662161()rr r r r r r T C ax C a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭620r -=3r =所以，解得，3636160C a-=-2a =-故选：B.【点睛】此题考查二项式定理的应用，利用二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题6．函数的图象大致为（ ）()453ln sin x xf xx x +=+A ．B．C ．D ．【答案】D【分析】先利用分式有意义和函数的奇偶性排除B ，C ，然后观察剩佘选项的不同点，利用特殊值法排除A ，从而得解．【详解】因为，所以，排除选项B ；53sin 0x x +≠0x ≠因为，所以为奇函数，排除选项C ；445353()ln ||ln ||()()()sin ()sin x x x x f x f x x x x x -+-+-===--+---()f x 因为，所以排除选项A ．445335111()ln ||1101111()sin sin ee ef e e e e e +-+⎛⎫==< ⎪⎝⎭++故选：D ．7．等差数列中，若，则数列前11项的和为{}n a 159371139,27a a a a a a ++=++={}n a A ．121B ．120C ．110D ．132【答案】A【详解】设等差数列的公差为d ，{}n a ∵，159371139,27a a a a a a ++=++=∴,()()3711159612a a a a a a d ++-++==-∴,2d =-∴,159131239a a a a d ++=+=解得.121a =∴．选A ．1111102111(2)1212S ⨯=⨯+⨯-=8．已知，则1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．78-781818-【答案】A【分析】本题首先可以根据诱导公式以及二倍角公式对进行化简，然后代入3cos 25πα⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得出结果.1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【详解】因为，1sin 54πα⎛⎫-=⎪⎝⎭所以322cos 2cos 2cos 2555πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22cos 212sin 55ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2171248éùæöêúç÷=--´=-ç÷êúèøëû故选：A.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式的灵活应用，考查的公式有、()cos cos παα+=-以及，考查化归与转化思想，是中档题.()cos cos αα=-2cos 212sin αα=-9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．1683163【答案】B【分析】由三视图画出其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得；【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（有一条侧棱垂直于底面），PA ABCD 其直观图如图所示：四棱锥的底面是直角梯形（上底为，下底为，P ABCD -ABCD 1BC =3AD =高为），四棱锥的高是，所以直角梯形的面积为2AB =2PA =ABCD ，所以该四棱锥的体积为()()132422ABCD BC AD AB S +⨯+⨯===直角梯形P ABCD -．11842333P ABCD ABCD V S PA -=⨯⨯=⨯⨯=直角梯形故选:B ．【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin B ＋2sin A cos C ＝0，则当cos B 取 最小值时，＝（ ）caA BC ．2D 【答案】B【解析】把sin B ＋2sin A cos C ＝0利用正余弦定理统一成边，再利用余弦定理表示出cos B ，结合基本不等式可得结果【详解】由sin B ＋2sin A cos C ＝0，根据正弦定理和余弦定理得，222202a b c b a ab +-+⋅=∴，∴，22220a b c +-=2222c a b -=∴2222233cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===+≥当且仅当，即cos B 344a c c a =c a =故选：B ．【点睛】此题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，属于基础题11．已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在22221(0,0)x y a b a b -=>>0)y x =P y =点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）P (4,0)F -A B C D 【答案】D【解析】设的坐标为，函数的导数，根据条件可得P (m ()f x '=()k f m '===可解得，即，再根据双曲线的定义可求出其，从而得到离心率.4m =(4,2)P a【详解】设的坐标为，由左焦点，所以P (m (4,0)F -PF k =函数的导数()f x '=则在处的切线斜率P ()k f m '===即，得，则，42m m +=4m =(4,2)P设右焦点为，则，即，(4,0)A 2||||1)a PF PA =-==1a =-，∴双曲线的离心率4c = c e a ==故选：D12．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是()ln e xf x x x a =+aA ．B ．C ．D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据题意转化为方程有两个不同的实数根，整理得到有两个不同的()0f x '=1ln x xa e +-=实根，转化为和在上有两个交点，根据导数求出的单调性、极y a =-1ln e x x y +=()0,+∞1ln e x x y +=值和最值，从而得到的取值范围.a 【详解】要使函数有两个极值点，()ln e xf x x x a =+求导得，()1ln e xf x x a =+'+则转化为有两个不同的实根，()1ln e 0x f x x a =++='即和在上有两个交点，y a =-1ln e x xy +=()0,+∞令，∴．()1ln e xx g x +=()1ln 1e x x x g x -='-记，()1ln 1h x x x =--()2110h x x x '=--<在上单调递减，且，()h x ()0,+∞()10h =所以当时，，，(]0,1x ∈()0h x ≥()0g x '≥所以在上单调递增；()g x (]0,1当时，，，()1,x ∈+∞()0h x <()0g x '<所以在上单调递减，()g x ()1,+∞故．()()max 11e g x g ==当时，；当时，，0x →()g x →-∞x →+∞()0g x →所以，当，即时，10e a <-<10e a -<<y a=-和在上有两个交点，1ln e x x y +=()0,+∞故选D ．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值和最值，函数与方程，属于中档题.二、填空题13．已知曲线在某点处的切线的斜率为，则该切线的方程为______.()21ln 22y x x =-32-【答案】12870x y +-=【分析】对函数求导后，利用导数的几何意义列方程求出切点坐标，从而可求出切线方程.【详解】设切点坐标为（），00(,)x y 00x >由，得（），()21ln 22y x x =-1y x x '=-0x >因为曲线在处的切线的斜率为，()21ln 22y x x =-00(,)x y 32-所以，解得（舍去），或，00132x x -=-02x =-012x =所以，201111ln 22228y ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以切线方程为，即，131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭12870x y +-=故答案为：.12870x y +-=14．已知向量，若，则向量与向量的夹角为____．,a b →→a ab →→→⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭a →b →【答案】34π【解析】先根据得，再根据向量夹角公式计算即可得答案.a a b →→→⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭=1a b →→⋅-【详解】解：∵，∴，即，a ab →→→⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭0a a b →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭20a a b →→→+⋅=∴，=1a b→→⋅-∴，cos ,a bb a ba →→→→→→⋅==∴.3,4a b →→π=故答案为：．34π15．若点在不等式组所表示的区域内，则目标成数的最大值与最小值(),x y 326042030x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩z x y =-之和为_________.【答案】2-【分析】作出不等式组对应的平面区域，设得，利用数形结合即可的得到结论．z x y =-y x z =-【详解】解：不等式组，所表示的区域如图：326042030x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩由题意可知，，，当的平行线经过点时，截距最大，有最小值，(0,3)A (2,0)B -(2,1)C x y z -=A z 最小值为：，经过时，截距最小，此时最大：1，3-C z 所以目标函数的最大值与最小值之和为：．z x y =-2-故答案为：．2-【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．z 16．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.【答案】314【分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。
