数列例题(含答案)
数列专题复习之典型例题(含答案)
数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。
答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。
高中数学-数列经典例题(裂项相消法)(1)
数列裂项相消求和的典型题型1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为()A ．100101B ．99101C ．99100D ．1011002．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,109则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为()A ．－10B ．－9C ．10D ．93．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和．4．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列}{n b 满足,,211*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ．6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ；(Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．7．在数列}{n a 中n n a n a a 211)11(2,1,+==+．(Ⅰ)求}{n a 的通项公式；(Ⅱ)令,211n n n a a b -=+求数列}{n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n T ．8．已知等差数列}{n a 的前3项和为6，前8项和为﹣4．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设),,0()4(*1N n q q a b n n n ∈≠-=-求数列}{n b 的前n 项和n S ．9．已知数列}{n a 满足,2,021==a a 且对*,N n m ∈∀都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--．(Ⅰ)求53,a a ；(Ⅱ)设),(*1212N n a a b n n n ∈-=-+证明：}{n b 是等差数列；（Ⅲ）设),,0()(*11N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+求数列}{n c 的前n 项和n S ．10．已知数列}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)数列}{n a 和数列}{n b 满足等式),(2222*33221N n b b b b a n n n ∈++++= 求数列}{n b 的前n 项和n S ．11．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a n b 求数列}{n b 的前n 项和n T .12．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122nn a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .答案：1．A ；2．B3．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6有a 32=9a 42，∴q 2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a 1+3a 2=1有2a 1+3a 1q=1，∴a 1=．故数列{a n }的通项式为a n =．（Ⅱ）b n =++…+=﹣（1+2+…+n ）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，∴数列{}的前n项和为﹣．4．解：(Ⅰ)由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可有（a n﹣2n）（a n+1）=0∴a n=2n．(Ⅱ)∵a n=2n，b n=，∴b n===，T n===．数列{b n}的前n项和T n为．5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：，解有a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．(Ⅱ)由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减有：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．6．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴有，解有a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n；(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1，∴b n====，∴T n===，即数列{b n}的前n项和T n=．7．解：(Ⅰ)由条件有，又n=1时，，故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即．(Ⅱ)由有，，两式相减，有：，∴．（Ⅲ）由有．∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=．8．解：(Ⅰ)设{a n}的公差为d，由已知有解有a1=3，d=﹣1故a n =3+（n ﹣1）（﹣1）=4﹣n ；(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有，b n =n •q n ﹣1，于是S n =1•q 0+2•q 1+3•q 2+…+n •q n ﹣1．若q ≠1，将上式两边同乘以q ，有qS n =1•q 1+2•q 2+3•q 3+…+n •q n ．上面两式相减，有（q ﹣1）S n =nq n ﹣（1+q+q 2+…+q n ﹣1）=nq n ﹣于是S n =若q=1，则S n =1+2+3+…+n=∴，S n =．9．解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1，可有a 3=2a 2﹣a 1+2=6再令m=3，n=1，可有a 5=2a 3﹣a 1+8=20(Ⅱ)当n ∈N *时，由已知（以n+2代替m ）可有a 2n+3+a 2n ﹣1=2a 2n+1+8于是[a 2（n+1）+1﹣a 2（n+1）﹣1]﹣（a 2n+1﹣a 2n ﹣1）=8即b n+1﹣b n =8∴{b n }是公差为8的等差数列（Ⅲ）由(Ⅰ)(Ⅱ)解答可知{b n }是首项为b 1=a 3﹣a 1=6，公差为8的等差数列则b n =8n ﹣2，即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n ﹣2另由已知（令m=1）可有a n =﹣（n ﹣1）2．∴a n+1﹣a n =﹣2n+1=﹣2n+1=2n 于是c n =2nq n ﹣1．当q=1时，S n =2+4+6++2n=n （n+1）当q ≠1时，S n =2•q 0+4•q 1+6•q 2+…+2n •q n ﹣1．