64知识讲解 带电体在电场中的运动(提高)

物理总复习：带电体在电场中的运动【考纲要求】1、知道带电体在电场中的运动特点；2、会综合力学知识分析带电体在电场中的运动问题；3、会用能量的观点处理带电体在电场中的运动问题。

【考点梳理】考点、带电体在电场中的运动要点诠释：1、在复合场中的研究方法（1）牛顿运动的定律+运动学公式（2）能量方法：能量守恒定律和功能关系动量方法：动量守恒定律和动量定理2、电场中的功能关系：（1）只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变。

（2）只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变。

（3）除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。

（4）电场力做功的计算方法①由公式cos W Fl θ=计算，此公式只在匀强电场中使用，即cos W qEl θ=。

②用公式AB AB W qU =计算，此公式适用于任何形式的静电场。

③静电场中的动能定理：外力做的总功（包括电场力做的功）等于动能的变化。

由动能定理计算电场力做的功。

【典型例题】类型一、带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒（1）带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能 量守恒，即 +PG K P E E E +=电恒定值（2）带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力 势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。

例1、如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且相邻两等势面的电势差相等，一个正电荷在等势面U 3上时具有动能4210J -⨯，它运动到等势面U 1时，速度为零，令U 2=0，那么该点电荷的电势能为5410J -⨯时，其动能大小是多少？（设整个运动过程中只有电场力做功）【思路点拨】（1）确定每两个等势面之间的电势能的差值，（2）根据零势面，确定电势能零点，这是同一个等势面；（3）根据有一个已知量的等势面（零势面）确定总能量，（4）所求任意点的某能量就等于总能量减去这点的一个已知能量。

【答案】5610J -⨯【解析】在静电场中运动的电荷，它的机械能和电势能之和保持不变，即能量守恒，由此出发分析问题时比较方便。

由于每两个等势面之间的电势差相等，则电势能的差值也相等，又因为“一个正电荷在等势面U 3上时具有动能4210J -⨯，它运动到等势面U 1时，速度为零”，说明每两个等势面之间的电势能的差值为4110J -⨯，（也可以根据电场力做功来理解），令U 2=0，即设等势面U 2的电势能为零，则等势面U 1的电势能为4110J -⨯，等势面U 3的电势能为4110J --⨯，总的能量为444333210(110)110K P E E E E J J J ---==+=⨯+-⨯=⨯，则任意点M 的动能大小为 4553110410610KM PM E E E J ---=-=⨯-⨯=⨯。

【总结升华】本题各等势面的能量关系：等势面U 1的动能为0，电势能为4110J -⨯，总能量为4110J -⨯。

等势面U 2的动能为4110J -⨯，电势能为0，总能量为4110J -⨯。

等势面U 3的动能为4210J -⨯，电势能为4110J --⨯，总能量为4110J -⨯。

以上关系充分体现了能量守恒，要体会能量守恒的涵义。

解决静电场中能量守恒问题的思路和基本方法：（不是唯一的只是推荐）（1）确定每两个等势面之间的电势能的差值，如本题利用等势面U 3的已知动能和等势面U 1的动能为零来确定；（2）根据零势面，确定电势能零点，这是同一个等势面；（3）根据有一个已知量的等势面确定总能量，本题利用等势面U 3，两个能量值相加（代数和，注意正负）；（4）所求任意点的某能量就等于总能量减去这点的一个已知能量。

举一反三【变式】图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。

一带正电的点电荷在静电力作用下运动，经过a 、b 点时的动能分别为26eV 和5eV ．当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8eV 时，它的动能应为（ ）A.8eVB. 13eVC. 20eVD. 34eV【答案】C【解析】相邻等势面的电势差相等，电荷在穿过相邻的等势面间时电场力做功相等，动能减少了21eV ，电势能增加了21eV ，即每个等势面间的电势能相差7eV 。

等势面3的电势为0，点势能为零，动能为12eV ，即总能量等于12eV 。

当电势能变为－8eV 时，根据能量的转化和守恒定律，其动能为12(8)20K P E E E eV eV eV =-=--=，故选C 。

这一点在什么地方呢？（在等势面2的左边一点）。

例2、一带电油滴在匀强电场E 中的运动轨迹如图中虚线所示，电场方向竖直向下，若不计空气阻力，则此带电油滴从a 运动到b 的过程中，能量变化情况为（ ）A 、动能减小B 、电势能增加C 、重力势能和电势能之和减小D 、动能和电势能之和增加【思路点拨】重力势能、电势能、动能三者之和保持不变，分析出它们的变化情况，再根据题中选项进行分析确定。

【答案】C 【解析】由轨迹图可知，合力指向轨迹凹的一侧，即竖直向上，带电油滴所受重力小于电场力，故从a 到b 的运动过程中合外力做正功，动能增加，A 错误；从a 到b 的运动过程电场力做正功，电势能减小，B 错误；根据功能关系可知，在从a 到b 的运动过程中只有重力、电场力做功，因此重力势能、电势能、动能三者之和保持不变，因该过程中动能增加，因此重力势能和电势能之和减小，C 正确；从a 到b 的运动过程中重力做负功，重力势能增加，因此动能和电势能之和减小，D 错误，故选C 。