2024届陕西省渭南市高三一模数学(理)试题(解析版)
渭南市2024届高三教学质量检测（1）数学试题（理科）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足(12i)2i z −=+，则||z =（ ） A.25B. 1C.D.【答案】B 【解析】【分析】由复数乘除法运算求复数z ，即可求模.【详解】由题设22i 2i 4i 2i i 12i 5z ++++===−，故i 1z ==. 故选：B2. 已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =−<，则A B ∪=（ ） A. {}1,2,3 B. {}04x x <<C. {}0,1,2,3,4D. {}04x x ≤<【答案】D 【解析】分析】根据二次不等式求解集合B ，再求并集即可.【详解】∵(){}{}4004Bx x x x x =−<=<<， ∴{}04A Bx x ∪=≤<．故选：D3. 在正三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，M 是11A B 的中点，则直线CM 与平面ABC 所成角的正弦【值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】作出线面角的平面角，利用正三柱的性质设出边长即可求得结果. 【详解】取N 是AB 的中点，连接,MN CN ，如下图所示：设三棱柱111ABC A B C 底面边长为a ，可得1BC CC a ==， 由正三棱柱性质可知MN ⊥平面ABC ，所以MCN ∠即为直线CM 与平面ABC 所成角的平面角，易知CN =，由勾股定理可得，所以sin MN MCN CM ∠=即直线CM 与平面ABC. 故选：B4. “米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线()21:20=−>C y px p 和()22:20C ypx p =>构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C ，2C 的焦点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线1C 上，过点P作x 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ，若124==PF PQ ，则p =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的对称性求出P 点横坐标，再由抛物线定义求出p 即可. 【详解】因为24PQ =，即2PQ =，由抛物线的对称性知1p x =−，由抛物线定义可知，1||2P p PF x =−，即4(1)2p=−−，解得6p ， 故选：D5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =−，则输出的S =A 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =−==. 循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =−=−==；.第二次：121,1,3S a k =−+==−=； 第三次：132,1,4S a k =−=−==； 第四次：242,1,5S a k =−+==−=； 第五次：253,1,6S a k =−=−==； 第六次：363,1,7S a k =−+==−=， 结束循环，输出3S =.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.6. 设定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f x f x π+=，当[0,)2x π∈时，()sin f x x =，则11()6f π=（ ） A.12B.C. 12−D. 【答案】A 【解析】【分析】由奇偶性和周期性的性质可求出1166f f ππ =，代入即可得出答案. 【详解】由()()f x f x π+=得1166f f ππ=−. 又()f x 为偶函数，所以1sin 6662f f πππ −===. 故选：A.7. 甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A 30种 B. 60种C. 90种D. 120种【答案】B 【解析】【分析】根据分类分步计数原理，利用组合数计算即可得出结果..【详解】根据题意可知，首先选取1种相同课外读物的选法有15C 种， 再选取另外两种课外读物需不同，则共有1143C C 种，所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有111543C C C 60=种； 故选：B8. 已知圆O 的方程为229x y +=，直线l 过点()1,2P 且与圆O 交于,M N 两点，当弦长MN 最短时，OM MN ⋅=（ ） A. 4− B.8−C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由条件可知，当MN 最短时，直线l OP ⊥，然后再结合向量的数量积，从而得到结果.【详解】当MN 最短时，直线l OP ⊥，OP ==，4MN ==，()cos π82MN OM MN OM MN OMN MN ⋅=⋅−∠=−⋅=−.故选：B.9. 如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面11A ADD 为梯形，113AD A D =，侧棱长8AB =.当侧面ABCD 水平放置时，液面与棱1AA 的交点恰为1AA 的中点.当底面11A ADD 水平放置时，液面高为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据梯形11A ADD 各边长的关系可求得水的体积占整个容器体积的58，由等体积法可知当底面11A ADD 水平放置时，液面高为5.【详解】取底面梯形11A ADD 两腰的中点为,E F ，如下图所示：由113AD A D =可得112EF A D =，所以四边形11A D FE 与四边形ADFE 的面积之比为123235+=+， 即可知容器中水的体积占整个容器体积的55538=+； 当底面11A ADD 水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的58, 即可得液面高为558AB =. 故选：C10. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度为向量OA ，OB夹角的余弦值，记作cos(,)A B ，余弦距离为1cos(,)A B −.已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，(cos ,sin )R αα−，若P ，Q 的余弦距离为13，1tan tan 4αβ⋅=，则Q ，R 的余弦距离为（ ） A.35B.25C.14D.34【答案】A 【解析】【分析】根据余弦相似度和余弦距离的定义，代入计算即可求得结果.【详解】由题意可得()cos ,sin OP αα= ，(cos ,sin )OQ ββ= ，(cos ,sin )OR αα=−，则()3co 2cos cos s sin si ,n OQ OQOP P Q OP αβαβ⋅==+=⋅， 又4sin s 1tan t in cos os an c αβααββ==⋅，所以cos cos 4sin sin αβαβ=，可得82cos cos ,sin sin 1515αβαβ==； 所以Q ，R 的余弦距离()cos cos sin sin 31151cos ,1Q R αβαβ−=×−=−.故选：A11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 为双曲线右支上一点，连接1AF 交y 轴于点B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B.32C.D.【答案】C 【解析】【分析】由长度关系可得2112BF AF =，知212AF F F ⊥，在12Rt F F A △中，利用12tan F AF ∠可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设2AF m =，2ABF 为等边三角形，2AB BF m ∴==，12π3F AF ∠=，又12BF BF m ==，2112BF AF ∴=，212AF F F ∴⊥，22b AF a∴=，1212222tan F F cF AF b AF a∴∠===，2222ac ∴−，220e −=，解得：e =e =， ∴双曲线C故选：C.12. 已知函数()πsin (0)4f x x ωω=+>在区间[]0,π上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论： ①()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；②()f x 的最小正周期可能是π2； ③ω的取值范围是1317,44；④()f x 在区间ππ,2319 上单调递增.其中正期结论的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈，则44ππk x ω+=,Z k ∈，结合条件可得π4π0π4k ω+≤≤有4个整数k符合题意，可求出ω的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论. 