浙江省中考数学综合提升训练几何应用型问题
【大题精编】2023届浙江省中考数学复习 专题9 几何综合问题 解答题30题专项提分计划解析版
【大题精编】2023届浙江省中考数学复习专题9 几何综合问题解答题30题专项提分计划（浙江省通用）1．（2022·浙江衢州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，ADC Ð的平分线交BC 于点.E 交AB 的延长线于点F ，求证：BE BF =；（2）如图2，若G 是EF 的中点，连接AG 、CG 、AC ，请判断AGC V 的形状，并说明理由．（3）如图3，作BED Ð的角平分线EH 交AB 于点H ，已知9AB =，2BH AH =，求BC 的长．（2）解：AGC V 为等腰直角三角形，理由如下：如图，连接BG，由（1）可知BEF △为等腰直角三角形，∴AF AD BC ==，∵G 为EF 中点，∴BG FG =，45EBG Ð=°，在△AGF 和△CGB 中，GF GB F CBG AF BC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS AGF CGB ≌△△，∴AG CG =，AGF BGC Ð=Ð，∴BGF AGB AGB AGC Ð+Ð=Ð+Ð，∴90AGC BGF Ð=Ð=°，∴AGC V 为等腰直角三角形；（3）解：如图，在BH 上截取BN BE =，连接NE ，∵92AB BH AH ==，，∴36AH BH ==，，∵45BEF Ð=°，∴135BED Ð=°，∵EH 平分BED Ð，∴67.5BEH Ð=°，2．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图1，在ABC V 中，90C Ð=°，30B Ð=°，作CAB Ð平分线AF 交BC 于点F ，以AF 为边作等腰直角AFE △，且90AFE Ð=°，如图2将AFE △绕点F 每秒3°的速度顺时针旋转得到三角形DFE （当点D 落在射线FB 上时停止旋转），则旋转时间为t 秒．(1)当t ＝ 秒，DE AB ∥；(2)在旋转过程中，DF 与AB 的交点记为M ，如图3，若AMF V 为等腰三角形，求t 的值；(3)当边DE 与边AB 、BC 分别交于点P 、Q 时，如图4，连接AE ，设BAE x Ð=°，AED y Ð=°，DFB z Ð=°，试探究x ，y ，z 之间的关系．【答案】(1)5(2)10或25或40(3)105x y z ++=【分析】（1）根据平行线的性质可得，45DEF BPE Ð=Ð=°，再利用三角形外角的性质得BFE Ð的度数，从而得出旋转的角度，可得答案；（2）分AFM FAM Ð=Ð或AFM AMF Ð=Ð或MAF AMF Ð=Ð，分别求出旋转的角度，从而解决问题；（3）利用三角形外角的性质知BPE BAE AED x y =Ð+Ð=°+°Ð，45BQP DFB D z Ð=Ð+Ð=°+°，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】（1）解：当DE AB ∥时，45DEF BPE Ð=Ð=°，∴453015BFE BPE B Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵起始状态30BFE Ð=°，∴()301535t =-¸=，故答案为：5；（2）解：当30AFM FAM Ð=Ð=°，30310t =°¸°=，当75AFM AMF Ð=Ð=°时，75325t =°¸°=，当30MAF AMF Ð=Ð=°时，120AFM Ð=°，120340t =°¸°=，综上：t ＝10或25或40；（3）解：∵BPE Ð是APE V 的外角，∴BPE BAE AED x y =Ð+Ð=°+°Ð，∵BQP Ð是DFQ V 的外角，∴45BQP DFB D z Ð=Ð+Ð=°+°，在BQP V 中，3045180B BQP BPQ z x y Ð+Ð+Ð=°+°+°+°+°=°，∴105x y z ++=．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解决问题（2）的关键．运用三角形外角的性质是解决问题（3）的关键．3．（2022·浙江杭州·翠苑中学校考二模）在图1，图2，图3中，AF BE ，是ABC V 的中线，AF BE ⊥，垂足为P ．设BC a AC b AB c ＝，＝，＝．(1)①如图1，当=45ABE а，c ==a ，b = ．②如图2，当30ABE Ð=°，8c =时，=a ，b = ．(2)观察（1）中的计算结果，猜想222a b c ，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明．），连接EF ，则EF 是ABC V AE EF ^，，是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，21EP FP ==，，，②如图2，连接EF ，则EF 是ABC V 的中位线．30ABE AE BF AB Ð=°^，，Q 434AP BP AP \===，，12,32PF EF PE \====27,213AE BF \==，如图3，连接EF ，则EF 是∴1,2EF AB EF AB =∥，∴ABP FEP V V ∽，∴2AP BP FP EP ==，4．（2022·浙江丽水·一模）在菱形ABCD 中，6AB =，=60A а，点E 在AD 边上，4AE =，点P 是边AB 上一个动点，连结EP ，将AEP △沿EP 翻折得到FEP V ．(1)当EF AB ∥时，求AEP Ð的度数；(2)若点F 落在对角线BD 上，求证：DEF BFP V :V ；(3)若点P 在射线BA 上运动，设直线PF 与直线BD 交于点H ，问当AP 为何值时，BHP V 为直角三角形．∵菱形ABCD 中，=60A а，∴AD =AB ，ADB V 是等边三角形，∴60ADB ABD Ð=Ð=°∵FEP V 是由AEP △翻折得到，∴60EFP A Ð=Ð=°，由翻折的性质可得：AP =FP ，EF 设AP =x ，则FP =x ，∵∠PHB =90°，∴150APF Ð=°，30BPH Ð=°30K Ð=°由折叠的性质可得：APE FPE Ð=Ð∵EQ ⊥AB ，60A Ð=°∴30AEQ Ð=°，PEQ EPQ Ð=Ð=∴122AQ AE ==，2242EQ =-∵EM ⊥AB ，60EAM Ð=°，∴60AEM Ð=°，12AM AE =由折叠的性质可得：APE Ð∵EM ⊥AB ，45APE Ð=°∴2EM PM a ==+，在Rt AEM V 中，EM AE =由翻折的性质可得：AP =FP ，EF =∵∠PHB =90°，∠PBH =60°，∴30BPH Ð=°，∵60EAB Ð=°∴120PAE PFE Ð=Ð=°5．（2022·浙江绍兴·一模）如图①，在正方形ABCD 中，点E 与点F 分别在线段,AC BC 上，且四边形DEFG 是正方形．(1)试探究线段AE与CG的关系，并说明理由．AB，(2)如图②若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，=3 BC．=4AE CG在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认①线段,为正确的关系，并说明理由．△为等腰三角形时，求CG的长．②当CDE6．（2022·浙江嘉兴·一模）如图1，已知正方形ABCD 和正方形CEFG ，点B 、C 、E 在同一直线上，(1)BC m m =>，1CE =．连接AF BG 、．(1)求图1中AF 、BG 的长（用含m 的代数式表示）．(2)如图2，正方形ABCD 固定不动，将图1中的正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转a 度（090a °<£°），试探究AF 、BG 之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，在（2）条件下，当点A ，F ，E 在同一直线上时，连接CF 并延长交AD 于点H ，若FH =，求m 的值．∵正方形ABCD 和正方形CEFG ∴∠ABC =∠BCD =∠CGD =∠CGH 在Rt △BCG 中，由勾股定理，得∵正方形ABCD和正方形∴∠ACB=∠FCG=45°，∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠∴∠BCG=∠ACF，∵正方形ABCD和正方形∴∠CAD=∠CFE=45°，CD∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∴∠FAH=∠ACF，∵∠AHF=∠CHA，7．（2022·浙江宁波·校考三模）【基础巩固】(1)如图①，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，ACD B Ð=Ð，求证∶ABC DCA V V ∽；(2)【尝试应用】如图②，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 上，AED Ð与C Ð互补，24BE EC ==，，求AE 的长；(3)【拓展提高】如图③，在菱形ABCD 中，E 为其内部一点，AED Ð与C Ð互补，点F 在CD 上，EF AD ∥，且2AD EF =，31AE CF ==，，求DE 的长．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，AB CD =∵EF AD ∥，∴四边形AGFD 是平行四边形，8．（2022·浙江温州·统考模拟预测）已知：如图，MAN Ð为锐角，AD 平分MAN Ð，点B ，点C 分别在射线AM 和AN 上，AB AC =．(1)若点E 在线段CA 上，线段EC 的垂直平分线交直线AD 于点F ，直线BE 交直线AD 于点G ，求证：EBF CAG Ð=Ð；(2)若（1）中的点E 运动到线段CA 的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想EBF Ð与CAG Ð的数量关系并证明你的结论．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）如图1，连接EF 、CF ，由中垂线的性质就可以得出EF CF =，就有FEC FCE Ð=Ð，由AFB AFC V V ≌就可以得出ABF ACF Ð=Ð，由180FEC FEA Ð+Ð=°就可以得出180FEC FEA Ð+Ð=°，得出A 、B 、F 、E 四点共圆，再得出EBF CAG Ð=Ð；（2）如图2，连接EF 、CF ，由中垂线的性质就可以得出EF CF =，就有FEC FCE Ð=Ð，由AFB AFC V V ≌就可以得出ABF ACF Ð=Ð，就有AEF ABF Ð=Ð，近而得出A 、B 、F 、E 四点共圆，就有EBF FAC Ð=Ð，从而得出180EBF CAG Ð+Ð=°．【详解】（1）解：如图1，连接EF 、CF ，EC Q 的垂直平分线交直线AD ，EF CF \=，FEC FCE \Ð=Ð，AD Q 平分MAN Ð，BAF CAF\Ð=Ð．在AFB △和AFC △中AB AC BAF CAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=îAFB AFC \V V ≌，ABF ACF \Ð=Ð，ABF ACF \Ð=Ð，ABF FCE \Ð=Ð．180FEC FEA Ð+Ð=°Q ，180ABF AEF \Ð+Ð=°，则A 、B 、F 、E 四点共圆，EBF CAG \Ð=Ð；（2）解：180EBF CAG Ð+Ð=°理由：如图2，连接EF 、CF ，EC Q 的垂直平分线交直线AD ，EF CF \=，FEC FCE \Ð=Ð，AD Q 平分MAN Ð，BAF CAF \Ð=Ð．在AFB △和AFC △中AB AC BAF CAFAF AF =ìïÐ=Ðíï=îAFB AFC \V V ≌，ABF ACF \Ð=Ð，ABF FCE \Ð=Ð．则A 、B 、F 、E 四点共圆，EBF FAC \Ð=Ð．180FAC CGA Ð+Ð=°Q ，180EBF CAG Ð+Ð=°Q ．【点睛】本题考查角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，四点共圆的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．9．（2022·浙江杭州·校考二模）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在AD ，DC 上（不与A ，D ，C 重合），连接BE ，AF ，BE 与AF 交于点G ，与AC 交于点H ．已知AF BE =，AF 平分DAC Ð．(1)求证：AF BE ⊥．(2)若BHO △的面积为1S ，BDE △的面积为2S ，求12S S 的值．10．