08-第八章 圆锥曲线 (2)
圆锥曲线PPT优秀课件
y 2 x2 2 1（ a b 0 ） ， 2 a b
解析： （2）∵椭圆焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为
由椭圆的定义知，
3 5 3 5 3 1 2a ( )2 ( 2)2 ( )2 ( 2)2 10 10 2 10 ， 2 2 2 2 2 2
A1
.F . . O M . F
2
0
A2
x
F1
其中 a2 b2 c2 , a 0, b c 0 ， F0 , F1 , F2 是对应的焦点。 B1 （1）若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
b （2）若 A1 A B1 B ，求 的取值范围； a
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
1 1 1 1 a 2 16 将 2 和 2 看着整体，解得 ， a b 1 1 b2 9
2 a y 2 x2 16 ∴ 2 即双曲线的标准方程为 1 。 16 9 b 9
点评：本题只要解得 a 2 , b 2 即可得到双曲线的方程，没有 必要求出 a , b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
x2 y2 1 有共同渐近线， (4) 与双曲线 9 16
且过点 (3,2 3) 。
高考数学复习 第八章 圆锥曲线方程8-2双曲线课件
||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据
填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线
上．
______________________________________________
__________________________.
|MC1|＝r＋ ，|MC2|＝r－
故得|MC1|－|MC2|＝ 在④的情况下，同理得|MC2|
－|MC1|＝
由③④得|MC1|－|MC2|＝±
根 据 双 曲 线 定 义 ， 可 知 点 M 的 轨 迹 是 以 C1( － 4,0) 、
C2(4,0)为焦点的双曲线，且a＝ c＝4，b2＝c2－a2＝14，
答案：该学生回答不正确，应为|PF2|＝17 解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|＝2a， ∴|PF2|＝17.
(2008·长沙一中18，N是线段MF1的中
点，O为坐标原点，则|ON|等于
()
A．4 C．1
B．2 D.
答案：A
●回归教材
解析：若方程
表示双曲线，则(2－
m)(m－3)＜0⇔(m－2)(m－3)＞0⇒m＜2或m＞3.故选B.
答案：B
2．(2009·天津，4)设双曲线
的
虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 ( )
解析：由题意得b＝1，c＝ 线的渐近线方程为y＝ 即y＝
答案：C
，∴a＝ ，∴双曲 故选C.
●易错知识 一、忽视焦点的位置产生的混淆 1．若双曲线的渐近线方程是y＝ 焦距为10，则双 曲线方程为______________________________．
2008届高三数学高考一轮复习系列教案第八章 圆锥曲线 大纲版
第八章 圆锥曲线知识结构８．1 椭 圆知识要点1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足： ．3．椭圆的几何性质(对12222=+by a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== ．(6) 椭圆的参数方程为 ． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)例题讲练【例1】 中心在原点，一个焦点为F 1(0，52)的椭圆被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为21，求此椭圆的方程．【例2】 已知点P(3, 4)是椭圆2222b y a x +＝1 (a >b >0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF 1F 2的面积．【例3】如图，射线OA 、OB 分别与x 轴、 y 轴所成的角均为︒30；已知线段PQ 的长度为2，并且保持线段的端点),(11y x P 在射线OA 上运动，点),(22y x Q 在射线OB 上运动(1) 试求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程(2) 求轨迹C 上的动点N 到直线03=--y x 的距离的最大值和最小值．【例4】 （2005年全国卷I ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与a ＝(3, －1)共线.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设M 是椭圆上任意一点，且OM ＝OB OA μλ+(λ、μ∈R)，证明22μλ+为定值.小结归纳1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，在2005年的考题中足以说明了这一点，应引起重视．基础训练题一、选择题1． 动点M 到定点)0,4(1-F 和)0,4(2F 的距离的和为8，则动点M 的轨迹为 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．无图形D ．两条射线 2． (2005年全国高考试题III) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）P A XBO 30º 30º 0A ．22 B ．212- C ．2－2D ．2－13． （2004年高考湖南卷）F 1、F 2是椭圆C ：14822=+y x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．无数个 D ．不确定 4． 椭圆171622=+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．45． 已知点P 在椭圆(x －2)2＋2y 2＝1上，则xy的最小值为（ ）A ．36-B ．26-C ．6-D ．66-6． 我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”，设)0(12222>>=+b a b y a x 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于 （ ） A ．︒60 B ．︒75 C ．︒90 D ．︒120二、填空题7． 椭圆400162522=+y x 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ． 8． 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1，2， )，使得|FP 1|、|FP 2|、|FP 3|…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 ．9． 设1F ，2F 是椭圆14322=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且121=-PF PF ，则得=∠21PF F ．10．若椭圆2222)1(-+m y m x ＝1的准线平行于x 轴则m 的取值范围是 ．三、解答题11．根据下列条件求椭圆的标准方程(1) 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21．