2013年中考数学专题三 数形结合思想复习题及答案
2013年中考复习分层训练 专题：数形结合思想(含答案)
专题 数形结合思想1．(2012年四川自贡)伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速沿原路返回学校．在这一情景中，速度v 和时间t 的函数图象(不考虑图象端点情况)大致是( )A B C D2．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在( )A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东边－60米3．已知实数a ，b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么( )A ．ab <bB ．ab >bC ．a ＋b >0D ．a －b >04．已知函数y ＝x 和y ＝x ＋2的图象如图Z3－3，则不等式x ＋2>x 的解集为( )A ．－2≤x <2B ．－2≤x ≤2C ．x <2D ．x >2图Z3－3 图Z3－4 图Z3－55．如图Z3－4，直线l 1∥l 2，⊙O 与直线l 1和直线l 2分别相切于点A 和点B .点M 和点N 分别是直线l 1和直线l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误的是( )A ．MN ＝4 33B ．若MN 与⊙O 相切，则AM ＝32C ．若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切D ．直线l 1和直线l 2的距离为26．如图Z3－5，已知四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且点D的坐标为(2,0)，点P是OB上的一个动点，则PD＋PA的最小值是()A．210 B.10C．4 D．67．(2012年天津)某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360 km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图Z3－6，则下列结论正确的是()A．汽车在高速公路上的行驶速度为100 km/h；B．乡村公路总长为90 kmC．汽车在乡村公路上的行驶速度为60 km/h D．该记者在出发后4.5 h到达采访地图Z3－6 图Z3－78．(2012年山东日照)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图Z3－7，给出下列结论：①b2－4ac＞0；②2a＋b＜0；③4a－2b＋c＝0；④a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．①④9．(2010年广东茂名)张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y(单位：升)与行驶时间t(单位：时)之间的关系如图Z3－8.请根据图象回答下列问题：(1)汽车行驶________小时后加油，中途加油________升；(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；(3)已知加油前、后汽车都以70千米/时的速度匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由？图Z3－810．(2011年湖南邵阳)如图Z3－9，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫－94，0，点C (0,3)，点B 是x 轴上的一点(位于点A 右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C .(1)求∠ACB 的度数；(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点，求抛物线的解析式；(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图Z3－911．(2012年四川宜宾)如图Z3－10，抛物线y ＝x 2－2x ＋c 的顶点A 在直线l ∶y ＝x －5上．(1)求抛物线顶点A 的坐标；(2)设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，D (点C 在点D 的左侧)，试判断△ABD 的形状；(3)在直线l 上是否存在一点P ，使以点P ，A ，B ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图Z3－10参考答案1．A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C8．D9．解：(1)3 31(2)设y 与t 的函数关系式是y ＝kt ＋b (k ≠0)，根据题意，得⎩⎨⎧ 50＝b ，14＝3k ＋b ，解得k ＝－12，b ＝50.因此，加油前油箱剩余油量y 与行驶时间t 的函数关系式是y ＝－12t ＋50.(3)由图可知：汽车每小时用油(50－14)÷3＝12(升)，所以汽车要准备油(210÷70)×12＝36(升)． 因为45升>36升，所以油箱中的油够用．10．解：(1)如图D60，∠ACB ＝90°.(2)∵△AOC ∽△COB ，图D60∴AO CO ＝CO OB. 又∵A ⎝⎛⎭⎫－94，0，C (0,3)，∴ AO ＝94，OC ＝3. ∴解得OB ＝4.∴B (4,0)．把 A ，B 两点坐标代入解得：y ＝－13x 2＋712x ＋3. (3)存在．直线BC 的方程为3x ＋4y ＝12，设点D (x ，y )．①若BD ＝OD ，则点D 在OB 的中垂线上，点D 的横坐标为2，纵坐标为32，即点D 1(2，32)为所求．②若OB ＝BD ＝4，则y CO ＝BD BC ，x BO ＝CD BC ，得y ＝125，x ＝45，点D 2(45，125)为所求． 11．解：(1)∵顶点A 的横坐标为x ＝－－22＝1，且顶点A 在y ＝x －5上， ∴当x ＝1时，y ＝1－5＝－4.∴A (1，－4)．(2)△ABD 是直角三角形．将A (1，－4)代入y ＝x 2－2x ＋c ，可得1－2＋c ＝－4，∴c ＝－3.∴y ＝x 2－2x －3.∴B (0，－3)．当y ＝0时，x 2－2x －3＝0，x 1＝－1，x 2＝3，∴C (－1,0)，D (3,0)．∵BD 2＝OB 2＋OD 2＝18，AB 2＝(4－3)2＋12＝2，AD 2＝(3－1)2＋42＝20，∴BD 2＋AB 2＝AD 2.∴∠ABD ＝90°，即△ABD 是直角三角形．(3)存在．由题意知：直线y ＝x －5交y 轴于点E (0，－5)，交x 轴于点F (5,0)．∴OE ＝OF ＝5.又∵OB ＝OD ＝3，∴△OEF 与△OBD 都是等腰直角三角形．∴BD ∥l ，即PA ∥BD .则构成平行四边形只能是PADB 或PABD ，如图D61，图D61过点P 作y 轴的垂线，过点A 作x 轴的垂线交过P 且平行于x 轴的直线于点G .设P (x 1，x 1－5)，则G (1，x 1－5)．则PG ＝||1－x 1，AG ＝||5－x 1－4＝||1－x 1.PA ＝BD ＝3 2，由勾股定理，得：(1－x 1)2＋(1－x 1)2＝18，x21－2x1－8＝0，x1＝－2或4.∴P(－2，－7)或P(4，－1)．存在点P(－2，－7)或P(4，－1)使以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形．。
中考数学专题复习之数形结合思想 练习题及答案