【详解】由函数()πsin (0)4f x x ωω=+>， 令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈可得44ππk x ω+=，Z k ∈，因为()f x 在区间[0,]π上有且仅有4个极值点，即可得π4π0π4k ω+≤≤有且仅有4个整数k 符合题意， 解得14014kω+≤≤，即0144k ω≤+≤，可得0,1,2,3k =，即1434144ω+×≤<+×，解得1317,44ω∈，即③错误； 对于①，当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω +∈+ ，即可得π7π9ππ,422ω+∈， 显然当ππ7ππ,442ω+∈ 时，()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点； 当ππ9ππ,442ω+∈时，()f x 在区间()0,π上有且仅有4个不同的零点；即①错误； 对于②，()f x 的最小正周期为2π8π8π,1713T ω=∈，易知π8π8π,21713 ∈ ，所以()f x 的最小正周期可能是π2，即②正确； 对于④，当ππ,2319x∈时，πππππ,4234194x ωωω +∈++ ；由1317,44ω ∈可知ππππ9π9π,,2341942319ωω ++∈， 由三角函数图象性质可知()f x 在区间ππ,2319上单调递增，即④正确； 即可得②④正确. 故选：B【点睛】方法点睛：求解三角函数中ω的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知一组数据点()(),1,2,,7i i x y i = ，用最小二乘法得到其线性回归方程为 24y x =−+，若717ii x==∑，则71ii y==∑_______．【答案】14 【解析】【分析】根据回归方程必过样本中心点(),x y ，即可得到答案.【详解】根据题意可知该组数据点71117i i x x ===∑，所以242y x =−+=，所以71471ii yy ===∑，故答案为：1414. 在ABC 中，120BAC ∠= ，1AB =，BC =，则ABC 的面积为______.【解析】【分析】利用余弦定理可解得1AC =，再由面积公式即可求得结果.【详解】由余弦定理可知2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +−∠==−⋅，即213122AC AC +−=−，解得1AC =；所以ABC的面积为111sin1202S =×××=15. 已知函数()f x 满足x ∀，0y >，()()()f xy yf x xf y =+，则满足条件的函数可以是()f x =______. 【答案】()0f x =（答案不唯一） 【解析】【分析】根据函数性质判断即可.【详解】结合常数函数的性质，()0f x =即满足,0x y ∀>，()()()f xy yf x xf y =+， 故答案为：()0f x =（答案不唯一）.16. 已知函数3,1()eln 3,1xx f x xx x a x >= −+≤ ，方程2[()]5()60f x f x −+=有7个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______.【答案】45a <≤或1a = 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由2[()]5()60f x f x −+=，令(f x t =），得2t =或3t =，然后分类1x ≤和1x >讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．【详解】因为2[()]5()60f x f x −+=，令(f x t =），得到2560t t −+=，解得2t =或3t =，又当1x >时，()eln xf x x=，则221eln e e(ln 1)()(eln )(eln )x x x x f x x x −×−′==， 当(1,e)x ∈时，()0f x ′<，当(e,)x ∈+∞时，()0f x ′>， 即()eln xf x x=在区间(1,e)上单调递减，在区间(e,)+∞上单调递增， 又1x →时，()f x →+∞，e x =时，()1f x =，x →+∞时，()f x →+∞， 其图像如图，所以，当1x >时，()2f x =有2上解，()3f x =有2个解，又因为方程2[()]5()60f x f x −+=有7个不同的实数解，所以当1x ≤时，()f x 有3个实数解， 又1x ≤时，3()3f x x x a =−+，则2()333(1)(1)f x x x x ′=−=−+， 所以(,1)x ∈−∞−时，()0f x ′>，(1,1)x ∈−时，()0f x ′<，即当1x ≤时，3()3f x x x a =−+在区间(,1)−∞−上单调递增，在区间(1,1)−上单调递减， 又当=1x −时，()2f x a =+，当1x =时，()2f x a =−， 又当1x ≤时，()f x 有3个实数解，所以23223a a +> <−≤ 或2223a a −≤ +=，解得45a <≤或1a =，故答案为：45a <≤或1a =.【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等差数列{}n a 满足：25a =，3726a a +=，其前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）若数列{}n n b a −是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）813n n a −=，2n S n =+ （2）2341232n n T n n ++−【解析】【分析】（1）由等比中项求出5a ，进而求出等差数列{}n a 的首项与公差，再用公式法写出其通项公式和前n 项和.（2）先求等比数列{}n n b a −的前n 项和n Q ，数列{}n b 的前n 项和即为nn n T Q S =+. 【小问1详解】{}n a 是等差数列，()375132a a a +∴==，∴数列{}n a 的公差52833a a d−=，首项1273a a d =−=，()18113n n a a n d −∴=+−=，()214123n d S na n n n n +−+. 813n n a −∴=，243n S n n =+为所求.【小问2详解】令nn n c b a =−，由题意有13n n c −=； 数列{}n c 是以1为首项，3为公比的等比数列∴其前n 项和()113112n n n a q Q q −−==−， n n n b c a =+ ，∴数列{}n b 的前n 项和2341232nn n nT Q S n n +++− 故2341232n n T n n ++−为所求.18. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB CD AD ===，将ADC △沿着AC 折到APC △的位置，使⊥AP BC .（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ； （2）求二面角A PB C −−的正弦值. 【答案】18. 证明见解析19.【解析】【分析】（1）过C 做CEAB ⊥，交AB 于E ，连接AC ，根据余弦定理求得AC ，可证AC BC ⊥，又⊥AP BC ，根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面APC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）建立空间直角坐标系，求得平面APB ，BPC 的法向量1n ，2n，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的正弦值，即可得答案. 【小问1详解】由等腰梯形ABCD 中，222AB CD AD ===， 过C 做CEAB ⊥，交AB 于E ，连接AC ，如图所示，根据对称性可得，12BE =，所以1cos 2BE ABC BC ∠==，可得60ABC ∠=°， 又由2AB BC =，所以2222cos 3AC BC AB BC AB ABC =+−⋅∠=，即3AC =， 所以222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又因⊥AP BC ，且AC AP A = ，所以BC⊥平面APC ，又由BC ⊂平面ABC ，所以平面APC ⊥平面ABC .【小问2详解】取AC 的中点E ，AB 的中点F ，以E 为坐标原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，EP 为z 轴正方向建立空间坐标系，则A，(B，()0,0C ，10,0),(2P ，所以12()AP =，)11,2(PB =−，)10,2CP = ，设平面APB 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面BPC 的法向量为()2222,,n x y z =，为则11111102102x y z x z +−= +=，得一个法向量(1n = ，22222102102x y z x z +−= +=，得一个法向量2(1,0,n = ，所以121212cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅设二面角A PB C −−的平面角为θ，s n i θ， 所以二面角A PB C −−. 19. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．（1）己知某局比赛中双方比分为8:8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为0.40.5，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9获胜的概率； （2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了X 局后比赛结束，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）425； （2）分布列见解析，数学期望为23681. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即得. （2）求出X 的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望即得. 