(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当∠21PF F 为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．13．(2005年高考湖南卷)已知椭圆C ：12222=+by a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为e ．直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A 、B 、M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB ． (Ⅰ)证明：λ＝1－e 2；(Ⅱ)若λ＝43，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(Ⅲ)确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．提高训练题14．(2006年高考湖南卷)已知C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：(y －m )2＝2px (p ＞0)，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(Ⅱ)若p ＝34，且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程．15．（成都市2006届毕业班摸底测试）设向量i ＝(1, 0)，j ＝(0, 1)，a ＝(x ＋m )i ＋y j ，b ＝(x －m )i ＋y j ，且|a |＋|b |＝6，0< m < 3，x >0，y ∈R ． ( I )求动点P(x ，y )的轨迹方程； ( II ) 已知点A(－1, 0)，设直线y ＝31(x －2)与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得AC AB ⋅＝31？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8．2 双 曲 线知识要点1．双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．(2) 平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l (F 不在 上)的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF ==22112．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在 轴上；12222=-b x a y ，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式： )0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,12222>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若),(00y x P 是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若),(00y x P 是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ． (6) 具有相同渐近线x aby ±=的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．(8) 12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为 ．例题讲练【例1】 根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【例2】 （04年高考湖北卷）直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【例3】 在双曲线1121322-=-y x 的一支上有不同的三点A(x 1，y 1)，B(x 2，6)，C(x 3，y 3)与焦点F(0，5)的距离成等差数列．(1)求y 1＋y 3；(2)求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．【例4】 （2004年高考全国卷II ）设双曲线C ：)0(1222>=-a y a x 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点．(1) 求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2) 设直线l 与y 的交点为P ，且PA ＝PB 125，求a的值．小结归纳1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a 、b 、c 、e 的关系．2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）．4．求双曲线的方程的常用方法： (1) 定义法．(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．5．例2的第(1)问是数材P 132第13题的引申，因此高考第一轮复习要紧扣教材．6．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．基础训练题一、选择题1． A 、B 是平面内两定点，动点P 到A 、B 两点的距离的差是常数，则P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．不能确定 2． （04年高考湖南卷）如果双曲线1121322=-y x 上一点p 到右焦点的距离等于13，那么点p 到右焦线的距离是 （ ）A ．513B ．13C ．5D ．1353． 已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 （ ）A ．152022=-y x B ．152022±=-y x C ．120522=-y xD ．120522±=-y x4． （2005年高考湖南卷）已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右焦线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a ，（0为原点）则两条渐近线的夹角为 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 5． 已知双曲线14922=-y x ，则过点A(3，1)且与双曲线仅有唯一的公共点的直线有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6． (2005年江苏高考最后冲刺题) 设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为（9，2），则|MA|＋53|MF 2|的最小值为（ ）A ．9B ．536C ．542D ．554二、填空题7． 中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与虚轴长之差为2，离心率为45的双曲线方程为 ．8． (2004年高考·吉林、四川)设中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆方程为 ． 9． （2006年高考湖南卷）过双曲线M ：1222=-by x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|＝|BC|，则双曲线M 的离心率是 ．10．可以证明函数xbax y +=(b ≠0)的图象是双曲线，试问双曲线C ：xx y 33+=的离心率e 等于 ．