数形结合思想1．已知直线y 1＝2x －1和y 2＝－x －1的图象如图X5－1所示，根据图象填空． (1)当x ______时，y 1＞y 2；当x ______时，y 1＝y 2；当x ______时，y 1＜y 2；(2)方程组的解集是____________．图X5－1图X5－22．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2,4)，B (8,2)(如图X5－2所示)，则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是____________． 3．(2012年四川内江)如图X5－3，正三角形ABC 的边长为3 cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设运动时间为x (单位：秒)，y ＝PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为( )ABCD图X5－3图X5－421,1y x y x =-⎧⎨=--⎩4．(2011年四川泸州)如图X5－4，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是______．5．(2012年广东湛江)某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示，从2009年开始，该市荔枝种植面积y(单位：万亩)随着时间x(单位：年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图X5－5.(1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)；(2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？图X5－56．某公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是推销费，图X5－6表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求y1与y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？图X5－67．(2011年山东菏泽)如图X5－7，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于C 点，且A (－1,0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M (m,0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．图X5－78．(2012年广东节选)如图X5－8，抛物线y ＝12x 2－32x －9与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于点C ，连接BC ，AC .(1)求AB 和OC 的长；(2)点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动(点E 与点A ，B 不重合)，过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D .设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．图X5－89．(2012年山东临沂)如图X5－9，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．(1)求点B 的坐标；(2)求经过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P ，O ，B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．图X5－910．(2012年广东广州模拟)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图X5－10放置，点A，C的坐标分别为(0,3)，(－1,0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．图X5－10数形结合思想1．(1)x ＞0 x ＝0 x ＜0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－12．x 1＜－2或x ＞8 3.C 4.105．解：(1)设函数的解析式为y ＝kx ＋b ，由图形可知，其经过点(2 009,24)和(2 011,26)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 2 009k ＋b ＝24，2 011k ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1 985. ∴y 与x 之间的关系式为y ＝x －1 985.(2)令x ＝2 012，得y ＝2 012－1 985＝27(万亩)． ∴该市2012年荔技种植面积为27万亩． 6．解：(1)y 1＝20x ，y 2＝10x ＋300.(2)y 1是不推销产品时，没有推销费，且每推销10件产品得推销费200元，y 2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y 1的付费方案；否则，选择y 2的付费方案．7．解：(1)把点A (－1,0)的坐标代入抛物线的解析式 y ＝12x 2＋bx －2，整理后，解得b ＝－32. 所以抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2.顶点D ⎝⎛⎭⎫32，－258. (2)∵AB ＝5，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形．(3)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0,2)，OC ′＝2.连接C ′D 交x 轴于点M .根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时，MC ＋MD 的值最小．设抛物线的对称轴交x 轴于点E . 显然有△C ′OM ∽△DEM . ∴OM EM ＝OC ′ED .∴m 32－m ＝2258.∴m ＝2441. 8．解：(1)在y ＝12x 2－32x －9中，令x ＝0，得y ＝－9，∴C (0，－9)．令y ＝0，即12x 2－32x －9＝0，解得x 1＝－3，x 2＝6，∴A (－3,0)，B (6,0)． ∴AB ＝9，OC ＝9.(2)∵ED ∥BC ，∴△AED ∽△ABC . ∴S △AED S △ABC＝⎝⎛⎭⎫AE AB 2，即s 12·9·9＝⎝⎛⎭⎫m 92. ∴s ＝12m 2(0＜m ＜9)．9．解：(1)如图D94，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，图D94∵OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 位置，∴∠BOC ＝60°，OB ＝4. ∴BC ＝4×sin60°＝2 3，OC ＝4×cos60°＝2. ∵点B 在第三象限，∴点B (－2，－2 3)．(2) 由函数图象，得抛物线通过(－2，－2 3)，(0,0)，(4,0)三点．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，由待定系数法，得⎩⎨⎧4a －2b ＝－2 3，16a ＋4b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－36，b ＝2 33.∴此抛物线的解析式为y ＝－36x 2＋2 33x . (3)存在．理由：如图D ，抛物线的对称轴是x ＝－b2a，解得x ＝2.设直线x ＝2与x 轴的交点为D ，设点P (2，y )．①若OP ＝OB ，则22＋|y |2＝42，解得y ＝±2 3. 即点P 坐标为(2,2 3)或(2，－2 3)．又点B (－2，－2 3)，∴当点P 为(2,2 3)时，点P ，O ，B 共线，不合题意，舍去．故点P 坐标为(2，－2 3)．②若BO ＝BP ，则42＋|y ＋2 3|2＝42，解得y ＝－2 3，点P 的坐标为(2，－2 3)． ③若PO ＝PB ，则22＋|y |2＝42＋|y ＋2 3|2，解得y ＝－2 3，点P 坐标为(2，－2 3)． 