【小问1详解】在比分为88:后甲先发球的情况下，甲以11:9获胜的情况分三种： 第一种：后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为123113552250P =×××=，第二种：后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为232113552250P =×××=， 第三种：后四球胜方依次为甲甲乙甲，概率为322111552225P =×××=， 所以所求事件的概率为：123331*********P P P ++=++=． 【小问2详解】随机变量X 的可能取值为2，3，4，5，224(2)339P X ==×=，121228(3)C 33327P X ==×××=， 1243212113(4)C ()()333381P X ==×××+=， 1333442121218(5)C ()C ()33333381P X ==×××+×××=， 所以X 的分布列为数学期望48138236()2345927818181E X =×+×+×+×=. 20. 已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+−−.(R)a ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a >，求证：211()f x a a>−−. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）对函数求导得到()(e 1)(2e 1)x x f x a ′=−+，分0a ≤和0a >进行讨论，再利用函数的单调性与导数间的关系即可求出结果；（2）根据（1）中的单调性，得到()f x 的最小值为ln 11a a −+，从而将问题转化成20l 11n a a++>，构造函数2)1()ln 1(0g x xx x =++>，对()g x 求导，利用函数的单调性与导数间的关系，求出()g x 的最小值，即可证明结果. 【小问1详解】因为2()e (2)e x x f x a a x =+−−，所以2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a ′=+−−=−+,易知，2e 10x +>恒成立，当0a ≤时，()0f x ′<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，由()0f x ′=，得到ln x a =−，当(,ln )x a ∈−∞−时，()0f x ′<；当(ln ,)x a ∈−+∞时，()0f x ′>，所以0a >时，函数()f x 在区间(,ln )a −∞−上单调递减，在区间(ln ,)a −+∞上单调递增， 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减，当0a >时，函数()f x 减区间为(,ln )a −∞−，增区间为(ln ,)a −+∞. 【小问2详解】由（1）知，当0a >时，函数()f x 的最小值为2ln ln 121(ln )e (2)e ln ln ln 1a a a f a a a a a a a a a −−−−=+−+=++=−+，所以要证211()f x a a >−−，即证明2ln 1111a a a a −−+−>在区间()0,∞+上恒成立，整理得20l 11n a a ++>，令2)1()ln 1(0g x x x x =++>，则233221()x g x x x x ′−==−=所以当x ∈时，()0g x ′<，当)x ∈+∞时，()0g x ′>，则函数()g x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增，故()g x 的最小值为311ln 202122g =+=+>， 即0a >时，20l 11n a a++>恒成立，所以0a >时，211()f x a a >−−. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．21. 已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率为12，长轴长为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的上、下焦点分别为2F 、1F ，过点1F 作斜率为()110k k ≠的直线l 交椭圆于A ，B 两点，直线2AF ，2BF 分别交椭圆C 于M ，N 两点，设直线MN 的斜率为2k .求证：21k k 为定值.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，求得,a b 的值，即可求解；（2）设直线l 的方程为11y k x =−，1122(,),(,)A x y B x y ，求得2AF 为1111y y x x −+，联立方程组，求得11325M x x y =−，得到1111358(,)2525x y M y y −−−,同理2222358(,)2525x y N y y −−−，利用斜率公式，化简得到2121219()321()7y y k k x x −==−，即可得证. 【小问1详解】解：由椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率为12，长轴长为4.可得2222412a c a a b c = = =+，解得2,a b==，所以椭圆C 标准方程为22143y x +=.【小问2详解】解：由（1）知22143y x +=，可得12(0,1),(0,1)F F −，设直线l 的方程为11y k x =−， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21121y y k x x −=−，的由2111AF y k x −=，所以直线2AF 的方程为1111y y x x −+， 联立方程组112211143y y x x y x − =+ += ，整理得222211111[43(1)]6(1)90x y x x y x x +−+−−=， 则0∆>且21122119[43(1)]M x x x x y −=+−，所以21112211111993[43(1)]15625Mx x x x x y x y y −−===+−−−， 可得111111135812525My x y y x y y −−=×+=−−，即1111358(,)2525x y M y y −−−, 同理可得2222358(,)2525x y N y y −−−，所以2121211222121122158582525(58)(25)(58)(25)333(25)3(25)2525N M N M y y y y y y y y y y k x x x x x y x y y y −−−−−−−−−−−===−−−−−−− 21211221211221219()9()6()15()6[(1)(1)]15()y y y y x y x y x x x kx x kx x x −−=−+−−−−+−211219()321()7y y k x x −=−， 即2137k k =，所以21kk 为定值.【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=− =+（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos 6ρθ+． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）222x y +=0y −−=（2）【解析】【分析】（1）把曲线C 的方程两边平方相加可求曲线C 的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l 的直角坐标方程;（2）设(P x −，由题意可得||2||OP OA ≤，计算可求点P 横坐标的取值范围. 【小问1详解】 由曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=−=+ （α为参数），可得222222cos 2sin cos sin cos 2sin cos sin 2x y αααααααα+=−++++=由πcos 6ρθ+,得ππcos cos sin sin 66ρθρθ−12x y −,0y −−=, ∴曲线C 的普通方程为222x y +=,直线l0y −−=【小问2详解】设(P x −,连接,OA OB ，易得,OA AP OB BP ⊥⊥，若π3APB ∠≥,则6πAPO ∠≥，1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||1||2OA OP ≥，||2||OP OA ∴≤≤,两边平方得241240x x −+≤,x ≤≤∴点P横坐标的取值范围为 [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()1f x x a x =++−，a R ∈．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解；（2）对任意()0,3m ∈．关于x 的不等式()12f x m m <++总有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）53,22 −；（2）()5,3−． 【解析】【分析】（1）讨论绝对值内的正负号,解不等式，即可得出答案.（2）由题意可知()min min 12f x m m<++，结合1224m m ++≥=与()()()11f x x a x a ≥+−−=+，即可解出答案.【详解】（1）由已知，不等式()4f x ≤即为214x x ++−≤，则()()2,214,x x x ≤− −+−−≤或()21,214,x x x −<≤ +−−≤ 或()1,214,x x x > ++−≤ 解得522x −≤≤−或21x −<≤或312x <≤，故不等式的解集为53,22 −． （2）对任意()0,3m ∈，关于x 的不等式()12f x m m <++总有解()min min 12f x m m ⇔<++而1224y m m =++≥+=，当且仅当1=m m ，即1m =时取最小值， 又()()()11f x x a x a ≥+−−=+（当且仅当()()10x a x +−≤时取等号）故只需14a +<，得53a −<<，即实数a 的取值范围为()5,3−．【点睛】本题考查绝对值不等式，分类讨论是解绝对值不等式基础方法，解本题还需注意区分不等式有解与恒成立问题.属于中档题.。
