2422切线长定理1
切线长定理—知识讲解(基础)
切线长定理一知识讲解(基础)责编：康红梅【学习目标】1. 了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2. 掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称•切线是直线，而非线段•2 .切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等3 •圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等•要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆•这个三角形叫作圆的外切三角形•2 •三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心•三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点•要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即；:- 1 I'：(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2内心(三角形三角形三条角平分线X(1)到三角形三边距离相等;内切圆的圆的交点(2)OA、OB OC分别平分心)M BAG M ABG M ACB⑶内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1. (2015秋?湛江校级月考)已知PA PB分别切OO于A B, E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1 )若PA=6,求厶PCD的周长.(2)若/ P=50°求/ DOC解：(1)连接OE••• PA PB与圆O相切，••• PA=PB=6同理可得：AC=CE BD=DE△ PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+P；=12(2)T PA PB与圆O相切，•••/ OAP M OBP=90 / P=50°,•••/ AOB=360 - 90°- 90°- 50° =130°,在Rt △ AOC和Rt △ EOC 中，r OA=OEOC=OC，L• Rt△AO Q Rt△EOC( HL),•••/ AOC H COE同理：/ DOE M BOD•••/ COD= M AOB=65 .2【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键.2 . (2016秋?江阴市校级期中)如图，AB、AC、BD是O O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5 ,AC=3，贝U BD的长为 _________【解析】解: •/ AC 、AP 为O O 的切线, 举一反三： 【变式】已知：如图，OO过点A 作AD _ BF 于点D .求证：DA 为OOAC 、BD 是O O 的切线，贝U AC=AP , BP=BD ，求出BP 的长即可求出 BD 的长.••• AC=AP ,•/ BP 、BD 为O O 的切线,• BP=BD , • BD=PB=AB - AP=5 - 3=2.故答案为：2.【总结升华】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键. 为.：ABC 的外接圆，BC 为OO 的直径，作射线 BF ，使得BA 平分三CBF , 的切线.AO = BO2 = . 3 .BA 平分.CBF ,• • 1 =. 2. • Z 3 Z 1 .DB // AO .AD _DB , • £BDA =90 . /.Z DAO =90 .AO 是O O半径，• DA 为O O 的切线. 3.如图，正方形 ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过 A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ ADE 的面积（ ）【答案】2.【答案】 连接AO .A.12B.24C.8D.6【答案】D;【解析】••• AE与圆0切于点F,显然根据切线长定理有AF=AB=4cm , EF=EC ,设EF=EC=xcm ,则DE= (4 - x) cm, AE= (4+x) cm ,在三角形ADE中由勾股定理得：2 2 2(4 - x) +4 = (4+x),x=1cm,/• CE=1cm ,.DE=4 -仁3cm ,2--S^\DE=AD ?DE -=2=3 ^4^2=6cm -【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF , EF=EC .类型二、三角形的内切圆4. (2015?青江市校级二模)如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，00经过B点且与AI相切于I点.(1)求证：AB=AC(2)若BC=16 00的半径是5，求AI的长.【解题思路】(1)延长AI交BC于D,连结OI,如图，根据内心的性质得/ OBI=Z DBI,则可证明OI// BD 再根据切线的性质得OI 丄AI，贝U BDLAD加上AI平分/ BAC所以△ ABC为等腰三角形，得到AB=AC (2)由OI// BC得到△ AOI sA ABD 得到比例式，再根据勾股定理求得A D JA B2— BD2=贸，于是就可得. 【答案与解析】解：(1)延长AI交BC于D,连结OI，如图,• AI= ?AD= 'XBD 8二11 ~=~••T是厶ABC的内心，••• BI 平分/ ABC 即/ OBI=Z DBI, •/ OB=O|•••/ OBI=Z OIB,•••/ DBI=Z OIB,•01 // BD•/AI为OO的切线，•01 丄AI,•BDLAD•/ AI 平分/ BAC•△ ABC为等腰三角形，•AB=AC(2)T OI // BC•△AOI sA ABD•-y•l i. H i ii，•订:•/.=:,AB』• Ai2"32,【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键.举一反三：【变式】已知如图，△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3求厶ABC的内切圆O O的半径r.【答案】连结OA OB OC•/△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3 • AB=5.1111贝U S\AO+S A CO+S^AO(=S^ABC即卩5r+ 4r+ 3r= 3 4 r=12 2 2 2，。
切线长定理 课件 1 人教版
?