综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为(2，－2 3)．10．解：(1)∵▱A ′B ′OC ′由▱ABOC 旋转得到，且点A 的坐标为(0,3)，点A ′的坐标为(3,0)．∴抛物线过点C (－1,0)，A (0,3)，A ′(3,0)． 设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝0，c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵AB ∥CO ，∴∠OAB ＝∠AOC ＝90°. ∴OB ＝OA 2＋AB 2＝10.又∠OC ′D ＝∠OCA ＝∠B ，∠C ′OD ＝∠BOA ， ∴△C ′OD ∽△BOA 又OC ′＝OC ＝1. ∴△C ′OD 的周长△BOA 的周长＝OC ′OB ＝110.又△ABO 的周长为4＋10，∴△C ′OD 的周长为4＋1010＝1＋2105.(3)连接OM ，设点M 的坐标为(m ，n )， ∵点M 在抛物线上，∴n ＝－m 2＋2m ＋3. ∴S △AMA ′＝S △AMO ＋S △OMA ′－S △AOA ′＝12OA ·m ＋12OA ′·n －12OA ·OA ′ ＝32(m ＋n )－92＝32(m ＋n －3) ＝－32(m 2－3m )＝－32(m －32)2＋278.∵0<m <3，∴当m ＝32，n ＝154时，△AMA ′的面积有最大值．∴当点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，154时，△AMA ′的面积有最大值，且最大值为278.。
2013年中考数学真题试题(解析版)
2013年中考数学试题解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．=9 =﹣2（2．（3分）（2013•济南）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称3．（3分）（2013•济南）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物．28.34．（3分）（2013•济南）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）5．（3分）（2013•济南）图中三视图所对应的直观图是（）6．（3分）（2013•济南）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（），9．（3分）（2013•济南）一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过n次抛掷所出现的点数之和大于n=．10．（3分）（2013•济南）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）=，=×（OB×OA=，=11．（3分）（2013•济南）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）12．（3分）（2013•济南）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）（2013•济南）cos30°的值是．cos30°==．故答案为：14．（4分）（2013•济南）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因两点之间线段最短．15．（4分）（2013•济南）甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：经计算，=10，=10，试根据这组数据估计甲中水稻品种的产量比较稳定．=）﹣）的平均数为[﹣﹣16．（4分）（2013•济南）函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为﹣2 ．先根据反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式得到然后变形+得=xy=+==17．（4分）（2013•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F 分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．∴CE=CF=﹣a==2+=2+三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（6分）（2013•济南）先化简，再求值：÷，其中a=﹣1．﹣••﹣19．（8分）（2013•济南）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：4.7 2.1 3.1 2.35.2 2.8 7.3 4.3 4.86.74.55.16.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.53.5 3.5 3.64.9 3.7 3.85.6 5.5 5.96.25.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.26.4 3.54.5 4.5 4.65.4 5.66.6 5.8 4.5 6.27.5正正11192（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？1913220．（8分）（2013•济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．AD=121．（10分）（2013•济南）某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？y=y=（2≤x≤3）22．（10分）（2013•济南）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）表1和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值表2．列≤a23．（10分）（2013•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD 和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．∴BD=100BD=100=100米．24．（12分）（2013•济南）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．=3．=，，y=，t+1t+1+2 =PM•CM+PN•OM﹣（），﹣的最大值为。
2013年中考数学试题(含答案)
2014年中考数学试题一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分）1、2的值等于 （ ） A 、2 B 、-2 C 、2 D 、22、函数31+-=x y 中，自变量x 的取值围是 （ ）A 、1>xB 、1≥xC 、1≤xD 、1≠x3、方程0312=--xx 的解为 （ ） A 、2=x B 、2-=x C 、3=x D 、3-=x4、已知一组数据：15,13,15,16,17,16,14,15，则这组数据的极差与众数分别是 （ ） A 、4,15 B 、3,15 C 、4,16 D 、3,165、下列说法中正确的是 （ ） A 、两直线被第三条直线所截得的同位角相等 B 、两直线被第三条直线所截得的同旁角互补C 、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直D 、两平行线被第三条直线所截得的同旁角的平分线互相垂直20. 