浙江专用202x版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明7.3基本不等式与绝对值不等式
2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3基本不等式与绝对值不等式课件
1.掌握基本不等式 ab ≤
(a>0,b>0)及其应用.
考向分 析
2.会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不等式. 3.了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 基本不等式主要考查基本运算与转化化归思想,注重与 函数、充要条件、实际应用等交汇.在求函数的最值时, 应特别注意等号成立的条件. 绝对值不等式是最近两年中新增加的内容,并且在最近 几年的高考中考查频繁,难度也比较大.
7.3
基本不等式与绝对值不等式
-2-
2018 年份 基本不 等式 绝对值 不等式 考查要 求
2017 17,4 分
2016
2015
2014
20,14 分(文) 16,4 分(文) 18,15 分(理) 10,5 分(理) 18,15 分(理) 17,4 分 20,14 分(理) 22,14 分(理)
������+������ 2
������������称为正数 a,b 的几何
������+������ 2 (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 ������2 +������2 ������+������ 2 (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 2 ������ ������ (4) + ≥2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. ������ ������
关闭
因为 a,b∈R+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9, 所以(a+b)(a+2b+1)=9. 所以(2a+2b)(a+2b+1)=18. 又 3a+4b+1=(2a+2b)+(a+2b+1)≥2 (2������ + 2������)(������ + 2������ + 1)=6 2, 当且仅当 2a+2b=a+2b+1 时,等号成立, 所以 3a+4b 的最小值为 6 2-1.
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.2二元一次不等式组与简单的线性规
A(1,0)顺时针旋转到直线 AC 均可满足题意,而 k AB =2,kAC=-1,即
C.(-2,1)
D.(-2,4)
-1<<2⇒-4<a<2.故选
B.
关闭
2
关闭
B
解析
-21答案
考点一
考点二
考点三
对点训练 (2021浙江丽水中学模拟)假设实数x,y满足不等式组
2- ≥ 0,
几何的双重形式,多与函数、平面向量、解析几何等问题穿插渗透,
归纳起来常见的命题角度有:(1)求线性目标函数的最值;(2)线性目
标函数的最值求参数;(3)求非线性目标函数的最值.
-16-
考点一
考点二
类型一
考点三
求线性目标函数的最值
≥ 0,
≥ 0,
+ -3 ≥ 0,
【例2】 (2021浙江卷,4)假2-4
考点三 ≤ 0,
二元一次不等式(组)表示平面区域(考点难度★★)
由约束条件
作出可行域如图中阴影所示,
+ 3-4 ≥ 0,
+ 2-4 ≤ 0,
+ 3-4 ≥ 0,
【例1】 假设不等式组
表示
≥0
≥0
若 a≤0,则约束条件表示的平面区域不是三角形,不合题意;
的平面区域是等腰三角形区域,那么实数a的值为
C
关闭
解析
答案
-8知识梳理
双击自测
3.投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平
方米;投资生产B产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100
平方米.现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,那么上述
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用课件 文
3.(1)已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离参数
法,且有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max,a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min;
(2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问
题可考虑利用函数的单调性.
12/11/2021
19
考点1
考点2
联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注
意等号能否取到.
12/11/2021
10
考点1
考点2
考点3
对点训练 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 +
1
1+
1
≥9.
证明 (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,
1
+
∴1+=1+ =2+.
1
同理,1+=2+.
4.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是
1
A.
≤
1
4
( D )
1 1
B. + ≤1
C. ≥2
D.a2+b2≥8
解析:4=a+b≥2 (当且仅当 a=b 时,等号成立),
1
1
1
1
即 ≤2,ab≤4, ≥ 4,选项 A,C 不成立; + =
+
4
因为 a-3b+6=0,所以 a-3b=-6.
1
1
4
1
1
4
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.1不等关系与一元二次不等式课件
有以下两种方法:
(法一)令 g(x)=m
1 2
- 2
3
+ 4m-6,x∈[1,3].