渭南市 2024 年高三教学质量检测(Ⅰ)理科数学参考答案
渭南市2024年高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（理科）参考答案一．选填题（每小题5分，共80分）二、解答题（共70分）17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以11521026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，................................................................................................................................3分所以32(1)=2n+1n a n =+-；..............................................................................................................................................4分n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n ................................................................................................................................................6分（2）由已知得13n n n b a --=，由（1）知2n+1n a =，所以13n n n b a -=+，.................................................................9分n T =()123113322n n n S n n --+++⋅⋅⋅+=++.......................................................................................................................12分18.解：（1）由等腰梯形ABCD 中，222AB CD AD ===，过C 做CE AB ⊥，交AB 于E ，连接AC ，根据对称性可得，1=2BE ，所以1cos 2EB ABC BC ∠==，可得60ABC ∠=︒，又由2AB BC =，所以2222cos 3AC BC AB BC AB ABC =+-⋅∠=，即3AC =，所以222AC BC AB +=，即AC BC⊥....................................................................................3分又因为BC AP ⊥，且AC AP A = ，所以BC ⊥平面APC ，又由BC ⊂平面ABC ，所以平面APC ⊥平面ABC ..........................................................................................................................................6分（2）取AC 的中点E ，AB 的中点F ，以E 为坐标原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，EP 为z 轴正方向建立空间坐标系，则3,0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,02B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1()0,0,2P D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,0,22AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,1,22PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0CB =，题号123456789101112答案BD BDB ABC CAC C题号13141516答案1434ln (()log ()0a x xf x x x f x ==结构或都对)145a a =<≤或设平面BPC 的法向量为()1111,,x n y z = ，平面BPA 的法向量为()2222,,n x y z =，求得一个法向量()3,0,11-=n .....................................................................................................................................8分又22222102231022x y z x z ⎧-+-=⎪⎪-=⎩，令21x =，则22y z ==，得一个法向量(2n =u u r.....................................................................................................................................10分所以77722-=-==n n 设二面角C PB --A 的平面角大小为θ，742cos 1sin 2==-=θθ所以二面角C PB --A 的正弦值为742..................................................................................................................12分20解：（1）由题意得2'()2(2)1(21)(1)xx x x f x ae a e e ae =+--=+-....................................................................2分①当0a ≤时，显然'()0f x <，所以()f x 在R 上单调递减；..................................................................................4分②当0a >时，令'()>0f x 得ln x a >-;令'()0f x <得ln x a<-所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln +)a -∞，单调递增.................................................................................6分（2）由（1）知，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln +)a -∞，单调递增所以1()(ln )1ln f x f a a a≥-=-+............................................................................................................................8分因此要证211()f x a a >--，需证21111ln a a a a -+>--即需证21ln ++10a a >令21()ln ++1,0a a a aϕ=>所以233122'()a a a >a a a ϕ-=-=， 0令'()a ϕ=0，得a =.................................................................10分易知()a ϕ在递减，在+)∞递增所以3ln 2()02a ϕϕ+≥=>.于是不等式得证...........................................................................................12分21.解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，长轴长为4.所以1,242c e a a ===解得22,1,3a c b ===.椭圆方程为22:143y x C +=.............................................................................................4分（2）易知12(0,1),(0,1)F F -易知直线l 方程为11y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，21121y y k x x -=-，直线2AF 的方程为：1111y y x x -=+...............................................5分联立112211143y y x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222211111[43(1)]6(1)90x y x x y x x +-+--=所以21112211111993[43(1)]15625M x x x x x y x y y --===+-⋅--，111111135812525My x y y x y y --=⨯+=--即1111358(,)2525x y M y y ---同理2222358(,)2525x y N y y ---....................................................................................................8分所以2121211222121122158582525(58)(25)(58)(25)=333(25)3(25)2525N M N M y y y y y y y y y y k x x x x x y x y y y -----------==-------212121112212111221121219()9()9()3=6()15()6[(1)(1)]15()21()7y y y y y y k x y x y x x x k x x k x x x x x ---===-+-⋅--⋅-+--则213=7k k .