两边同乘以q ，可有qS n =2•q 1+4•q 2+6•q 3+…+2n •q n ．上述两式相减，有（1﹣q ）S n =2（1+q+q 2+…+q n ﹣1）﹣2nq n =2•﹣2nq n =2•∴S n =2•综上所述，S n =．10．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意可知d ＞0由a 2+a 7=16，有，2a 1+7d=16①由a 3a 6=55，有（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55②由①②联立方程求，有d=2，a 1=1/d=﹣2，a 1=（排除）∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1(Ⅱ)令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n a n+1=c 1+c 2+…+c n+1两式相减，有a n+1﹣a n =c n+1，由（1）有a 1=1，a n+1﹣a n =2∴c n+1=2，即c n =2（n ≥2），即当n ≥2时，b n =2n+1，又当n=1时，b 1=2a 1=2∴b n =于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n ≥2，．11．解(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T nn 为奇数，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)12．(1)解由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明由a n ＝2n (n ∈N *)得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝1161n 2－1(n ＋2)2T n…＝1161＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<＝564(n ∈N *)．即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.。
数列求通项的七种方法及例题
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
数列例题(含答案)
1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得：=所以；所以数列{c n}的前n项和．2．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101．3．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．【解答】（I）解：设等差数列{log2（a n﹣1）}的公差为d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n=2n+1．（II）证明：因为==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证．4．已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2an，求证：b n•b n+2＜b n+12．【解答】解：解法一：（Ⅰ）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n=1+（n﹣1）×1=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n从而b n+1﹣b n=2n．b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=∵b n•b n+2﹣b n+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2=（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2•2n+1+1）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+12解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵b2=1b n•b n+2﹣b n+12=（b n+1﹣2n）（b n+1+2n+1）﹣b n+12=2n+1•bn+1﹣2n•bn+1﹣2n•2n+1=2n（b n+1﹣2n+1）=2n（b n+2n﹣2n+1）=2n（b n﹣2n）=…=2n（b1﹣2）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+125．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．移项得：=﹣=，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．7．设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．∴b1b3=•==b22．由b1b2b3=，得b23=，解得b2=．代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．所以，当a1=﹣1，d=2时a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．当a1=3，d=﹣2时a n=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．8．已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=1﹣（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．【解答】解：（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公差∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．又当n=1时，有b1=S1=1﹣当∴数列{b n}是等比数列，∴（2）由（Ⅰ）知，∴∴c n+1≤c n．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+×2=n2+2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n==…（8分）=，…（10分）所以T n=．…（12分）10．已知等差数列{a n}是递增数列，且满足a4•a7=15，a3+a8=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（n≥2），b1=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4•a7=15，知：a4，a7是方程x2﹣8x+15=0的两根，且a4＜a7解得a4=3，a7=5，设数列{a n}的公差为d由．故等差数列{a n}的通项公式为：（2）=又∴=11．设f（x）=x3，等差数列{a n}中a3=7，a1+a2+a3=12，记S n=，令b n=a n S n，数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式和S n；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．