圆锥曲线定义的应用
圆锥曲线第二定义的应用
|
5 3
d
即 d=3/5|MF2|
|
MA
|
3 5
|
MF2
||
MA
|
d
a2
9 36
(| MA | d )min xA
c
9 5
5
例3：已知M为抛物线 y2 4x 上一动点，F为抛物线的焦点，
定点P(3,1),则 MP MF 的最小值为（ B）
(A)3
(B)4
(C)5
(D)6
. . ..
解：由抛物线的定义可 得：
X
d2
第离一的标椭比准圆为位常置：数：e｜(的M点F1| = a + ex , |MF2| = a - ex
第二M的标轨准迹位，置定：点｜FM叫F1焦| =点a，+ 定ey直, 线|MlF叫2|准= 线a -。ey
双曲线:
绝对值内看焦点，左加右减 去绝对值看分支，左负右正
点M在右支上
点M在左支上
y
x
xA
10
此时M (2 3, 3)
例例32：：已知双曲线方程为
x2 9
y2 16
1的右焦点为 F2, M是双曲线
右支上一点，定点
A(9,2),
求
|
MA
|
3 5
|
MF2
| 的最小值
y
解：由双曲线第二定义得：
dM.
| MF2 | e, (d为M到右准线的距离) d
.
F1 O
. •A
F2
x
即|
MF2
由上例可知：
直线m为：4x 5y 25 0
x o
dmax
40 25 42 52
圆锥曲线基本题型总结
锥曲线基本题型总结:提纲:一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1•设F-F2为泄点,∣F1F2∣=6 ,动点M满足IMF I I+∣M F2I= 6 ,则动点M的轨迹是（）1/1C.圆D.线段【注:2a>|Fi F2I是椭圆，2a=∣Fι F2 I是线段】2.设％4, O), C(4,0) ,KZLlSC的周长等于18侧动点/1的轨迹方程为()A.5J+= 1 (yH0) -B.+ ∖ f ( X2,9)=1 (yH 0 )C错误!-错误!=1 G∙≠ 0) °D∙错误! + = 1 (y≠0)【注:检验去点】3.已知力(0, — 5)、B(0,5),昭I 一砂∣=2α,当α=3或5时，P点的轨迹为()A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线【注:2a<|F I F2∣是双曲线，2a=∣ F1F2∣⅛射线，注意一支与两支的判断】4•已知两左点巧(一 3,0),尸2(3.0),在满足下列条件的平而内动点P的轨迹中,是双曲线的是()A↑∖PF i∖-∖PF2 I |=5B.∣ I PFll-I PF2∖ I =6C.∣∣PF1∣-∣PF2∣∣=7D.∣ I PF1∖-∖PF2∖ I =0 【注ι2a<∣Fι F2∣是双曲线】5•平而内有两个泄点Fι(-5,0)和F2( 5 ,0),动点P满足IPF I l-I PF沪6 ,则动点P的轨迹方程是()A.∖ f(x2, 1 6)- 错误! = l(xW-4) "B.错误!∙=l(xW∙3)C- = I(XM 4) 。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用 1圆锥曲线的定义：(1) 椭圆 ________________________________________________________________ (2) 双曲线 ________________________________________________________________ (3) 抛物线 ________________________________________________________________ 2、 定义的应用(1) 寻找符合条件的等量关系 (2 )等价转换，数形结合 3、 定义的适用条件： 典型例题2 2 2 2例1、动圆M 与圆C i ： x 1 y 36内切，与圆C 2： x 1 y 4外切，求圆心M 的 轨迹方程。
例2、方程x 6 2 y 2 x 6 $ y 28表示的曲线是 __________________题型二：圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断) 1、椭圆：由x 2、y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线：由x 2、y 2系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
典型例题(1) 是椭圆；(2)是双曲线.例1、已知方程x 21表示焦点在y 轴上的椭圆，贝U m 的取值范围是 _______________例2、k 为何值时，方程1表示的曲线:题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、 PF 1 m, PF 2 n , m n, m n, mn, m 2 n 2四者的关系在圆锥曲线中的应用典型例题2 2例1、椭圆x 2 每 i （a b 0）上一点P 与两个焦点F i , F 2的张角FPF ，a b求F 1PF 2的面积。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义：1. 什么是圆锥曲线：圆锥曲线是指满足特定条件的曲线，它利用三角函数与立体几何图形结合生成。