即21kk 为定值..............................................................................................................................................12分22解：（1）由曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），可得222222cos 2sin cos sin cos 2sin cos sin 2x y αααααααα+=-++++=.............................................3分由πcos 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得ππcos cos sin sin 66ρθρθ-=122x y ∴-=,0y --=∴曲线C 的普通方程为222x y +=,直线l的直角坐标方程为0y --=...............................................5分（2）设(P x -,连接,OA OB ，易得,OA AP OB BP ⊥⊥，若π3APB ∠≥,则6πAPO ∠≥，1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||1||2OA OP ≥，||2||OP OA ∴≤= (8)分,两边平方得241240x x -+≤,解得3322x +≤≤,∴点P横坐标的取值范围为33,22⎡⎢⎣⎦......................................................................................................10分23．解：(Ⅰ)由已知，不等式()≤4即为|+2|+|−1|≤4，则≤−2−(+2)−(−1)≤4，或−2<≤1+2−(−1)≤4，或>1+2+(−1)≤4,解得−52≤≤−2或−≤1或1<≤32，故不等式的解集为−52....................................................................................................................................5分(Ⅱ)对任意∈(0,3)，关于的不等式()<+1+2总有解⇔()min <+1+2min，而=+1+2≥+2=4，当且仅当=1，即=1时取最小值，又()≥|(+)−(−1)|=|+1|(当且仅当(+)(−1)≤0时取等号)，故只需|+1|<4，得−5<<3，即实数的取值范围为(−5,3)．...............................................................................................................................10分。
陕西省渭南市临渭区2022届高三第一次质量检测理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为A．B．C．D．2. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 下列说法中错误的是A ．从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样B．线性回归直线一定过样本中心点C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D ．若一组数据1、、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是24. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（）A．B ．0C．D．5. 某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是，记比赛的最终局数为随机变量，则（ ）A．B．C．D．6.的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x 3的系数为（ ）A ．40B ．30C ．20D ．107. 设集合，，则A．B．C．D．8.已知函数，若在上有且仅有2个最大值点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9.已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）A ．当时，B．任意，C．存在非零实数，使得任意，D ．存在非零实数，使得任意，陕西省渭南市临渭区2022届高三第一次质量检测理科数学试题(2)陕西省渭南市临渭区2022届高三第一次质量检测理科数学试题(2)三、填空题四、解答题10. 已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（ ）A．B ．若，则C ．若，则D ．若.则11. 如图，在已知直四棱柱中，四边形ABCD 为平行四边形，E ，M ，N ，P 分别是BC，，，的中点，以下说法正确的是（）A ．若，，则B．C ．平面D ．若，则平面平面12. 如图1，在直角梯形ABCD 中，，，点E ，F 分别为边AB ，CD 上的点，且.将四边形AEFD 沿EF 折起，如图2，使得平面平面EBCF，点是四边形AEFD 内的动点，且直线MB 与平面AEFD 所成的角和直线MC 与平面AEFD 所成的角相等，则下列结论正确的是（）A．B．点的轨迹长度为C．点到平面EBCF的最大距离为D ．当点到平面EBCF 的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为13. 已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交C 右支于M ，N 两点，且.写出C 的一条渐近线方程______.14. 已知，则的最大值为__________．15. 在三棱锥中，平面，，若，，，则三棱锥外接球的表面积为______.16. 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰，某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄x 23456患病人数y2222171410(1)求y关于x的线性回归方程；(2)计算变量x，y的样本相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关程度很强．（若，则x，y相关程度很强；若，则x，y相关程度一般；若，则x，y相关程度较弱．）参考数据：．参考公式：相关系数，线性回归方程17. 已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即，时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求的最小值；（3）已知正数，满足.求证：.18. 已知数列中，，其前项和满足：（）.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.19. 设数列是公差为的等差数列，已知，(1)求数列的通项公式；(2)若，且的前n项和为，求.20. 如图，正方形和正方形所在平面的二面角是60°，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与面所成角的正弦值．21. 已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点在线段上运动（不含端点），点，直线与椭圆交于，两点（点在点左侧），中点的轨迹交轴于，两点，且．(1)求椭圆的方程；(2)记直线，的斜率分别为，，求的最小值．。
陕西省渭南市临渭区尚德中学2021届高三上学期暑期检测数学(理)试题
数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的.请将正确选项填涂在答题卡上.） 1. 已知集合{}1,1A =-，{}220,B x x x x Z =+-<∈∣，则A B =（ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}1,0,1-D. 1,0,1,2【答案】C【解析】【分析】先求出集合A 、B ，由此能求出A B .【详解】解：∵集合{}1,1A =-， {}{}{}220,21,1,0B x x x x Z x x x Z =+-<∈=-<<∈=-∣∣，∴{}1,0,1A B =-.故选：C.【点睛】此题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数C. 存在一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．3. 复数21i i-在复平面内对应的点为（ ）A. ()1,1--B. ()1,1-C. ()1,1-D. ()1,1【答案】B【解析】【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数21i i-所对应点的坐标得答案. 【详解】21i i -2(1)1(1)(1)i i i i i +==-+-+，对应点为(1,1)-， 故选：B . 【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题.4. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是（ ）A. f (x )＝e x －e －xB. f (x )＝tan xC. f (x )＝x ＋1x D. f (x )＝|x | 【答案】A【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.