当 m>0 时,g(x)在区间[1,3]上是增函数,
所以 g(x)max=g(3)⇒7m-6<0,
6
6
所以 m<7 ,所以 0<m<7.
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在区间[1,3]上是减函数,
-26-
1
①当 a>0 时,原不等式可以化为 a(x-2) - <0,
根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)· 1
1
1
<0.
因为方程(x-2) - =0 的两个根分别是 2, ,
1
1
所以当 0<a<2 时,2<,
则原不等式的解集是 2 < <
1
1
;
当 a=2 时,原不等式的解集是⌀ ;
当 a> 时,不等式的解集为
<<2 .
-21-
考点一
考点二
考点三
方法总结1.解不含参数的一元二次不等式时,当二次项系数为负
时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结
合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按
下面次序进展讨论:首先根据二次项系数的符号进展分类,其次根
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac> bc;a>b>0,c>d>0⇒ac> bd.
(5)可乘方:a>b>0⇒an> bn(n∈N,n≥1).
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.5数学归纳法课件
数学归纳法
-2-
2018
2017
2016 2015 2014
年份
数学归
22(1),4 分
纳法
考查要
会用数学归纳法证明一些简单数学问题.
求
本节内容主要和数列、不等式等问题综合考查,题型以解
考向分
答题为主.能力考查主要为用数学归纳法证明数学命题
析
的能力,分析问题、解决问题的能力,难度为中、高档.
1
1
1
2
3
2
n=k+1不等式左边增添的项数是(
A.k
B.2k-1
C.2k
D.2k+1
)
4.用数学归纳法证明不等式 + +…+ ≤n(n∈N*)时,从 n=k 到
关闭
1
1
1
1
2
3
1
∵当 n=k 时,不等式左边为2 + 3+…+2 ,共有 2k-1 项,
当 n=k+1 时,不等式左边为 + +…+
n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的适用范围
数学归纳法主要用于解决与正整数 有关的数学命题,证明时,
它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可.
-4知识梳理
双击自测
3.数学归纳法的框图表示
-5知识梳理
双击自测
1
1
1
1.用数学归纳法证明 1+2 + 3+…+2 -1<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验
即当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对所有n∈N*都成立.
(浙江专版)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用学案-人教版高三全册数
§7.4基本不等式及不等式的应用考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.基本不等式会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.掌握21(2),7分21(2),7分16(文),4分14,约2分15,6分2.不等式的综合应用1.能够灵活运用不等式的性质求函数定义域、值域.2.能够应用基本不等式解决简单的最值问题,熟练掌握运用不等式解决应用题.掌握7,5分16(文),4分10,5分22(2),7分18,15分20,15分20(文),8分20(文),15分17,4分分析解读 1.基本不等式是不等式这章的重要内容之一,主要考查用基本不等式求最值.2.不等式的综合应用问题常结合函数、导数、数列、解析几何等知识,难度较大,不等式的综合应用是高考命题的热点.3.预计2019年高考中,仍会对利用基本不等式求最值进行考查.不等式综合应用问题仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列、解析几何相综合的题目上,复习时应引起高度重视.五年高考考点一基本不等式1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.D.3答案 B2.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案3.(2017山东文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案84.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案 45.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.答案-2考点二不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2πx|,a i=,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)|+…+|f k(a99)-f k(a98)|,k=1,2,3,则( )A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1答案 B2.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )A. B.C.[-2,2]D.答案 A3.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D4.(2013浙江文,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab= .答案-15.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案306.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案7.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)< f(x)≤.证明(1)因为1-x+x2-x3==,由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤, 所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又因为f=>,所以f(x)>.综上,<f(x)≤.8.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+> +;(2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+> +.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+> +.(ii)若+> +,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.9.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.教师用书专用(10)10.