2020年河南省实验中学第二次模拟考试数学试卷(带答案)
2020年河南省实验中学高考(文科)数学(4月份)第二次测试试卷 解析版
2020年高考数学（4月份）二测试卷（文科）一、选择题1．设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，4}，B＝{2，4}，则∁U（A∩B）＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{1，3，4}D．{2，3，4}2．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．33．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos（2x+），④y＝tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．6．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+＝（）A．B．C．D．7．已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．正项等比数列{a n}中的a1、a4039是函数f（x）＝+6x﹣3的极值点，则log a2020＝（）A．﹣1B．1C．D．29．设双曲线+＝1的一条渐近线为y＝﹣2x，且一个焦点与抛物线x2＝4y的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．x2﹣5y2＝1B．5y2﹣x2＝1C．y2﹣5x2＝1D．5x2﹣y2＝1 10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O ﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．已知函数，g（x）＝2x+a，若，使得f （x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a≥1C．a≤0D．a≥012．已知函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2B．3C．5D．8二、填空题13．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么P是．14．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA ＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．15．设x，y满足约束条件，且z＝x+ay的最小值为7，则a＝．16．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是．三、解答题17．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．18．为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：处罚金额x（单位：元）5101520会闯红灯的人数y50402010若用表中数据所得频率代替概率．（Ⅰ）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（Ⅱ）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？19．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF．（Ⅰ）若M为EA中点，求证：AC∥平面MDF：（Ⅱ）若AB＝2，求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．已知f（x）＝x3+ax2﹣a2x+2．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．21．已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2＝2py（p＞0）相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，．（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2＝1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|＝1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1；（2）当x＞0时，函数g（x）＝（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，4}，B＝{2，4}，则∁U（A∩B）＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{1，3，4}D．{2，3，4}【分析】由已知中全集U＝{x∈N*|x≤4}，A＝{1，4}，B＝{2，4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出A∩B，再求出其补集，即可求出答案．解：∵全集U＝{x∈N*|x≤4}＝{1，2，3，4}，A＝{1，4}，B＝{2，4}∴A∩B＝{4}，∴∁U（A∩B）＝{1，2，3}故选：A．2．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得m 的值．解：∵为纯虚数，∴m+3＝0，即m＝﹣3．故选：A．3．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）＝|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|＝﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|＝|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．4．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos（2x+），④y＝tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解：∵函数①y＝cos|2x|＝cos2x，它的最小正周期为＝π，②y＝|cos x|的最小正周期为＝π，③y＝cos（2x+）的最小正周期为＝π，④y＝tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1＝，∴剩余部分体积为1﹣＝，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．6．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+＝（）A．B．C．D．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+＝（+）+（+）＝+＝（+）＝，故选：A．