三、解答题11．(1) 已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点(2，－6)，求双曲线的方程；(2) 已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F(10，0)，离心率为e ＝2，求双曲线的方程． 12．ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．13．双曲线12222=-b y a x )0,0(>>b a 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．提高训练题 14．已知动点p 与双曲线13222=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－91．(1) 求动点p 的轨迹方程；(2) 若已知点D(0，3)，点M 、N 在动点p 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围．15．(2005年武汉市高三调考)已知等轴双曲线C ：)0(222>=-a a y x 上一定点P(00,y x )及曲线C 点上两个动点A 、B ，满足0=⋅PB PA(1) M 、N 分别为PA 、PB 中点，求证：0=⋅ON OM (O 为坐标原点)；(2) 求|AB|的最小值及此时A 点坐标．8．3 抛 物 线知识要点1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① px y 22=，焦点为 ，准线为 ． ② px y 22-=，焦点为 ，准线为 ． ③ py x 22=，焦点为 ，准线为 ． ④ py x 22-=，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB ＝ ，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB ＝ ．特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB＝ ．iii) S △AOB ＝ （表示成P 与θ的关系式）．iv) ||1||1BF AF +为定值，且等于 ．例题讲练【例1】 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．【例2】 已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．(1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB 的最小值．【例3】 若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标．【例4】 （05全国卷(Ⅲ)）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？(2)当直线l 的斜率为2时，求在y 轴上的截距的取值范围．小结归纳1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．基础训练题 一、选择题1． 过抛物线)0(22>=P px y 的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，若P x x 321=+，则AB 等于（ ）A ．2PB ．4PC ．6PD ．8P2． 已知动点),(y x P 满足22)2()1(5-+-y x ＝|1243|++y x ，则P 点的轨迹是（ ） A ．两条相交直线 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．椭圆 3． 已知抛物线212:x y C =与抛物线2C 关于直线x y -=对称，则2C 的准线方程是（ ）A ．81-=x B ．21=xC ．81=x D ．21-=x4． （2005年高考上海卷）过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无数条 D ．不存在5． (2003年新课程卷)抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）A ．81B ．81-C ．8D ．8-6． （04年高考湖北卷）与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是 （ ） A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0二、填空题7． 点M 与点F(4，0)的距离比它到连线l ：x ＋5＝0的距了小1，则点M 的轨迹方程为 ． 8． 某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为 米(精确到0.1米)． 9． 过点（3，3）的直线与抛物线y 2＝3x 只有一个公共点，则这样的直线的条数为 ．10．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是三、解答题11．求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．12．正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积．13．设A 和B 为抛物线y 2＝4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？提高训练题14．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，试问：以AB 为直径的圆与抛物线的准线是相交、相切还是相离？若把抛物线改为椭圆12222=+b y a x 或双曲线12222=-by a x ，结果又如何呢？15．(2004年高考上海卷)如图，直线x y 21=与抛物线4812-=x y 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5-=y 交于Q 点． (1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB(含点A 、B)下方的动点时，求OPQ ∆面积的最大值．8．4 直线与圆锥曲线的位置关系知识要点1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB 端点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2),直线AB 的斜率为k ，则：｜AB ｜=————————或：—————————．利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+by a x 上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M(x 0，y 0)为AB 的中点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y ax b y a x两式相减可得2221212121a b x x y y x x y y -=++⋅--即 ．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．例题讲练【例1】 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？【例2】 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．x【例3】 在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．