力系的简化
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第二章 力系的简化
主矩 MO =m1 +m2 +m3 +… =mO (F1)+mO (F2 )+…=∑mO (Fi )
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
任意力系的简化(基本知识点)
3、刚体的重心 刚体所受到的重力系可看作是一个同向的平行力系，它们必存在合力， 刚体重力系的中心称为刚体的重心。刚体的重心在刚体内或其延拓部分占有 确定位置，该位置与刚体在空间的放置情况无关。当刚体的质量分布不均匀 时，其重心和几何中心（形心）不重合。只有均质刚体的重心才与其形心重 合。通常用分割法或负面积法（或负体积法）求组合体的重心。 4、线分布载荷的简化 线分布载荷是指沿构件轴线连续作用的载荷，其大小和方向用载荷集度 表示。线分布载荷的载荷集度是指作用于构件单位长度（该术语在极限意义 下使用）上的力的大小和方向，其单位为N/m。几种常见的线分布载荷的合 力大小及其作用线位置如下：
第三章
ห้องสมุดไป่ตู้
任意力系的简化
基本知识点
1．力系的简化的定义 用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成。 2．力的平移定理 若将作用于刚体上的力 F平移至同一刚体上不在力 F的作用线 上的其它点 o，则必须相应增加一个附加力偶，其力偶矩M等于 原力 F 对平移点 o 的矩，才能保证原力对刚体的作用效果。这一 结论称为力的平移定理。显然M垂直于由点o与原力F的作用线所 作出的平面。 上述定理的逆定理也成立，即当作用于刚体上某点 o的某个 力F1与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩垂直时，则该力和 力偶可以合成为一个力F，其力矢与原长F1相同，平移的垂直方 向为F1×M方向，平移和垂直距离为M/F1。 力的平移定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。 而其逆定理则表明，可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效 于一个力。力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础。
第2章__力系的简化
空间汇交力系
1．力在空间直角坐标轴上的投影
二次投影法
Fx F sin cos Fy F sin sin Fx F cos
F Fx2 Fy2 Fz2
F Fx Fx Fx Fx i Fy j Fz k
Fy Fx F cos , cos , cos z F F F
于原力系合力矢F R ，合力F R
通过简化中心O点。 （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
4、若FR 0,MO 0 此时分两种情况讨论。即：①FR MO ② FR // MO ①若 FR MO时
与FR 抵消只剩下 FR 。 可进一步简化，将MO变成 FR, FR 使FR d) ( MO FR
2
xC
Ay A
i i
i
4000 100 4000 100 4000 10 70mm 4000 4000 4000
负面积法，将平面薄板看成矩形板ABCD （S4），挖去矩形板EFHG（S5）
A4 48000 mm , xC 4 100mm
2
A5 36000 mm , xC 5 110mm
求三角形荷载合力的大 小和作用线的位置 （1）求合力的大小 q( x) x q, dF q( x)dx l
FR dF q( x)dx
0 0 l l
q 1 x dx ql 0 l 2
l
（2）求合力作用线的位置
由合力矩定理
所以 ：
1 2 ql 2 h 3 l FR 3
B
3L
3L
X
2L 4L
A
Y
A
M
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
力系简化及平衡
h
*
再以AC部分为研究对象
l/8
' FC y
再以BC部分为研究对象 或
FCx
FCy
C
l/8
C
h A
P
l/2
P
B
FAx
FAy
l/2
FBx
FBy
M C (F ) 0 ,
l 3 FAy FAx h P l 0 2 8 FAx 120 kN
M C (F ) 0 ,
F
A F
B
A
B
F’ A
MB
rBA
F’
A
力的平 移定理
F
B F”
B
{F}A {F' , MB }B , F' F, MB rBA F
§3-1-2 一般力系向一点的简化 1）力向简化中心平移——得到一汇交力 系和一汇交力偶系
Fn An A2 o A1 F2
Mn
Fn'
MA
FAx A
FAy
§3-1-3力系简化的最终结果
力系向一点简化后，常见的结果有如 下几种情况：
1） FR 0, M O 0 原力系与一个力等效——合力过简化中心。
2）FR 0, M O 0 原力系与一个力偶等效——合力偶 力 偶 系 等 效 于 合 力 偶
Fn
' F1
O
' Fn
' F2
MR
O
F2
F1
这种情况下，简化结果与简化中心的位置 无关——力偶是自由矢量。
3）FR
0, M O 0
原力系可简化为：
（1）当力与力偶矩相互垂直——最终结果 为一合力； （2）当力与力偶矩相互平行——力螺旋。
力系的简化
平行力系中心C的坐标公式：
xC = yC zC
∑Fx ∑F =∑Fy ∑F =∑Fz ∑F
i i i i i i i i
i
C的位置与e的方向无关。
主矢不等于零的平行力系中各力绕其各 自的作用点同时转过一个相同的角度时， 平行力系中心的位置不变。 ● 平行分布载荷
平行分布载荷是指平行分布的表面力或体积 力，通常是一个连续分布的同向平行力系，在 工程中极为常见。
理论力学
欢迎光临!
