结构力学第三章 静定梁与静定刚架
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李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3章 静定梁与静定刚架【圣才出品】
第3章 静定梁与静定刚架
3.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、单跨静定梁 ★★★★
1．内力
表3-1-1 内力的基本概念
图3-1-1
图3-1-22．内力与外力间的微分关系及积分关系（1）由平衡条件导出的微分关系式
计算简图如图3-1-3所示，微分关系式为
（Ⅰ）
d d d d d d s
s N
F q x
x M F
x F p x
x ⎧=⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪=-⎪⎩-（）（）
图3-1-3
（2）荷载与内力之间的积分关系
如图3-1-4
所示，结合式（Ⅰ）可得梁的内力积分公式，积分公式及其几何意义见表3-1-2。
图3-1-4
表3-1-2 内力的积分公式及几何意义
3．叠加法作弯矩图
表3-1-3 常用叠加法及其作图步骤
图3-1-5
图3-1-6
二、多跨静定梁 ★★★★
多跨静定梁是由构造单元（如简支梁、悬臂梁）多次搭接而成的几何不变体系，其计算简图见图3-1-7，几何构造、计算原则、传力关系见表3-1-4。
第三章—静定梁和静定刚架
q
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(梁、刚架)
14:32
LOGO
梁的内力计算的回顾
FQ FN M0 Fx O FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN M+ ΔM δ(x) x
直杆增量关系
增量关系
FN Fx FQ Fy M M 0
*另一种表述
M
Fy
y
dFN qx dx dFQ qy dx dM FQ dx
MA
FB=12 kN
ME m, 20KN
q
M D 18KN m,
M E 26KN m, 区段叠加法，
L M并可求出： 。 B 16KN m
MF
M F 18KN m,
F sE 3. 作弯矩图以及剪力图
L MG 6KN m,
Page 21
R MG 4KN m,
绘制： 1 由内力方程式画出图形; 2 利用微分关系画出图形。
直杆微分关系
dFN qx dx dFQ q y dx dM FQ m dx
FQ FN
qy FQ+ dFQ
m qx O FN+ dFN M+ dM x
M
y
dx
集中力怎么办？
Page 14
计算思路：从刚片出发、从结点出发；
平面几何不变体系的组成规律 三角形规律：二元体（两杆一铰）、两刚片、三刚片； 灵活运用 撤去二元体，几何不变—>大刚片，虚铰选择，三刚片选择
Page 1
LOGO
第二章 结构的几何构造分析
回顾
灵活应用：虚铰、刚片的选择、无穷远处虚铰特性；
无多不变
3 能否运用三刚片规则？
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
结构力学——第3、4章 静定梁和静定刚架
YA
C
XC
YC
B
YB
XB
例2: 求图示刚架的支座反力和约束力
C
l 2 l 2
解:1)取整体为隔离体
P
F
x
0, X B P()
A
MA
l 2 l 2
B
YB
XB
YA
2)取右部分为隔离体 l M C 0, X B l YB 2 0, YB 2P() Fy 0, YC YB 0, YC YB 2P()
l
XB
B
YB
C
E
XB
P B
N D
YB
C
E
N EF
XA
A
l l
D
l
F
3)取BCE为隔离体
YA
解:1)取BCE为隔离体 Fx 0, X B 0
M
C
0, P l YB l N EF l 0,
0, N CD 6 P()
F 0, X 0 F 0, Y Y
1 ql 2
ql 2
2ql 2
q
A B QAB QBA M A 0 QBA 11ql / 4
F
Y
0 Q AB 5ql / 4
例: 作内力图
ql
q
ql
l l ql
2l q
4l
2l
l
l ql
1 ql 2
内力计算的关键在于: 1 ql ql 2 正确区分基本部分和附 ql ql 属部分. 熟练掌握单跨梁的计算./ 2 ql ql
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
静定梁与静定刚架
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 Y 0 M 0
C
NC 0 QC 130 KN M C 130 KN .M
第3章 例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