【例4】 （2006届苏州市高三调研测试）已知椭圆222y ax +＝1(a 为常数，且a >1)，向量m ＝(1, t ) (t >0)，过点A(－a , 0)且以m 为方向向量的直线与椭圆交于点B ，直线BO 交椭圆于点C （O 为坐标原点）．(1) 求t 表示△ABC 的面积S( t )；(2) 若a ＝2，t ∈[21, 1]，求S( t )的最大值．小结归纳1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．基础训练题一、选择题1． 曲线x 2＋4y 2＋D x ＋2E y ＋F ＝0与x 轴有两个交点，且这两个交点在原点的两侧的充要条件是 （ ） A ．D ≠0，E ＝0，F ＞0 B ．E ＝0，F ＜0 C ．D 2－F ＞0 D ．F ＜02． 若椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） A ．2 B ．－2C ．31D ．－213． 经过抛物线)0(22>=p px y 的所有焦点弦中，弦长的最小值为 （ ） A ．p B ．2p C ．4p D ．不确定4． 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若∣AB ∣=4，则这样的直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条5． （华师大二附中2005年模拟试卷2） 直线l ：y ＝kx＋1(k ≠0)椭圆E ：1422=+y m x ，若直线l 被椭圆E 所截弦长为d ，则下列直线中被椭圆E 截得的弦长不是d 的是 （ ） A ．kx ＋y ＋1＝0 B ．kx －y －1＝0 C ．kx ＋y －1＝0 D ．kx ＋y ＝06． 椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，过两点O 与线段MN 之中点的直线的斜率为22，则nm的值是（ ）A ．22B ．332 C ．229D ．2732二、填空题7． 已知直线x －y ＝2与抛物线y 2－4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 .8． 对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧==θθsin 4cos 2y x (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是 ． 9． 已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2），则2111y y +＝ ．10．若直线mx ＋ny －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，则m 、n 的关系式为___________;以(m ，n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有____个.三、解答题x11．已知直线l 交椭圆162022y x +＝1于M 、N 两点，B(0，4)是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线l 的方程.12．已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.13．（05重庆）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 的满足6<⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围．提高训练题14．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当AN AM =时，求m 的取值范围．15．（04湖南）过抛物线x 2＝4y 的对称轴上任一点P(0，m )(m ＞0)，作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点． (Ⅰ)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明：)(QB QA QP λ-⊥；(Ⅱ)设直线AB 的方程是x －2y ＋12＝0，过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．8．5 轨 迹 方 程知识要点1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．例题讲练【例1】 一动圆与圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0外切，同时与圆x 2＋y 2－6x －91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．【例2】 已知抛物线过点N(1，－1)，且准线为l ：x ＝－3，求抛物线顶点M 的轨迹．【例3】 已知直线l 与椭圆12223=+by a x (a >b >0)有且仅有一个交点Q ，且与x轴、y 轴交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的顶点P 的轨迹方程．【例4】 已知点H （0，－3），点P 在x 轴上，点Q 在y 轴正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足PM HP ⋅＝0，MQ PM 23-=．(1) 当点P 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹曲线C 的方程；(2) 过定点A （a ，b ）的直线与曲线C 相交于两点S 、R ，求证：抛物线S 、R 两点处的切线的交点B 恒在一条直线上．小结归纳1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．4．参数法求轨迹关键在于如何选择好参数，建立起x ，y 的参数方程，以便消参，选择n 个参数，要建立n ＋1个方程，消参时，要注意等价性．5．求轨迹比求轨迹方程多一个步骤，求轨迹最后须说明轨迹的形状、大小、位置、方向．基础训练题一、选择题1． 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得| PQ |＝| PF 2 |，那么动点Q 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2． 动点P 与定点)0,1(,)0,1(B A -的连结的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程是 ( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1)1(±≠xC ．x 2＋y 2＝1)0(≠xD ．21x y -= 3． 已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．无法确定4． 设P 为椭圆12222=+b y a x 上一点，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线5． 设P 为双曲线 12222=-by a x 上一点， 过右焦点F 2作∠F 1PF 2的内角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．直线 D ．椭圆6． 已知点P(x ，y )在以原点为圆心，半径为1的圆上运动，则点(x ＋y ，xy )的轨迹是（ ）A ．半圆B ．抛物线的一部分C ．椭圆D ．双曲线的一支二、填空题7． 