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，在矩形ABCD 中，302DBC AB Ð=°=，，连接对角线BD ，点E 以1个单位每秒的速度从点D 出发，向点B 运动，运动时间为t ，过点E 作EM AE ^，交BC 于点M ．(1)如图1，当2t =时，求ME 的长．(2)在点E 在运动过程中，AME Ð的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出AME Ð的大小．）90,,ABM AON AO OC \Ð=Ð=°=Q ∴NO 垂直平分AC ，CN AN \=，,AN MN =Q CN MN \=．【点睛】本题综合考查了等边三角形、全等三角形、相似三角形和三角函数等知识，灵活运用条件证明等边三角形求证所需条件，掌握各种全等三角形、相似三角形的判定方法是解题的关键．11．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，AE ⊥AB ，AE ，BC 的延长线交于点F ，在线段BF 上取点M ，N （点M在B ，N 之间），使得BM =FN =18MN ．当点P 从点M 匀速运动到点N 处时，点Q 恰好从点F 匀速运动到点A 处．连接AP ．设MP =x ，AQ =y ，已知y =－x +8．(1)求BF ，AF 的长．(2)当PQ ⊥BC 时（如图2），求FPQ △的周长．(3)①当V APQ 是以AP 为腰的等腰三角形时，求x 的值．②将PQ 绕点Q 顺时针旋转90°得线段P ¢Q ，若点P ¢落在四边形ABCD 的内部，请直接写出x 的取值范围．12．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，矩形ABCD ，点P 是对角线AC 上的动点（不与A 、C 重合），连接PB ，作PE PB ^交射线DC 于点E ．已知6AD =，8AB =．设AP 的长为x ．(1)如图1，PM AB ^于点M ，交CD 于点N ．求证：BMP PNE △△∽；(2)试探究：PE PB是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当PCE V 是等腰三角形时，请求出所有x 的值．图甲【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三13．（2022·浙江宁波·统考二模）【证明体验】(1)如图1，△ABC 中，D 为BC 边上任意一点，作DE AC ^于E ，若12CDE A Ð=Ð，求证：△ABC 为等腰三角形；【尝试应用】(2)如图2，四边形ABCD 中，90D Ð=°，AD CD =，AE 平分BAD Ð，180BCD EAD Ð+Ð=°，若2DE =，6AB =，求AE 的长；【拓展延伸】(3)如图3，△ABC 中，点D 在AB 边上满足CD BD =，1902ACB B Ð=°+Ð，若AC =，20BC =，求AD 的长．14．（2022·浙江杭州·统考二模）如图1，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为AD 上一点，CE 与BD 交于点F ．(1)若AE CE =，BD CE ^，①求tan DEC Ð．②如图2，连接AF ，当3BC =时，求AF 的值．(2)设()01DE k k AD =<<，记CBF V 的面积为1S ，四边形ABFE 的面积为2S ，求21S S 的最大值．15．（2022·浙江金华·校联考三模）在四边形ABCD 中，5AB AD ==，10BC CD ==，90B Ð=°．(1)如图1，①求证：90D Ð=°；②求C Ð的正切值；(2)如图2，动点M 从点D 出发，以1个单位每秒速度，沿折线DA AB -运动，同时，动点N 从点B 出发，以2个单位每秒速度，沿射线BC 运动，当点M 到达点B 时，点M ，N 同时停止运动，设运动时间为t 秒，以MN 为斜边作Rt MNP △，使点P 落在线段AB 或AD 上，在整个运动过程中，当不再连接其他线段，且图中存在与MNP △相似的三角形时，求t 的值．DE CF =，设DE CF x ==，则10CE x =-，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出结果；（2）按照点M 、N 、P 的位置，MNP NPB D D ∽或MNP PNB D D ∽，以及当三角形全等也是特殊的相似，进行分类讨论，求出t 的值即可．【详解】（1）证明：①连接AC ，如图所示：∵在△ABC 和△ADC 中，AB AD BC CD AC AC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC ADC D D ≌，∴90D B Ð=Ð=°；②过点A 作AE BC ∥，交CD 于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如图所示：90EFC B Ð=Ð=°Q ，∴AB EF ∥，∴四边形ABFE 为平行四边形，∵∠EFC =90°，∴四边形ABFE 为矩形，∴5EF AB ==，∠AEF =90°，∴EF AD =，90DAE AED Ð+Ð=°Q ，90DEA CEF Ð+Ð=°，∴DAE CEF Ð=Ð，90D EFC Ð=Ð=°Q ，∴()ASA ADE EFC D D ≌，∴DE CF =，设DE CF x ==，则10CE x =-，∵222CE CF EF =+，()222105x x \-=+，（2）①当点M 在AD 上，BA ，交EM 于点G ，如图所示：∵MNP NPB D D ∽，∴NMP BNP Ð=Ð，PNM Ð∵90PMN PNM Ð+Ð=°，7②当点M 在AD 上，MNP PNB D D ∽时，过点交EM 于点G ，过点P 作PH ⊥MN 于点∵ME BC ∥，∴18090GEF EFB Ð=°-Ð=°，∴90GEF EFB B Ð=Ð=Ð=°，∴四边形GEFB 为矩形，③当M 与A 点重合，N 与C 点重合时，相似比为1，符合要求，此时1052t ==④当点M 在AB 上，N 在BC 的延长线上时，∵MN =MN ，∴此时MNP MNB D D ≌，∴NP =NB =2t ，PM =MB =10-t ，【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的三角形判定的性质和判定，作出辅助线，进行分类讨论是解题的关键．16．（2022·浙江金华·校联考二模）如图，菱形ABCD 中，5AB =，8AC =，点E 是射线AC 上的一个动点，将线段BE 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DE 、DF ．(1)求证：ED EF =；(2)如图2，连接BD ，CF ，当BED V 与EFC V 相似时，求CE 的长；(3)当点D 关于直线EF 的对称点落在菱形的边上时，求AE 的长．（3）①当点F 与点D 重合时，点E 在AO 上时，点目要求，如图所示：根据解析（1）可知，BE =DE ，∵EO ⊥BD ，∴90BED Ð=°，∵BO =DO ，∴132EO BD ==，∵AO =4，∴1AE AO EO =-=；。
备战中考数学(浙教版)综合能力提升练习(含解析)
2021备战中考数学〔浙教版〕综合才能提升练习〔含解析〕一、单项选择题1.单项式4x5y与2x2〔-y〕3z的积是〔〕A.8x10y3zB.8x7〔-y〕4zC. -8x7y4zD. -8x10y3z2.以下图形不是立体图形的是〔〕A.球B.圆柱C.圆锥D.圆3.以下画图语言表述正确的选项是〔〕A.延长线段AB至点C ，使AB=ACB.以点O为圆心作弧C.以点O为圆心，以AC长为半径画弧D.在射线OA上截取OB=a ，BC=b ，那么有OC=a+b4.某扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，那么该扇形的半径是〔〕A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm5.假设有意义，那么a的取值范围是〔〕A.a≥0B.a≥3C.a＞-3D.a≥-36.抛物线y=x2+3x+c经过三点，那么的大小关系为〔〕A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，A点坐标为(3,4)，将OA绕原点O顺时针旋转180°得到OA'，那么点A'的坐标是()A.(-4,3)B.(-3,-4)C.(-4,-3)D.(-3,4)8.在同一平面内，三条直线的交点个数不能是〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个9.钟表在5点30分时，它的时针和分针所成的锐角是〔〕．A.15°B.70°C.30°D.90°10.一个几何体的主视图和左视图都是正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是〔〕A.长方体B.正方体C.圆锥D.圆柱11.假设a2=〔﹣5〕2，b3=〔﹣5〕3，那么a+b的值为〔〕A.0B.±10C.0或10D.0或﹣10二、填空题12.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，那么CE的长为________．13.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，假设△ABE的面积为18，CE=4，那么线段BE的长为________．14.如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8，BC=6，CD△AB ，垂足为D ，那么tan△BCD 的值是________.15.如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，直线EF与AD相交于点O，假设OA=2，那么△ABC外接圆的面积为________．16.假设规定“*〞的运算法那么为：a*b=ab﹣1，那么2*3=________．17.某人在1〜6月份的收入如下：800元、880元、750元、1200元、340元、800元．那么此人在这6个月中的收入极差为________．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B〔3，1〕，B′〔6，2〕．请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化答复以下问题：①假设点A〔，3〕，那么A′的坐标为________②△ABC与△A′B′C′的相似比为________19.一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，那么m应满足的条件是________ .20.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分△ABC，交AC于点D。
2020年浙江省中考数学几何综合题冲刺训练含解析
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
7、如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，
∴HD=EB，
延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，
∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30°，
∴ =cos30°= ，
∵GC=2OG，
∴ = ，
∵HGND为平行四边形，
∴HD=GN，
∴HD：GC：EB=1： ：1．
①请探究AD与BD之间的位置关系：；
②若AC＝BC＝ ，DC＝CE＝ ，则线段AD的长为；
【拓展延伸】
（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝ ，BC＝ ，CD＝ ，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．
在Rt△ABF中，BF＝ ＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，
（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
