教案：一次函数中的面积问题
一次函数与面积问题学案(两课时)
一次函数与面积问题（2）（学案）回顾求面积的两个基本模型例1.如图,直线 y = kx -6与x 轴、y 轴分别相交于 点E 、F. 点E 的坐标为(- 9, 0),点A 的坐标为 (- 6, 0),当点P(x ，y )在直线EF 上运动时，（1）求△OAP 的面积 S 与x 的函数关系式;（2）当△OAP 的面积为6时，求P 点的坐标.例2. 如图，已知直线4+-=x y 与x 轴相交于点A ，与直线x y =相交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）动点E 从原点O 出发，沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设E 的横坐标为m ，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ．试求 S 与m 之间的函数关系式．课堂小结：练习1．如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（6，0），（0，2），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线m x y +-=21交折线．．OAB 于点E ．（1）若直线m x y +-=21经过点A ，求m 的值；（2）记ODE ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；练习2. 在直角坐标系中，将直线x y 21=平移得到直线l ，已知直线l 经过点A （-4，0）. （1）求直线l 的解析式；（2）设直线l 与y 轴交于点B,若点P 的坐标为（-3，m ），△ABP 与△ABO 的面积之间满足 A B OA B P S △△S 21=，求m 的值.作业：1. 如图，直线的函数解析式为y x =．下表是直线的函数关系中自变量x 与函数y 的部分对应值．设直线a 与x 3)<在OB 上移动，过点P 作直线l 与x 轴垂直．（1）画出直线a 的图象； （2）求点C 的坐标； （3）设O B C △中位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与m 之间的函数关系式；（4）求点P ，使过点P 且垂直于x 轴的直线l 平分OBC △的面积．2.如图,直线y = kx-6与x 轴y 轴分别相交于点E,F. 点E 的坐标为(- 9, 0),点A 的坐标为(- 6,0). 当点P （x ，y ）在直线上运动时，求以O 、F 、P 、A 为顶点的凸四边形的面积S 与x 的函数关系式并指出自变量x 的取值范围。
一次函数面积专题导学案定稿
一次函数专题一-面积问题(导学案)
例1.已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)点A坐标为,点B坐标为
(2)求这条直线与坐标轴围成的面积
(3)直线∕ry=x+l与X轴交于点C,与y轴于点D,与直线/交于点E.
你能计算出哪些三角形的面积？
变式探究
已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B.
变式1：若点P为X轴上的动点，当S.ABP=2时，求P点坐标.
变式2：若点P为直线/上的动点，当S AAOP=2时，求P点坐标。
变式3：过点0的直线b交直线/于点Q，若直线/2把AAOB的面积分成1：1两部分，求Q点坐标及直线Z2的函数表达
式。
例2.已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,BP和AP相交于P点(1,3),
求SΔABP.
变式：已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰RSABC,ZBAC=90o,点P(l,a)是第一象限内的一个动点。
若△ABC
分享收获
和^ ABP的面积相等，求a的值。
谈谈你的收获.
拓展提升：己知直线/:y=-'x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直角边2
在第一象限内作等腰Rt∆ABC,NBAC=90。
，点P(l,a)是直线X=I的一个动点。
若A ABC和小ABP的面积相等,求a的值。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题学习目标：1.通过复习使学生熟悉直线与坐标轴的交点坐标的求法，会求出两直线交点坐标，会求一次函数的解析式。
2.初步掌握由若干条直线所围成的图形的面积的计算方法。
一、探究新知例1：已知直线l ：22+-=x y ，(1)求直线l 与两坐标轴的交点坐标；(2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。
变式1：已知直线l ：22+-=x y ，且点T )32,(t 在直线l 上， (1) 求OT 所在直线的解析式；(2) 求直线l 和直线OT 与x 轴所围成的图形面积。
变式2：如图，已知直线l ：22+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点B 、M,，将变式1中的直线OT 向上平移1个单位长度得到直线PA ，点Q 是直线PA 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积。
变式3：如图，已知直线PA 是一次函数)0(>+=n n x y 的图象，直线PB 是一次函数)(2n m m x y +-=的图象。
（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线PA 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积65，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式。