简言之，当一条曲线贯穿一个圆孤和一个平面，并在圆上和平面上满足有关关系时，它就是圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的数学特征：圆锥曲线是一种曲线，它满足特定的约束关系，可以由方程组表示：r=z/cosθ或r=1/sinθ。
其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离，z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离，θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
3. 圆锥曲线的物理应用：圆锥曲线是多方面用途，在工程应用中有着重要地位，主要是因为圆锥曲线可用来表示周向和纵向的形变，它们也经常用于航空、船舶和汽车的设计。
例如，它可以用来表示飞机机翼的形状。
4. 圆锥曲线的构成：圆锥曲线由一个圆锥和一个平面构成，所以它也常被称为圆锥-平面曲线，是指当一条曲线贯穿一个圆锥和一个平面，并在圆锥上和平面上满足有关关系（且这两个关系上的函数要满足l次可积方程）时，它就称为圆锥曲线。
5. 相关几何定义：圆锥曲线通过以下几何定义确定：它可以由一个圆柱体和一个平面构成，其中圆柱体由一条等流线和一条垂直于它的矢量组成，平面由它的法线矢量和一条曲线组成。
该曲线（椭圆或双曲线）的一条切线扫描等流线，而另一条切线与平面的法线构成的平面垂直；这两条切线将圆柱体分成两个由圆盘和一段圆锥组成的元件。
6. 解析表达式：可以使用两个方程描述圆锥曲线：r=z/cosθ或r=1/sinθ，其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离；z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离；θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
结合几何定义及数学特征，可以更容易地理解两个方程。
掌握数学中的圆锥曲线与双曲线
掌握数学中的圆锥曲线与双曲线圆锥曲线与双曲线是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学以及其他应用领域中都有广泛的应用。
掌握圆锥曲线与双曲线的性质和特征对于解决实际问题、推导数学公式以及拓展数学知识都非常重要。
本文将详细介绍圆锥曲线与双曲线的定义、性质以及一些重要的应用。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在平面上由一个动点P和一个固定点F（焦点）确定的几何图形。
当动点P满足定点到动点的距离和定点到直线的距离之比为定值（离心率）时，所生成的曲线就是圆锥曲线。
根据离心率的不同取值，圆锥曲线可以分为四种：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
2. 圆锥曲线的性质（1）椭圆：椭圆是圆锥曲线中离心率小于1的情况。
椭圆具有两个焦点，并且动点P到两个焦点的距离之和是一个定值。
（2）双曲线：双曲线是圆锥曲线中离心率大于1的情况。
双曲线同样具有两个焦点，但动点P到两个焦点的距离之差是一个定值。
（3）抛物线：抛物线是圆锥曲线中离心率等于1的情况。
抛物线具有一个焦点，并且动点P到焦点的距离等于焦点到直线的距离。
（4）直线：当离心率趋于无穷大时，圆锥曲线变成一条直线。
3. 双曲线的定义双曲线是一个平面上的点P到两个不相交的固定点F1和F2的距离之差等于一个常量的轨迹。
双曲线的形状可以用以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示双曲线的横轴和纵轴的长度。
4. 双曲线的性质（1）双曲线具有两条渐近线，与双曲线趋近于无穷远处且永不相交。
（2）双曲线的对称轴是横轴和纵轴的平分线，同时也是双曲线的渐近线。
（3）双曲线的顶点是在横轴和纵轴的交点处，顶点之间的距离等于2a。
（4）双曲线有两个分支，分别位于两个焦点的两侧。
5. 圆锥曲线与双曲线的应用（1）在物理学中，圆锥曲线和双曲线广泛用于描述物体的运动轨迹，如行星绕太阳的轨道等。
（2）在工程学中，圆锥曲线和双曲线可以用于设计道路、桥梁和建筑物等的弧度和曲线形状。
圆锥曲线速算技巧
圆锥曲线速算技巧圆锥曲线是数学中的重要内容，涉及定义法、焦点法、参数法、勾股定理法、相似法、极坐标法、代数法、几何法等多种速算技巧。
本文将详细介绍这些技巧的应用原理和推导过程，并给出具体实例，帮助读者更好地理解和掌握。
1. 定义法定义法是圆锥曲线速算的基本方法之一，根据圆锥曲线的定义，可以直接计算出曲线的方程和性质。
例如，对于椭圆，其定义为到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点的轨迹。
根据这个定义，我们可以直接计算出椭圆的标准方程和性质。
具体实例：已知椭圆的两焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0)，求该椭圆的标准方程。
解：根据椭圆的定义，设该椭圆上任意一点P(x,y)，则|PF1| + |PF2| = 2a。
又因为两焦点距离为4，所以2a = 4，即a = 2。