解得a1=1，d=3∴a n=3n﹣2∵f（x）=x3∴S n==a n+1=3n+1．（Ⅱ）b n=a n S n=（3n﹣2）（3n+1）∴∴（Ⅲ）由（2）知，∴，∵T1，T m，T n成等比数列．∴即当m=1时，7=，n=1，不合题意；当m=2时，=，n=16，符合题意；当m=3时，=，n无正整数解；当m=4时，=，n无正整数解；当m=5时，=，n无正整数解；当m=6时，=，n无正整数解；当m≥7时，m2﹣6m﹣1=（m﹣3）2﹣10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=pn2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N+．（Ⅰ）求的q值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，b n满足a n=2log2b n，求数列{b n}的前n和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=p﹣2+q当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2∵{a n}是等差数列，a1符合n≥2时，a n的形式，∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2，∴q=0（Ⅱ）∵，由题意得a3=18又a3=6p﹣p﹣2，∴6p﹣p﹣2=18，解得p=4∴a n=8n﹣6由a n=2log2b n，得b n=24n﹣3．∴，即{b n}是首项为2，公比为16的等比数列∴数列{b n}的前n项和．13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2+a4=14，S7=70．（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列b n的最小项是第几项，并求出该项的值．【解答】解：（I）设公差为d，则有…（2分）解得以a n=3n﹣2．…（4分）（II）…（6分）所以=﹣1…（10分）当且仅当，即n=4时取等号，故数列{b n}的最小项是第4项，该项的值为23．…（12分）14．己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣2a n=0，即a n+1=2a n，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）及b n=得，b n=﹣n•2n，∵S n=b1+b2++b n，∴S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①∴2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②①﹣②得，S n=2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1=，要使S n+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．15．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2a n，a n+1=3a n（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．。
数列的概念经典例题 百度文库
一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞B ．(),2-∞C ．(),1-∞D ．(),0-∞2．在数列{}n a 中，11a =，11n na a n +=++，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3．数列{}n a 的通项公式是276n a n n =-+，4a =（ ）A ．2B ．6-C ．2-D ．14．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．505．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 6．数列{}n a 满足()11121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ）A ．1006B ．1176C ．1228D ．23687．已知数列{}n a ，若()12*Nn n n a a a n ++=+∈，则称数列{}na 为“凸数列”.已知数列{}nb 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．1-8．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（ ）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()*n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ．1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102n S <≤D ．112n S ≤< 10．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ）A ．1(1)n n a a n n --=>B ．20210a =C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 11．在数列{}n a 中，已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则2020a =( ) A ．-6 B ．6 C ．-3D ．312．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（ ）A ．35B ．11-C ．35-D ．1113．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）A ．210B ．211C ．224D ．22514．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．数列12，16，112，120，…的一个通项公式是（ ） A ．()11n a n n =-B ．()1221n a n n =-C ．111n a n n =-+ D ．11n a n=-16．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个17．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0B ．53C ．73D ．318．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A ．81B ．243C ．324D ．21620．已知数列,21,n -21是这个数列的（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202222．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=23．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >24．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6525．