长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴、y轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程为 ．8． 经过定点M(1，2)，以y 轴为准线，离心率为21的椭圆左顶点的轨迹方程 ． 9． 已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=，当m 变化时抛物线焦点的轨迹方程为． 10．（04北京）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是 ．三、解答题 11．以动点P 为圆心的圆与圆A ：(x ＋5)2＋y 2＝49及圆B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动点P 的轨迹.12．已知双曲线2222n y m x -＝1(m ＞0，n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q.(1) 求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程； (2) 当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.13．设直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：ax 2＋y 2＝2(a ＞1)交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． (1)若k ＝1，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值； (2)若a ＝2，当k 变化时，(k ∈R)，求点P 的轨迹方程．提高训练题 14．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：(1) 动点P 的轨迹方程； (2) ||NP 的最小值与最大值.A115．如图，给出定点.1:-=x l B 是直线l 分线交AB 于点C8．6 圆锥曲线中的最值、定值问题知识要点圆锥曲线的某个量随着动点或参数的变化而取得最大值或最小值的一类问题，叫做圆锥曲线的最值问题；而圆锥曲线的某个量随着动点或参数的变化而始终不变的一类问题，叫做圆锥曲线的定值问题．解决圆锥曲线的最值、定值问题，常用方法有代数法和几何法：一、代数法：先建立“目标函数”，然后根据目标函数的特点，选择配方法、判别式法、基本不等式法、三角法等求解．二、几何法：利用图形本身的几何性质及圆锥曲线的定义进行求解，常用的处理方法有：1．利用圆锥曲线的第二定义转化为直线求有关最值．2．利用圆锥曲线的第一定义结合对称的有关结论，求到两定点的距离的和、差的最值．3．利用平几中的有关结论求最值．例题讲练【例1】 已知A(4,0)，B(2,2),点P 在椭圆192522=+y x 上，求： (1) PB PA +的最大值与最小值； (2) PB PA +45的最小值．【例2】 已知椭圆x 2＋2y 2＝98及点P(0，5)，求点P 到椭圆的距离的最大值、最小值．【例3】 椭圆12222=+b y a x (a > b > 0)与直线x ＋y ＝1＝0相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ(O 为原点)．(1) 求证：2211ba +等于定值；(2) 若椭圆离心率[]∈e [22,33]时，求椭圆长轴的取值范围．【例4】 如图，A 、B 是两个定点，且|AB|＝2，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于P ，直线k 垂直于直线AB ，且B 到直线k 的距离为3．⑴ 求证：点P 到B 点的距离与点P 到直线k 的距离之比为定值； ⑵ 若点P 到A 、B 两点的距离之积为m ，当m 取最大值时，求点P 的坐标．小结归纳1．圆锥曲线中最值的求法常用方法有二：代数法、几何法．若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．求函数的最值常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性，也可以利用导数求解．2．圆锥曲线的定值问题的求解，同最值问题类似，若在求定值之前不知道定值的结果(题中未告知)，可采用特殊值或特殊位置的办法初步推得定值，解题时可大胆设参，运算推理到最后，必定参数统消，定值显现．基础训练题一、选择题1． 已知平面内有一固定线段AB ，其长度为4，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则| PO |的最小值为（ ） A ．1B ．23C ．2D ．32． 过抛物线y 2＝4x 的焦点作弦AB ，则△OAB 的面积的最小值是 （ ） A ．1 B ．2C ．32D ．43． 若点(x ，y )在椭圆4(x －2)2＋y 2＝4上，则xy的最小值为（ ） A ．1B ．－1C ．332-D ．以上都不对4. 双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ,双曲线12222-=-b y a x 的离心率为2e ，则21e e +的最小值为（ ） A ．24B ．2C ．22D ．45． 已知点A(0，－3)和B(2，3)，点P 在抛物线y＝x 2上，当△PAB 的面积最小时，点P 的坐标是 （ ）A ．(1，1)B ．)49,23(C ．)94,32( D ．(2，4)6． 设椭圆14922=+y x 的右焦点为F ，过点E(－5，0)任作直线与椭圆交于A 、B ，构成△FAB ，则△ABF 的周长 （ ）A ．变化不定B ．6C ．12D ．8二、填空题7． 椭圆1422=+y x 与圆()2221r y x =+-有公共点，则半径r 的最大值为___________，最小值为_____________.8． 设A(1，3)，F 为椭圆1182422=+y x 的左焦点，点M 在椭圆上运动，当|AM|＋2|MF|取最小值时，点M 的坐标是 .9． 曲线kx 2＋2ky 2＋(2k ＋m )x ＋m ＝0，无论k 、m为何实数值都必过两定点，则这两定点的坐标是———————．10．(2005年临沂期末)经过抛物线y ＝41x 2的焦点kBA M P 4 2 3l。
圆锥曲线图解
标准方程
a>b>0
a>b>0
a>0,b>0
a>0,b>0
p>0
p>0
p>0
p>0
标准方程图形
abc关系
a -b =c
a -b =c
a +b =c
a +b =c
离心率e=
0<e<1
0<e<1
e>1
e>1
e=1
e=1
e=1
e=1
离心率是圆锥曲线的一个重要参数，是圆锥曲线的本质属性之一，它的变化将导致曲线形状的变化，甚至影响曲线的类型，是圆锥曲线统一定义中的三要素（定点、定线、定比）之一，当离心率在0—1间变化时，离心率越大（即越接近于1）椭圆越扁，反之越圆；当离心率在1—∞间变化时，离心率越大，双曲线开口越宽阔，反之越窄；离心率从0 的变化过程反映了圆锥曲线：圆 椭圆 抛物线 双曲线的变化过程
几何条件
针对于焦点在x轴上的曲线来说第二定义
在平面内到定点F(c,0)（或F(-c,0)）与到定直线 （或 ）的距离之比为常数 (a>c>0)的点M的轨迹
在平面内到定点F(c,0)（或F(-c,0)）与到定直线 （或 ）的距离之比为常数 (c>a>，则
顶点坐标
(a,0),(-a,0),
(0,b)(0,-b)
(0,a), (0, -a)
(b,0),(-b,0)
(a,0), (-a,0)
虚点(0,b),(0,-b)
(0,a), (0, -a)
虚点(b,0),(-b,0)
(0,0)
“高中数学课件-圆锥曲线”
抛物线
抛物线是另一种圆锥曲线形式，其特点是离焦点和准线的距离相等。它在物理学和工程学中常用于描述抛体的轨迹。
双曲线
双曲线是圆锥曲线的第三种形式，其特点是离焦点和准线的距离之差固定。它在物理、电子学和天文学中有广泛的 应用。