理论力学
力系的简化
2 力系的简化
寻求一个已知力系的更简单的等效力系，称 为力系的简化(reduction of force systems)。 力系的简化是静力学研究的基本问题之一。 本章的主要内容包括: 汇交力系与力偶系的简化 空间任意力系的简化 平行力系的简化 平行力系中心和重心
(1) F'R⊥MO 合力 FR = ΣFi
合力作用线不通过简化中心O MO F'R O O A FR
FR= F'R , MO(FR) = MO
(2) F'R ⁄⁄ MO
力螺旋
(F'R , MO)
中心轴通过简化中心O
MO
O F'R 右手力螺旋 左手力螺旋
力螺旋的实例
(3) F'R 与 MO成任意角 力螺旋 (FR , MO2)
合力FR的作用点C称为平行力系中心(center of parallel forces)，下面我们要来确定它的位置。
■ 平行力系中心
由合力矩定理可知， 力系相对于C的主矩
MC = ∑MC (Fi ) = ∑riC × Fi = 0
e Fi riC ri rC O C的位置与e 的方向无关。 C FR
第二章力系的简化
一、力的平移定理
M= MB(FA)=FA·a
FA
A B
FA
A
FB
a
B
FB´
M
A
FB
B
作用在刚体上的力，可以等效平移到刚体上任一指 定点，但必须在该力和指定点所确定的平面内附加一 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
注意：只有在研究力的运动效应时，力才能平行移动。
研究变形效应时一般是不能移动的。
FR MO O
FR FR
d
O
A
FR
d
O
A
主矢与主矩垂直，FR
FR M
可简化为一个合力
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
(a) FR ⊥MO
表明FR与MO在同一平面，即共面
共面的力与力偶合成一个力。 FR
合力为F‘R,等于原力的合力FR
O
MO
作用线过新的简化中心
练习1：确定图示力系的合力大小及作用线位置。
z
4kN
6kN
2m
12kN 3m
y
Ox
x y FR Fy 0
Miy 0
Mix 0
解：
该力系为空间平行力 系，各力指向一致，可知 该力系简化为一个铅垂向 下的力。
FR 22kN
x 12 3 1.636m 22
y 6 2 0.545m 22
空间汇交力系
平面汇交力系
二、力偶系
平面力系
空间力系
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
第二章 力系的简化
条件： A、B、C是平面内 不共线的任意三点
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
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力系向一点简化后的主矢和主矩在坐标轴上的投影
n
n
n
FR ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
i 1
i 1
i 1
Fx i Fy j Fz k
Z
MO Fz
FR
Mz
Fx M x O
Fy
My
MO Mxi M y j Mzk
Y
X
空间力系向一点简化的意义
1、 FR 0; M O 0
力系平衡
平衡条件对O 点成立，则对任意点成立。
首先，力系第一不变量，FR 0 对任意点成立；其次，主矢对任意两定点 之矩的关系
MO M A OA FR
于是
MA 0
其中 FR 0; M O 0
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo 可以证明上述结果与简化中心无关
O
Fi
ri r2
ri
r2 r1
r1
C
rC FR
F2 F1
证明：如图，依条件有
FR Fi 0 MC ri Fi 0
ri rC ri
力系对O点之矩
Fi
ri r2
ri
r2
r1
r1
C
O
rC
FR
MO ri Fi (ri rC ) Fi
边长为d的正方形作用五个力，方向如图 已知 S1 S2 S3 S ， S4 S5 2S 求：力系的最简形式
z
S4
S1
O
d
x
S5
S3
y
S2
解：将各力向坐标轴上分解，有
z
S1 Sk S2 Si S3 Sk
S4
2( 2
2Sj
2Sk) S( j k)
S5
其中
Mi ODi Fi
——力偶矩
根据力系和力偶系的合成，最终的简化结果为过O点的一个力Fo
以及一个力偶
n
FO Fi FR i 1
力系的主矢
n
M O mO (Fi ) i 1
力系对O点的主矩
空间力系向任一点的简化
主矢和主矩的性质
力系对两个定点（简化中心）O 和A的主矢和主矩的关系
M
O
或，由于
M
O
pFR
O
M
O
B(xB , yB , zB )
以及
MO
MO
M
O
M
O
OP FR
于是
M
O
MO
OP FR
pFR
即有
FRx
FRy
FRz
1
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz ) M Oz (xFRy yFRx ) p
MO M1 M2 M3 M4 M5 Sd (i j k)
FR Sk 0
FR • MO S 2d 0
MO Sd (i j k) 0
FR MO Sd (i j) 0 FR • MO S 2d 0
右手力螺旋
z FR
S5
根据 MO M A OA FR
MO MA
FR 0
3、 FR 0; M O 0 力系与一个力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。
思考: 是否与简化中心O有关?