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解析设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一基本不等式1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,9)已知实数m满足|m|≥1,且b=ma+m2+2,则a2+b2的最小值为( )A.2B.4C.D.答案 D2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,7)已知b>2a>0,则M=的最小值是( )A.2B.2C.4D.8答案 C3.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围为.答案[-2,-1)4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为. 答案55考点二不等式的综合应用5.(2018浙江杭州二中期中,17)已知正实数x,y满足x+3y++=10,则xy的取值范围为.答案6.(2017浙江宁波期末,16)若正实数a,b 满足(2a+b)2=1+6ab,则的最大值为.答案7.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,且+≤m恒成立,则m的最小值是. 答案28. (2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得=,则实数x的最大值为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江9+1高中联盟期中,6)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )A.3B.2C.3D.2答案 B2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是( )A. B.3 C.1 D.2答案 A二、填空题3.(2018浙江镇海中学期中,14)设实数x,y满足4x2-2xy+y2=8,则2x+y的最大值为,4x2+y2的最小值为.答案4;4.(2018浙江杭州二中期中,14)已知实数x,y满足则z=y+2x的最小值为;当实数u,v 满足u2+v2=1时,ω=ux+vy的最大值为.答案;25.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x>0,y>0,且x+y=k,则使不等式≥恒成立的k的最大值为.答案26.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.答案9-327.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数a,b满足3a+b=14,则+的最小值为. 答案 3C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值的解题策略1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,15)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m 的取值范围是.答案[-4,2]方法2 不等式综合应用的解题策略2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知正实数x,y满足x++2y+=6,则xy的取值范围为.答案。
(浙江专用)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用课件.pptx
当且仅当 b = | a且| a<0,即b=-2a,a=-2时, +1 取| a得| 最小值.
4|a| b
2|a| b
b |a| a 4|a| b 4|a|
评析 本题主要考查均值不等式及其应用,着重考查运算变形能力.
7
考点二 不等式的综合应用
x2 x 3, x 1,
1.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)= 成立,则a的取值范围是( )
tan B tan C 1
= 2(ta,n B tan C)2
tan B tan C 1
令tan Btan C-1=t,则t>0,∴tan Atan Btan C= 2(t =21)2
Btan C=2时,取“=”.
t
≥2t ×(1t2+22)=8,当且仅当t=
∴tan Atan Btan C的最小值为8.
=- tan=B t,an C tan B tan C
1 tan B tan C tan B tan C 1
又△ABC为锐角三角形,
∴tan A= tan>B0,tatnanBC+tan C>0,∴tan Btan C>1,
tan B tan C 1
∴tan Atan Btan C= tan·tBan Bta·ntCan C
②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥ x 在a R上恒成立等价于-
2
≤x
2 x
+a≤x x+
2
在2R上恒成立,即
x
有-
3 2
x≤a2x≤
+ x 在2R上恒成立,由于x>1,所以-
2x
≤ 32-x2
2020版高考文科数学第一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明7-3
当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”． 故销售量至少应达到443万件时，才能使技术革新后的销售收 入等于原销售收入与总投入之和．
利用基本不等式求解实际问题的 2 个注意点 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关 系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不 等式求解． (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解．
[对点训练]
1．(2018·天津月考)已知 a，b 是正数，且 4a＋3b＝6，则 a(a
＋3b)的最大值是( )
9 A.8
9 B.4
C．3
D．9
[解析] ∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝13·3a(a＋3b)≤13
3a＋a2＋3b2＝13×622＝3，当且仅当 3a＝a＋3b，即 a＝1，b＝23时， a(a＋3b)的最大值是 3.故选 C.
[答案] (1)4 (2)6
(1) 利用基本( 均值)不等式时一定要注意应用的前提“一 正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是 指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等” 是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵 活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不 等式．
[答案] C
2．若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小值为(
)
A. 2 B．2 C．2 2 D．4
[解析] 解法一：由已知得1a＋2b＝b＋ab2a＝ ab，且 a>0，b>0，
∴ab ab＝b＋2a≥2 2 ab，当且仅当 a＝4 2，b＝24 2时“＝” 成立．∴ab≥2 2.故选 C.