32 、肯承认错误则错已改了一半。
?
33 、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
?
34 、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
?
35 、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
?
36 、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
?
37 、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
?
38 、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
∠BOC的度数。
解：? 点O是内心 ? ? OBC ? 1 ? ABC ? 250
2 ? OCB ? 1 ? ACB ? 37.50
2 ? ? BOC ? 180 0 ? ? OBC ? ? OCB ? 117.5 0
B
A
O
C
例题：
例2 如图,ABC 的内切圆⊙O与BC、CA、
AB 分别相切于点D、E、F，且
?
巩固：
1、下列说法错误的是（ ） A 、过圆上一点可以作一条直线和圆相切 B、过圆外一点可以作两条直线与圆相切 C、从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相 等 D、从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
巩2、固如：图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O于E、
D、F，若AD=20cm ，则△ABC 的周长 为.
?
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
?
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
?
10 、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
?
11 、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
?
12 、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
24.2.2切线长定理(用)知识讲稿
知识拓展
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l , 求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、 OB、OC。）
若△ABC的内切圆半径为 r ,
周长为 l ,
A
则S△ABC=
1 lr 2
r
r
B
O r
C
切线长定理 拓展
回顾反思 1.切线长定理
·A
O·
·P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
。
P
∠OPA=∠OPB
O
A
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A， B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即 ∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字 语言叙述 你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
归纳总结切线长定理：从圆外一点引圆的
是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
A D
abc
O
●┗
F
r
2 .B
┓
EC
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为
a,b,c. 求内切圆⊙O的半径r.
A
D
F
O
●
┓
B
E
C
r 2S . S1rabc.
abc
2
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
AD E
O
B
C
3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
2422 第3课时 切线长定理
第3课时
切线长定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-6-
5.如图,在△ABC中,∠BAC=40°,点P是△ABC的内心,则∠BPC= ( B ) A.80° B.110° C.130° D.140°
第3课时
切线长定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-7-
6.【教材母题变式】 如图,△ABC中,∠C= 90°,☉O是△ABC的内切圆 ,D,E,F是切点.
∴△PDE 的周长= 12.
( 2 )∵DA,DC 分别是☉O 的切线,∴OA⊥DA,OC⊥DC.
在
Rt△ODA 与
Rt△ODC 中,
????= ????=
????, ???,?
∴△ODA≌△ODC( HL ),∴∠DOA=∠DOC.
同理可证∠COE= ∠BOE,∴∠DOE= 12∠AOB.
∵∠P+ ∠AOB=360°-90°-90°= 180°,
13
A. 3
9
B.2
4 13
C. 3
D.2 5
【变式拓展】 如图,以正方形 ABCD的边BC为直径作半圆 O,过点D作直线切半圆于点 F,交AB于
点E,则△ADE和直角梯形 EBCD的周长之比为 6∶7 .
第3课时
切线长定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-13-
13.如图,四边形 ABCD 中,AD 平行 BC,∠ABC=90°,AD=3,AB=8,以 AB为直径的半☉O 切 CD 于点 E,F 为弧 BE 上一动点,过 F 点的直线 MN 为半☉O 的切线,MN 交 BC 于点 M,交 CD 于点 N,则△MCN 的周 长为 ( C )
24.2.4切线长定理
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
推理验证
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. A
证明：∵PA切☉O于点A， O.
P
∴ OA⊥PA.
B
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
24.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. （难点）
讲授新课
一 切线长定理及应用
互动探究
问题1 我们已经学习了过圆上一点作已知圆的切线(如 左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线 呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
想一想：若连结两切点A、B，AB交
A
OP于点M.你又能得出什么新的结论? O. M
并给出证明.