4、 FR 0; M O 0
分三种情况讨论
（1） FR 0; MO 0且FR MO (即第二不变量FR • M O 0)
主矢 FR Fi
主矩 MO mO (Fi )
对平面力系,恒有： FR M O
即 FR • MO 0
因此，平面力系不可能简化成一个力螺旋
平面力系的简化结果分析
（1）主矢等于零，主矩等于零。——力系平衡
FR Fi 0
MO mO (Fi ) 0
力系平衡——与简化中心无关
FR
• FR
F2 R
FR • OB 0
所以
OB
FR MO FR2
合力作用线方程
设作用线矢量l ，FR 作用点坐标 (xB , yB , zB ) ，P(x,y.z)为作用线上任意点
则作用线方程为
FRx FRy FRz c 或
M Ox
M Oy
M Oz
x xB y yB z zB
简化为一个合力
作用线方程
FRx FRy FRz c 或
M Ox
M Oy
M Oz
x xB y yB z zB
yFRx zFRy zFRx xFRz xFRy yFRx
（2） FR • MO 0
（a） FR MO 0
中心线过简化中心O的力螺旋
左手力螺旋： FR • MO 0
(ri Fi ) rC Fi rC FR
F2 F1
注意: (ri Fi ) MC 0
特殊力系的简化
一、平面力系的简化
各力作用线处于同一个平面内的力系，称为平面力系。
平面力系的简化，通常选取简化中心在力作用平面内。简化结果 取决于简化中心的选取，一般简化形式为
FR
M O
力螺旋参数
p FR • MO S 2d d
FR2
S2
M O
S4
MO
S1
O
M O
d
力螺旋中心轴方程
S3
-d
FRx
FRy
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz )
y
FRz
1
S2
M Oz (xFRy yFRx ) p
FR
MO
O
FR
MO O
力螺旋参数p 令 M O pFR
则 当
p M O • FR F2
R
——力螺旋参数（数量，量纲为长度）
MO // FR (MO FR 0)
时
p MO FR
力螺旋中心轴 设 P(x, y, z) 是主矢作用线上任意点
中心轴方程
Fx Fy Fz
x
y
FRx FRy FRz c x xB y yB z zB
（2）FR 0; MO 0且FR • MO 0 力系第二不变量不等于零
又分两种情况：
（a） FR MO 0
主矢与主矩平行 力系简化最简形式之一——称为力螺旋
左手力螺旋： FR • MO 0
右手力螺旋： FR • MO 0
1、固定端约束的约束反力
Z
Z
MO O
X
FR
Mz Fz M
Mx
Y
Fx
X
y Fy Y
一般力系的最简形式分析
空间一般力系向定点O 简化，得到一个力和一个力偶。其中， 力的作用线过简化中心O ，大小和方向与力系的主矢FR相同；力 偶的力偶矩与力系对简化中心O 的主矩Mo相同。
力系简化最简形式分成以下情况：
O
F A
F F' O
rOA
F A
M F
O
A
M rOA F
力系平移定理的逆过程成立
M F
O
M F
Od F
F
B
O F
B
平移距离 d M F
平移方向 OB F M
F2
一般力系向一定点的简化
一个一般力系由作用于刚体上Di 点的力Fi （i =1，2，… n）组成。 O为刚体上任意确定点。根据力的平移定理和力的可传递性，将力 系中各力向O点平移，得到一个汇交于O的汇交力系Fi ，和一个力 偶系Mi 。
力系简化结果总结
1、 FR 0; M O 0 力系平衡
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo
3、 FR 0; M O 0 4、 FR 0; M O 0
力系与一个力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。
（1） FR • MO 0
F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构 成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。
y
F2
A 60°
B
F3
F1
O
3m
F4 C 30° x
2m
解： 求向O点简化结果 1.求主矢 FR 。
y
F2
A 60°
F1
FR
O
3m
FRx Fx
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
力系的简化
一个力系对刚体的作用效果，可以用另一个力系 等效。这个过程, 称为力系的简化。
力系的简化在静力学分析中，对于研究作用于刚体上 力系的平衡条件有重要的意义。
本章内容包括： 力系的平移定理——力系可以简化的基础； 力系向一点简化结果； *简化结果分析； 特殊力系的简化。
力的平移定理
将作用于刚体上的力F 平移（大小、方向不变）至同一刚体 上且不在力F作用线上的其他点而保证F作用效果不变，则必须 增加一个附加力偶。其力偶矩 M 等于原力F对平移点之矩。
yFRx zFRy zFRx xFRz xFRy yFRx
MO
FR
l