例2：如图，已知直线1l 经过点)1,0()0,2(B A 与点，另一条直线2l 经过点B ，且与x 轴相交于点P(a,0)，若APB ∆的面积为3，求a 的值。
变式：如图，已知直线1l 经过点)1,0()0,2(B A 与点，如果在第二象限内有一点)21,(a P ，且APB ∆的面积为3，求a 的值。
三、提升训练1：如图，点m x y C B A +-=2在一次函数、、的图象上，它们的横坐标依次为,211、、-分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，求图中阴影部分的面积之和。
2：设直线1l ：1-+=k kx y 和直线2l ：k x k y ++=)1(（k 为正整数）及x 轴围成的三角形面积为k S ，求200621S S S +++ 的值。
一次函数有关的面积问题
《一次函数相关的面积问题》教学设计一、教学目标1.知识与技能：通过本节学习，巩固一次函数的图象与性质，能利用解析式求组合图形的面积，能利用面积求点的坐标或直线的解析式。
2、数学思考：通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究,使学生理解一次函数图象特征与解析式的联系规律,体会分类思想、数形结合思想,化归思想和方程思想.3、问题解决：根据题中图形与坐标轴的交点求三角形的面积，会根据面积求点坐标或函数解析式。
4、情感态度：培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.二、教学重点、难点重点：根据函数解析式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点的坐标或一次函数的解析式。
难点：①不规则图形面积的计算；②根据面积求点的坐标三、教学方法与手段的选择由于本节课重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
四、教学流程一、复习引入:1、一次函数24y x =-+与x 轴的交点A 的坐标是 与y 轴的交点B 的坐标是 ________。
2、已知一次函数的图像与x 轴、y 轴的交于（－2，0）、（0，4）点，则这个函数的解析式为_____________。
3、直线24y x =-+与直线21y x =+的交点坐标是______。
二、中考题型示例题型一、利用解析式求面积 例1：如图1，已知直线l ：24y x =-+，求此一次函数的图象 与两坐标轴所围成的三角形的面积。
小结：类型1是求直线与两坐标轴所围成三角形面积（规则图形--变式1：如图2，已知直线l ：24y x =-+，点(1,2)C 在直线l 上，(1) 求OC 所在直线的解析式；(2) 求直线l 和直线OC 与x 轴所围成的图形面积。
小结：类型2是求两直线与坐标轴所成三角形面积（规则图形--公式法变式2：如图3，已知直线l ：24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 将变式1中的直线OC 向上平移1个单位长度得到直线PA ，点Q 是直线与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积。
北师大版八年级数学上册4.3一次函数图象与面积问题优秀教学案例
1.引导学生对自己在学习过程中的思考、方法、结果进行反思，培养学生自我评价的能力。
2.组织学生进行小组内、小组间的评价，让学生在评价中相互学习、共同进步。
3.教师要关注学生的学习过程，从多维度、多角度评价学生的学习成果，给予肯定和鼓励。
4.引导学生将所学知识与实际生活相结合，进行拓展应用，提高学生的数学素养。
2.讲解一次函数图象与面积问题的解决方法，如利用图象交点、解析几何方法等。
3.通过例题演示，让学生跟随教师一起解决一次函数图象与面积问题，活中的应用价值。
（三）学生小组讨论
1.设计具有探究性、挑战性的问题，让学生在小组内进行讨论交流。
针对这一问题，我设计了本节课的教学案例，旨在通过引导学生观察、思考、探究，使他们在解决实际问题的过程中，体会一次函数图象与面积问题的联系，提高解决问题的能力。教学案例围绕一个实际问题展开，让学生在解决问题的过程中，自然而然地涉及到一次函数图象与面积问题的知识点。通过案例的引导，使学生能够将所学知识与实际问题紧密结合，提高他们的数学应用能力。
2.鼓励每个小组成员积极发表自己的观点，共同探讨问题的解法。
3.教师在讨论过程中，关注每个小组的学习进展，及时给予指导和鼓励。
（四）总结归纳
1.让学生用自己的语言总结一次函数图象与面积问题的解法及注意事项。
2.教师对学生的总结进行点评，纠正错误，完善归纳。
3.引导学生将所学知识进行整合，形成体系，提高学生的数学素养。
4.教师在问题导向过程中，要善于启发、点拨，引导学生发现规律，归纳总结。
（三）小组合作
1.合理划分学习小组，培养学生团队合作、互助学习的意识。
2.设计具有探究性、挑战性的学习任务，激发学生合作学习的动力。
一次函数与二次函数的面积问题
一次函数与二次函数的面积问题一、引言在高中数学中，我们学习了一次函数和二次函数，它们是数学中非常重要的概念。
本文将探讨一次函数与二次函数的面积问题，通过几个具体的例子，帮助读者理解并解决这类问题。
二、一次函数的面积一次函数又称为线性函数，其代数表达式为$y=ax+b$。
为了计算一次函数在特定区间上的面积，我们可以使用定积分的方法。
2.1一次函数的几何图像一次函数的几何图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与$y$轴的交点。
2.2一次函数的面积计算我们考虑一次函数$y=ax+b$在区间$[x_1,x_2]$上的面积。
首先，我们需要确定该函数在该区间上的单调性。
如果$a>0$，则函数是递增的，如果$a<0$，则函数是递减的。