已知圆柱的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆柱的侧面积是 （ ）A 、30cm 2B 、30πcm 2C 、15cm 2D 、15πcm 27、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是 （ ） A 、35°B 、140°C 、70°D 、70°或140°8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，AD=1，BC=4，则△AOD 与△BOC 的面 积比等于 （ ） A 、21 B 、41C 、81D 、1611、如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在AB 上，且AE ：EB=1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ∶DQ 等于（ ） A 、3:4 B 、3：52 C 、13：62 D 、32：1310、已知点A （0，0），B （0，4），C （3，t +4），D （3，t ）. 记N （t ）为□ABCD 部（不含边界）整 点第7题图第8题图第9题图的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N （t ）所有可能的值为 （ ）A 、6，7B 、7，8C 、6，7，8D 、6，8，9二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11、分解因式：2x 2－4x =。
山东省济宁市2013年中考数学专项复习 专题三 双动点问题
专题三双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q 同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿B C运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；(2)写出图3中M，N两点的坐标；(3)分别写出点P在B A边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.2 以双动点为载体，探求结论开放性问题例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)求∠BAO的度数.(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.解(1)∠BAO=60°.(2)点P的运动速度为2个单位/秒.评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P 的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.3 以双动点为载体，探求存在性问题例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N 同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.评析本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示P M，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握.4 以双动点为载体，探求函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△A CD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S 1，AE、EB、BA围成的图形面积为S 2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题：(1)当0<X(2)①若y是S 1与S 2的和，求y与x之间的函数关系式；(图10为备用图)②求y的最大值.解(1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO⊥AC于O，则OB=89，因为AE=x，所以S 2=4x，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以S 1=x(16-2x)，当S 1=S 2时，4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以当x=6时，S 1=S 2.(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，所以S 1=(16-x)(2x-16)，所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，所以当x=13时，y的最大值为82.。
中考数学复习专题 数形结合思想(含答案)
数形结合思想一、选择题1、已知点M(1-a ，a+2)在第二象限，则a 的取值范围是（ ）（A ）a>－2 (B)－2<a<1 (C)a<－2 (D)a>1 2、在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）（A ）相应各组的频数 （B ）组数 （C ）相应各组的频率 （D ）组距 3、已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（ ）A ．x >0B ．x <0C ．-2<x <0D ．x <1 4、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ． 则OM 的长为（ ）A．3cmB ．5cmC ．2cmD ．3cm5、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为（ ） A ．600B ．1800C ．300D ．9006、若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的①、②、③、④对应顺序。
① 小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系)② 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系) ③ 运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)④ 小杨从A 到B 后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系) 正确的顺序是A ．③④②①B ．①②③④C ．②③①④D ．④①③②7、小圆圈是网络的结点，结点之间的边线表示它们之间的网线相联，边线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现在的结O 1-2点A向结点B传递信息，可以分开沿不同的路线同时传递，单位时间内传递的最大信息量为：A．19B．20C．24D．268、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是( )9、如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD面积为（）（A）98 （B）196 （C）280 (D) 28410、如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对二、填空题：1、把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA'是2、如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B的坐标为(4，2)，直线12y x b=+恰好将矩形OACB分成面积相等的两部分，则b= 。
2013中考数学真题及答案(word解析版)