浙江省中考数学综合提升训练数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用一、选择题1. (2014·呼和浩特)实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中，正确的是( )(第1题)A. ac>bcB. |a－b|＝a－bC. －a<－b<－cD. －a－c>－b－c2. 如图①是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图②拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是( )(第2题)A. abB. (a＋b)2C. (a－b)2D. a2－b23. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b＝2a.其中正确的结论有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个,(第3题)) ,(第4题))4. 小明在学习锐角三角函数时，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( )A. 3＋ 2B. 2＋1C. 2－1D. 5－24二、填空题5. (2014·山东东营)如图，有两棵树，一棵高12 m ，另一棵高6 m ，两树相距8 m ，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，则小鸟至少要飞行________m.,(第5题)) ,(第6题))6. 在开展“国学诵读”活动中，某校为了了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生中一周的课外阅读时间不少于7 h 的人数是________．7. 已知三角形的三边长分别是2n ＋1，2n 2＋2n ，2n 2＋2n ＋1(n 为正整数)，则该三角形中的最大角等于________．(第8题)8. 在一次数学活动中，为了求12＋122＋123＋…＋12n 的值，小明设计了如图所示的图形．利用这个几何图形求式子12＋122＋123＋…＋12n 的值为________．9. 已知0<x <12，则x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值为________． 三、解答题10. (2014·广东珠海)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y ＝mx的图象交于点B ，E .求：(第10题)(1)反比例函数及直线BD的表达式．(2)点E的坐标．11. 若关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一根大于1，一根小于－1，求a的取值范围．12. (2015·山东淄博)如图①所示为一把折叠椅子，图②是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG与MN的距离为42 cm，AB＝43 cm，CF＝42 cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°.求两根较粗钢管AD和BC的长 (结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 80°≈0.98，cos 80°≈0.17，tan 80°≈5.67，sin 60°≈0.87，cos 60°≈0.5，tan 60°≈1.73)．(第12题)13. 如图①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB 相切于动点P，连结CP.(1)当⊙O与直角边AC相切时，如图②所示，求此时⊙O的半径r的长．(2)随着切点P的位置不同，弦CP的长也会发生变化，试求出弦CP的长的取值范围．(3)当切点P在何处时，⊙O的半径r有最大值？试求出这个最大值．(第13题)参考答案1．D 2．C 3．B[由图象可知，当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c <0；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0；当x ＝0时，y ＝c ＝0，∴abc ＝0．∵对称轴为直线x ＝－b2a ＝－1，∴b ＝2a ．∴①②④正确，③错误．]4．B[由折叠的性质，得AB ＝BE ，AE ＝EF ．∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝∠EAB ＝45°，∴∠EAF ＝∠EFA ＝45°2＝22．5°，∴∠FAB ＝67．5°．设AB ＝x ，则EF ＝AE ＝2x ，∴tan ∠FAB ＝tan 67．5°＝FB AB ＝2x ＋x x＝2＋1．] 5．10 6．520 7．90°[∵(2n ＋1)2＋(2n 2＋2n )2＝4n 2＋4n ＋1＋4n 4＋8n 3＋4n 2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，(2n 2＋2n ＋1)2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，∴(2n ＋1)2＋(2n 2＋2n )2＝(2n 2＋2n ＋1)2，∴此三角形是直角三角形，∴最大角等于90°．] 8．1－12n [由图可知：12＝1－12，12＋122＝1－122，12＋122＋123＝1－123，…，∴12＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ．](第9题解)9．13[作出图形如解图．赋予式子x 2＋4＋（12－x ）2＋9如下的几何意义：CD ＝x 2＋4，CE ＝（12－x ）2＋9，∴求x 2＋4＋（12－x ）2＋9的最小值，即求CD ＋CE 的最小值，当D ，C ，E 三点共线时值最小，最小值为DE ＝122＋（2＋3）2＝13．]10．(1)反比例函数的表达式为y ＝－2x，直线BD 的表达式为y ＝－x －1． (2)点E (－2，1)．(第11题解)11．由题意可知，抛物线y ＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2与x 轴的交点一个在点(1，0)的右边，另一个在点(－1，0)的左边，且开口向上，大致图象如解图所示．由图可知，当x ＝1时，y <0；当x ＝－1时，y <0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a －a 2<0，解得－2<a <0． 12．过点F 作FH ⊥AB 于点H ，过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，则FH ＝42 cm ．在Rt △BFH 中，∵∠FBH ＝60°，FH ＝42 cm ，∴BF ＝42sin60°≈48．28(cm)．又∵CF ＝42 cm ，∴BC ＝BF ＋CF ＝48．28＋42≈90．3(cm)．在Rt △BDQ 中，∵∠DBQ ＝60°，∴BQ ＝DQtan60°．在Rt △ADQ 中，∵∠DAQ ＝80°，∴AQ ＝DQtan80°．∵BQ ＋AQ ＝AB ，∴DQtan60°＋DQtan80°＝43，解得DQ ≈56．999(cm)．在Rt △AD Q 中，∵∠DAQ ＝80°，DQ ＝56．999 cm ，∴AD ＝56.999sin80°≈58．2(cm)．答：两根较粗钢管AD 和BC 的长分别为58．2 cm ，90．3 cm ． 13．(1)过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，过点O 作OR ⊥PC 于点R ．在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5．∵AC ，AP 都是⊙O的切线，∴点O 在BC 上，AP ＝AC ＝3．∴PB ＝2．易知PQ ∥AC ，∴BQ BC ＝PQ AC ＝PB AB ＝25．∴PQ ＝65，BQ ＝85．∴CQ ＝BC －BQ ＝125．∴PC ＝PQ 2＋CQ 2＝655．∵OR ⊥PC ，∴∠CRO ＝∠CQP ，CR ＝12PC ＝3 55．∵∠OCR ＝∠PCQ ，∴△COR ∽△CPQ ．∴OC CR ＝PC CQ ，即r 3 55＝6 55125，解得r ＝32． (2)当PC 最短时，PC 为AB 边上的高线，此时PC ＝3×45＝125；当PC 最长时，点P 与点B 重合，此时PC ＝BC ＝4，∴125≤PC ≤4．(第13题解)(3)如解图，当点P 与点B 重合时，⊙O 的半径r 最大，点O 在BC 的垂直平分线上，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则BD ＝12BC ＝2．∵AB 是⊙O 的切线，∴∠ABO ＝90°，∴∠ABC ＋∠OBC ＝90°＝∠BOD ＋∠OBD ，∴∠ABC ＝∠BOD ．∴BD OB ＝sin ∠BOD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝35，∴OB ＝103，即半径r 的最大值为103．。
浙教版中考实际应用性问题(含知识要点,例题及练习参考答案)
专题一 实际应用性问题实际应用性问题是指有实际背景或实际意义的数学问题.这些问题充分表达了贴近学生生活、关注社会热点、形式多样等特点,注重考查学生思维的灵活性和深刻性,要求解题者具有较丰富的生活常识和较强的阅读水平以及数学建模水平.实际应用性问题涉及的背景有商品买卖、存款和贷款,最优方案、行程问题、交通运输、图案设计、农业生产和生物繁殖等.实际应用性问题在各地的试卷中成为必考内容,表达了素质教育的要求和新课程标准的理念,由于它们来自生活和生产实践,所以参考条件较多,思维也有一定的深度,解答方法灵活多样.【典型例题】例1. 某饮料厂为了开发新的产品,用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克,试制甲、〔1〕假设甲种饮料需配制x 千克.请你写出满足题意的不等式组,并求出其解.〔2〕设甲种饮料每千克本钱为4元,乙种饮料每千克本钱为3元.这两种饮料的本钱总额为y 元,请写出y 与x 的函数表达式.并根据〔1〕的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克时,甲、乙两种的本钱总额最低.分析：根据表格的信息和其他条件知甲种原料用量不大于19千克,乙种原料用量不大于17.2千克,可得出〔1〕的不等式组.〔2〕由“本钱总额＝甲种饮料本钱＋乙种饮料本钱〞这个关系式,可列出函数表达式.再运用函数的性质,可确定最低总本钱.解：〔1〕由条件得05025019030450172..()..().x x x x +-≤+-≤⎧⎨⎩ 解得2830≤≤x 〔2〕依题意得y x x x x =+-=+≤≤43501502830()()由一次函数性质知：k ＝1＞0,y 随x 的增大而增大.∴当x ＝28时,甲、乙两种饮料的本钱总额最少.即y ＝28＋150＝178〔元〕.例2. 高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB 〔如图甲〕.〔1〕某一时刻测得大树AB,教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC＝2.4米,DF＝7.2米,求大树AB的高度.〔2〕用皮尺、高为h米的测角仪,请你设计另一种测量大树AB高度的方案.要求：a. 在图乙上画出你设计的测量方案示意图,并将应测数据标记在图上.〔长度用字母m、n…表示,角度用希腊字母α、β…表示〕b. 根据你所画的示意图和标注的数据,计算大树AB高度.〔用字母表示〕分析：〔1〕可用同一时刻物高与影长成正比获得大树高度.〔2〕中的设计方案,要求同学们能根据平时的学习体验及解直角三角形的有关知识获得测量大树的方案.注意的是不要无视了测角仪的高度.解：〔1〕连AC、EF∵太阳光线是平行线,∴AC∥EF∴∠ACB＝∠EFD∵∠ABC＝∠EDF＝90°∴△ABC∽△EDF∴ABEDBCDF=∴AB1262472 ...=∴AB＝4.2答：大树AB的高是4.2米.〔2〕如图测角仪高度为h米,用皮尺可测得测角仪离树距离为m米,用测角仪测得树顶仰角为α, 即BN＝GM＝m在Rt△AMG中,AG＝m·tanα∴AB＝〔m·tanα＋h〕米例3. 甲、乙两同学开展“投球进筐〞比赛,双方约定：①比赛分6局进行,每局在指定区域内将球投向筐中,只要投进一次后该局便结束.②假设一次未进可再投第二次,以此类推,但每局最多只能投8次,假设8次投球都未进,该局也结束；③计分规那么如下：a. 得分为正数或0；b. 假设8次都未投进,该局得分为0；c. 投球：次数越多,得分越低；d. 6局比赛的总分高者获胜.〔1〕设某局比赛第n 〔n ＝1,2,3,4,5,6,7,8〕次将球投进,请你按上述约定,用公式、表格或语言表达等方式,为甲、乙两位同学制定一个把n 换算为得分M 的计分方案.〔2〕假设两人6局比赛的投球情况如下.〔其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数,“×〞表示该局比赛8次投球都未进〕.