接下来，我们使用定积分的定义来计算面积。
一次函数的面积可以表示为$$S=\i nt_{x_1}^{x_2}(a x+b)dx$$根据定积分的性质，我们可以求解出这个积分。
2.3一次函数面积的例子让我们通过一个具体的例子来解决一次函数的面积问题。
例子：计算函数$y=2x+1$在区间$[1,3]$上的面积。
解：首先，确定函数是递增的，因为斜率$a=2$是正数。
然后，我们计算积分：$$S=\i nt_{1}^{3}(2x+1)dx$$将积分求解出来，得到$S=8$。
因此，函数$y=2x+1$在区间$[1,3]$上的面积为8。
三、二次函数的面积二次函数的代数表达式为$y=a x^2+bx+c$。
与一次函数类似，我们也可以使用定积分的方法计算二次函数在特定区间上的面积。
3.1二次函数的几何图像二次函数的几何图像是一条抛物线，其开口方向由二次系数$a$的正负决定，顶点决定了抛物线的最低（或最高）点。
3.2二次函数的面积计算我们考虑二次函数$y=ax^2+b x+c$在区间$[x_1,x_2]$上的面积。
与一次函数类似，我们先确定函数在该区间上的单调性。
接着，我们使用定积分的定义来计算面积。
一次函数中的三角形面积问题.docx
北京师范大学出版社八年级上册小专题一次函数中的三角形面积问题数学组周琼2016.11.23一．教学目标：1．通过本节课的学习，了解一次函数中与三角形面积有关的常见的基本图形，掌握在一次函数中求三角形面积的解题策略、基本方法．2．指导学生进一步利用图形直观，学会观察、分析，利用“割补法”有意识地将平面直角坐标系内一般的斜三角形的面积问题转化成“有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形”，或将图形补成一个矩形或梯形并通过有关计算解决问题，进一步体会数形结合思想、建模思想、割补法等数学思想方法．3．通过学生的合作、交流、展示、分享，进一步激发学生学习数学的兴趣和积极性，享受学习的过程，感受成功的快乐，增强学习的自信心与合作学习意识．二．教学重点：教学重点：建模以及“割补法”的灵活运用．教学难点：对较难的图形进行合理的割补，选择最佳解题途径．四．教法与学法学法：自主探究、合作交流、成果分享教法：老师指导下以学生探究学习为主的分享交流、总结提升五．课前准备收集整理周末学生《好题集锦》、多媒体课件、学案．六．教学过程设计教学 教师活动学生活动设计意图环节分享 （板书课题）学生代表 展示学习成 展示1. 图片引入新课，四个学生展示周末自主学习成果，提炼出四 投影并讲 果，培养学生种常见图形．（白板板书，图略）解．能力 ．2. 引导学生观察图形特征，总结解题思路3. 过手练习如图，直线 y2 x 2 与坐标轴交于 A 、B 两点，直线 y1x 32总 与 x 轴和 y 轴分别交于点 C ，点 D ，与直线 y2x2 相交于结点 E （-10,-14） y33提（1）S AOBB升 （ 2）S ACEAOC， x变（ 3）过 A 做 AF//y 轴交 EC 于 F ，DF则 SE式AFE探究4. 挑战自我（一题多解，选择最优解题途径板书解题过程）如图，直线 y2 x 2 与坐标轴交于 A 、B 两点，直线 y1x 32与 x 轴和 y 轴分别交于点 C ，点 D ，与直线 y 2x 2 相交于点1014）33独立思考，检查基础过自主完成，关情况，了解交流评价。
沪教版八年级 一次函数中的面积问题,带答案
1．能由一次函数的知识求有关图形的面积；2．能由已知图形的面积解决一次函数的有关问题； 3．体会一次函数的有关面积问题的解决思路．（此环节设计时间在10—15分钟）回顾上次课的预习思考内容，要求学生先画出一次函数的大致图形再解题．1．直线1y x =--与x 轴相交于点 ，与y 轴相交于点 ，与坐标轴围成的三角形面积为 ．2．一次函数的图像经过(3，5)，(—4，—9)，则此一次函数的解析式为 ，一次函数与坐标轴围成的三角形面积为 ．3．直线34y x =-+与直线21y x =-相交于P ，直线34y x =-+与x 轴相交于点A ，直线21y x =- 与x 轴相交于点B ，交点P 的坐标为 ，△ABP 面积为 ． 参考答案：1．（—1，0），（0，—1），12； 2．21y x =-，14； 3．4(,0)3，1(,0)2，（1，1），512； 归纳总结：一次函数与坐标轴围成的面积可以推到出相应公式：22b S k∆=（此环节设计时间在50-60分钟）案例1：问题1：如图，已知直线l ：22y x =-+与直线m ：y x =交于点T ，求直线l 和直线m 与x 轴所围成的图形面积。
参考答案：解：由题意：(3,0),(0,3)A B - ∴1922AOBS OA OB =⋅= ∴11113232BOC AOBSOB C D S =⋅==∴11C D = 代入3y x =+得1(1,2)C -， 设直线l 的解析式：y kx = 代入1(1,2)C -得2k =- ∴直线l 的解析式2y x =- 同理：2(2,1)C -,∴直线l 的解析式12y x =-试一试：已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线(0)y kx b k =+≠经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分。
若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值.参考答案：22,33k b =-=或2,2k b ==-此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
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一次函数的面积问题
【教学目标】
知识与技能：
1.通过复习使学生熟悉直线与坐标轴的交点坐标的求法，会求出两直线交点坐标，进一步体会函数、坐标、几何图形之间的相互转化，在解决函数相关问题中的重要作用.