7．已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x＝1上，可设圆心P（1，p），由PA＝PB得|p|＝，得p＝圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|＝＝＝，故选：B．8．正项等比数列{a n}中的a1、a4039是函数f（x）＝+6x﹣3的极值点，则log a2020＝（）A．﹣1B．1C．D．2【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0以及等比数列的性质可得．解：依题意a1、a4039是函数f（x）＝+6x﹣3的极值点，也就是f′（x）＝x2﹣8x+6＝0的两个根，∴a1a4039＝6，又{a n}是正项等比数列，所以a2020＝＝，∴log a2020＝log＝1．故选：B．9．设双曲线+＝1的一条渐近线为y＝﹣2x，且一个焦点与抛物线x2＝4y的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A．x2﹣5y2＝1B．5y2﹣x2＝1C．y2﹣5x2＝1D．5x2﹣y2＝1【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，由题意可得b＝﹣4a，又c2＝1，即b﹣a＝1，解得a，b，即可得到所求双曲线的方程．解：抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），可得双曲线+＝1（b＞0，a＜0），即为﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝2，即b＝﹣4a，又c2＝1，即b﹣a＝1，解得a＝﹣，b＝．即有双曲线的方程为﹣5x2＝1．故选：C．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O ﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC＝V C﹣AOB＝＝＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故选：C．11．已知函数，g（x）＝2x+a，若，使得f （x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a≥1C．a≤0D．a≥0【分析】由题意可得f（x1）min≥g（x2）min，运用对勾函数的单调性可得f（x）的最小值；由指数函数的单调性可得g（x）的最小值，解不等式可得所求范围．解：若，使得f（x1）≥g（x2），等价为f（x1）min≥g（x2）min，由在[，2）递减，在（2，3]递增，可得f（x）的最小值为f（2）＝4，由g（x）＝2x+a在[2，3]递增，可得g（x）的最小值为g（2）＝4+a，则4+a≤4，即a≤0，故选：C．12．已知函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2B．3C．5D．8【分析】画出函数f（x）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．解：函数f（x），如图所示，[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）＝﹣9+6＝﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）＝﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.13．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么P是真命题．【分析】根据全称特称量词命题判断其真假即可，解：已知命题P：∀x＞0，x3＞0，因为∀x＞0，能推出x3＞0，所以P是真命题，故答案为：真命题．14．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA ＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝150m．【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM＝100m，∠MAN＝60°，从而可求得MN的值．解：在RT△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝100m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，，因此AM＝100m．在RT△MNA中，AM＝100m，∠MAN＝60°，由得MN＝100×＝150m．故答案为：150．15．设x，y满足约束条件，且z＝x+ay的最小值为7，则a＝3．【分析】由题意作出其平面区域，将z＝2x+y化为y＝﹣2x+z，z相当于直线y＝﹣2x+z 的纵截距，由几何意义可得．解：由题意作出其平面区域，∵z＝x+ay的最小值为7，∴a＞0，且z＝x+ay的最小值在点A取得，故有，解得，a＝3，故答案为：3．16．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y＝2x．【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）＝f（﹣x）＝e x﹣1+x，则f′（x）＝e x﹣1+1，f′（1）＝e0+1＝2．∴曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2＝2（x﹣1）．即y＝2x．故答案为：y＝2x．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．【分析】（I）由题意可求a2，a4，然后可求公差d，j进而可求；（II）由（I）可得＝（）．（）n＝，然后利用错位相减求和即可．解：（I）由题意可得，a2＝2，a4＝3，∴2d＝a4﹣a2＝1即d＝，所以a n＝＝，（II）由（I）可得＝（）．（）n＝则S n＝3+4，＝+…+（n+1），两式相减可得，＝+（）﹣，＝﹣＝1﹣﹣，所以S n＝2﹣﹣＝．18．为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：处罚金额x（单位：元）5101520会闯红灯的人数y50402010若用表中数据所得频率代替概率．（Ⅰ）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（Ⅱ）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？【分析】（Ⅰ）计算罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，再求差；（Ⅱ）闯红灯的市民有80人，其中A类市民和B类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值．