圆锥曲线的性质
对称性
圆锥曲线通常具有对称性，可 以通过某种轴或中心进行对称。
焦距与半径
焦距与半径是圆锥曲线的重要 性质，它们决定了曲线的形状 和特性。
离心率
离心率是描述曲线形状的重要 参数，在椭圆、抛物线和双曲 线中有不同的取值。
判定圆锥曲线的方法
1 焦点和准线
2 轨迹类型
根据给定的焦点和准线坐标， 可以确定圆锥曲线的形状和 方程。
圆锥曲线的轨迹类型（椭圆、 抛物线、双曲线）可以通过 经验判断或图形分析得出。
极坐标方程的抛物线
同样，抛物线也可以用极坐标方程来描述。通过极径和极角，我们可以方便地表示抛物线的形状和位置。
双曲线的性质
双曲线具有独特的性质，如焦点与准线的距离之差、离心率的关系、边缘的特点等。它在物理学和工程学中有广泛 的应用。
双曲线的方程
双曲线的方程可以通过焦点和准线的坐标来表示。这是描述双曲线形状和位 置的重要工具。
孤点椭圆
孤点椭圆是一种特殊的椭圆形状，它只有一个焦点，没有准线。它在天文学 和轨道动力学中有重要的应用。
抛物线的性质
抛物线具有许多有趣的性质，如焦点与准线的距离相等、对称性、方程的特 点等。
抛物线的方程
抛物线的方程可以通过焦点和准线的坐标，或者通过经验公式来表示。这是 描述抛物线形状和位置的重要工具。
高中数学课件——圆锥曲 线
让我们一起探索圆锥曲线吧！从基本形式到各种性质，以及判定方法和方程。 让数学变得有趣和令人着迷！
数学高考复习名师精品教案：第67课时：第八章 圆锥曲线方程-轨迹问题(2)
数学高考复习名师精品教案第67课时：第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题（2）课题：轨迹问题（2） 一．复习目标：1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）； 2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法． 二．知识要点：1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q的轨迹方程．2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围． 三．课前预习： 1．已知椭圆1162522=+yx的右焦点为F ，Q 、P 分别为椭圆上和椭圆外一点，且点Q 分FP的比为2:1，则点P 的轨迹方程为 （ C ）()A 14875)6(22=+-yx ()B 14875)6(22=++yx ()C 1144225)6(22=++yx ()D 11444225)32(22=++yx2．设动点P 在直线01=-x 上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是 （ B ）()A ()B 两条平行直线 ()C 抛物线 ()D 双曲线3．已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是（ B ） ()A 圆 ()B 抛物线 ()C 椭圆 ()D 双曲线 4．双曲线22143xy-=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是22(2)(2)143y x ---=5．倾斜角为4π的直线交椭圆1422=+yx于B A ,两点，则线段AB 中点的轨迹方程是40(||5x y x +=<四．例题分析： 例1．动圆22:(1)1C x y -+=，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．解：（一）直接法：设O Q 为过O 的任一条弦(,)P x y 是其中点，则CP OQ ⊥，则0C P O Q ⋅= ∴ (1,)(,)0x y x y -=，即2211((01)24x y x -+=<≤（二）定义法：∵090OPC∠=，动点P 在以1(,0)2M 为圆心，O C 为直径的圆上，∴所求点的轨迹方程为2211()(01)24x y x -+=<≤（三）参数法：设动弦PQ 的方程为y kx =，由22(1)1y kxx y =⎧⎨-+=⎩ 得： 22(1)20k x x +-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 的中点为(,)x y ，则：122121x x x k+==+，21k y kx k==+ 消去k 得2211((01)24x y x -+=<≤例2．求过点(1,2)A ，离心率为12，且以x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．解：设椭圆下方的焦点00(,)F x y ，椭圆的下方的顶点为由定义||122A F =，∴||1AF =，即点F 的轨迹方程是220(1)(2)1x y -+-=，又003,2xx y y==，∴点的P 轨迹方程为223(1)(2)12x y -+-=.例3．设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2O P O A O B =+，点N 的坐标为21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）||N P的最小值与最大值.（1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解. 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y kk x x 于是 44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得0422=-+y y x ③当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以①②,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x五．课后作业： 1．抛物线xy 42=经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）()A 12-=x y()B )1(22-=x y ()C 212-=x y()D 122-=x y2．已知椭圆22194xy+=的左、右顶点分别为1A 和2A ，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为1P 和2P ，其中1P 的纵坐标为正数，则直线11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程 （ ）()A 22194xy+= ()B 22194yx+= ()C 22194xy-= ()D 22194yx-=3．已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=的顶点为A ，那么当m 变化时，此抛物线焦点F 的轨迹方程是___________________________． 4．自椭圆221204xy+=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M的轨迹方程为5．已知椭圆15922=+yx的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，则点M 的轨迹方程为 ．6．如图， 7．设,x y R ∈,i j为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(5)a x i y j =++(5)b x i y j =-+ ，||||8a b -=，求点(,)M x y 的轨迹C 的方程．7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关各点均在同一平面上） 8．设双曲线2222:1x y C ab-=(0,0)a b >>的离心率为e ，右准线l 与两条渐近线交于,P Q两点，右焦点为F ，且PQF ∆为等边三角形．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若双曲线C 被直线y ax b =+截得的弦长为22b e a，求双曲线C 的方程；（3）设双曲线C 经过点(1,0)，以F 为左焦点，l 为左准线的椭圆，其短轴的端点为B ，求BF 中点的轨迹方程．。
