平面力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）
平面任意力系的简化
附加力偶系可以合成为一个力偶，其力偶矩为
MO M1 M 2
M n MO (F1 ) MO (F2 )
MO (Fn ) MO (Fi )
称为原力系对简化中心O的主矩，主矩与简化中心的选择有关。
结论：
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这 个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O ；这力偶的矩等于该力系 对简化中心O的主矩。主矢与简化中心位置无关，而主矩一般与简化中心 位置有关。 主矢的解析表达式为
3.力的平移定理是平面任意力系简化为平面汇交力系和平面力偶系
的依据。
B
d
F
＝
F″ A
B
d
F′
F′
M
F
A
＝
A
B
2. 平面任意力系向作用面内一点简化·主矢与主矩
F1
F2
y ′ FR j O y MO i x
O
简化 中心 Fn
F1 F1
F2 F2
Fn Fn
F1′
M1
M2 O Mn
′ F2 x
F1 C O
3m
F4
30° x
( F'Rx )2 ( F'Ry )2 4.662kN FR
y
主矢方向
F'Rx cos( F'R , i ) 0.986 FR F'Ry cos( F'R , j ) 0.165 FR
2、求主矩MO
( F'R , i ) 9.5 ( F'R , i ) 80.5
M1 M O (F1 )
M 2 M O (F2 ) M n M O (Fn )
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
平面任意力系向作用面内一点简化
FAy
P 4
3 2
qa
例3-5已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求 固定端A处约束力.
：解：取T型刚架，画受力图.
其中F1
F x
1 q 3l 30kN 2
0 FAx F1
F
sin 600
0
解得FAx 316.4kN
Fy 0 FAy P F cos 60 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程
F x
0
F y
0
(3 4)
M o 0
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个
任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及
10各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
F x
0
F y
14
m 2n 3 平面复杂（超静定）桁架 m 2n 3 平面简单（静定）桁架 m 2n 3 非桁架（机构）
15
关于平面桁架的几点假设
1：、各杆件为直杆各杆轴线位于同一平面内
，
；
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
3、载荷作用在节点上且，位于桁架几何平面内；
4、各杆件自重不计或均分布在节点上
求：铰链A和DC杆受力（. 用平面任意力系方法求解）
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx Fc cos 45 0
F y
0
FAy Fc sin 45 F 0
M A 0 Fc cos 45 l F 2l 0
建筑力学
东北农业大学网络教育学院 建筑力学作业题（一）一、单项选择题（将正确答案字母序号填入括号里，每小题1分，共5分） 1、平面力系向点1简化时，主矢F R ＝0，主矩M 1≠0，如将该力系向另一点2简化，则（）。
A ：F R ≠0，M 2≠0；B ：F R ＝0，M 2≠M 1；C ：F R ＝0，M 2＝M 1；D ：F R ≠0，M 2＝M 1。
2.大小相等的四个力，作用在同一平面上且力的作用线交于一点C ，试比较四个力对平面上点O 的力矩，哪个力对O 点之矩最大（） A ．力P 1 B ．力P 2 C ．力P 3 D ．力P 43.两端铰支的等直压杆，其横截面如图所示。
试问压杆失稳时，压杆将绕横截面上哪一根轴转动？() 轴轴轴轴4.如图所示矩形截面，判断与形心轴z 平行的各轴中，截面对哪根轴的惯性距最小以下结论哪个正确？（） A. 截面对Z 1轴的惯性矩最小 B. 截面对Z 2轴的惯性矩最小C. 截面对与Z 轴距离最远的轴之惯性矩最小D. 截面对Z 轴惯性矩最小?·COP 1P 2P 35.指出以下应力分布图中哪些是正确的（） A. 图(a)(b)正确 B. 图(b)(c)正确 C. 图(c)(d)正确 D. 图(b)(d)正确二、判断题（每小题1分，共5分）1. 作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，此力系必然平衡。
（）2. 一空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程只有3个。
（）3. 压缩与弯曲的组合变形，在进行强度计算时，如考虑附加弯矩的影响，结果是偏于安全的。
（）4. 下图为几何不变体系且无多余约束。
（）5. 矩形截面梁受横向力作用而弯曲时，其横截面上最大剪应力的大小是平均剪应力的3倍。
（）三、填空题（每空1分；共15分。
）1.横截面面积A=10cm 2的拉杆，P=40KN ，当α=60°斜面上的σ=，σα=，τα=。
2.杆件的基本变形形式包括，，和。
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
第四章 平面力系
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
3-1平面任意力系向作用面内一点简化教案
河南省中等职业学校省级优质课参赛教案学校名称：南阳建筑工程学校课程名称：建筑力学（少学时）授课题目：平面任意力系的简化授课班级：11级4班授课时间：2012年3月授课教师：徐宠尧2012年5月南阳建筑工程学校《建筑力学（少学时）》课程授课教案任课教师：徐宠尧 授课班级：11级4班 授课时数：1学时教学课题：第三章 平面力系 第一节 平面任意力系的简化 教学目的、要求： 掌握平面任意力系向一点简化的方法 会应用解析法求主矢和主矩 熟知平面任意力系简化的结果 教学重、难点：重点：1、平面任意力系向作用面内任一点的简化 2、力系的简化结果 难点：主矢和主矩的概念教学过程及内容： 复旧导新：通过课堂提问及举例,对力的平移定理,加减力系平衡原理等静力学公理加以回顾,从而引入本节讲授内容的理论基础。
讲授新课：§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化及其结果分析一、概述：各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。
平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。
首先，平面力系是工程中常见的一种力系。
另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。
下面介绍的方法是力系向一点简化的方法。
这种方法不但简便，易于分析简化结果，而且可以扩展到空间力系中去，力的平移定理是力系向一点简化的理论基础。
1、力的平移定理' F ⇔⇔'（3） (2) (1)定理：可以把作用在刚体上点O ′的力平移到任一点O ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点O 的力矩.证明：设一个力F ' 作用于刚体上的O ′点，如图（1）所示在刚体上任取一点O ，此点到力F '作用线的距离为d ，在O 点加上大小相等、方向相反而且与力F ' 平行的两力F F '',，并使F F F ''-='= ，根据加减平衡力系公理，显然力系),,()(F F F F '''≡。
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Ø平面力系向一点简化Ø平衡条件和平衡方程Ø超静定问题的基本概念
重点: 物体系的平衡
1. 力线平移定理
()
F B M M
=加减平衡力系，
两者等效
F 和F'组成了力偶
n作用在刚体上力可平行移到任一点，平移时需附加一个力偶，附加力偶矩等于力对平移点的矩。
力线平移定理
2．平面一般力系向一点简化
∑=′++′+′=′i n R
F F F F F L 21()∑=+++=i O n O F M M M M M L 2
1
（1）主矢力系中各力的矢量和。
F ’R =∑F i =∑X i ＋∑Y j 对于给定的力系，主矢唯一.