2.初步掌握由若干条直线所围成的图形的面积的计算方法，体会一次函数的有关面积问题的解决思路.
过程与方法：
通过对平面直角坐标系中图形面积求法的探究，使学生初步形成正确、科学的学习方法.
情感态度与价值观：
通过问题的解决，树立学生学习数学的信心，激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的学习习惯.
【教学重点】
由若干条直线所围成的图形的面积的计算方法.
【教学难点】
进一步渗透数形之间的转化和结合.
【教学过程】
一、课前热身回顾知识
1、点A（5，-3）到x轴的距离为，到y轴的距离为 .
点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点A的坐标
为 .
2、一次函数y=2x+4的图象与x轴的交点坐为，
与y轴的交点坐标为 .
3、如图：直线AB的解析式为 .
4、直线y=2x+1与直线y=x-2 的交点
坐标为 .
设计意图：通过习题回顾本节课所用到的知识点，体会函数、坐标、几何图形之间的相互转化，为后面的问题探究，做好
铺垫.
二、问题探究总结方法
问题一
已知如图：直线y=2x+1与坐标轴交于
A、C两点，直线y=-x-2与坐标轴交
于B、D两点，两直线交于点P.
（1）求△ABP的面积.
（2）若直线EF平行于 y轴，且经过点（1,0），与直线PA、PB分别交于点E、F，求△PEF的面积.
问题引导：
（1）求△ABP的面积需要一组对应的底和高，思考：将哪条边作为底计算较为简单？
（2）计算AB、PM的长需要哪些量？如何求？
师生活动：教师引导学生分析解题思路，师生共同完成解题过程，注意解答过程的规范性.学生在分析的基础上，自主完成（2）.
问题二
已知如图：直线y=x+2与直线y=-2x+6交于点A.直线y=-2x+6分别交x轴、y轴于点B、C，直线y=x+2分别交x 轴、y轴于点E、D.
（1）求△ACE的面积.
（2）求四边形ADOB的面积.
问题引导：
问题一中的三角形要么有一条边在坐标轴上，要么有一条边与坐标轴平行，而这道题中的△ACE并无上述特点，怎么办？小组交流讨论，尽可能多的找出解决思路.
师生活动：
学生在自主分析解题思路后，交流讨论，统一意见，师生共同完成解题过程，注意解答过程的规范性. 学生在分析的基础上，自主完成（2）.
方法总结：
如何求平面直角坐标系中的图形的面积？
（１）如果三角形有一边在坐标轴上（或平行于坐标轴），
直接用面积公式求面积．
（２）如果三角形任何一边都不在坐标轴上，也不平行于坐标轴，则需转化为几个有边在坐标轴上的三角形面积之和（或差）．
（３）四边形面积常转化为若干个三角形面积之和（或差）．
设计意图：在这个环节中，设置四个问题，由浅入深，逐步探索总结出面直角坐标系中的图形的面积的求法.
三、即学即练巩固所学
已知：如图，在平面直角坐标系中，
A（-1,3）、B（3,-2），则△AOB的面积
为.
学生谈思路，教师点评.
设计意图：提倡方法的多样性，强化坐标与函数、坐标与距离之间的转化.
四、课堂拓展提升应用
1、已知点P（x，y）是第二象限内直线y=x+6上的一个动点，
点A的坐标为（-4，0），在点P运动的过程中，△OPA的面积为S.
（1）试写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（2）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为8.
设计意图：
在这个环节中，设置了一个动态问题，一方面巩固所学，另一方面渗透动态问题的解决方法.
五、课堂小结反思提高
本环节由学生自己谈收获，教师作适当的引导补充.
六、作业布置
1、优化设计54页第11题
2、优化设计64页第9题
3、整理课堂拓展问题。