解：（Ⅰ）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为＝；不进行处罚，行人闯红灯的概率为＝；所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低﹣＝；（Ⅱ）由题可知，闯红灯的市民有80人，A类市民和B类市民各有40人，故分别从A 类市民和B类市民各抽出两人，4人依次排序，不同的方法有A44＝24种，前两位均为B类市民排序，不同的方法有A22A22＝4种，所以前两位均为B类市民的概率是P＝＝．19．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF．（Ⅰ）若M为EA中点，求证：AC∥平面MDF：（Ⅱ）若AB＝2，求四棱锥E﹣ABCD的体积．【分析】（Ⅰ）设EC与DF交于点N，连结MN，由中位线定理可得MN∥AC，故AC ∥平面MDF；（Ⅱ）取CD中点为G，连结BG，EG，则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，从而得出DF ⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入体积公式即可计算出体积．【解答】（Ⅰ）证明：设EC与DF交于点N，连结MN，∵矩形CDEF，∴点N为EC中点，∵M为EA中点，∴MN∥AC，又∵AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，∴AC∥平面MDF；（Ⅱ）解：取CD中点为G，连结BG，EG，∵AB＝CD＝DG，AB∥DG，∠BAD＝90°，∴四边形ABGD是矩形，∴BG⊥CD．∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，BG⊂平面ABCD，BG⊥CD，∴BG⊥平面CDEF，同理ED⊥平面ABCD，又∵DF⊂平面CDEF，∴BG⊥DF，又BE⊥DF，BE∩BG＝B，∴DF⊥平面BEG，DF⊥EG．∴Rt△DEG～Rt△EFD，∴DE2＝DG•EF＝8，DE＝2，又，∴V E﹣ABCD＝S ABCD×ED＝．20．已知f（x）＝x3+ax2﹣a2x+2．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．（2）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．解：（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a）由f'（x）＝0得x＝﹣a或x＝，①当a＞0时，由f'（x）＜0，得﹣a＜x＜．由f'（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．②当a＜0时，由f'（x）＜0，得＜x＜﹣a，由f'（x）＞0，得x或x＞﹣a，此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞），综上：当a＞0时，f单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞），当a＜0时，（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞）．（2）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）＝lnx﹣x﹣，则h′（x）＝＝﹣，令h′（x）＝0，得x＝1，x＝﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）h′（x）+0﹣h（x）单调递增﹣2单调递减∴当x＝1时，h（x）取得最大值，h（x）max＝﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．21．已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2＝2py（p＞0）相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，．（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．【分析】（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），当直线l的斜率是时，l的方程为x＝2y ﹣4，联立直线与抛物线方程，通过韦达定理以及向量的关系，求解即可；（2）设l：y＝k（x+4），BC的中点坐标为（x0，y0）由得x2﹣4kx﹣16k＝0，利用韦达定理求出中点坐标，得到线段的中垂线方程，求出线段BC的中垂线在y轴上的截距的表达式，然后求解即可．解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），当直线l的斜率是时，l的方程为y＝（x+4），即x＝2y﹣4，由得2y2﹣（8+p）y+8＝0，∴，①又．∴y2＝4y1，②由①②和p＞0得y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线的方程为x2＝4y；（2）设l：y＝k（x+4），BC的中点坐标为（x0，y0），由得x2﹣4kx﹣16k＝0，x1+x2＝4k，∴x0＝＝2k，y0＝k（x0+4）＝2k2+4k，线段的中垂线方程为y﹣2k2﹣4k＝﹣（x﹣2k），∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2+4k+2＝2（k+1）2，由△＝16k2+64k＞0得k＞0或k＜﹣4，可得b＞2，∴b∈（2，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2＝1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|＝1，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）把圆的标准方程展开，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的极坐标方程，由直线l过定点P及直线l的倾斜角可得直线l的参数方程；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入x2+y2＝2x，可得关于t的一元二次方程，再由此时t的几何意义及根与系数的关系求解实数m的值．解：（Ⅰ）曲线C：（x﹣1）2+y2＝1，展开为：x2+y2＝2x，可得ρ2＝2ρcosθ，即曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．∵直线l经过点P（m，0），且倾斜角为，∴直线l的参数方程为，（t为参数）；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入x2+y2＝2x，可得：t2+（m﹣）t+m2﹣2m＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝m2﹣2m．∵|PA|•|PB|＝1，∴|m2﹣2m|＝1，解得m＝1或1±．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1；（2）当x＞0时，函数g（x）＝（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义，求得不等式f（x）＞1的解集．（2）根据绝对值的意义，可得函数f（x）的最大值小于1，再结合题意可得g（x）＝（a＞0）的最小值大于或等于1．利用基本不等式求得g（x）的最小值，从而求得a的范围．解：（1）函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，而0对应点到2对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，故不等式f（x）＞1的解集为{x|x＜0}．（2）根据绝对值的意义，当x＞0时，f（x）＝，故函数f（x）∈[﹣3，1）．根据当x＞0时，函数g（x）＝（a＞0）的最小值总大于函数f（x），可得g（x）＝（a＞0）的最小值大于或等于1．∵g（x）＝＝ax﹣1+≥2﹣1，∴2﹣1≥1，∴a≥1．。