（1）计算支座反力
2m
2kN E
2m F
F
2m
G 2kN
2m
（b）
A
4kN/m B
C
G 2kN
G
B
11kN 4
4kN
4
（d）
8 7
（e） 9
4 M（kN.m） 2 2
Q（kN）
2
第3章 例题2： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中 间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。
第3章
3.3 静定平面刚架的内力计算 一、刚架的组成 1、刚架的特征 由若干梁和柱用刚结点联结而成的结构。具有刚结点是 刚架的主要特征。 2、刚架的应用 刚架在工程上有广泛的应用。
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x),而后对x求一 阶导数，进而确定倾角：
dy tan ; dx
tan1 (tan )
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
例题：试求图示曲梁C截面的内力值。已知曲梁轴线方程为：
y 4f 4 4 (l x) x 2 (12 1.5) 1.5 1.75m l2 12
4f 4 4 tan yx 1.5 2 (l 2 x) x1.5 2 (12 2 1.5) 1 l 12 2 450 sin con 0.707 2
结构力学静定梁和静定刚架资料
结构力学静定梁和静定刚架资料结构力学是工程力学的一个分支，研究物体在外力作用下的变形和内力分布规律。
其中，静定梁和静定刚架是结构力学的重要内容之一静定梁是指在不受外力作用时，能够完全确定所有节点位移和反力的梁结构。
静定梁有简支梁、悬臂梁和梁端固定支座等形式。
简支梁两端支座可以完全阻止梁端的旋转和位移；悬臂梁一端支座可以完全阻止梁端的旋转和位移，另一端自由；梁端固定支座可以完全阻止梁端的旋转和位移。
静定梁的位移和反力可以通过平衡方程和变形方程来确定。
平衡方程是指梁在平衡状态下，受力平衡的方程；变形方程是指弹性力学中描述梁变形规律的方程。
通过求解平衡方程和变形方程，可以得到静定梁的位移和反力。
静定刚架是指在不受外力作用时，能够完全确定所有节点位移和反力的结构。
静定刚架有平面静定刚架和空间静定刚架两种形式。
平面静定刚架的节点位移约束包括平移约束和转动约束，能够通过平衡方程和变形方程来确定。
空间静定刚架的节点位移约束包括平移约束和转动约束，能够通过平衡方程和变形方程来确定。
求解静定刚架的位移和反力，也可以利用平衡方程和变形方程来进行。
静定梁和静定刚架在工程结构设计中具有重要的应用价值。
在结构静力学分析中，静定梁和静定刚架是最基本的结构，能够为后续的结构分析提供重要的参考。
在建筑、桥梁、机械以及其他各种工程结构中，都广泛应用了静定梁和静定刚架的理论和方法。
通过对静定梁和静定刚架的分析和设计，可以提高结构的稳定性和安全性，确保工程的正常运行。
总之，静定梁和静定刚架是结构力学中的重要内容，研究物体在外力作用下的变形和内力分布规律。
静定梁和静定刚架在工程结构设计中具有广泛的应用，是结构静力学分析的基础。
通过对静定梁和静定刚架的研究和设计，可以提高结构的稳定性和安全性，确保工程的正常运行。
结构力学-静定梁与静定钢架
4：斜梁例题
M图
Q图 1、求支座反力：VA=ql/6，HA=0， VB=ql/6 2、作M、Q、N图
N图
对简支斜梁内力计算的总结
1 简支斜梁计算支座反力和内力的方法仍然是隔离体平衡和截面 法。
2 在竖向荷载作用下，简支斜梁的支座反力和相应的平梁的支座 反力是相同的。
3 在竖向均布荷载作用下，简支斜梁的弯矩图和相应平梁的弯矩图 是相同的。
静定空间刚架例题
试求图a所示的空间刚架制作界面A的内力？
解： (1)由已知图做出此刚架的A截面的 内力图如图b所示
B
A VAY VAZ
MAZ Z
NA MAX x
D C
y （b）
D B
C A
（a）
(2) 由空间一般力系的平衡条件可得以下方程求得结果：
∑X=0，NA+4×2=0， NA=-8kN
∑Y=0，VAY-5=0， VAY=5kN
结构力学第三章
静定梁和静定钢架
成员： 刘锦伟 侯智译 于涛 潘琦 杨宏宇
内容概要：（一） 简支斜梁的计算
（二） 静定空间刚架
（1）简支斜梁的计算
1：工程应用实例、斜梁荷载
沿水平方向均布q：活载（人群、雪载）
梁式楼梯、板式楼梯、 屋面斜梁、及具有斜杆 的刚架等。
沿杆轴线均布q′：恒载(自重)，
（2）：水平方向均布荷载作用
∑Z=0,
VAZ=0
∑MX=0,MAX-5×2=0, MAX=10KN.M
∑MY=0,MAY-4×2×2×1/2=0, MAY=8KN.M ∑MZ=0,MAZ-4×2×3+5×3=0, MAZ=9KN.M
NA MAX x
(b)
D C