2013年红河州哈尼族彝族自治州初中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项符合题目要求，每小题3分，满分24分） 1．12-的倒数是（A ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】A2．右图是某个几何体的三视图，该几何体是（B ） A ．正方体 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．球【答案】B3．下列运算正确的是（D ）A ．2a a a +=B ．632a a a ÷= C ．0( 3.14)0π-= D．=【答案】D4．不等式组3x x <⎧⎨⎩≥1的解集在数轴上表示为 （C ）【答案】CABCD主视图俯视图左视图5.B）A．3-B．3C．9-C．9【答案】B6．如图，AB∥CD，∠D =∠E =35°，则∠B的度数为（C）A．60°B．65°C．70°D．75°【答案】C7．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（-1，-2），则点P关于原点对称的点的坐标是（C）A．（-1，2）B．（1，-2）C．（1，2）D．（2，1）【答案】C8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分ABC∠，则下列结论错误的是（D）A．AD DC=B．AD DC= C．ADB ACB∠=∠D．DAB CBA∠=∠【答案】DABA CDE二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．红河州总人口位居全省16个地州市的第四位，约有450万人，把近似数4 500 000用科学记数法表示为 ． 【答案】64.510⨯10．分解因式：29ax a -= ． 【答案】()()33a x x +-11．某中学为了了解本校2 000名学生所需运动服尺码，在全校范围内随机抽取100名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是 ． 【答案】 100 12．在函数11y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 【答案】1x ≠13．已知扇形的半径是30cm ，圆心角是60，则该扇形的弧长为 cm （结果保留π）． 【答案】 10 π14．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第20个图形中有 个实心圆．【答案】 42三、解答题（本大题共9个小题，满分58分）……（1） （2） （3）BACD E15．解方程212xx x +=+． 【答案】解：方程两边同时乘以(2)x x +得：22(2)(2)x x x x +++=． 22242x x x x +++=．1x =-．检验：把1x =-代入(2)0x x +≠． ………………………………4分 ∴1x =-是原方程的解． ………………………………5分16．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，E 是AC 的中点，过点C 作//CF AB ，交DE 的延长线于点F ．求证：AD = CF ． 【答案】证明：∵E 是AC 的中点，∴AE = CE ． ………………………1分 ∵CF ∥AB ，∴∠A =∠ECF , ∠ADE =∠F ． ………………………………3分 在△ADE 与△CFE 中，,,,ADE F A ECF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CFE （AAS ）． ……………………………4分 ∴AD CF =． ……………………………5分17．一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标价为多少元？（注：=100%⨯售价-进价利润率进价）【答案】解：设这件外衣的标价为x 元，依题意得： ……………………………1分0.820020010%x -=⨯． ……………………………3分0.820200x =+．0.8220x =．275x =． ……………………………5分答：这件外衣的标价为275元． ……………………………6分 18．今年植树节，东方红中学组织师生开展植树造林活动，为了了解全校800名学生的植树情况，随机抽样调查50名学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图（均不完整）．（1）将统计表和条形统计图补充完整； （2）求抽样的50名学生植树数量的平均数；（3）根据抽样数据，估计该校800名学生的植树数量． 【答案】解：（1）统计表和条形统计图补充如下：…………………………………………………………3分植树数量（棵）植树数量（棵）（2）抽样的50名学生植树的平均数是：354205156104.650x ⨯+⨯+⨯+⨯==（棵）．……………………5分 （3）∵样本数据的平均数是4.6，∴估计该校800名学生参加这次植树活动的总体平均数是4.6棵． 于是4.6×800 =3 680（棵），∴估计该校800名学生植树约为3 680棵． ……………………………7分19．今年“五·一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额在300元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透明的袋子中装有四个标号分别为1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果； （2）求抽奖人员获奖的概率． 【答案】解：（1）列表法表示如下：或树形图：……………………………………………………………………4分（2）由表格或树形图可知，抽奖所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有6种， 所以抽奖人员的获奖概率为61122p ==． …………………………7分 20．如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB ，在地面D 处测得塔尖的仰角60ADC ∠=，塔底的仰角45BDC ∠=，点D 距塔AB 的距离DC 为100米，求手机信号中转塔AB 的高度（结果保留根号）．【答案】解：由题意可知，△ACD 与△BCD 都是直角三角形．在Rt △BCD 中， ∵∠BDC = 45°，∴BC = CD = 100．在Rt △ACD 中，∵∠ADC = 60°，CD = 100， ∴tan60ACCD=， 即100AC= 1234211332443开 始D6045∴AC = …………………………4分 ∴AB AC BC =-1)=． …………………………5分答：手机信号中转塔的高度为1)米． …………………………6分21．（2013云南红河州，21，6分）如图，正比例函数1y x =的图象与反比例函数2ky x=（0k ≠）的图象相交于A 、B 两点，点A 的纵坐标为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求出点B 的坐标，并根据函数图象，写出当12y y >时，自变量x 的取值范围． 【答案】解：（1）设A 点的坐标为（m ，2）2m =，所以点A 的坐标为（2，2）． ∴224k =⨯=．∴反比例函数的解析式为：24y x=．…………………………3分 （2）当12y y =时，4x x=． 解得2x =±．∴点B 的坐标为（-2，-2）．或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B 的坐标为（-2，-2）． 由图象可知，当12y y >时，自变量x 的取值范围是：20x -<<或2x >．……………………………………………………………………6分22．（2013云南红河州，22，7分）如图，过正方形ABCD 的顶点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．（1）判断四边形ACED 的形状，并说明理由； （2）若BD = 8cm ，求线段BE 的长．BACDE【答案】解：（1）四边形ACED 是平行四边形． ………………………………1分理由如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，即AD ∥CE ． ∵DE ∥AC ，∴四边形ACED 是平行四边形． ………………………………3分 （2）由（1）知，BC = AD = CE = CD ， 在Rt △BCD 中， 令BC CD x ==，则2228x x +=． ………………………………5分解得1x =2x =-．