初二数学《认识圆锥曲线》知识点解读
初二数学《认识圆锥曲线》知识点解读圆锥曲线是数学中的重要概念，它们在几何学和物理学中有广泛应用。
本文将深入解读初二数学课程中学生需要了解的圆锥曲线相关知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定的所有点构成的集合。
准线上的点到焦点和准线的距离比值恒定，这个比值称为离心率。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆椭圆由焦点到曲线上任意一点距离之和等于常数的点构成。
它的形状像拉长的圆，在数学模型中常用来描述行星和椭球体的运动轨迹。
2. 双曲线双曲线由焦点到曲线上任意一点距离之差等于常数的点构成。
它的形状像两个分开的弧线，常用来描述双曲面和反应速率等物理现象。
3. 抛物线抛物线由焦点到曲线上任意一点到准线的距离等于常数的点构成。
它的形状像开口向上或向下的碗，常用来描述物体自由落体和反射等现象。
二、圆锥曲线的数学表达式圆锥曲线的数学表达式可以通过坐标系中的方程来表示。
1. 椭圆方程椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的半长轴和半短轴。
2. 双曲线方程双曲线的标准方程有两种形式：纵轴双曲线的方程为：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是双曲线的半长轴和半短轴。
横轴双曲线的方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 抛物线方程抛物线的标准方程有两种形式：纵轴抛物线的方程为：$x^2 = 4ay$，其中$a$是抛物线的焦点到准线的距离。
横轴抛物线的方程为：$y^2 = 4ax$，其中$a$是抛物线的焦点到准线的距离。
三、圆锥曲线的性质和应用圆锥曲线有许多重要的性质和应用。
1. 相关定义焦距是焦点到准线的垂直距离，离心率是焦点到曲线上任意一点到准线的距离与焦距的比值。
圆锥曲线课件
标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上 的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内 与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了 光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂 的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲 面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆 锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的 精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方 向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标 。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大 小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘 制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方 程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦 点的位置，计算出曲线的 半径。
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椭圆的基本概念〖考试内容〗椭圆及其标准方程，焦点、焦距，范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线，椭圆的画法.〖考试要求〗掌握椭圆标准方程及几何性质，会根据所给条件画出椭圆，了解椭圆的一些实际应用.〖双基回顾〗〖知识点训练〗1、平面上P 点到定点F 1、F 2距离之和等于|F 1F 2|，则P 点的轨迹是………………………………（ ）(A )椭圆 (B )直线F 1F 2 (C )线段F 1F 2 (D ) F 1F 2中垂线2、若椭圆经过原点，且焦点为12(1,0),(3,0)F F ，则其离心率为………………………………（ ） （A ）43 （B ）32 （C ）21（D ）41 3、椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），那么k 等于……………………………………（ ）（A ）－1 （B ）1 （C ）5 （D ）－5〖例题分析〗1、已知椭圆的焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是其一条准线. ⑴求此椭圆方程；⑵又设P 在椭圆上并且满足|PF 1|－|PF 2|=1，求tg ∠F 1PF 2.2、F 1、F 2是椭圆192522=+y x 焦点，AB 是经过F 1的弦，如果|AB |=8，求△AF 2B 的周长。
3、已知常数a>0，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 是AB 中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，并且DADGCD CF BC BE ==，P 是GE 、OF 交点，问是否存在两个定点，使P果不存在，说明理由！(2003广东高考题)〖课堂练习〗1、椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则实数m = .2、如图，F 是椭圆焦点，A 是顶点，l 是准线，则在下列关系：e =||||PD PF ，e =||||BF QF ，e =||||BO AO ，e =||||AB AF ，e =||||AO FO 中，能正确表示离心率的有（ ）(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 5个〖能力测试〗 姓名 得分1、椭圆1)1(2222=-+m y m x 的准线平行于x 轴，则有…………………………………………（ ）(A )0＜m ＜21 (B )m ＜21且m ≠0 (C )m ＞0且m ≠1 (D ) m ＞21且m ≠1 2、如果椭圆的两个顶点为（3，0），（0，4），则其标准方程为………………………………（ ）(A )13422=+y x (B )191622=+y x (C )14322=+y x (D )191622=+y x 3、椭圆的两个焦点和中心把准线间的距离四等份，则其焦点对短轴端点张角为……………（ ）(A )45º (B )60º (C )90º (D ) 120º4、F 1、F 2是椭圆131222=+y x 焦点，点P 在椭圆上线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的（ ）(A )7倍 (B )5倍 (C )4倍 (D )3倍5、椭圆13610022=+y x 上有一点P （P 在第一象限内）满足PF 1⊥PF 2，则点P 坐标为 .6、求以椭圆19422=+y x 的长轴端点为短轴端点，并且经过点P （－4，1）的椭圆方程.7、点M 是椭圆122=+y x 上的一点，F 1、F 2是左右焦点，∠F 1MF 2=60º，求△F 1MF 2的面直线与椭圆的位置关系〖考试内容〗椭圆及其标准方程，焦点、焦距，范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线，椭圆的画法.