P
OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
想一想：若延长PO交⊙O于点C， A
求证：AB+CD=AD+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O H
分别相切与点E、F、G、H，
G C
O· F
A
EB
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
切线长定理—知识讲解
切线长定理—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC和Rt△EOC 中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD，∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.【答案与解析】连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形.∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED，∴DE是⊙O切线.【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A作AD BF⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.FCFC【答案】连接AO.∵AO BO=，∴23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒.∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. 3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A.12B.24C.8D.6【答案】D ；【解析】∵AE 与圆O 切于点F ，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm ，EF=EC ，设EF=EC=xcm ，则DE=（4﹣x）cm ，AE=（4+x ）cm ，在三角形ADE 中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x ）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S △ADE =AD•DE÷2=3×4÷2=6cm 2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF ，EF=EC ．类型二、圆外切四边形 4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【答案】B.。
24.2.2切线长定理
三角形的内切圆
1.内切圆： 三边都相切 的圆 与三角形____________ 叫三角形的内切圆. 2.三角形的内心: 内切圆 的圆心, 三角形的内心是__________
三角形三条角平分线 的交点， 它是______________________
三角形三边 距离相等。 到_____________
O
。
P
A
O。
C
P
A
第1题
第2题
3. 下列说法中，错误的是（ C ） A.三角形的内心是三条角平分线的交点 B.锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的内心 都在三角形内部 C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.三角形内心到三角形三边距离相等
C
B O
。
1 2
P
A
思考
一张三角形的铁皮，如何在它上 面截下一块圆形用料，且使圆与 三角形的三边都相切？
A
B
C
如何作三角形内切圆？
作法： 1. 作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。
A
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I即为所求的圆。
B N I D C M
B
。
1 2(
O
P
A
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和 这一点的连线平分两条切线 的夹角。 几何语言: ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA=PB ∠1=∠2
B O
。
1 2
P
A
练习
• 1. PA,PB是⊙O切线，A,B为切点,半径为3cm。 • （1）若PA=4cm，则PO是多少？ • （2）若∠ APB= 60º，则PO是多少？ B 解：（1） ∵PA切⊙O于A ∴ ∠PAO= 90º 在Rt△POA中， PO= PA2 OA2 =5cm (2) ∵PA,PB切⊙O于A,B 1 ∴ ∠OPA= ∠ APB = 30º 2 在Rt△POA中， PO=2OA=6cm
切线长定理几何语言
切线长定理几何语言
切线长定理是一个数学定理，它定义了某个特定几何图形的特定部分。
它可以定义圆的外切矩形或者椭圆的外切矩形等。
1. 定义：
切线长定理是指，在几何图形中，曲线上任意一点到图形对称轴（如
椭圆的长轴和短轴）所形成的距离，乘以它到两个焦点之间的距离，
始终等于一定值。
2. 应用：
（1）圆的外切矩形：任意一点到圆心的距离乘以它到两个圆心之间的
距离，始终都等于圆的半径的平方，这就是切线长定理。
（2）椭圆的外切矩形：任意点到椭圆的长轴的距离乘以它到椭圆的两
个焦点之间的距离，始终都等于椭圆的短轴的平方，这也是切线长定理。
3. 证明：
切线长定理可以用几何证明来得到，比如用三角函数证明，则可以把
椭圆看作一个具有参数的曲线，利用曲线两点间的切线的中点的距离
的一定等式，来证明切线长定理。
4. 结论：
根据以上证明，可以得出：在一定特定的几何形状中，曲线上任意一点到图形的对称轴的距离，乘以它到两个焦点之间的距离，始终等于一定值，这就是切线长定理。
人教版九年级上册数学课件24.2.2切线长定理
求证：AC∥OP.
B 点C到⊙O的切线长
· 1、如图，一个钢管放在V形架内，钢管的半径是20cm.
点A到⊙O的切线长
∵OA＝OB OP＝OP
∵PA、PB是⊙O的切线
(3)经过圆外一点，作⊙O的切线，能作出几条？
· 规则：同学们得到答案后，随机确定一个小组派代表讲解，保底分3分！
这一点和圆心的连线_____两条切线的夹角. (2)如果∠UVW=60°，VT是多少？ 到⊙O的切线长为_____
谈谈你本堂课的收获！
证明：∵BC是⊙O的直径
1
2
4
3
∴∠1＝90° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴PA＝PB ∠2＝∠3
∴PD⊥AB
∴∠4＝90° ∵∠1＝∠4
∴AC∥OP
规则：同学们得到答案后，随机确定一个小组派代表讲解，保底分3分！
2、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA、PB
∵∴POAA、 ⊥1PA、BP是⊙O如B⊥O的B图P切线，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A=50°，点P是圆上异
到⊙O的切线长为_____ 到⊙O的切线长为_____
50°
规则：同学们得到答案后，随机确定一个小组派代表讲解，保底分3分！
3、如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，
(3)经过圆外一点，作⊙O的切线，能作出几条？
规则：同学们在书本上完成题目，之后确定一个小组派代表展示，保底分3分！
在Rt△VUT中
∵PA、PB切⊙O于A、B
在Rt△VUT中 ∴OA⊥AP OB⊥BP
?