【详解】f (x )＝|x |是偶函数，排除D ；f (x )＝x ＋1x在(0，＋∞)上先减后增，排除C ； f (x )＝tan x 在(0，＋∞)上不是单调函数，排除B ；f (x )＝e x －e －x ，定义域为R又()()()x x f x e e f x --=--=-，故()f x 是奇函数；又()1x x f x e e =-，x y e =和1x y e =-在()0,+∞都是增函数， 故()f x 在()0,+∞上是单调增函数.即()x x f x e e -=-满足题意.故选：A .【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属基础题.5. 设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．6. 若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. a <－3B. a ≤－3C. a >－3D. a ≥－3 【答案】B【解析】若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则()()2210f x x a =+-≤'在(),4-∞上恒成立，即：1a x ≤-，由于13x ->-，则3a ≤-，选B.7. 三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）A. 60.70.7log 60.76<<B. 60.70.70.76log 6<<C. 0.760.7log 660.7<<D. 60.70.70.7log 66<< 【答案】A【解析】【分析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果． 【详解】因为0.70661>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；所以60.70.7log 60.76<<．故选：A ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，属于中档题. 8. 函数ln ||()x f x x=的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．【详解】解：函数ln ||()x f x x=是奇函数，排除A ，B ， 当x →+∞时，()0f x >，排除C ，故选D ．【点睛】本题考查函数的图象的判断，其中函数的奇偶性以及特殊点、变化趋势，往往是解答函数图象的有效方法．9. 已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，x y e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 若函数()()212log 6f x x ax =++在[)2,-+∞上是减函数，则a 的取值范围为 A. [)4,+∞B. [)4,5C. [)4,8D. [)8,+∞【答案】B【分析】令t ＝26x ax ++，则由题意可得函数t 在区间[-2，+∞）上为增函数且t （-2）＞0，由此解得实数a 的取值范围．【详解】令t ＝26x ax ++，则函数g （t ）12log =t 在区间（0，+∞）上为减函数， 可得函数t 在区间[2，+∞）上为增函数且t （-2）＞0， 故有()2224260a t a ＞⎧-≤⎪⎨⎪-=-+⎩，解得﹣4≤a ＜5，故选B ．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用，本题属于基础题.11. 已知()f x 是R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()()1232019f f f f ++++=（ ）A. 50-B. 2C. 0D. 50【答案】C【解析】【分析】 由()()11f x f x -=+得到()()2f x f x =-，结合奇函数，求出()f x 的周期，再将所求的()()()()1232019f f f f ++++进行转化，得到其中的关系，从而得到答案.【详解】因为()()11f x f x -=+，用1x -代替上式中的x ，得到()()2f x f x -=而()f x 是R 的奇函数，所以有()()()22f x f x f x =-=--用2x -代替上式中的x ，得()()24f x f x -=--，所以()()()24f x f x f x =--=-，可得()f x 的周期为4.因为()12f =，()()040f f ==所以1x =时，由()()11f x f x -=+得()()200f f ==2x =时，由()()11f x f x -=+得()()()3112f f f =-=-=-故()()()159f f f ===⋅⋅⋅，()()()2610f f f ===⋅⋅⋅，()()()3711f f f ===⋅⋅⋅，()()()4812f f f ===⋅⋅⋅所以()()()()1232019f f f f ++++()()()()()()()5041234123f f f f f f f =++++++⎡⎤⎣⎦()5042020202=+-+++-0=故选C .【点睛】本题考查函数奇偶性，对称性，周期性的综合运用，属于中档题.12. 已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（ ）A. (-1，+∞)B. (-1，1)C. (-∞，-1)D. (-∞，+∞)【答案】A【解析】【分析】首先设函数()()36g x f x x =--，再利用导数判断函数单调性，利用单调性和函数的零点解不等式.【详解】设函数()()36g x f x x =--，()()3g x f x ''=-， ()3f x '>，()0g x '∴>，∴函数()g x 是单调递增函数，且()()()113160g f -=--⨯--=，1x ∴>-，()36f x x ∴>+的解集是()1,-+∞.故选：A【点睛】本题考查导数与函数的单调性，解抽象不等式，重点考查构造函数，推理能力，属于基础题型.二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知幂函数()y f x =的图象过点()2,2，则()16f =______．【答案】4【解析】【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求(16)f 的值【详解】解：由题意令()a yf x x ，由于图象过点(2,2)， 得22a =，12a = 12()y f x x ∴==12(16)164f ∴== 故答案为：4．【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题．14. 已知函数f (x )＝2x ,x 0,lg x,x 0⎧≤⎨>⎩若f (m )＝1，则m ＝________.【答案】10或1-【解析】【分析】根据分段函数，分0m ≤和0m >两种情况讨论，求m 的值.【详解】当0m >时，lg 1m =，解得：10m =，当0m ≤时，21m =，解得：1m =-，综上可知：10m =或1-.故答案为：10或1-【点睛】本题考查利用分段函数，解方程，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略函数的定义域.15.曲线y =4，2）处的切线的斜率为_______. 【答案】14 【解析】【分析】先求函数的导数，利用导数的几何意义直接求切线斜率.【详解】y '=，当4x =时，14y '=，根据导数的几何意义可知曲线y =4，2）处的切线的斜率为14. 故答案为：14【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.16. 已知命题2:,1p x R x m ∀∈+>；命题:()(3)x q f x m =-是增函数.若“p q ∧”为假命题且“p q ∨”为真命题，则实数m 的取值范围为_______.【答案】[1，2)【解析】【分析】分别求出p ，q 为真时的m 的范围，通过讨论p ，q 的真假，从而求出m 的范围即可．【详解】命题p ：∀x∈R，x 2+1＞m ，解得：m ＜1；命题q ：指数函数f （x ）=（3-m ）x 是增函数，则3-m ＞1，解得：m ＜2，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p ，q 一真一假，p 真q 假时：1 2m m ⎧⎨≥⎩＜ 无解， p 假q 真时：1 2m m ≥⎧⎨⎩＜ ，解得：1≤m＜2， 故答案为[1，2）．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查指数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数f (x )＝222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2；（2）(1，3].【解析】【分析】（1）根据函数是奇函数求得0x <的解析式，比照系数，即可求得参数m 的值； （2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数a 的范围.【详解】（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.（2）要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知2121a a ->-⎧⎨-⎩所以1＜a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3].点睛】本题考查利用奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求参数范围，属综合基础题.18. 设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】（1）2a =，定义域为(1,3)-；（2）2. 【解析】 【分析】（1）由()12f =可解得2a =；令两个对数的真数大于零，解不等式组可得()f x 的定义域；（2）函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，函数(3)(1)y x x =-+在[0,1)上单调递增，在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，根据复合函数单调性的“同增异减”原理，可得()f x 的单调性，从而可求其最大值.