最新数学建模椅子能在不平的地面上放稳吗
生活中的若干建模实例3
p1 p2 这时不公平程度可用 来衡量。 n1 n2 如 p1 120, p2 100, n1 n2 10 p1 p2 则 2 n1 n2
又如 p1 1020, p2 1000, n1 n2 10
pபைடு நூலகம் p2 不妨设 > n1 n2
p1 p2 则 2 n1 n2
显然 p1 - p2 只是衡量的不公平的绝对程度，但是
Q1最大，于是这1席应分给甲系.
Q3最大，于是这1席应分给丙系.
评注
1.席位的分配应对各方都要公平 2.解决问题 的关键在于建立衡量公平程度既合 理又简明的数量指标。 这个模型提出的相对不公平值 它是确定分配方案的前提.
rA , rB
§3 双层玻璃窗的功效问题
我们注意到北方有些建筑物的窗户是双层的，即 窗户装两层玻璃且中间留有一定空隙，如图所示 墙 墙
当总席位增加1席时,计算
Qi p i2 ni ( ni 1) , i =1,2， ，m
则增加的一席应分配给Q值大的一方. 这种席位分配的方法称为Q值法. 下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙 丙三系分配21个席位的问题.
先按照比例将整数部分的19 席分配完毕,有
n1 10，n2 6，n3 3
由假设（3），任何位置至少有三只脚着地，所以 对于任意的θ， f ( ), g( ) 至少有一个为0.
当θ=0时，不妨设
g(0) 0, f (0) 0
这样改变椅子的位置使四只脚同时着地就归结 为证明如下的数学命题：
已知f ( )和g ( )都是 的连续函数，对任意 ， f ( ) g ( ) 0且g ( 0) 0，f ( 0) 0，则存在 0使 f ( 0 ) g ( 0 ) 0
数学建模椅子平衡问题 蜗牛爬行问题 船渡河问题
1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。
四脚的连线呈长方形。
2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上连续曲面。
3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。
模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。
以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。
在图中角线B’D’与X轴重合，椅子绕中心点O轴旋转角度θ后。
长方形A’B’C’D’转至ABCD位置。
用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置，椅脚与地面距离为θ的函数.A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (θ)地面为连续曲面 F (θ) , g(θ)是连续数.椅子在任意位置至少三只脚着地.对任意θ, f(θ ), g (θ )至少一个为0.已知： f (θ ) , g (θ )是连续函数 ;对任意θ， f (θ• g (θ )=0 ;且 g (0)=0， f (0) > 0.证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.模型求解证明；设长方形的长为a ,宽为b。
将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。
由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g（2arctanb/a )=0（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0,桌子能放平衡。
（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.第一题一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。
椅子能否放稳
1 椅子在不平的地面上能放稳吗（一）问题的分析与假设由三点构成一个平面可知，通常情况下，在不平的地面椅子是三只脚着地，如果要达到放稳的要求，必须是四只椅脚同时着地。
问题中，椅子四脚呈长方形，在以下建模过程中，为方便讨论，我们作出以下假设：（1）椅子的四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四角连线呈矩形；（2）地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
（二）模型的建立与求解问题的解决，是通过建立直角坐标系，利用矩形的对角线平分且相等，以AC所在直线作为X轴，以垂至于AC的直线作为为Y轴，以矩形的中心点为原点建立直角坐标系。
如图所示：错误!用对角线AC与X轴的夹角α表示椅子当前的位置，此时，可设椅脚与地面的距离是α的函数。
椅子的四脚与地面应有四个距离的函数，但由于矩形的对称性，对角上的两点距离之和可用一个函数表示。
设A,C两脚与地面的距离之和为，B,D两脚与地面的距离之和为。
已知地面是连续曲面，椅子可在任意位置至少三只脚着地，把已知条件转化为数学问题为已知，是连续函数，即α为任意值，·=0总成立；且。
现只需证明存在α0,使。
现给出证明方法：开始α=0，将椅子旋转角度大小为∠AOB=a，此时对角线AC和BD互换。
由，知,。
令, 则有。
因为，为连续函数，所以也为连续函数，根据连续函数的基本性质，必存在α0使=0，即，又因为·=0，所以可得，证毕。
由证明的结果看，在不平的平面上，椅子呈矩形四脚距离地面的距离能同时为零，即椅子能在不平的地面放平稳。
若椅子的四脚呈等腰梯形，同理可证这样的椅子也能在不平的地面上放稳。
椅子摆放问题
问题：椅子能在不平的地面放稳吗？
模型假设对椅子和地面应该做出一些假设：
1．椅子四条腿一样长，椅子与地面接触可视为一个点，四角的连接呈长方形。
2．地面的高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可以视为数学上的连续平面。
3．对于椅子腿的间距和椅子腿的长度而言地面是相对平坦的，使椅子腿在任何地方都有三个腿同时着地。
分析：
当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地（即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零）
如图建立直角坐标系，A、B、C、D为椅子的四条腿脚与地面的接触点。
表示在椅子不稳的情况下将椅子绕0点旋转角度后椅子的位置，不同的则表示椅子不同的位置。
问题:
是否存在一使得椅子的四条腿与地面的距离为零。
与假设三:记为椅子旋转角度时A、C两点（腿）到地面的距离之和记为椅子旋转角度时B、D两点（腿）到地面的距离之和对，=0
有假设二和都是在区间上的连续函数（地面是连续变化的）
由假设三不妨设：=0时有这样改变椅子的位置就可以使椅
子四只脚同时着地。
归结出数学命题：
已知和是的连续函数。
对，=0 且
证明存在，使得
模型求解：
如图（2）为将椅子旋转（两对角线之夹角）角度后，对角线BD覆盖到原先对角线AC 的位置上，而AC 则旋转出一新的位置。
由可知
令则有
的连续性可知也是连续函数，根据连续函数的基本性质
比存在使得
即有
肯定存在一位置可以使得四条腿同时着地放稳椅子，即椅子可以在不平的地方放。
椅子（四条腿的椅脚连线呈长方形）...