第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 × 4 8 1 3 乙 8 2 4 2 6 × 根据上述计分规那么和你制定的计分方案,确定两人谁在这次比赛中获胜.分析：将实际问题中的计分与投球次数之间进行量化的设计方案,只要满足计分规那么的要求即可.因而可获得不同方案.解：〔1〕方案一,如下表：n 〔次〕 1 2 3 4 5 6 7 8 M 〔分〕 8 7 6 5 4 3 2 1 〔未进球计0分〕,显然上述方案符合计分规那么要求.方案二：将球投进筐的次数n 〔次〕与得分M 〔分〕之间用关系式表示为：次未进时计分为M n12080() 显然这一计分方案也符合计分规那么的要求.〔2〕由方案一：可算得甲的得分为：4＋0＋5＋1＋8＋6＝24〔分〕乙的得分为：1＋7＋5＋7＋3＝23〔分〕由此可知,在这次比赛中甲获胜.由方案二：甲的每局得分分别为：24分、0分、30分、15分、120分、40分；乙的每局得分分别为：15分、60分、30分、60分、20分、0分.∴甲的总得分为229分；乙的总得分为185分.由此知：甲在这次比赛中获胜.例4. 光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦；其中30台派往A 地区,20台派往B 地区. 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A 地区 1800元 1600元B 地区 1600元 1200元〔1〕设派往A 地区x 台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 〔元〕,求y 与x 间的函数关系式.并写出x 的取值范围.〔2〕假设使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来.〔3〕如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一条合理的建议.分析：在〔1〕中,由派往A 地乙型收割机为x 台.能够正确地用代数式表示往A 地的甲型收割机,派往B 地的甲、乙型收割机是问题的关键.根据条件可得相应的租赁费用和调运方案.解：〔1〕假设派往A地区的乙型收割机为x台.那么派往A地区的甲型收割机为〔30－x〕台派往B地区的乙型收割机为〔30－x〕台派往B地区的甲型收割机为[20－〔30－x〕]＝〔x－10〕台∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10) ＝200x＋74000.由实际问题情境，必有xxx≥-≥-≥⎧⎨⎪⎩⎪0 300100∴1030≤≤x即x的取值范围是：10≤x≤30〔x是正整数〕〔2〕由题意得：200x＋74000≥79600解得：x≥28由于10≤x≤30∴x取28、29、30这三个值.∴有3种不同分配方案.①当x＝28时,即派往A地区甲型收割机2台,乙型收割机28台,派往B地区甲型收割机18台,乙型收割机2台.②当x＝29时,即派往A地区甲型收割机1台,乙型收割机29台,派往B地区甲型收割机19台,乙型收割机1台.③当x＝30时,即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区.〔3〕由于一次函数y＝200x＋74000的性质知：y随着x的增大而增大.∴当x＝30时,y取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高,只需x＝30,此时y＝6000＋74000＝80000.建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区,20台甲型收割机全部派往B地区,可使公司获得的租金最高.例5. 如图〔1〕,一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm,顶点C1处有一只昆虫甲,在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙,〔盒壁厚度忽略不计〕〔1〕假设昆虫甲在顶点C1处静止不动,如图〔1〕,在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E,再连结AE、EC1,昆虫乙如果沿路径A→E→C1爬行,那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲,仔细体会其中的道理,并在图〔1〕中画出另一条路径,使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行,同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲.〔请简要说明画法〕.〔2〕如图〔2〕假设昆虫甲从顶点C1以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行.同时昆虫乙从顶点A以2cm/s的速度在盒壁上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？〔精确到1s〕.分析：此题难点是两个点是动点,且昆虫乙的路径不惟一,因而确定昆虫乙的几种可能路径是关键；这就必须了解正方体的平面展开图.在〔1〕中,类似地在DD 1、CD 、A 1B 1、A 1D 1或BC 的中点与A,C 1连结的线段上找到由A →C 1的最短路径；在〔2〕中可利用直角三角形的知识获得结论.解：〔1〕略.〔2〕由〔1〕知：当昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时,昆虫乙可以沿以下四种路径中的任意一种爬行.可以看出,图〔3〕、〔4〕的路径相等,图〔5〕、〔6〕的路径相等.①设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时,昆虫乙从顶点A 按路径A →E →F 爬行捕捉到昆虫甲需x 秒钟.由图〔3〕在Rt △ACF 中()()21020222x x =-+解得x ＝10设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时,昆虫乙从顶点A 按路径A →E 3→F 爬行捕捉昆虫甲需y 秒钟.由图〔5〕,在Rt △ADF 中()()22010222y y =-+解得y ≈8∴昆虫乙从顶点A 爬行捕捉昆虫甲至少需8s.数学应用与实践包含实际问题中的方案设计问题以及依据数学特征进行的活动,操作和用数学知识解决实际问题等,解这类问题时应注重于对生活中的实际问题进行恰当的分析,从中能够找出与之相关的数学模型,并借助数学知识予以解决,其中所涉及的分类讨论思想、实际问题模型化的思想以及转化的思想方法十分重要,是解决这类问题的关键.【模拟试题】〔做题时间：45分钟〕一、填空.1. 一商店把某件商品按九折出售仍可获得20%的利润率,假设该商品的进价是每价30元,那么该件商品的标价是_____________.2. 小明家粉刷房间,雇了5个工人,干了10天完成,用去涂料费为4800元,粉刷的面积为150m2,最后结算工钱时,有以下三种方案：〔1〕按工算,每人每天工资30元；〔2〕按涂料费用算,涂料费用的30%作为工钱.〔3〕按粉面积算,每平方米付工钱12元.请你帮小明家出主意,选择方案_____________付钱最合算.3. 某公司今年5月份的纯利是a万元,如果每个月纯利润的增长率都是x,那么预计7月份的纯利润将到达_____________万元.4. 有一旅客携带了30kg行李从南京国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20kg行李,超过局部每公斤按飞机票价的1.5%购置行李票,现该旅客购置了120元的行李票,那么他的飞机票价格应是_____________.5. 某兴趣小组决定去市场购置A、B、C三种仪器,其单价分别为3元,5元,7元,购置这批仪器需花费62元,后经过讨价还价,最后以每种各下降1元成交,结果只花了50元就买下了这批仪器,那么A种仪器最多可买_____________件.6. 某市近年来经济开展迅速,据统计,该市国内生产总值1990年为8.6亿元,1995年为10.4亿元,2000年为12.9亿元,经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2022年该市国内生产总值将到达_____________亿元.7. 如图1,某公园入口原有三级台阶,每级台阶高为20cm,宽为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起点为C,现在斜坡的坡度∠BCA设计为12°,求AC的长度为_____________.图18. 居民楼的采光是人们关心的一个重要问题,冬至是一年中太阳光与地面所成夹角最小的时期,此时只要太阳光在如图2,两楼之间不互相挡住阳光,那么一年四季均不为互相挡住阳光了,设此时太阳光与地面的夹角为30°,两楼高均为30米,问两楼之间的水平距离L至少为_____________米时两楼之间才能不互相挡住阳光照射.图2二、选择题.9. 某商品价格为a 元,降价10%后,又降价10%,销售猛增,商店决定再提价20%,提价后这种商品的价格为〔 〕A. a 元B. 1.08a 元C. 0.972a 元D. 0.96a 元10. 小李买了20本练习本,店主给他八折优惠,结果廉价了32元,那么每本练习本的标价是〔 〕A. 2元B. 4元C. 8元D. 6元11. 小王在一次野外活动中捡到一块矿石,回家后,他使用一把刻度尺,一只圆柱形的玻璃杯和足量的水,就测量出这块石头的体积,如果他量出玻璃杯的内直径d,把矿石完全浸在水中,测出杯中水面上升了的高度为h,那么小王的这块石头的体积是〔 〕A. π42d h B. π22d h C. πd h 2 D. 42πd h 12. 如图3,边长为12m 的正方形塘的周围是草地,池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树,且AB ＝BC ＝CD ＝3m,现在用长为4m 的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上,为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在〔 〕图3A. A 处B. B 处C. C 处D. D 处13. 如图4,在正方形铁片上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成一个圆锥模型,设圆的半径为r,扇形的半径为R,那么圆形的半径与扇形半径之间的关系是〔 〕图4A. R r =2B. R r =94C. R r =3D. R r =414. 如图5在一个房间内,有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a m,此时梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距离地面的距离NB 为b m,梯子的倾斜为45°,这间房间的宽AB 一定是〔 〕A. a b m +2B. a b m -2C. b mD. a m图5三、15. 某下岗工人在再就业中央的扶持下,创办了“润扬〞报刊零售点,对经营的某种晚报,该工人提供了如下信息：①买进每份0.2元,卖出每份0.3元；②一个月内〔以30天计〕,有20天每天可以卖出200份,其中10天每天只能卖出120份；③一个月内,每天从报社买进的报纸份数必须相同,当天卖不掉的报纸,以每份0.1元退回给报社.〔〔2〕设每天从报社买进该晚报x 份〔120200≤≤x 〕时,月利润为y 元,试求出y 与x 的函数关系式,并求月利润的最大值.16. 足球比赛的记分规那么为：胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分,一支球队在某个赛季中共需比赛14场中,现已比赛了8场,输了1场,得17分.请问：〔1〕前8场球比赛中,这支球队共胜了多少场？〔2〕这支球队打满14场赛,最高能得多少分？〔3〕通过比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛得分不低于29分,就可以到达预期目标,请你分析一下,在后面的六场赛中这支球队至少要胜几场,才能到达预期目标.17. 某农场为防风沙在一山坡上种植一片树苗,并安装了自动喷灌设备,一瞬间,喷出的水流呈抛物线.如图6所示,建立直角坐标系,喷水头B 高出地面1.5米,喷水管与山坡所成的夹角∠BOA 约为63°,水流最高点C 的坐标为〔2,3.5〕.图6〔1〕求此水流抛物线的解析式；〔2〕求山坡所在的直线OA 的解析式〔解析式中的系数精确到0.1〕；〔3〕计算水喷出后落在山坡上的最远距离OA 〔精确到0.1米〕18. 某生活小区的居民筹集资金1600元,方案一块上、下两底分别为10m 、20m 的梯形空地上种植花木〔如图7〕.