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦26．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 27．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列28．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >29．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 30．已知数列{}2nn a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ）A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <33．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 34．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列35．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于λ的不等式，解之可得λ的取值范围. 【详解】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=，所以3λ<， 故选：A. 【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.2．D解析：D 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，由累加法可得()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，()122211n a n n n n ∴==-++，22222222222311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.故选：D. 【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】令4n =，2447466a =-⨯+=-故选：B. 【点睛】数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.4．A解析：A 【分析】利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．5．C解析：C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.6．B解析：B根据题意，可知()11121n n n a a n ++--=-，分别列出各项，再整理得出132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组求和法，即可求出{}n a 的前48项和. 【详解】解：由题可知，()11121n n n a a n ++=-+-，即：()11121n n n a a n ++--=-，则有：211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，8713a a -=，9815a a +=，，474691a a +=，484793a a -=.所以，132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16， 设数列{}n a 的前48项和为48S ， 则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++++++，()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =+++++++++++++12111221281611762⨯=⨯+⨯+⨯=， 所以数列{}n a 的前48项和为：1176. 故选：B. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.7．B解析：B 【分析】根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-=== ∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，故选：B.本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.8．D解析：D 【分析】在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减法求15a . 【详解】12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅，34332a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D 【点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.9．D解析：D 【分析】根据题意得出1112n n n a a a a +==，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】取1x =，()y n n N*=∈，由题意可得()()()111112n n n af n f f n a a a +=+=⋅==， 112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即112n S ≤<. 故选：D.【点睛】本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．C解析：C 【分析】根据题设条件，得到数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中1234560a a a a a a +++++=，再由2020336644a a a ⨯+==，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 中，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-， 可得3214325436547653,3,6,3,3,a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=，可得数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中1234560a a a a a a +++++=， 所以20203366443a a a ⨯+===-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()211nn a n=--，所以626(1)(61)35a =--=.故选：A 【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.13．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．14．A解析：A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。