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也可以是特定荷载的几何可
变部分
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
荷载等效变换特性：当作用在静定结构的某一几何不变部 分上的荷载在该部分范围内做等效变换时，只该部分内力发生 变化，其它部分内力和反力保持不变。
FP
FP/2 FP/2
合力相同的各种荷载互称静力等效荷载，荷载等效变换是等 效荷载之间的变换。
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
构造等效变换特性：保持连接方式不变，用一种几何不变 部分代替另一种几何不变部分，则其它部分内力和反力不变。
内力、反力 不变
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
作业 3-1、3-3、3-5、 3-9、3-11、3-13、
3-15、3-17、3-19、 3-22、3-23、3-24、
有极 值
有尖角 （尖角指 向同F指向）
有极 值
集中力偶 M作用处
无变化
有突变 （突变值
＝M）
铰处
无影 响
为零
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
3-1-3 区段叠加法做弯矩图
应熟记常用单跨梁的弯矩图
FP
q
Pl
ql 2
4
8
机械系
M
M 2
M 2
第三章 静定梁与静定刚架
MA
FP
MA
FPl / 4 MA
对图示静定梁，欲使跨间的最大正弯矩与支 座B截面的负弯矩的绝对值相等，确定铰D
的位置。
q
A
l-x
D
x
B
C
l
l
q
A
D
q
D
B
C
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
q
A
l-x
D
x
B
C
l
l
AD
跨最大正弯距：
M AD
1 q l x 2
8
B 处最大负弯距：
M BD
q(l 2
x)
x
1 qx 2 2
机械系
Hale Waihona Puke 第三章 静定梁与静定刚架刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正） 注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分） 注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
第三章 静定梁与静定刚架
例3.4.1不经计算画图示结构弯矩图 F
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
例3.4.2 试作图示结构弯矩图
FP
FP
FP
FPa FPa
FPa FPa 2FP
FPa FPa
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
例3.4.3 试作图示结构弯矩图
Fa
Fa
F
a
Fa
Fa
2Fa a
a
a
a
2F
平行
机械系
计算简图 层次图
第三章 静定梁与静定刚架
2.构造特点
由若干单跨梁通过铰连接而成，并由若干支座 与基础连接而组成的静定梁，是桥梁和屋盖系 统中常用的一种结构形式。
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
3.组成顺序
能独立地维持其几何不变的部分---基本部分 需依附于基本部分才能维持其不变的部分---附属部分
机械系
做法：
MB
先在梁端绘弯矩竖标
过竖标顶点连直虚线
MB
以虚线为基础叠加相应
简支梁弯矩图
注意:合成内力图是
MB 竖标相加,不是图形 的简单拼合。
第三章 静定梁与静定刚架
几个力的和作用效果等于每个分力分别作用效果的和; 复杂的弯矩图是由几个简单的图形合成的。
练习：
M
q
M
M
l/2
l/2
ql2/8
ql2/8
基本部分
？ 附属部分
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
4.传力关系
组成顺序
基本部分
附属部分1
附属部分2 ¨ ¨ ¨ 传力顺序
5.计算原则
与传力顺序相同，先计算附属部分后计算基本部分
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
6.计算方法
把多跨静定梁拆成一系列单跨静定梁，先计算附属 部分；将附属部分的反力反向地加在基本部分上， 作为基本部分上的外载，再计算基本部分。最后把 各单跨静定梁的内力图连在一起即多跨静定梁的内 力图。
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
dM dx
FS ,
dFS q(x), dx
dFN p(x) dx
直梁内力图的形状特征
梁上 情况
剪力 图
弯距 图
无横向外 横向均布力q