图7〔1〕他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花,单价为8元/m 2,当△AMD 地带种满花后,〔图7中阴影局部〕共花了160元,请计算种满△BMC 地带所需的费用.〔2〕假设其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m 2和10元/m 2,应选择种哪种花木,刚好用完所筹集的资金？19. 我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书,有两个印刷厂前来联系制作业务,甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费,另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变,而制版费900元那么六折优惠,且甲乙两厂都规定：一次印刷的数量至少是500份.〔1〕分别求两个印刷厂的收费y〔元〕与印刷数量x〔份〕的函数关系,并指出自变量x的取值范围.〔2〕如何根据印刷的数量选择比拟合算的方案？如果这个中学要印制2000份录取通知书,那么应中选择哪一个厂？需要多少费用？请做完之后,再看答案【试题答案】一、填空：1. 402. 应选方案〔2〕3. a x ()12+4. 8005. 56. 16.11亿元7. 约222cm8. 303米≈52米二、选择：9. C 10. C 11. A12. B 13. D 14. D三、解做题：15. 〔1〕300 390〔2〕y x x =+≤≤240120200() 当x ＝200时,y 最大值为440元16. 〔1〕答：前8场比赛中,这个球队共胜了5场〔2〕最高能得17＋〔14－8〕×3＝35分〔3〕由题意得：以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可,故胜不少于4场一定能到达目标,而胜3场平3场,正好到达预期目标,所以在以后的比赛中这个球队至少要胜3场17. 〔1〕设y a x n k =-+()2, 由题意得：y a x =-+().2352将B 〔0,1.5〕代入得a =-12∴抛物线的解析式为y x =--+122722() 或y x x =-++122322 〔2〕∠AOX ＝27°,设坡面所在直线上一点坐标为〔x,y 〕那么tan tan 2727°，°==y xy x 即坡面OA 所在直线方程为y x =12〔3〕由y x y x x ==-++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12122322 解得x y ==⎧⎨⎩3819..,∴OA =+381922..≈4.2米 答：略.18. 解：〔1〕∵四边形ABCD 是梯形,∴AD ∥BC,∴△AMD ∽△CMB∴S S AD BC AMDCMB △△==()214∵种植△AMD 地带花费160元,∴1608202=()m ∴S cm CMB △=802, △BMC 地带的花费为80×8＝640〔元〕 〔2〕解设△AMD,△BMC 的高分别为h 1,h 2,梯形ABCD 的高为h, ∵S h AMD △==1210201,∴h 14=， 又h h h 122128==，∴ ∴S AD BC h ABCD 梯形××=+==12123012180() ∴S S AMB DMC △△°－+=-=180208080 ∴160＋640＋80×12＝1760〔元〕 160＋640＋80×10＝1600〔元〕∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金.19. 解：〔1〕y x 甲×=+1580%900. =+≥12900500.()x x 且为自然数y x 乙×=+1590060%. =+15540.x〔2〕由〔1〕得：y y x 甲乙-=-36003. 当360030-=.x即x =1200时,费用相同当x >1200时,甲廉价,当x <1200时,乙廉价. 那么当x =2000时,应选甲要：1220009003300.×+=〔元〕。
中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________专题02三角形之直角、等腰问题 题型训练训练题01【2023·内蒙古·中考真题】如图，在Rt ABC △中90,3,1ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒，得到AB C ''△．连接BB '，交AC 于点D ，则AD DC 的值为 ．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）训练题03【2023·广东·中考真题】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂10m AC BC ==，两臂夹角100ACB ∠=︒时，求A ，B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ，参考数据sin500.766︒≈ cos500.643︒≈ tan50 1.192︒≈)训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒，尚美楼顶部F 的俯角为30︒，已知博雅楼高度CE 为15米，则尚美楼高度DF 为 米．（结果保留根号）训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】如图1，嘉淇在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M ．(1)在图1中，过点A 画出水平线，并标记观测M 的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53︒，求α的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B 处观测M 的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D 处，此时观测点M 的仰角为45︒，求树MN 的高度．（注：3tan 374︒≈ 3sin 375︒≈ 4cos375≈︒） 训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】如图 在等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥于点G 点M N 分别是DE DG 上的动点 且DN EM = 则FM FN +的最小值为 ．训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】如图 直线y ＝x ﹣3分别交x 轴 y 轴于B A 两点 点C （0 1）在y 轴上 点P 在x 轴上运动 则2PC ＋PB 的最小值为 ．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】如图 腰长为22+2的等腰ABC 中 顶角∠A ＝45° D 为腰AB 上的一个动点将ACD 沿CD 折叠 点A 落在点E 处 当CE 与ABC 的某一条腰垂直时 BD 的长为 ．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】如图 ABC 和AGF 是等腰直角三角形 90BAC G ∠=∠=︒ AGF 的边AF AG 交边BC 于点D E ．若4=AD 3AE = 则BEDC 的值是 ．训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】如图在直角△BAD中延长斜边BD到点C 使得BD=2DC 连接AC 如果则的值是（）A．B．C．D．答案&解析5 tanB3=tan CAD∠3 3351315训练题01【2023·内蒙古·中考真题】【答案】5【简证】因为tan 311tan 4522ABC CD ABD α∠=⎧⇒=⇒=⎨∠=︒⎩ 故5AD DC =【常规法】解：过点D 作DF AB ⊥于点F∵90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC =∴223110AB =+=∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△∴==10AB AB ' 90BAB '∠=︒∴ABB '是等腰直角三角形∴45ABB '∠=︒又∵DF AB ⊥∴45FDB ∠=︒∴DFB △是等腰直角三角形∴DF BF =∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ∵ 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠∴AFDACB ∴DF AF BC AC= 即3AF DF = 又∵=10AF DF -45°α∴10=4 DF∴105=10=42AD⨯51=3=22CD-∴52==512ADCD故答案为：5．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】【答案】大楼的高度BC 为303m ．【分析】如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥ 则四边形CQHB 是矩形 可得QH BC = BH CQ = 求解3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= 可得704030CQ BH ==-= tan 30103PQ CQ =︒= 可得403103303BC QH ==-=．【详解】解：如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥则四边形CQHB 是矩形 ∴QH BC = BH CQ =由题意可得：80AP = 60PAH ∠=︒ 30PCQ ∠=︒ 70AB = ∴3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= ∴704030CQ BH ==-= ∴tan 30103PQ CQ =︒=∴403103303BC QH ==-= ∴大楼的高度BC 为303m ．训练题03【2023·广东·中考真题】【答案】15.3m【分析】连接AB 作作CD AB ⊥于D 由等腰三角形“三线合一”性质可知2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中利用sin AD ACD AC∠=求出AD 继而求出AB 即可．【详解】解：连接AB 作CD AB ⊥于D∵AC BC = CD AB ⊥∴CD 是边AB 边上的中线 也是ACB ∠的角平分线∴2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中 10m AC = 50ACD ∠=︒ sin AD ACD AC ∠= ∴sin 5010AD ︒= ∴10sin50100.7667.66AD =︒≈⨯=∴()227.6615.3215.3m AB AD =≈⨯=≈答：A B 两点间的距离为15.3m ．训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】【答案】3053-/5330-+【分析】过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N 首先证明出四边形ECAM 是矩形 得到15AM CE == 然后根据等腰直角三角形的性质得到15AC EM BM === 进而得到15==AD AC 然后利用30︒角直角三角形的性质和勾股定理求出53BN = 即可求解．【详解】如图所示 过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N由题意可得 四边形ECAM 是矩形 ∴15AM CE == ∵30AB = ∴15BM AB AM =-= ∵博雅楼顶部E 的俯角为45︒ ∴45EBM ∠=︒ ∴45BEM ∠=︒ ∴15AC EM BM ===∵点A 是CD 的中点 ∴15==AD AC 由题意可得四边形AMFN 是矩形 ∴15NF AD == ∵尚美楼顶部F 的俯角为30︒ ∴60NBF ∠=︒ ∴30BFN ∠=︒ ∴2BF BN =∴在Rt BNF △中 222BNNF BF += ∴()222152BN BN +=∴解得53BN =∴3053FD AN AB BN ==-=-．故答案为：3053-．训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】【答案】(1)37︒(2)树MN 的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2) 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；905337α=︒-︒=︒；（2）如图 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米． 