高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=. 解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=.（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---1213133312n n n a ---+=++++=， 所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求na 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =(n ∈*N ）①2n ≥时，212322a a a +++ (2)128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-，∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-(4)(2)(28)n =-+-++-2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k-≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b ， ∴}{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，29,22122==b b b a 则 ，∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为2nn S a b =⋅+，且13a =. （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nb a =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-.（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n nT -=++++231111231(2322222n n n n n T --=+++++） ，得2111111(1)232222nn n n T -=++++-，111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()N k ∈， （1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '. 解：（1）由题意：410nn a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n -+'=+++==-+当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n nb a a =，12n n S b b b =+++求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2nn n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2， 若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴=当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,a =2213,3,a a a ∴=∴={}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-，11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++<<-即 当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即 当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中nn n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1）， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]， 即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n .为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = kk2n n S 212132122132⨯++⨯+⨯+=，1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S ，两式相减得：n n nS 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==-（2）由（1）得n n n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①－②得)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++= 1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.n n 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由 1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(Nn n n f n ∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对 恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=，则 ()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-.（2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n n n 9S 22n 56n n ≤≥ （3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++， ∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+.2(1)n n =+ 若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n m n >+对任意*N n ∈成立， *()1N n n n ∈+的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n m T >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *. （1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若8131220,a a m b b b +=求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。
完整版)数列典型例题(含答案)
完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。
因此，前项和为。
⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。
8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。
1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。
2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。