∴2)BE x cm ==． ………………………………7分23．（2013云南红河州，23，9分）如图，抛物线24y x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线BC 于点E ．（1）求点A 、B 、C 的坐标和直线BC 的解析式； （2）求△ODE 面积的最大值及相应的点E 的坐标；（3）是否存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）在24y x =-+中，当y =0时，即240x -+=，解得2x =±．当0x =时，即04y =+，解得4y =．所以点A 、B 、C 的坐标依次是A （-2，0）、 B （2，0）、C （0，4）．设直线BC 的解析式为y kx b =+（0k ≠），则204k b b +=⎧⎨=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩． 所以直线BC 的解析式为24y x =-+． ………………………………3分 （2）∵点E 在直线BC 上，∴设点E 的坐标为(, 24)x x -+，则△ODE 的面积S 可表示为：221(24)2(1)12S x x x x x =-+=-+=--+． ∴当1x =时，△ODE 的面积有最大值1．此时，242142x -+=-⨯+=，∴点E 的坐标为（1，2）． …………………5分 （3）存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似，理由如下： 设点P 的坐标为2(, 4)x x -+,02x <<．因为△OAC 与△OPD 都是直角三角形，分两种情况： ①当△ＰDO ∽△COA 时，PD ODCO AO=， 2442x x-+=，解得11x，21x =（不符合题意，舍去）．当1x =时，21)42y =-+=． 此时，点P的坐标为2)．②当△PDO ∽△AOC 时，PD OD AO CO=， 2424x x -+=，解得3x =，4x =（不符合题意，舍去）．当x =24y =-+此时，点P的坐标为． 综上可得，满足条件的点P 有两个：112)P，2P ． ………………………9分 （注：本卷中所有解答题，若有其它方法得出正确结论的，请参照评分标准给分）。
中考数学复习 数形结合思想 方法技巧训练导学案(含答案)
方法技巧专题一 数形结合思想训练数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．一、选择题1．我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是( )A ．演绎B ．数形结合C ．抽象D ．公理化2．若实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图F 1－1所示，则下列式子中正确的是( )图F 1－1A ．ac ＞bcB ．|a －b |＝a －bC ．－a ＜－b ＜－cD ．－a －c ＞－b －c3．一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P (－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则△AOB 的面积是( ) A ．12 B.14C ．4D ．8 4． 端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队500米的赛道上，所划行的路程y (m )与时间x (min)之间的函数关系式如图F 1－2所示，下列说法错误的是( )图F 1－2A ．乙队比甲队提前0.25 min 到达终点B ．当乙队划行110 m 时，落后甲队15 mC ．0.5 min 后，乙队比甲队每分钟快40 mD ．自1.5 min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m /min5．已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或36．如图F 1－3，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝O C.下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc＞0.其中正确的个数有( )图F 1－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题7．如图F 1－4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：________．图F 1－48． 如图F 1－5，直线y ＝kx 和y ＝ax ＋4交于A (1，k )，则不等式kx －6<ax ＋4<kx 的解集为________．图F 1－59．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图F 1－6所示．由图易得：12＋122＋123＋…＋12n ＝________．图F 1－610．当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，则x ＝m ＋n 时，代数式x 2－2x ＋3的值为________． 11．已知实数a 、b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，则2018|a －b |＝________．12．观察下列图形：图F 1－7它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个点． 13．(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图F 1－8(2)观察图F 1－9，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：图F 1－91＋3＋5＋…＋(2n －1)＋(________)＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1＝__________． 三、解答题14． 如图F 1－10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B 、C )部分有两个交点，求b 的取值范围．【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( ) A ．不存在 B ．至多1个 C ．有4个 D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F . 求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111. （湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．FEDBAC【例4】 当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？ （四川省联赛试题） 解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】 设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形． （江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L cSc b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L x S x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值． 参考答案1．B 2.D 3.B 4.D5．