在Rt APM △中 4( 1.5)tan 373MP AP x ==-︒（米） 在Rt MCP 中 1.5CP MP x ==-（米） 4( 1.5)( 1.5) 1.253AC AP CP x x ∴=-=---=（米） 解得 5.25x =． 答：树MN 的高度为5.25米．训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】【答案】23【分析】过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 证得AEM FDN ≅ 利用全等三角形的性质证得FN AM = 求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长 在Rt AEF 中利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 如图所示∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF ==∴45DEF ∠=︒ 222222EF =+=∴9045AEM DEF ∠=︒-∠=︒∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥∴45FDN ∠=︒∴FDN AEM ∠=∠在AEM △和FDN 中AE DF AEM FDN EM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEM FDN≅()SAS ∴FN AM =∴求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长∴在Rt AEF 中()222222223AF AE EF =+=+=的最小值为23即FM FN故答案为：23训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】【答案】4【分析】过P作PD⊥AB于D依据△AOB是等腰直角三角形可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD进而得到△BDP是等腰直角三角形故PD22=PB当C P D在同一直线上时CD⊥AB PC+PD的最小值等于垂线段CD的长求得CD的长即可得出结论．【详解】如图所示过P作PD⊥AB于D∵直线y＝x﹣3分别交x轴y轴于B A两点令x＝0 则y＝﹣3；令y＝0 则x＝3∴A（0 ﹣3）B（3 0）∴AO＝BO＝3又∵∠AOB＝90°∴△AOB是等腰直角三角形∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD∴△BDP是等腰直角三角形∴PD22=PB∴2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD）当C P D在同一直线上即CD⊥AB时PC+PD的值最小最小值等于垂线段CD 的长此时△ACD是等腰直角三角形又∵点C（0 1）在y轴上∴AC＝1+3＝4∴CD22=AC＝22即PC+PD的最小值为22∴2PC+PB的最小值为222⨯=4 故答案为：4．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】【答案】2或22【分析】分两种情况：当CE ⊥AB 时 设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45° 由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5° 证明△BCM ≌△DCM 得到BM ＝DM 证明△MDE 是等腰直角三角形 即可得解；当CE ⊥AC 时 根据折叠的性质 等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE ⊥AB 时 如图设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45°由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°∵等腰△ABC 中 顶角∠A ＝45°∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°∴∠BCM ＝22.5°∴∠BCM ＝∠DCM在△BCM 和△DCM 中90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCM ≌△DCM （ASA ）∴BM ＝DM由折叠得：∠E ＝∠A ＝45° AD ＝DE∴△MDE 是等腰直角三角形∴DM ＝EM设DM ＝x 则BM ＝x DE 2=x∴AD 2=x ．∵AB＝22+2∴2x2x＝22+2 解得：x2=∴BD＝2x＝22；当CE⊥AC时如图∴∠ACE＝90°由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°∵等腰△ABC中顶角∠A＝45°∴∠E＝∠A＝45°AD＝DE∴∠ADC＝∠EDC＝90°即点D E都在直线AB上且△ADC△DEC△ACE都是等腰直角三角形∵AB＝AC＝＝22+2∴AD22=AC＝22BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（22）2=综上BD的长为2或22．故答案为：2或22．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】【答案】916【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明AED BEA ∽ 可得34BE AE AB AD ==,设3BE x = 则4AB x AC ==,再证明ADE CDA △∽△ 可得34AC AE CD AD == 可得163CD x = 从而可得结论． 【详解】解：∵ABC 和AGF 是等腰直角三角形 ∴45,B F FAG AB AC ∠=∠=∠=︒=∵AEB AED ∠=∠∴AED BEA ∽∴AD AE DE AB BE AE ==,而4=AD 3AE = ∴34BE AE AB AD == 设3BE x = 则4AB x AC ==同理可得：ADE CDA △∽△∴AD AE DE CD AC AD == ∴34AC AE CD AD == ∴BE AC AB CD = ∴344x x x CD =,即163CD x = ∴3916163BE x CD x ==.训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】【答案】D【详解】解：如图 延长AD 过点C 作CE ⊥AD 垂足为E∵ 即∴设AD ＝5x 则AB ＝3x∵∠CDE ＝∠BDA ∠CED ＝∠BAD∴△CDE ∽△BDA∴∴CE ＝ DE ＝∴AE ＝ ∴tan ∠CAD ＝．5tanB 3=53AD AB =12CE DE CD AB AD BD ===32x 52x 152x 15CE AE =。
浙教版初中数学初三中考冲刺：几何综合问题--知识讲解(提高)
中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．（2016•太原校级自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【思路点拨】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．【答案与解析】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE ，CF=DE ，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF ⊥DE ，∵GE ⊥DE ，∴EG ∥CF ，∵EG=DE ，CF=DE ，∴EG=CF ，∴四边形EGFC 是平行四边形．∴GF=EC ，∴GF=EC ，GF ∥EC ．（3）结论仍然成立．理由：如图3中，设DE 与FC 的延长线交于点M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠ABC=∠DCE=90°，∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF 和△DCE 中，，∴△CBF ≌△DCE ，∴∠BCF=∠CDE ，CF=DE∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF ⊥DE ，∵GE ⊥DE ，∴EG ∥CF ，∵EG=DE ，CF=DE ，∴EG=CF ，∴四边形EGFC 是平行四边形．∴GF=EC ，∴GF=EC ，GF ∥EC ．【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样，属于中考常考题型．举一反三：【变式】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合）， 在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+．（1）求证：ADE ∆∽BEC ∆；（2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．【答案】（1）证明：∵EC DE ⊥，∴︒=∠90DEC ．∴︒=∠+∠90BEC AED ． 又∵︒=∠=∠90B A ，∴︒=∠+∠90EDA AED ．∴EDA BEC ∠=∠．∴ADE ∆∽BEC ∆．（2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ，∵E 是AB 的中点，容易证明)(21BC AD EF +=． 在DEC Rt ∆中，∵ CF DF =，∴ CD EF 21=． ∴ )(21BC AD +CD 21=． ∴ CD BC AD =+．（3）解：AED ∆的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=．设x AD =，则x a DE -=．∵ ︒=∠90A ，∴ 222AD AE DE +=．即22222x m x ax a +=+-． ∴ am a x 222-=． 由（1）知ADE ∆∽BEC ∆，∴ 的周长的周长BEC ∆∆ADE BE AD =m a a m a --=222am a 2+=． ∴ BEC ∆的周长⋅+=ma a 2ADE ∆的周长a 2=． ∴ BEC ∆的周长与m 值无关．2．在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下： AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ= ，∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ，24x CP x ∴=+． 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．（2015•河南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 坐在点B ′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB ′，交CD 于点M ． ①CF 的长为 ；②判断AM 与FM 的数量关系，并证明你的结论．（2）当点B ′恰好落在对角线AC 上时，如图2，此时CF 的长为 ，= ．拓展运用：（3）当=2时，求sin ∠DAB ′的值．【思路点拨】（1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC 的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．【答案与解析】解：（1）①当=1时，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴==1，∴FC=AB=6，②AM=FM，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴∠BAF=∠AFC，∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，∴∠BAF=∠MAF，∴∠MAF=∠AFC，∴AM=FM；（2）如图2，∵当点B′恰好落在对角线AC上时，∴∠1=∠2，∵AB∥FC，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AC=FC，∵AB=BC=6，∴AC=FC=6，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴===，（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴==2，∵AB=6，∴CF=3，∴DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，∴AM=FM=9﹣DM，在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′2=（9﹣DM）2﹣62，解得：DM=，则MA=，∴sin∠DAB′==，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，∴NA=NE=12﹣B ′N ，在Rt △AB ′N 中，由勾股定理得：B ′N 2=（12﹣B ′N ）2﹣62，解得：B ′N=， AN=，∴sin ∠DAB ′==．