【详解】解:（1）(1)log 2log 2log 42a a a f =+==，解得2a =. 故22()log (1)log (3)f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x ,故()f x 的定义域为(1,3)-.（2）函数222()log (1)log (3)log (3)(1)f x x x x x =++-=-+,定义域为(1,3)-，30,(1,3)2⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦， 由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增,函数(3)(1)y x x =-+在[0,1)上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[0,1)上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2(1)log 42f ==．【点睛】考查对数函数的运算以及复合函数的定义域、最大值的求法，中档题. 19. 若二次函数满足(1)()2f x f x x +-=且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[1-，1]上不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）f （x ）＝x 2－x ＋1；（2）1m <-． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设2()f x ax bx c =++，由(0)1f =得c 值，由(1)()2f x f x x +-=可得a ，b 的值，从而问题解决；（2）欲使在区间[1-，1]上不等式()2x m f x >+恒成立，只须2310x x m -+->，也就是要231x x m -+-的最小值大于0即可，最后求出231x x m -+-的最小值后大于0解之即得．【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)1f =，1c ∴=，2()1f x ax bx ∴=++(1)()2f x f x x +-=，22ax a b x ∴++=，∴22101a a a b b ==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩2()1f x x x ∴=-+；（2）由题意：212x x x m -+>+在[1-，1]上恒成立，即2310x x m -+->在[1-，1]上恒成立2235()31()24g x x x m x m =-+-=--- 其对称轴为32x =，()g x ∴在区间[1-，1]上是减函数， ()min g x g ∴=（1）1310m =-+->，1m ∴<-．【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．20. 在2021年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，a 同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目. （1）求a 同学摸球三次后停止摸球的概率；（2）记X 为a 同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）14；（2）2. 【解析】 【分析】（1）设“a 名同学摸球三次后停止摸球”为事件A ，由排列组合知识结合古典概型概率公式可得()233414A P A A ==；（2）随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，结合排列组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望.【详解】设“a 名同学摸球三次后停止摸球”为事件A ，则()233414A P A A ==，故a 名同学摸球3次停止摸球的概率为14． （2）随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4()104P X ==； ()242116P X A ===； ()2223441126A P X A A ==+=；()122234136C A P X A ===； ()3344144A P X A ===所以随机变量X 的分布列：01234246664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题主要考查排列组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 21. 已知函数()()()2ln 10f x x ax x a =++->.（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性.（3）若对于任意的[]1,2a ∈，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()ln f x a m +≤恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）14a =；（2）详见解析；（3）[)12ln 2,++∞. 【解析】 【分析】（1）根据1x =是函数()f x 的一个极值点， 可得()10f '=，即可求出a （2）根据()f x 的导数，讨论当102a <<时，12a =时，12a >时，由导数大于0得增区间，导数小于0得减区间（3）根据()f x 的增减性，可知任意的[]1,2a ∈的最大值为()1ln21f a =+-，不等式()ln f x a m +≤恒成立可转化为ln21ln a a m +-+≤，构造函数()ln ln21g a a a =++-，求其最大值即可求出m 的取值范围.【详解】（1）()()222112111ax a x f x ax x x +-=+-='++ 因为1x =是函数()f x 的一个极值点，所以()10f '=，解得14a =. （2）因为()f x 的定义域是()1,-+∞，()()()221222111x ax a ax a xf x x x ⎡⎤--+-⎣⎦=='++①当10a <<时，列表()f x 在()1,0-，11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增；()f x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减.②当12a =时，()201x f x x +'=≥，()f x 在()1,-+∞单调递增.③当1a >时，列表()f x 在11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()0,+∞单调递增；()f x 在11,02a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减. （3）由（2）可知当12a ≤≤时，()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()ln f x a +在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增.所以对于任意的[]1,2a ∈的最大值为()1ln21f a =+-，要使不等式()ln f x a m +≤在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，须ln21ln a a m +-+≤， 记()ln ln21g a a a =++-，因为()110g a a+'=>，所以()g a 在[]1,2上递增，()g a 的最大值为()212ln2g =+，所以12ln2m ≥+.故m 的取值范围为[)12ln2,++∞. 【点睛】本题主要考查了函数的极值点，利用导数求函数的单调区间，最值，构造函数，恒成立问题，属于难题.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为3cos 42sin4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （Ⅰ）求直线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(3,2)P 作直线1C 的垂线交曲线2C 于M ，N 两点，求||||PM PN . 【答案】（Ⅰ）10x y --=；()240y x x =≠；（Ⅱ）16.【解析】 【分析】（Ⅰ）直线1C 消去t 后就是直线的普通方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==转化后就是曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）首先写出垂线的参数方程，与曲线2C 的直角坐标方程联立，利用t 的几何意义求PM PN .【详解】（Ⅰ）直线1C 参数方程为3cos 42sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．消去t 可得：10x y --=；由24cos sin θρθ=可得22sin 4cos ρθρθ= 且sin 0θ≠ 得24y x = ()0x ≠； （Ⅱ）过点(3,2)P 垂直于直线1C的直线的参数方程为：32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入24y x =可得2160t +-=，设,M N 对应的参数为12,t t ，则1216t t =-， 所以1216PM PN t t ==.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的转化，以及利用t 的几何意义求长度问题，属于中档题型.23. 设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。