考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。
答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。
解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。
2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。
根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。
数列求和(分组求和、并项法、错位相减、裂项相消)综合经典例题(收藏版)含答案详解
数列求和综合（经典总结版）含答案详解包括四种题型：分组求和、并项法、错位相减、裂项相消一、分组求和例1．求和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.练1.求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥（I ）求数列a n 的通项公式； （Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 21-2223-242(1)n n •-50S n n S练1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．若a 1－a 3＝－32，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .练2 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .例2已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n n a 的前n 项和n S ．练1 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .练2、已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .例3 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .例4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .四、裂项相消裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1n a n n n n ==-++ 1111()(2)22n a n n n n ==-++ ┈┈1111()()n a n n k k n n k ==-++2n p a An Bn C ⇒=++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式）2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦4.)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n 5. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121nnn n n n a ==-++++122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+6.=┈┈12=1k=- 例1．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．练1.等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{nb 的前n 项和．例2．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．例3．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a nb 求数列}{n b 的前n 项和n T .例4．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122n n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .练1、已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，21n n n b a a +=⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334n S ≤<.例5．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4＝9，a 2a 3＝8．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n ．例6. （无理型）设数列{}n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1，证明：1<n S .例7.（指数型）．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝﹣n ﹣1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．例8．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2+2，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N *）， （i ）求T n ；（ii ）证明＝﹣2（n ∈N *）作业：1．设231()2222()n f n n N ++=++++∈，则()f n 等于（ ）A.21n -B.22n -C. 122n +-D. 222n +-2．满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的最小n 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( A ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011004．求和2345672223242526272+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . 5．定义在上的函数满足， 则6．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .7．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1＝1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项，第3项，第5项分别是a 1，a 3，a 21.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .8. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和Tn.R )(x f 2)21()21(=-++x f x f )83()82()81(f f f ++67()()_______88f f +++=数列求和综合答案详解版一、分组求和例1．求和. 【解析】(1+2+3+…+n)+ =【总结升华】1. 一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S . 