B [解析] (1)如图①，当x ＝3，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h >3，（3－h ）2＋1＝5，解得h ＝5(h ＝1舍去)；(2)如图②，当x ＝1，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h <1，（1－h ）2＋1＝5，解得h ＝－1(h ＝3舍去)． 6．C [解析] 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝c ，∴C (0，c )，∴OC ＝－c .∵OB ＝OC ，∴B (－c ，0)．∵A (－2，0)，∴－c 、－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ·(－2)＝c a ，∵c ≠0，∴a ＝12，②正确；∵a ＝12，－c 、－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B (－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a (－c )2＋b ·(－c )＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c ≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b2a ＜0，∴b ＞0.∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋bc＜0，④不正确． 7．(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab8．1<x <52 [解析] 将A (1，k )代入y ＝ax ＋4得a ＋4＝k ，将a ＋4＝k 代入不等式kx －6<ax ＋4<kx 中得(a ＋4)x －6<ax ＋4<(a ＋4)x ，解不等式(a ＋4)x －6<ax ＋4得x <52，解不等式ax ＋4<(a ＋4)x 得x >1，所以不等式的解集是1<x <52.9．1－12n (或2n －12n )10．3 11.112．135 [解析] 第1个图形有3＝3×1＝3个点； 第2个图形有3＋6＝3×(1＋2)＝9个点； 第3个图形有3＋6＋9＝3×(1＋2＋3)＝18个点； …第n 个图形有3＋6＋9＋…＋3n ＝3×(1＋2＋3＋…＋n )＝3n （n ＋1）2个点．当n ＝9时， ＝135个点． 13.解：(1)1＋3＋5＋7＝16＝42.观察，发现规律，第一个图形：1＋3＝22，第二个图形：1＋3＋5＝32，第三个图形：1＋3＋5＋7＝42，…， 第(n －1)个图形：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 故答案为：42；n 2. (2)观察图形发现：图中黑球可分三部分，1到n 行，第(n ＋1)行，(n ＋2)行到(2n ＋1)行， 即1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋[2(n ＋1)－1]＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1 ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(2n ＋1)＋[(2n －1)＋…＋5＋3＋1] ＝n 2＋2n ＋1＋n 2 ＝2n 2＋2n ＋1.故答案为：2n ＋1；2n 2＋2n ＋1.14．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)如图，∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴抛物线的顶点坐标是(1，32)．由B (－2，6)和C (2，2)求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4.∴对称轴与直线BC 的交点是H (1，3)． ∴DH ＝32.∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △CDH ＝12×32×3＋12×32×1＝3.(3)如图．①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2消去y ，得x 2－x ＋4－2b ＝0.当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点，∴(－1)2－4(4－2b )＝0，解得b ＝158.②当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3.③当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5.综上，可知158＜b ≤3.。
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专题三 数形结合思想
1．(2012年四川自贡)伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速沿原路返回学校．在这一情景中，速度v 和时间t 的函数图象(不考虑图象端点情况)大致是( )
A B C D
2．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在( )
A ．玩具店
B ．文具店
C ．文具店西边40米
D ．玩具店东边－60米 3．已知实数a ，b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么( ) A ．ab <b B ．ab >b C ．a ＋b >0 D ．a －b >0
4．已知函数y ＝x 和y ＝x ＋2的图象如图Z3－3，则不等式x ＋2>x 的解集为( ) A ．－2≤x <2 B ．－2≤x ≤2 C ．x <2 D ．x >2
图Z3－3
5．如图Z3－4，直线l 1∥l 2，⊙O 与直线l 1和直线l 2分别相切于点A 和点B .点M 和点N 分别是直线l 1和直线l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误的是( )
图Z3－4
A ．MN ＝4 33
B ．若MN 与⊙O 相切，则AM ＝3
2
C ．若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切
D ．直线l 1和直线l 2的距离为2
6．如图Z3－5，已知四边形OABC 为正方形，边长为6，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且点D 的坐标为(2,0)，点P 是OB 上的一个动点，则PD ＋P A 的最小值是( )
图Z3－5
A ．210 B.10 C ．4 D ．6 7．(2012年天津)某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360 km 外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y (单位：km)与时间x (单位：h)之间的关系如图Z3－6，则下列结论正确的是( )
A ．汽车在高速公路上的行驶速度为100 km/h
B ．乡村公路总长为90 km
C ．汽车在乡村公路上的行驶速度为60 km/h
D ．该记者在出发后4.5 h 到达采访地
图Z3－6
8．(2012年山东日照)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图Z3－7，给出下列结论：①b 2－4ac ＞0；②2a ＋b ＜0；③4a －2b ＋c ＝0；④a ∶b ∶c ＝－1∶2∶3.其中正确的是( )
图Z3－7
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
9．(2010年广东茂名)张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y (单位：升)与行驶时间t (单位：时)之间的关系如图Z3－8.