【总结升华】本题在电场和重力场的复合场中重点考察带电小球的功能关系转化，在学习过程中要明确各种功能关系是解这类问题的关键。

举一反三【变式】如图所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E ，在其上端，一个质量为m ，带电量为+q 的小球由静止下滑，则（ ）A. 小球运动过程中机械能守恒B. 小球经过最低点时速度最大C. 小球在最低点受到的压力 mg qE +D. 小球在最低点受到的压力为3()mg qE +【答案】BD【解析】小球在重力场和静电场构成的复合场中运动时，重力势能、动能和电势能之和守恒，小球由静止下滑的过程中，电场力做功，电势能发生变化，因此球的机械能不守恒，选项A 错误；带正电的小球在最低点处电势能和重力势能都最小，由能量守恒知，其动能必定最大，速度最大，选项B 正确；对小球运用动能定理 212mgR qER mv +=； 在最低点运用牛顿第二定律 2v N mg qE m R--= 解得小球在最低点受到的压力是3()N mg qE =+类型二、等效“重力场”问题例3、(2014 深圳模拟) 用一根长为l 的丝线吊着一质量为m 、带电荷量为q 的小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，如图所示，丝线与竖直方向成37°角。

现突然将该电场方向变为向下但大小不变，不考虑因电场的改变而带来的其他影响(重力加速度为g )，求：(1)匀强电场的电场强度的大小；(2)小球经过最低点时丝线的拉力。

【答案】(1) 34mg q (2) 4920mg 【解析】(1)小球静止在电场中受力如图所示，显然小球带正电，由平衡条件得：mg tan 37°＝qE ①故34mg E q= ② (2)当电场方向变成向下后，小球开始摆动做圆周运动，重力、电场力对小球做正功。

由动能定理得：21()(1cos372mv mg qE l =+-︒) ③由圆周运动知识，在最低点时，2=()T v F F mg qE m l-+=向 ④ 由③④解得4920T F mg =. 举一反三【变式】如图所示，在竖直平面内，有一半径为R 的绝缘的光滑圆环，圆环处于场强大小为E ，方向水平向右的匀强电场中，圆环上的A 、C 两点处于同一水平面上，B 、D 分别为圆环的最高点和最低点．M 为圆环上的一点，∠MOA=45°．环上穿着一个质量为m ，带电量为+q 的小球，它正在圆环上做圆周运动，已知电场力大小qE 等于重力的大小mg ，且小球经过M 点时球与环之间的相互作用力为零．求：（1）带电小球在圆环上做圆周运动的最小速度；（2）小球经过A 、B 、C 、D 点时的动能；（3）小球在圆环上做圆周运动的最大速度及位置。

【答案】（1）min 2v gR =（2）321)KA E mgR =-，321)KB E mgR =32(1)2KC E mgR =+，32(1)2KD E mgR =-（3）连接MO 并延长至与圆环的交点P ，max 52v gR =【解析】（1）小球经过M 点时球与环之间的相互作用力为零，M 是等效“最高点”，此时小球的速度最小，重力与电场力的合力提供向心力，已知qE mg =，∠MOA=45°，=2F mg 合，根据牛顿第二定律 2=2M v F mg m R=合 所以M 点的动能22kM E mgR =，最小速度为min 2v gR =. (等效“重力加速度”为2g g '=，则 min 2v g R gR '== ) （2）当小球从M 点运动到A 点的过程中，电场力和重力做功分别为2(1cos 45)(1)E W mgR mgR =--=--o 2sin 452G W mgR mgR ==o 根据动能定理 22(1)22KA KM mgR mgR E E --=- 所以A 点的动能32(1)2KA E mgR =- 同理32(1)2KB E mgR =+ 32(1)2KC E mgR =+，32(1)2KD E mgR =-。

（3）速度最大点在等效“最低点”，连接MO 并延长至与圆环的交点P 就是等效“最低点”，如图所示。

从M 到P 点（前面已求出的A 、B 、C 、D 的动能都能用，但要保证正确，从B 到P 最简单）根据动能定理 2sin 452cos 45KP KM mg R F R E E +=-o o解得最大动能为52KP E =，最大速度max 52v gR =类型三、电场中的功能关系【高清课堂：带电体在电场中的运动2例4】例4、一个质量为m 的带电量为－q 的物体，可以在水平轨道O x 上运动，轨道O 端有一与轨道垂直的固定墙。

轨道处于匀强电场中，电场强度大小为E ，方向沿O x 轴正方向。

当物体m 以初速度0v 从0x 点沿x 轴正方向运动时受到轨道大小不变的摩擦力f 的作用，且f Eq <，设物体与墙面碰撞时机械能无损失，且电量不变，求：（1）小物体m 从0x 位置运动至与墙面碰撞时电场力做了多少功？（2）物体m 停止运动前，它所通过的总路程为多少？【思路点拨】对小物体进行运动过程分析，根据静电场场力做功与路径无关求出小物体所通过的总路程。