【解析】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++………… =12(22+2)(123+n)n ++++++…………=1(1)222n n n ++-+ 例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的过程为d ，∵a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列． ∴＝a 1•（a 4+2），即（1+d ）2＝1×（1+3d +2），化为：d 2﹣d ﹣2＝0，解得d ＝2或﹣1．其中d ＝﹣1时，a 2＝0，舍去．∴d ＝2．a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n ＝＝n 2．（Ⅱ）设b n ＝＝，∴n 为偶数时，＝＝16，b 2＝8；11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11111232482n n S n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭111242n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭(1)1122n n n ++-{}n a {}n b {}n n a b +n n Sn 为奇数时，＝＝，b 1＝．∴数列{b n }的奇数项是首项为，公比为．数列{b n }的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝+＝．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】（1）法1（分组）由可得，法2（并项）a1+a2=−4,a3+a4=−4（2）由∴当为奇数，时， ，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-2-a n-1）+an=−4(n−12)+4n-3=2n-1当为偶数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-1+an ）=−4×n2=−2n 【总结升华】1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结. 举一反三：【变式1】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 1(1)(43)n n a n -=--158(157)7(553)[19...(4153)][513...(4143)]2922S ++=+++⨯--+++⨯-=-=2211(181)11(585)[19...(4213)][513...(4223)]4422S ++=+++⨯--+++⨯-=-=-1(1)(43)n n a n -=--n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=n )1(-1n )1(+-n S n 21-2223-242(1)n n •-50S n n S【解析】（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和， 所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
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1．设等差数列{ａｎ｝的前ｎ项和为Sｎ,且S4=4S2,a2n=2a n+１．（1)求数列{a n}的通项公式;（2）设数列{ｂn｝的前n项和为T n且（λ为常数)．令c n＝b2n(n∈Ｎ＊)求数列{cｎ｝的前n项和Ｒn．【解答】解：(１）设等差数列｛a n}的首项为a１，公差为ｄ,由ａ２ｎ＝２a n+１,取n=1,得ａ2=2a1+１，即a１﹣d＋1=0①再由S4=4S2,得，即d=2ａ１②联立①、②得ａ1=1,d＝2.所以a n=a１+(n﹣1)d=1+2（n﹣1)=２n﹣1；(2）把ａn=2ｎ﹣1代入,得，则.所以b1=Ｔ１=λ﹣1,当n≥2时，=．所以,.R n=c1+c2+…+cｎ＝③④③﹣④得:＝所以;所以数列{cｎ｝的前n项和.2．等差数列{ａn}中,a２=4，a4+a7=15.(Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式；(Ⅱ）设b n=2＋ｎ,求ｂ1+ｂ2+b3+…＋b1０的值.【解答】解:(Ⅰ)设公差为ｄ,则,解得,所以aｎ=3＋(n﹣1)=n＋２；(Ⅱ)ｂn=2+n=2n＋ｎ，所以b１+ｂ2＋b3+…+b10＝（２+1)+(22＋2）＋…+(21０+10)＝（2+22+…+２１0）＋（1＋2+…＋１０）=+＝２101．3.已知数列｛ｌｏg2（a n﹣１)｝（n∈Ｎ*)为等差数列,且ａ1=3,ａ3=９．（Ⅰ)求数列｛ａn}的通项公式；（Ⅱ）证明+＋…+<1．【解答】（I)解：设等差数列｛ｌog２(ａｎ﹣１)}的公差为d．由a1＝3,a3=９得2（ｌog2２+d）＝ｌｏｇ22+log２8，即d=1.所以lｏg2(ａｎ﹣1)=1＋(n﹣１)×1=n,即a n=2ｎ+１.（II)证明:因为=＝,所以++…+=+++…＋＝=１﹣＜1，即得证.4.已知{a n｝是正数组成的数列，ａ1=1,且点(,ａｎ＋1）(n∈N＊)在函数y=x２＋1的图象上．（Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;（Ⅱ)若列数｛bｎ}满足b1=1,bｎ＋1=b n+2aｎ,求证:b n•b n＋2<b n+１2.【解答】解：解法一：（Ⅰ)由已知得a n＋1=a n+１、即aｎ+1﹣ａn=１，又a1=1,所以数列｛a n}是以1为首项，公差为１的等差数列.故ａn=１+(n﹣1）×1=n.（Ⅱ）由(Ⅰ)知：ａn=ｎ从而ｂn+1﹣b n=2n．b n=(b n﹣b n﹣１）＋(b n﹣１﹣b n﹣2)+…+(ｂ2﹣b1）+b１=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=∵bｎ•ｂn+2﹣bｎ+12=（2n﹣1)(2n＋2﹣1)﹣(2n+1﹣1)2＝(22n+2﹣2n﹣2n＋2＋1）﹣(22n+２﹣２•２n＋1+1)=﹣2n<０∴bｎ•b n+2＜b n+1２解法二:（Ⅰ）同解法一．(Ⅱ）∵b２＝1b n•b n+2﹣bｎ+1２=（bｎ＋1﹣2n)（b n+1+2n+1）﹣bｎ＋１2=2ｎ+1•ｂn+１﹣2n•bn+1﹣2ｎ•2ｎ+1=2n(b n+1﹣2n＋1)=2n(ｂｎ+2ｎ﹣2n+1)=2n(ｂn﹣2n）=…=2ｎ(ｂ1﹣2）=﹣2n<０∴b n•b n+2<b n+１2５.已知等差数列{a n}满足a1+a2=1０,a4﹣ａ3=２（1）求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{bｎ}满足ｂ2＝a3,b3=ａ7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d.∵a4﹣a３=２，所以d=2∵a1+ａ2=10,所以2a1+d＝10∴a1=4,∴aｎ=4+2(ｎ﹣１)=2n＋2(ｎ=1,2，…）(II）设等比数列｛b n}的公比为q，∵ｂ２＝a3=8,ｂ3＝a7＝16，∴∴q＝２,b1=4∴=128,而１28＝２n＋2∴n=63∴b６与数列{a n}中的第６3项相等6.