从而得到椭圆的方程为：x^2/4 + y^2/2 = 1。
2. 焦点法焦点法是利用圆锥曲线的焦点性质进行计算的速算方法。
对于椭圆和双曲线，它们的焦点到曲线上任意一点的距离之差等于定值。
利用这个性质，我们可以快速求解曲线的方程和性质。
具体实例：已知双曲线的焦点坐标为F1(-5,0)和F2(5,0)，且双曲线上任意一点到两焦点的距离之差等于4，求该双曲线的标准方程。
解：设该双曲线上任意一点P(x,y)，根据双曲线的焦点性质，有||PF1| - |PF2|| = 4。
又因为两焦点距离为10，所以得到方程：|x + 5| - |x - 5| = 4。
解得x=3或x=7，从而得到双曲线的标准方程为：x^2/9 - y^2/4 = 1或x^2/49 - y^2/16 = 1。
3. 参数法参数法是通过引入参数来描述圆锥曲线的坐标关系，从而简化计算过程的速算方法。
常用的参数包括角度、斜率、截距等。
圆锥曲线的定义与性质及其应用
圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。
- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。
3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。
- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。
- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。
4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。
抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。
- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。
5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是数学中的重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
本文将整理圆锥曲线的基本定义、性质和应用。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由平面与一个圆锥相交而产生的曲线。
根据与圆锥相交的方式不同，可以分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
它具有以下性质：- 椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于拉伸的圆。
- 椭圆有两个焦点，对称轴为椭圆的长轴。
- 椭圆的离心率是一个小于1的正实数。
- 椭圆的周长和面积可以通过一系列公式计算得出。
3. 双曲线的性质双曲线与椭圆相似，但具有一些不同的性质：- 双曲线是一个非闭合曲线，其形状类似于拉伸的超越函数。
- 双曲线有两个焦点，对称轴为双曲线的长轴。
- 双曲线的离心率是一个大于1的正实数。
- 双曲线的性质使得它在几何光学和天体力学等领域中有广泛应用。
4. 抛物线的性质抛物线是另一种常见的圆锥曲线形式，具有以下性质：- 抛物线是一个非闭合曲线，其形状类似于开口向上或向下的碗。
- 抛物线只有一个焦点和一条对称轴。
- 抛物线的离心率为1。
- 抛物线的性质使得它在物理学和工程学等领域中有广泛应用，如抛物线天线和抛物线反射面。
5. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和实际应用中有广泛的应用，包括：- 电磁学中的电磁波传播和天线设计。
- 物理学中的天体力学和轨道计算。
- 工程学中的光学设计和结构建模。
总结：圆锥曲线是由平面与一个圆锥相交而产生的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
每种曲线都有其独特的性质和应用。
理解和掌握圆锥曲线的知识对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
通过本文的整理，希望读者能够对圆锥曲线有更深入的了解，并能应用于相关领域的问题解决中。
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圆锥曲线定义的应用
一、复习提问：（写成学案的形式由学生填写）
先由学生讨论回答定义中应注意的几个问题及定义的作用
教师总结：
（1）注意将定义中的常数a 2与|F 1F 2|进行比较
（2）注意双曲线定义中的绝对值对轨迹的影响
（3）第一定义给出了圆锥曲线上的点与两焦点间距离的和（或差）的关系；
第二定义是圆锥曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之间进
行转化的依据
一、 思维点拨
1、涉及到圆锥曲线上的点与两焦点问题可考虑利用第一定义解决
2、涉及焦点、准线、离心率及圆锥曲线上的点中的三者，常用第二定义解决
二、 基础练习
1、已知21,F F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的两个焦点，A 、B 时过焦点的弦，则2ABF ∆的周长为（ ）