〖复习要求〗掌握直线与椭圆位置关系的判定方法——“△”法；掌握弦长公式||1212x x k d -⋅+=；“韦达定理、设而不求”的技巧在解题中的使用.〖知识点训练〗 1、直线x =2与椭圆13422=+y x 的交点个数为…………………………………………………（ ）(A )0个 (B )1个 (C ) 2个 (D ) 3个 2、直线y =1被椭圆12422=+y x 截得的线段长为………………………………………………（ ）(A )42 (B )32 (C ) 22 (D ) 2 3、直线y =mx +1与椭圆x 2+4y 2=1有且只有一个交点，则m 2=………………………………（ ）(A )21 (B )32 (C ) 43 (D ) 544、椭圆13422=+y x 的长轴端点为M 、N ，不同于M 、N 的点P 在此椭圆上，那么PM 、PN 的斜率之积为…………………………………………………………………………………………（ ）(A )－43 (B )－34 (C ) 43 (D ) 34 〖例题分析〗1、椭圆22194x y +=的焦点为12,F F 点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围.2、已知椭圆C 的焦点分别为12(F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
3、椭圆E ：141622=+y x 内有一点P （2，1），求经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程.4、过P (－3,0)作一直线l 交椭圆E ：11x 2＋y 2=9于M 、N 两点，问l 的倾斜角多大时，以M 、N 为直径的圆过原点？〖课堂练习〗如果焦点是F （0，±52）的椭圆截直线3x －y －2=0所得弦的中点横坐标为21，求此椭圆方程.〖课堂小结〗解决直线与椭圆位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程必须讨论二次项系数和“△”；另外，韦达定理和设而不求的技巧是必须掌握的.〖能力测试〗 姓名 得分1、已知点（4，2）是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的弦中点，则l 方程是………………（ ）(A )x －2y =0 (B )x ＋2y －4=0 (C )2x ＋3y ＋4=0 (D ) x ＋2y －8=02、椭圆192522=+y x 上有三点A (x 1,y 1)、B (4,59)、C (x 2,y 2)，如果A 、B 、C 三点到焦点F （4，0）的距离成等差数列，则x 1+x 2= .（提示：利用焦半径公式）3、直线x －y ＋1=0被椭圆141622=+y x 截得的弦长为 . 4、椭圆E ：ax 2＋by 2=1与直线x ＋y =1交于A 、B 两点，M 是AB 中点，如果|AB |=22，且OM 的斜率为22. (1)把M 点的坐标用a 、b 表示出来； （2）求此椭圆方程.双曲线（1）〖考试内容〗双曲线及其标准方程，焦点、焦距，范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线，双曲线的画法.〖考试要求〗掌握双曲线标准方程及几何性质，了解双曲线的一些实际应用.〖双基回顾〗〖知识点训练〗1、焦点为(0,6),(0,6)-经过点(2,5)-的双曲线的标准方程是 .2、焦点在y 轴上，焦距是16，离心率为43的双曲线的标准方程是 . 3、方程12322=++-k y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是……………………………………（ ）(A )(－2,－3) (B )(－∞，－2) (C ) (3,+∞) (D ) (－∞，－2)∪(3,+∞)4、双曲线116422=+-y x 的实轴长为 ；离心率是 ；渐近线方程是 ；准线方程是 ；共轭双曲线方程是 ； 〖例题分析〗1、⑴求与双曲线141622=-y x 共焦点并且一条准线方程为x =－515的双曲线方程.⑵求与双曲线11222=-y x 共渐近线，并且经过点P （2，－2）的双曲线方程.3、已知点(A 和B ，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点，求线段D E 的长。
（2002年上海高考题）*4、点P 到点M (－1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 、y 轴距离之比为2，求实数m 的取值范围.（2003高考题）〖课堂练习〗1、双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是………………（ ）(A )14922=-x y (B )19422=-x y (C )1361622=-x y (D ) 16422=-x y 2、 “ab <0”是“方程ax 2＋by 2=c 表示双曲线”的………………………………………（ ）条件(A )必要不充分 (B )充分不必要 (C )充分必要 (D )既不充分又不必要〖能力测试〗 姓名 得分 1、下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线是……………………………………………（ ）(A )141622=-y x (B )12422=-y x (C )14222=+-y x (D )12222=-y x 2、双曲线8kx 2－ky 2=8的一个焦点为（0，3），则实数k =………………………………………（ ）(A )1 (B )－1 (C )365(D )－3653、双曲线两准线间距离的4倍等于焦距，则离心率等于………………………………………（ ）(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4、等轴双曲线的一个焦点为（0，－4），则其准线方程为 .5、椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则实数a = . 6、双曲线1422=+ky x 的离心率)2,1(∈e ，则实数k 的取值范围是 .7、若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为2y x =±， ⑴求实数m 之值； ⑵写出此双曲线的焦点坐标直线与双曲线的位置关系〖考试内容〗双曲线及其标准方程，焦点、焦距，范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线，双曲线的画法.〖考试要求〗掌握双曲线标准方程及几何性质，了解双曲线的一些实际应用. 〖知识点训练〗1、双曲线14922=-y x 上一点P 到左焦点距离为2，则P 到右焦点距离为……………………（ ）(A ）8 (B )4 (C )11或者7 (D ) 8或者42、双曲线1366422=-y x 上一点P 到右焦点距离为8，则P 到右准线距离为…………………（ ）(A ）532(B )10 (C )27(D )77323、双曲线12222=-by a x 与k by a x =-2222有相同的………………………………………………（ ）(A ）焦点 (B )准线 (C )渐近线 (D ) 离心率4、双曲线x 2－y 2=16左支上一点P ，F 1、F 2是左右焦点，则|PF 1|－|PF 2|= . 〖例题分析〗1、 已知双曲线2212y x -=与点(1,2)P ，过点P 作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点。