VT VU 2＋ UT 2
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CA
O
P
B
反思：在解决有关
A
圆的切线长的问题
时，往往需要我们
构建基本图形。
。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点（直角） （2）连结两切点（等腰三角形）
（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一 块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大 呢？
思考
A
A
N OM
P
B
相相等等的线弧段：：AA⌒PF==BB⌒PF,AO=BO,AE=BE 垂直关系：AO⊥PA,AB ⊥ OP,BO ⊥ BP
例1 如图，已知⊙O的半径为3cm.点P和圆 心O的距离为6cm，经过点P有⊙O的两条切
线PA 、 PB,则切线长为_3___3_cm，这两条
切线的夹角为_6_0__°__， ∠ AOB_1__2_0_°_。
内心
B
B
C
D C
三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
A
三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心
B
（即三角形三条角平分线的交点）
O
C
例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别 相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长。
=117.5°
O C
练习2
△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求△ABC 的面积。 （提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）
A 解：连接OA、OB、OC，则
S=
1 2
AB
×
r
+
1 2
AC
×
r
+
1
2 BC × r
= 1(AB +AC+BC) × r
2
= 1lr
2
r rr Or
B C
小结：
（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问题 时常用的辅助线。
巩固性练习：
1．已知：如图，△ABC 中，∠ABC=90 ， AB上一点O，以O为圆心的⊙O交OA于E， 切AC于D，AD＝2，AE＝1，求CD的长。
A
E D
o BC
3、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1) 求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4，
已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A 点，连接OA、OP，如果将⊙O沿直线OP翻折， 存在一点与A点重合吗？
A
O
P
B PA、根 的 它P据 一 也B圆 点 是所你O的B⊙在，B能轴o的且的与对发落一直P称现在条B线性之圆半O，分A上径间存别与，。的在是连P关与A接⊙A系，点OoB两重，合则条切线。
A
在边长为3cm，4cm，5cm的三角形 x 的铁皮上剪下一个最大的圆，
x
F
9﹣x
求此圆的半径
E
B O
13﹣x
9﹣x
D
13﹣x
C
圆的外切四边形的两组对边和相等。
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA 和圆O分别相切于L，M，N，P。
探索圆外切四边形边的关系。
DN C P OM
A
LB
DN=DP=x AP=AL=y CN=CM=z
BL=BM=w
练习．某梯形中位线为18cm,且梯形有 内切圆，求梯形周长。
A
B
D
C
练习1
如图，△ABC中，∠ ABC=50°，∠ACB=75 °，点O
是⊙O的内心，求∠ BOC的度数。
A
解：∵点O是⊙O的内心 ∴∠OBC=1/2∠ABC=25°
∠OCB=1/2∠ACB=37.5°
B
∴ ∠BOC=180°﹣25°﹣37.5°
根有据什你么的关直 系观 ？判断，猜想图中又POAA是=O否B，等O于P=POB？P，∠1与∠2又
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
A
O
P
B
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
切线长定理的拓展 A
D
O EF
B
。
P
O
A
形成性练习：
点P和圆心O的距离为6cm ，过P有圆O 的两条切线PA、PB。
①若半径为3cm,求切线长、切线夹角 ∠APB。
②若∠APB=600 ，OP=6cm,求 半径及 AP。
③若AB=6cm, ∠APB=600 , 求OP.
A
O
P
B
拓展： 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线， 分别切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的 切线分别交PA 、PB于D 、E
吗？AOPB经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
A
1
O
M2
⌒
P
证明：
B
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP
（1）若PA=2，则△PDE的周长为__4__；若PA=a， 则△PDE的周长为_____。2a
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则 ∠DOE=__7_0__°;若∠P=k,∠DOE=__(_1_80___k)____ 度 。
2
A
D
P
C
·
O
E B
例2. 已知：P为圆O外一点，PA，PB 为圆O的切线，A，B为切点，BC是 直径。
求OB的长.
C E
D
A
·O B
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为 60°的工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？ 若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这 个圆半径的近似值。