（A ） 2 a (B) 4 a (C) 8 a (D) 2 a + 2 b
2、已知两定点)0,5(1-F ，)0,5(2F ，动点P 满足-||1PF ,2||2a PF =当3=a 和
5=a 时，点P 的轨迹分别为（ ）
（A ）两个双曲线 (B) 两条射线
(C) 双曲线的一支和一条射线 (D) 双曲线的两支
3、P 是双曲线136
642
2=-y x 上一点，21,F F 是它的两个焦点，且,17||1=PF 则=||2PF ____________
4、椭圆116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到椭圆右准线的距离为_________，点P 到左右准线的距离比为_________。
评注：（1）第3题学生往往忽视||1PF ≥a c -导致得出错误结论
（2） 第4题可利用第二定义将点P 到左右准线的距离比转化为到相应的
两焦点的距离比
三、 典例解析
例1、相距2000m 的两个哨所A 、B 听到远出传来的炮弹爆炸声。
已知当时声
速是330m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到的时间相差4s ，
试判断爆炸点P 在什么样的曲线上，并求出曲线方程。
思路分析：（1）什么原因导致在在A 哨所和在B 哨所听到爆炸声的时间不同 ？
（2）应如何理解时间“相差”4s ？
解答：（略）
学生思考：如何改变条件轨迹变为双曲线的一支？
评注：1、有关动点与两定点的距离和（或差）为定值的轨迹问题，应利用定
义法求轨迹，并注意将定值与两定点间的距离进行比较
2、求轨迹的题目中若没有建系，则应建系设点，写出对应的轨迹方程，
若轨迹为双曲线则更应注意绝对值对轨迹的影响
练习1、在平面直角坐标系中，已知三角形ABC 中BC 边长为4，且三边AC 、
BC 、AB 长依次成等差数列，求顶点A 的轨迹方程。
思考：若增加条件∣AC ∣>∣BC ∣>∣AB ∣顶点A 的轨迹方程会如何改变 ？
练习2、已知定圆9)3(:,1)3(:222221=++=+-y x C y x C ，动圆C 与C 1、C 2
都相内切，求动圆圆心C 的轨迹方程。
思考：若将条件改为与C 2相切，动圆圆心C 的轨迹方程回如何改变 ？
例2：（1）已知F 是双曲线127
92
2=-y x 的右焦点，点M 是双曲线右支上的动点，点A 的坐标为（
3,2
11），求||21||MF MA +的最小值为及对应的点M 的坐标。
（2）已知F 是抛物线281x y =
的焦点，点M 是抛物线上的动点，点P 的坐标为)3,2(-，求||||MF MA +的最小值及对应的点M 的坐标
思路分析：（1）
||21MF 中的2
1有何特殊意义？ （2）利用双曲线第二定义||21MF 可转化为什么？ （3）如何利用平面几何的知识求解转化后的距离最小值？
解答：（略） 评注：求形如||1||MF e
MA +的最小值问题，应利用圆锥曲线的第二定义将||1MF e
转化为点M 到相应的准线的距离，使问题回归为平面几何中求最大（小）值的基本模式再进行求解
练习1、已知F 是椭圆17
162
2=+y x 的右焦点，点M 是该椭圆上的动点，点A(2,1)为椭圆内一点，
||2||MF MA +的最小值为___________, 对应的点M 的坐标为__________，
2、若点A 的坐标为（3，2），F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是该抛物线
的动点，则||||MF MA +的最小值为___________,对应的点M 的坐标为
__________
例3、求证：以抛物线px y 22=的焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
思路分析：（1）如何判断或证明圆与直线的位置？
（2）焦点弦的构成有何特点？
（3）如何将抛物线上的点到准线的距离和与弦长（直径）相联系？
解答：（略）
评注：（1）圆心到直线的距离与圆的半径进行比较是证明和判断圆与直线位置关
系的关键
（2）焦点弦是由两个焦半径构成的
（3）利用定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离
变式练习、求证：以抛物线px y 22=的任意一条焦半径为直径的圆与y 轴相切。
练习、1、以双曲线的焦点弦AB 为直径的圆与双曲线相应准线的位置关系是
2、以椭圆的焦点弦AB 为直径的圆与椭圆相应准线的位置关系是
拓展提高：
1、椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 有相同的焦点21,F F ，P 是两曲线的一个焦点，则||1PF .||2PF = 或
2、在三角形ABC 中已知∣BC ∣= 8，A 为动点，且满足A B C sin 2
1sin sin =-，求动点A 的轨迹方程。
3、已知椭圆C ：13
42
2=+y x ，F 1，F 2分别为其左右焦点，问能否在椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的
比例中项？若不存在请说明理由，若存在则求出该点的坐标。