故答案为：6；6，． 【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，， 求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x 取对称轴的值时y 有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠∵M 是AD 中点∴AM MD =∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠∴AMB DMC △≌△∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠ ∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠ ∴BMP QPC =∠∠∴BMP CQP △∽△ ∴PC CQ BM BP= ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ∴444x y x -=- ∴2144y x x =-+（3）解：PQC △为直角三角形， ∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC ==∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠∴PQC △为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【：几何综合问题 例3】【变式】已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是MN 上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值.【答案】（1）是．证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，5．在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S11P FC=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线1FG与直线CD的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段1EC EP 、分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段1EF EG 、，∴111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，．∵1190G EF PEF ∠=-∠°，1190PEC PEF ∠=-∠°， ∴11G EF PEC ∠=∠． ∴11G EF PEC △≌△． ∴11G FE PCE ∠=∠． ∵EC CD ⊥，∴190PCE ∠=°， ∴190G FE ∠=°．∴90EFH ∠=°．∴90FHC ∠=°．∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠． ∵461tan 3AD AE B ===，，， ∴45tan tan 3DE EBC B =∠==，． 可得4CE =．由（1）可得四边形EFCH 为正方形．∴4CH CE ==． FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△． ∴212(4)2y x x x =->． ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C H 、两点重合）时，∵1114FG CP x PH x ===-，， ∴11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△． ∴212(04)2y x x x =-+<<． ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG △不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2y x x x =->或212(04)2y x x x =-+<<． 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 举一反三： 【变式】已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【答案】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，∴∠EPA=∠FPB，由角平分线的性质，得PE=PF，∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题一、单选题1．在平面直角坐标系中，已知点M ，N 的坐标分别为，若抛物线(−1，3)，(3，3)与线段MN 只有一个公共点，则的取值范围是（ ）y =x 2−2mx +m 2−m +2m A ．或B ．或−1⩽m <07−17<m⩽7+17−1⩽m <0m >7−17C ．或D ．m <07−172<m⩽7+172−1⩽m⩽7+1722．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB=2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD=x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P 从点A 出发，以 cm/s 的速度沿AB 方向运2动到点B ．动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线AC CB 方向运动到点B ．设△APQ 的→面积为y （cm 2）.运动时间为x （s ），则下列图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）A．B．C．D．4．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y=的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）14(x−4)2A．5B．C．4D．17﹣4π2255．已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）A．B．C．D．4522521692096．如图，抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A，B顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D’，点A对应点C，连接DD’，CD’，DC，当△CDD’是直角三角形时，a的值为（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 12321332133312337．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是()A ．AE=6cmB ．sin∠EBC =45C ．当0＜t≤10时，D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形y =25t 28．如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）A ． cm 2B ． cm 2C ． cm 2D ． cm 2332392327239．如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿Rt △ABC ，∠ABC =90∘A(3，4)△ABC x 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 △A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3… 三顶点的抛物线解析式为（ ）△A 14B 14C 14A ．B ．y =−35(x−51)(x−55)y =−512(x−51)(x−55)C ．D ．y =−35(x−55)(x−60)y =−512(x−55)(x−60)10．用一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y ＝－x 2＋50x B ．y ＝x 2－50x C ．y ＝－x 2＋25xD ．y ＝－2x 2＋2511．如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH.设A 、E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知一个直角三角形的两边长分别为a 和5，第三边长是抛物线y=x²-10x+21与x 轴交点间的距离，则a 的值为( )4141A．3B．C．3或D．不能确定二、填空题ABCD BC=8,AB=6E CD C,D CE13．如图，矩形中，，点为边上一动点（不与重合）、以CEFG CE:CG=3:4BF,ОOE OE为边向外作矩形，且，连接点是线段BF的中点.连接，则的最小值为 .A(3,3)B(0,2)A y=x2+bx−9AB14．如图，已知点，点，点在二次函数的图象上，作射线AB A45°C C，再将射线绕点按逆时针方向旋转，交二次函数图象于点，则点的坐标为 15．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．16．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.17．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积24m 10m 为 .m 218．在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为60°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，在抛物线y=x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 三、综合题19．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长方形空地上修建一个长方形花圃.已知AB=20m ，BC=30m ，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 米，花圃的面x 积为 （ ）.S m 2（1）求 关于 的函数关系式；S x （2）如果通道所占面积是184 ，求出此时通道的宽 的值；m 2x （3）已知某园林公司修建通道每平方米的造价为40元，花圃每平方米的造价是60元，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过花圃宽的 ，则通道宽为13多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y= （x ＞0，m ＞1）图象上一点，m 3−m 2x 点A 的横坐标为m ，点B （0，﹣m ）是y 轴负半轴上的一点，连接AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使得AD=AC ，过点A 作AE 平行于x 轴，过点D 作y 轴平行线交AE 于点E ．（1）当m=3时，求点A 的坐标；（2）DE= ，设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式和自变量的取值范围；（3）连接BD ，过点A 作BD 的平行线，与（2）中的函数图象交于点F ，当m 为何值时，以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？21．如图，矩形ABCD 的四个顶点在正△EFG 的边上，已知正△EFG 的边长为2，记矩形ABCD 的面积为S ，边长AB 为x 。