请根据图象回答下列问题：
(1)汽车行驶________小时后加油，中途加油________升； (2)求加油前油箱剩余油量y 与行驶时间t 的函数关系式；
(3)已知加油前、后汽车都以70千米/时的速度匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由？
图Z3－8
10．(2011年湖南邵阳)如图Z3－9，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫－9
4，0，点C (0,3)，点B 是x 轴上的一点(位于点A 右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C .
(1)求∠ACB 的度数；
(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点，求抛物线的解析式；
(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
图Z3－9
11．(2012年四川宜宾)如图Z3－10，抛物线y ＝x 2－2x ＋c 的顶点A 在直线l ∶y ＝x －5上． (1)求抛物线顶点A 的坐标；
(2)设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，D (点C 在点D 的左侧)，试判断△ABD 的形状；
(3)在直线l 上是否存在一点P ，使以点P ，A ，B ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
图Z3－10
专题三 数形结合思想 【专题演练】
1．A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C 8．D
9．解：(1)3 31
(2)设y 与t 的函数关系式是y ＝kt ＋b (k ≠0)，
根据题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
50＝b ，
14＝3k ＋b ，
解得k ＝－12，b ＝50.
因此，加油前油箱剩余油量y 与行驶时间t 的函数关系式是y ＝－12t ＋50. (3)由图可知：汽车每小时用油(50－14)÷3＝12(升)，所以汽车要准备油(210÷70)×12＝36(升)．
因为45升>36升，所以油箱中的油够用． 10．解：(1)如图D60，∠ACB ＝90°. (2)∵△AOC ∽△COB ，
图D60
∴
AO CO ＝CO OB
. 又∵A ⎝⎛⎭⎫－9
4，0，C (0,3)， ∴ AO ＝9
4
，OC ＝3.
∴解得OB ＝4.
∴B (4,0)．把 A ，B 两点坐标代入解得：
y ＝－13x 2＋7
12x ＋3.
(3)存在．
直线BC 的方程为3x ＋4y ＝12，设点D (x ，y )． ①若BD ＝OD ，则点D 在OB 的中垂线上，点D 的横坐标为2，纵坐标为3
2，即点D 1(2，
3
2
)为所求． ②若OB ＝BD ＝4，则y CO ＝BD BC ，x BO ＝CD BC ，得y ＝125，x ＝45，点D 2(45，12
5
)为所求．
11．解：(1)∵顶点A 的横坐标为x ＝－－2
2
＝1，且顶点A 在y ＝x －5上，
∴当x ＝1时，y ＝1－5＝－4. ∴A (1，－4)．
(2)△ABD 是直角三角形．
将A (1，－4)代入y ＝x 2－2x ＋c ， 可得1－2＋c ＝－4，∴c ＝－3. ∴y ＝x 2－2x －3.∴B (0，－3)．
当y ＝0时，x 2－2x －3＝0，x 1＝－1，x 2＝3， ∴C (－1,0)，D (3,0)．
∵BD 2＝OB 2＋OD 2＝18，AB 2＝(4－3)2＋12＝2，AD 2＝(3－1)2＋42＝20， ∴BD 2＋AB 2＝AD 2. ∴∠ABD ＝90°，即△ABD 是直角三角形． (3)存在．
由题意知：直线y ＝x －5交y 轴于点E (0，－5)，交x 轴于点F (5,0)．∴OE ＝OF ＝5.又∵OB ＝OD ＝3，
∴△OEF 与△OBD 都是等腰直角三角形． ∴BD ∥l ，即P A ∥BD .
则构成平行四边形只能是P ADB 或P ABD ，如图D61，
图D61
过点P 作y 轴的垂线，过点A 作x 轴的垂线交过P 且平行于x 轴的直线于点G . 设P (x 1，x 1－5)，则G (1，x 1－5)．
则PG ＝||1－x 1，AG ＝||5－x 1－4＝||1－x 1. P A ＝BD ＝3 2， 由勾股定理，得：
(1－x 1)2＋(1－x 1)2＝18， x 21－2x 1－8＝0，x 1＝－2或4. ∴P (－2，－7)或P (4，－1)．
存在点P (－2，－7)或P (4，－1)使以点A ，B ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形．。