（2）主矩力系中各力对简化中心之矩的代数和。
M O =∑M O (F i ) 力系主矩与简化点位置有关.
力系的主矢和主矩：
n结论: 平面力系向作用面内任一点简化，得到一个合力和一个合力偶。
合力的大小和方向等于力系的主矢，合力偶的矩等于力系对简化中心的主矩。
平面力系向一点简化的三种结果（1）主矢、主矩均为零——平衡
（2）仅主矢为零——表示不管向哪一点简化
结果均为一个力偶
（3）仅主矩为零——简化为一个力
（该点通过力系的力心线）
主矢为零
注意：主矢的唯一性；主矩的相对性！
①
平衡（主矢、主矩均为零）②
简化为一个力偶（主矢为零）③简化为一个力（该点为力心）
3.平面力系简化三种
结果
主矢为零
思考题：如果某力系向某点简化的结果为：主矢、主矩均不为零，则该力系等效于上述三种简化结果中的哪一种？
第二节平面力系的平衡条件
和平衡方程
平面力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和主矩都等于零。
•F’
R =0 ，M
O
=0
2．平面力系的平衡方程（多形式）1．平面力系的平衡条件
p
力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零，各力对任意点之矩的代数和等于零。
p 三个独立的平衡方程，可解三个未知量。
Ø∑X =0Ø∑Y =0Ø∑M O (F )=0
2．平面力系的平衡方程（多形式）
…（一矩式）
_平衡方程的其它形式
1）二矩式
Ø∑M A(F)=0
Ø∑M B(F)=0
Ø∑X=0
Ø式中A，B连线不能与x轴垂直。
2）三矩式
Ø∑M A(F)=0
Ø∑M B(F)=0
Ø∑M C(F)=0
Ø式中A、B、C三点不能共线。
3．平面平行力系的平衡方程
p
平面平行力系有两个独立的平衡方程，可解两个未知量。
∑M A (F )=0∑M B (F )=0
∑Y =0
∑M O (F )=0
受力分析顺序——二力杆
从附属到主体，从
主动到被动。
图
例:图示某刹车拉杆机构,求支座A 的约束反力。
F
F a F a F RAY RAY 2063=⇒=⋅−⋅F F F a a F F RAY RAX
RAY RAX ==⇒==2
1
2/16/3/解：选取三力构件ＡＢＣ，所有力对D 点的力矩为：
又根据三力平衡必汇交定理：
例3-1 起重机重P
1=10kN，重物P
2
=40kN，求在
止推轴承A和轴承B处的反作用力。
解：起重机为研究对象
∑X=0 F AX＋F B=0
∑Y=0F AＹ－P1－P2=0
∑M A=0－F B·５－P1·１.5
－P2·3.5=0
F AＹ=50kN
F B=－31kN
F AX=31kN
例3-2 外伸梁的尺寸
及载荷如图，试求铰
支座A及辊轴支座B的
约束力。
n解：取AB梁为研究对象
n∑X=0F AX－1.5×cos60°=0 n F AX=0.75kN
n∑M A=0
n F B×2.5－1.2－2×1.5－
1.5×sin60°×(
2.5+1.5)=0
n F B=3.75kN
p∑Y=0
n F Ay＋F B－2－1.5×sin60°=0 n F Ay=－0.45kN
n校核∑M B (F)=0
例3-3直角刚架ABC承受插入端约束。
在刚架的A端作用集中力F与集中力偶M，其尺寸a、b均已知。
与试求固定端约束的全部约束力。
第三节超静定问题的基本概念
一、结构的几何构成分析
1、几何不变体系的概念：体系受到任意荷载作用后，若不考虑材料的应变，而能保持其几何形状不变，位置不变。
2、几何不变体系的组成规律
（1）三刚片规则：三刚片用
不在同一直线上的三个单铰两
两铰联，则组成几何不变体
系，且无多余约束。
（2）二刚片规则：两刚片用
三根不汇交也不平行的链杆联
接，则组成几何不变体系，且
无多余约束。
几何瞬变结构
几何不变体系？
（3）二元体规则：一个刚片与一个结点用两根链杆直连（三个铰不在一直线上），则组成几何不变体系，且无多余约束。
二元体的概念：两根不共线链杆联结一个结点的装置为二元体；
推论：在一个体系上增加一个二元体或拆除一个二元体，不会改变原有体系的几何构造性质
二元体
多余。