设等差数列{ａn｝的前n项和为S n，且a5＋a13=34,Ｓ3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；(２）设数列｛b n｝的通项公式为,问:是否存在正整数t,使得b1,ｂ2,ｂm（m≥3,m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值;若不存在,请说明理由．【解答】解:（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故ａn=２n﹣1,Ｓｎ=n2(２）由(1）知.要使b1，b2,b m成等差数列,必须2b2=ｂ1+ｂm，即,（８分）．移项得：＝﹣=，整理得，因为ｍ，t为正整数，所以ｔ只能取2,３，5．当t=２时，ｍ=７;当t＝３时,m=５；当ｔ=５时，m=4.故存在正整数ｔ，使得b1,b２,bｍ成等差数列.7．设{a n｝是等差数列,b n=（)aｎ.已知b1+b2+b3＝,ｂ１b2b3=．求等差数列的通项ａn. 【解答】解：设等差数列{a n｝的公差为ｄ,则a n＝a1＋（n﹣1)d.∴b１ｂ３＝•＝=ｂ22．由b1b２b3=,得b23=,解得ｂ２=.代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或ｂ１=,b3＝2∴a1=﹣1,d=２或a1=３,d=﹣2．所以,当a1=﹣1,d=2时ａn＝ａ1+（n﹣1)d=2n﹣3.当a1=３,d＝﹣2时a n=a1＋(n﹣1）d=5﹣2ｎ．８．已知等差数列｛a n}的公差大于0，且a3,ａ5是方程x2﹣14ｘ＋45=0的两根,数列｛ｂｎ}的前n项的和为Ｓn,且Ｓｎ=1﹣(1）求数列{a n}，{ｂｎ}的通项公式；（2）记c n=a n b n,求证c n+１≤cｎ．【解答】解：(1)∵a３，ａ5是方程x2﹣１4x+45=0的两根，且数列{ａn}的公差d>0，∴a3=５，a５＝9,公差∴aｎ＝a５+（n﹣5）ｄ＝２n﹣１．又当n=1时,有b1=S1=1﹣当∴数列{b n}是等比数列，∴（２）由（Ⅰ）知,∴∴ｃn+1≤c n.9．已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,S5＝３5,ａ5和a７的等差中项为13．（Ⅰ）求ａｎ及Sｎ;(Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列｛bｎ}的前n项和T n.【解答】解:(Ⅰ）设等差数列{ａn}的公差为ｄ，因为S5=5a3=3５,a5+ａ７=26,所以,…（2分)解得a1=3,d=2，…（４分)所以ａn=3+2（n﹣1)=２ｎ+1；S n=3ｎ+×2=ｎ2+2n．…(6分)(Ⅱ）由(Ⅰ）知a n=2n＋1，所以bｎ==…（8分）=，…（1０分)所以T n=.…（12分）1０．已知等差数列｛a n｝是递增数列，且满足a4•a7=15,a3+ａ8=8．（Ⅰ)求数列{a n｝的通项公式;（Ⅱ)令ｂｎ=（n≥2)，b１=，求数列{b n}的前ｎ项和S n．【解答】解:（1）根据题意:ａ3+ａ8=8＝a４+a7,a4•ａ7＝15,知：a4，ａ７是方程x2﹣8ｘ+15=0的两根，且a4<a７解得a4=3，a７=5,设数列｛a n｝的公差为d由.故等差数列{a n}的通项公式为：(2）=又∴=１1.设ｆ（x）=x3,等差数列{a n｝中ａ3=7,ａ1＋a２+a3=12，记S n=，令ｂn=a n S n，数列的前ｎ项和为T n．（Ⅰ）求{ａｎ}的通项公式和Ｓn；(Ⅱ）求证：；（Ⅲ)是否存在正整数ｍ,ｎ，且1<ｍ＜n,使得T1，Tｍ，T n成等比数列?若存在，求出m，n 的值,若不存在，说明理由．【解答】解：(Ⅰ）设数列{a n｝的公差为ｄ,由a3=ａ1＋２d=7,a1+ａ２+a3=3a１+3d＝１2．解得a1＝1,d=3∴ａn=3n﹣2∵f（x)＝x3∴S n＝=aｎ+1=3n+1．（Ⅱ)b n=aｎSｎ=（3n﹣2）（3ｎ+1）∴∴(Ⅲ)由(２)知，∴，∵T1,T m，Tｎ成等比数列．∴即当m=1时，7＝,ｎ=1,不合题意；当m=2时，＝，ｎ=1６，符合题意；当ｍ=3时，=,n无正整数解；当m＝4时,＝,ｎ无正整数解;当ｍ=5时,=,n无正整数解;当m=6时，=，n无正整数解；当ｍ≥7时,ｍ2﹣6m﹣１＝（m﹣3)2﹣10＞0,则，而，所以,此时不存在正整数m,n,且1＜m<n,使得T１,Ｔm,Ｔn成等比数列.综上,存在正整数m＝2,ｎ＝16，且１＜m＜ｎ,使得T1，T m,T n成等比数列．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pｎ2﹣２ｎ+q(p，q∈Ｒ），ｎ∈N＋．（Ⅰ)求的q值；(Ⅱ)若ａ1与a５的等差中项为1８，bｎ满足a n=2log2bｎ，求数列{b n}的前n和T n.【解答】解:（Ⅰ)当n=1时,ａ１=S1=p﹣2＋q当n≥2时,a n=Ｓn﹣S n﹣1＝pn2﹣2n+q﹣p(n﹣1)2+2（n﹣１）﹣q=2ｐn﹣ｐ﹣2∵{ａn｝是等差数列,a１符合n≥2时,a n的形式,∴p﹣2+q=2ｐ﹣p﹣2，∴q＝0(Ⅱ)∵，由题意得ａ３=18又a3＝6p﹣p﹣2，∴6p﹣p﹣２=18,解得p=4∴a n=８n﹣６由a n=2ｌｏg2b n，得ｂn=2４n﹣3．∴,即｛ｂｎ}是首项为2，公比为1６的等比数列∴数列{bｎ}的前ｎ项和.１3.已知等差数列｛aｎ}的前n项和为Ｓｎ,且满足:ａ2＋ａ４=１４，S7=70.(Ⅰ）求数列a n的通项公式;(Ⅱ）设bｎ=,数列b n的最小项是第几项,并求出该项的值．【解答】解:（I）设公差为d,则有…(２分）解得以aｎ＝3n﹣2. …(4分）(ＩI)…(6分)所以=﹣１…（１0分）当且仅当，即n=4时取等号，故数列{b n}的最小项是第4项,该项的值为２３．…（12分）１4．己知各项均为正数的数列｛a n｝满足a n+12﹣a n+１ａn﹣2a n２=0(n∈N*），且ａ３+２是a２,a的等差中项．４（１）求数列{a n}的通项公式ａn;（2）若bｎ＝ａnａn,Sｎ=b1＋b2+…+ｂn，求Sｎ＋ｎ•２n+１＞５0成立的正整数n的最小值.【解答】解：(Ⅰ)∵a n+12﹣aｎ＋1aｎ﹣2ａn2=0，∴(aｎ+１+ａｎ）（a n＋１﹣2a n)=0,∵数列{aｎ}的各项均为正数,∴a n+1+ａn>0,∴aｎ+1﹣2a n=0，即a n+1=2ａｎ,所以数列{aｎ}是以2为公比的等比数列．∵ａ3+２是ａ2,a4的等差中项，∴ａ2+a4=2a３＋４，∴2a1＋8ａ１=8a1＋4，∴a１=2,∴数列{a n}的通项公式ａn=2n.(Ⅱ)由(Ⅰ）及ｂn=得,ｂn=﹣n•2ｎ，∵S n=b1+b2＋+b n,∴S n=﹣2﹣2•２2﹣3•23﹣４•2４﹣﹣n•2ｎ①∴２S n=﹣2２﹣2•23﹣3•2４﹣4•25﹣﹣(n﹣1）•2n﹣n•2n＋1②①﹣②得，S n＝２+22+23＋2４+２5++２ｎ﹣ｎ•2ｎ+1=,要使S n+n•2n+1＞50成立,只需2n+1﹣2>５0成立，即2n+1>52，∴使Ｓn+n•2n＋1>5０成立的正整数ｎ的最小值为5.１5．设数列{a n｝的前n项和为Sｎ,且a1=1,ａn+１＝2Ｓｎ+1,数列{ｂn}满足a1=b1，点P（b n,b)在直线ｘ﹣y＋２=0上,n∈N＊．ｎ+1(Ⅰ)求数列{a n｝，{b n}的通项公式;(Ⅱ)设,求数列｛c n}的前n项和Ｔn.【解答】解:(Ⅰ）由a n+1=２Ｓn＋１可得a n＝2S n﹣1+1（n≥２), 两式相减得aｎ＋1﹣a n=2ａn,a n+１=3ａｎ(n≥2）.又ａ2＝２Ｓ1＋１=３,所以ａ2=3ａ1.故{a n}是首项为１,公比为３的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点Ｐ（bｎ,b n＋１)在直线x﹣y+２=0上，所以b n+1﹣bｎ=２. 则数列{bｎ｝是首项为１，公差为２的等差数列．则b n＝1＋（ｎ﹣1)•2=２n﹣1(Ⅱ)因为,所以. 则,两式相减得:.所以＝.。