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几何应用型问题一、选择题1. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点之间的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15 m，OB＝10 m，则点A，B间的距离不可能是( )A. 5 mB. 10 mC. 15 mD. 20 m,(第1题)) ,(第2题))2. 如图，在体育课上，小丽的铅球成绩为6.4 m，她投出的铅球落在( )A. 区域①B. 区域②C. 区域③D. 区域④3. (2015·四川绵阳)如图，要在宽为22 m的九州大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直．当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为( )A. ()113－22m11－22m B. ()C. ()113－4m11－23m D. (),(第3题)) ,(第4题))4. (2015·浙江宁波)如图，小明家的住房平面图呈矩形，被分割成3个正方形和2个矩形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图矩形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题5. 如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的某运动员把球从点N击到了对方区域内的点B 处(路线近似看作一条线段)．已知网高OA＝1.52 m，OB＝4 m，OM＝5 m，则该运动员起跳后的击球点N离地面的距离MN＝________m.,(第5题)) ,(第6题))6. 如图，在长为14 m，宽为10 m的矩形展厅内，要划出三个形状、大小完全一样的小矩形摆放水仙花，则每个小矩形的周长为________m.7. 如图，有一张直径是2m的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：(1)AB的长为________m.(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________m.,(第7题)) ,(第8题))8. 陈老师要为他家的矩形餐厅(如图)选择一张餐桌，并且想按如下要求摆放：餐桌一侧靠墙，靠墙对面的桌边留出宽度不小于80 cm的通道，另两边各留出宽度不小于60 cm的通道．那么在下面四张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌是________(填序号)．9. (2015·浙江绍兴)实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在容器的5 cm高度处连通(即管子底离容器底5 cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1 cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1 min，乙的水位上升56cm，则开始注入________min的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.,(第9题)) ,(第10题))10. 一走廊拐角的横截面如图所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m ，EF ︵所在圆的圆心为O ，半径为1 m ，且∠EOF ＝90°，DE ，FG 分别与⊙O 相切于E ，F两点．若水平放置的木棒MN 的两个端点M ，N 分别在AB 和BC 上，且MN 与⊙O 相切于点P ，P 是EF ︵的中点，则木棒MN 的长度为________m.三、解答题11. (2015·河南)如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6 m 到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°.若坡角∠FAE ＝30°，求大树的高度(结果精确到1 m ，参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)．(第11题)12. 一个透明的敞口正方体容器ABCD －A ′B ′C ′D ′里装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE ＝α，如图①所示)．探究：如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB ′ 交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．解决问题：(第12题)(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm.(2)求液体的体积(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB )．(3)求α的度数⎝⎛⎭⎪⎫注：sin 49°＝cos 41°≈34，tan 37°≈34.拓展：在图①的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图③和图④是其正面示意图．若液面与棱C ′C 或CB 相交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y ，分别就图③和图④求y 关于x 的函数表达式，并写出相应的α的取值范围．(第12题)延伸：在图④的基础上，于容器底部正中间位置嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图⑤，隔板高NM ＝1 dm ，BM ＝CM ，NM ⊥BC .继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm 3.参考答案 1．A 2．D 3．D[延长OD ，BC 相交于点P ．∵AB ＝22 m ，∴OB ＝11 m ．∵∠ODC ＝90°，∠BCD ＝120°，∠B ＝90°，∴∠BOD ＝60°．∴∠P ＝30°．在Rt △OBP 中，∵∠P ＝30°，OB ＝11 m ，∴BP ＝OB tan P ＝11tan 30°＝113(m)．在Rt △CDP 中，∵∠P ＝30°，CD ＝2 m ，∴CP ＝CD sin P ＝2sin 30°＝4(m)．∴BC ＝BP －CP ＝(113－4)m ．] 4．A[设原住房平面图矩形的周长为2l ，①的长和宽分别为a ，b ，②③的边长分别为c ，d ．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ＋d ，①c ＝b ＋d ，②a ＋b ＋2c ＝l ，③①－②，得a －c ＝c －b ，∴a ＋b＝2c ．将a ＋b ＝2c 代入③，得4c ＝l ，∴2c ＝12l (定值)．将2c ＝12l 代入a ＋b ＝2c ，得a ＋b ＝12l ，∴2(a ＋b )＝l (定值)．而由已列方程组得不到d ，∴分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②．]5．3．42 6．16 7．(1)1 (2)148．①②③④[①80＋60×2＝200<230，80＋80＝160<180，∴符合；②64＋60×2＝184<230，100＋80＝180，∴符合；③45×2＋60×2＝210<230，45×2＋80＝170<180，∴符合；④餐桌长为60＋2×30＝120，120＋80＝200<230，60＋60×2＝180，∴符合．∴①②③④四种规格的餐桌都符合要求．] 9．35或3320或17140[由甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，得底面面积之比为1∶4∶1．∵注水1 min ，乙的水位上升56cm ．∴注水1 min ，丙的水位上升103cm ．设开始注入t (min)的水量后，甲与乙的水位高度之差是0．5 c m ，甲与乙的水位高度之差是0．5 cm 有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，有1－56t ＝0．5，解得t ＝35min ；②当甲的水位低于乙的水位，甲的水位不变时，有56t －1＝0．5，解得t ＝95．∵103×95＝6＞5，∴此时丙容器已向乙容器溢水．∵5÷103＝32(min)，56×32＝54(cm)，即经过32min ，丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升54 cm ，∴54＋2×56⎝ ⎛⎭⎪⎫t －32－1＝0．5，解得t ＝3320；③当甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，∵乙的水位到达管子底部的时间为32＋⎝⎛⎭⎪⎫5－54÷56÷2＝154(min)，∴5－1－2×103⎝ ⎛⎭⎪⎫t －154＝0．5，解得t ＝17140．综上所述，开始注入35，3320，17140min 的水量后，甲与乙的水位高度之差是0．5 cm ．] 10．42－2[连结OB ，延长OF 交BC 于点H ，延长OE 交AB 于点K ．∵DE ，FG 分别与⊙O 相切于E ，F 两点，∴OE ⊥ED ，OF ⊥FG ．∵AB ∥DE ，BC ∥FG ，∴OK ⊥AB ，OH ⊥BC ．又∵∠EOF ＝90°，∴四边形BKOH 是矩形，∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m ，⊙O 的半径为1 m ，∴OK ＝OH ＝2，∴矩形BKOH 是正方形，∴∠OBK ＝∠OBH ＝45°．∵P 是EF ︵的中点，∴OB 经过点P ．∵正方形BKOH 的边长为2，∴OB ＝22．∵OP ＝1，∴BP ＝22－1．∵P 是MN 与⊙O 的切点，∴OB ⊥MN ．易证△BPM ≌△BPN (ASA )，∴MP ＝NP ．∴MN ＝2BP ．∵BP ＝22－1，∴MN ＝2×(22－1)＝(42－2)m ．] 11．过点D 作DG ⊥BC 于点G ，DH ⊥CE 于点H ，则四边形DHCG 为矩形，故DG ＝CH ，CG ＝DH ．在Rt △AHD 中，∵∠DAH ＝30°，AD ＝6 m ，∴DH ＝3 m ，AH ＝33≈5．19(m)．∴CG ＝3 m ．设BC ＝x (m)，则BG ＝(x －3)m ．在Rt △ABC 中，∵BC ＝x (m)，∠BAC ＝48°，∴AC ＝x ta n48°≈x 1.11≈0．90x (m)．在Rt △BDG 中，∵BG ＝(x －3)m ，∠BDG ＝30°，∴DG ＝3(x －3)≈(1．73x －5．19)m ．∴1．73x －5．19＝0．90x ＋5．19，解得x ≈13，即大树的高度约为13 m ． 12．探究：(1)CQ ∥BE 3 (2)易知BC ＝4 dm ，BQ ＝3 dm ，AB ＝4 dm ，∴V 液＝12S △BCQ ·AB ＝12×4×3×4＝24(dm 3)． (3)在Rt △BC Q 中，tan ∠BCQ ＝BQ BC ＝34，∴α＝∠BCQ ≈37°． 拓展：当容器逆时针旋转时，0°≤α≤37°．∵液体体积不变，∴12(x ＋y )×4×4＝24，∴y ＝－x ＋3．当容器顺时针旋转时，同理可得12(4－x )y ·4＝24，∴y ＝124－x．当液面恰好到达容器口沿，即点Q 与点B ′重合时，如解图①．由BB ′＝4，且12PB ·BB ′·4＝24，得PB ＝3．∴tan ∠PB ′B ＝34，∴∠PB ′B ≈37°，∴α＝∠B ′PB ＝53°．此时37°≤α≤53°．(第12题解)延伸：当α＝60°时，如解图②所示，设FN ∥EB ，GB ′∥EB ，过点G 作GH ⊥BB ′于点H ．在Rt △B ′GH 中，GH ＝MB ＝2，∠GB ′B ＝30°，∴HB ′＝23，∴MG ＝BH ＝4－23<1＝MN ，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt △FMN 和直角梯形MBB ′G 为底面的直棱柱．∵S △FMN ＋S 梯形MBB ′G ＝12×1×33＋12×(4－23＋4)×2＝8－1136，∴V 溢出＝24－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1136＝223 3－8≈4．7(dm 3)>4 dm 3，∴溢出的液体能达到4 dm 3．。