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。
虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。
A,C 两脚与地面的距离之和为()f θ
B,D 两脚与地面的距离之和为()g θ
由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。
由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。
可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。
这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：
已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。
证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。
五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。
由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。
最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。
椅子能在不平的地面上放稳吗
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题
通常我们在不太平的地面上放一把椅子时， 如果没有放稳，转一转就可以了，能通过建 模解释吗？
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件哪些是本质的,哪些是非本质的?
考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4)
分析
这里涉及的事物有地面和椅子。首先对地面 的状况和椅子的形状应该进行合理的假设： 象台阶那样的地面是绝对不能放稳的，所以 地面不能在局部起伏过大；椅子应该是标准 的，不能少腿，一般是四条腿儿；
放置的状况通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
模型假设
此假设是为了满足 我们后面要利用连 续函数的性质建模 • 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 的数学上要求。 连线呈正方形; 椅子的要求
数学 问题
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解 给出一种简单、粗造的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换.
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的 基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; 地面的要求
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)
（显示模子函数的结构进程）
在上述假设下,解决问题的症结在于选择适合的变量,把椅子四只脚同时着地暗示出来．
起首,引入适合的变量来暗示椅子地位的挪动．生涯经验告知我们,要把椅子经由过程挪动放稳,平日有拖动或迁移转变椅子两种办法,也就是数学上所说的平移与扭改变换．然而,平移椅子后问题的前提没有产生本质变更,所以用平移的办法是不克不及解决问题的．于是可测验测验将椅子当场扭转,并试图在扭转进程中找到一种椅子能放稳的情况．
留意到椅脚连线呈长方形,长方形是中间对称图形,绕它的对称中间扭转180度后,椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中间O扭转,这可以暗示椅子地位的改变.于是,扭转角度θ这一变量就暗示了椅子的地位．为此,在平面上树立直角坐标系来解决问题．
如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC地点的直线为x轴,对称中间O为原点,树立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针偏向扭转角度θ后,长方形ABCD转至A1B1C1D1 的地位,如许就可以用扭转角θ（0≤θ≤π）暗示出椅子绕点O扭转θ后的地位．
其次,把椅脚是否着地用数学情势暗示出来．
我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地．因为椅子在不合的地位是θ的函数,是以,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
因为椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ的函数．而由假设(3)可知,椅子在任何地位至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于随意率性的θ,其函数值至少有三个同时为0．是以,只需引入两个距离函数即可．斟酌到长方形ABCD是中间对称图形,绕其对称中间 O沿逆时针偏向扭转180°后,长方形地位不变,但A,C和B,D对调了．是以,记。
最新数学建模椅子能在不平的地面上放稳吗
椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2.3. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.4.5. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转D '角度θ这一变量来表示椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g .三、模型求解将椅子旋转90︒，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()00,20h h π<>，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ⨯=，所以()()000==θθf g .四、评 注模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90︒并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.。
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椅子能在不平的地面上放稳吗？
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.
一、 模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
2.
3. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
4.
5. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
二、模型建立
中心问题是数学语言表
示四只脚同时着地的条件、
结论.
首先用变量表示椅子的
位置，由于椅脚的连线呈正
方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转
D '
角度θ这一变量来表示椅子的位置.
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g .
三、模型求解
将椅子旋转90︒，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()00,20h h π<>，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ⨯=，所以()()000==θθf g .
四、评 注
模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90︒并不
是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.。