力区段
作用区段
横向集中力F 作用处
水平线
斜直线
为零 处
有突变 （突变值
＝F）
如变 号
一般为斜 直线
抛物线 （凸出方 向同q指向）
• 内力的叠加与分解： 假设：材料满足线弹性、小变形。
• 内力与外力之关系：
微分关系
dFQ q( x) dx
dM dx
FQ
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
3-1-2 结构力学与材料力学内力规定的异同 • 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同 • 内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表
明AB杆的A端弯矩 • 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧
6kN/m
4m
D
20 kN
48 C 144
B
4m
192
126
12
FAx=48 kN FB=42 kN
A
3m
3m
FAy=22 kN
FQ FN
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
例二、试作图示三铰刚架的内力图
整体对A、B
取矩，部分
F2B0x
对C取矩。
FBx20
FAy
80
机械系
FBy
80
第三章 静定梁与静定刚架
• 确定弯矩最大点位 置及最大值
第三章 静定梁与静定刚架
作图示梁的弯矩图和剪力图 16
20 4
18 单位: kN. m
6
FA=58 kN ME
机械系
26 FQE
10
18 FB=12 kN
q
FQ 图
M( kFN )
FQF
第三章 静定梁与静定刚架
§3-2 多跨静定梁(multi-span beam) 1.多跨静定梁的组成
满足平衡条件的内力解答是唯 一的——静定结构的基本特性
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
2.导出性质
无内力状态：除荷载外，其它因素不引起内力。
t2ºC t1ºC
t1º> t2º
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
局部平衡特性：如结构某局部能平衡外力系，则其 它部分内力和反力为零
局部可以是几何不变部分，
BC 跨最大正弯距： M max
1 q l x 2
8
由以上三处的弯矩整理得： q(l x) x 1 qx2 1 ql x2
2
2
8
机械系 x 0.172l
M负max 0.086ql 2 M正max
第三章 静定梁与静定刚架
0 .086 ql 2
0 .086 0 .686 0 .125
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
刚架内力图的绘制
弯矩图 剪力图 轴力图
取杆件作隔离体 取结点作隔离体
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
例1、试作图示刚架的内力图
4m
D
20 kN
48 C 144
B
6kN/m
4m
192
126
12
FAx=48 kN FB=42 kN
A
3m
3m
FAy=22 kN
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
结构力学
第三章 静定梁与静定刚架
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁(single-span beam)
3-1-1 材料力学内容回顾
杆件内力分析要点： • 内力正负号规定：
FN
FN
FQ FQ
M
M
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
• 求内力的基本方法：
截面法（截取隔离体；代之相应内力；利用 平衡方程求解）
0 .125 ql 2
优点与简支梁相比伸臂部分产生的负弯矩减小了 梁内弯矩，使受力更均匀。
缺点是构造复杂，基本部分破坏会殃及附属部分
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
§3-3 静定平面刚架(frame) 简单刚架的类型
简支型
悬臂型
三铰型
由简单刚架可组成复杂的
多层多跨的复合静定刚架
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
已知结构的弯矩图，试绘出其荷载。
F 2F Fa /2
Fa Fa
88 8
Fa/2
2m a 2m
2
8 6
Fa a/2 a/2
4m
4m
反问题
机械系
第三章 静定梁与静定刚架
§3-5 静定结构的特性
1.静定结构解答的唯一性
掌握静定结构特性有利于了解结构性能，可正 确迅速地进行内力分析
练习
20kN
10kN