河南省2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(二)(PDF版,答案解析)
成立．
（1）求实数 k 的值；
（2）若 m 1 ， n 1 且求证 f (m) f (n) 10 ，求证： 9 1 16 ．
2
2
mn 3
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高三第二次模拟考试卷
文科数学（二）答 案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】C
B．若 1 x 1，则 x2 1
C．若 x 1或 x 1，则 x2 1
D．若 x 1或 x 1，则 x2 1
4焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F2 且垂直于长轴的直线交椭圆于 A, B 两点，
则 △ABF1的周长为（ ）
A． 4
B． 6
C． 8
D．16
为
cos2
2asin (a
0)
，过点
P(1, 2)
的直线 l
的参数方程为
x
1
2t 2 （ t 为参数），l
y
2
2t 2
与 C 交于 A ， B 两点．
（1）求 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程；
（2）若 PA ， AB ， PB 成等比数列，求 a 的值．
23．（12 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 2x k 2 x ， k N* ．存在实数 x0 使 f (x0 ) 2
∴△ABF1的周长为| AF1 | | BF1 | | AB | (| AF1 | | AF2 |) (| BF1 | | BF2 |) 8 ，
故选 C． 5．【答案】A
【解析】因为平面向量 a (1, 3) ， b (2, 0) ，
2020河南省普通高中招生考试 中考 二模数学试题(一)(附详细解析)
…………○名：___________班…………○绝密★启用前2020河南省普通高中招生考试二模数学试题（一）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．2-的相反数是（ ） A ．2-B ．2C ．12D ．12-2．莫拉、沃姆两位博士及其同事在《PloS Biology 》期刊发表了一篇关于地球物种数量预测的文章，根据他们采用最新分析方法，这个星球总共拥有8700000个物种，8700000用科学记数法可以表示为（ ） A ．58.710⨯B ．68.710⨯C ．78.710⨯D ．70.8710⨯3．如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）A ．认B ．真C ．复D ．习4．下列计算正确的是（ ） A ．2a a a +=B ．33(2)6a a =C ．22(1)1a a -=-D ．32a a a ÷=5．某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、74分，则下列结论正确的是（ ） A ．平均分是91B ．中位数是90C ．众数是94D ．极差是206．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x 钱，共同购买该物品的有y 人，则根据题意，列出的方程组是（）A ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩B ．8374y x y x -=⎧⎨-=-⎩………外………………○…………※在※※装※※订※※线※※内………内………………○…………C ．8374y x y x -=-⎧⎨-=-⎩D ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩7．关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．4k ≤-B ．4k <-C ．4k ≤D ．4k <8．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．49B ．13C ．29D ．199．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a =10．如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm 的A ，B 两点同时开始沿线段AB 运动，运动工程中甲光斑与点A 的距离S 1（cm ）与时间t （s ）的函数关系图象如图2，乙光斑与点B 的距离S 2（cm ）与时间t （s ）的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s ，且两图象中△P 1O 1Q 1≌P 2Q 2O 2，下列叙述正确的是（ ）A ．甲光斑从点A 到点B 的运动速度是从点B 到点A 的运动速度的4倍 B ．乙光斑从点A 到B 的运动速度小于1.5cm/s……○………………○……………○………学校:_______________班级：____________……○………………○……………○………D ．甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．计算：1)=________．12．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE AB ⊥，若120∠=︒，则2∠=________．13．若关于x 的一元一次不等式组0231x a x ->⎧⎨-<⎩有2个负整数解，则a 的取值范围是_____．14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）15．如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，8BE =，过点E 作//EF BC ，分别交BD 、CD 于G 、F 两点．若点P 、Q 分别为DG 、CE 的中点，则PQ 的长为________．三、解答题16．先化简，再求值：222216·44a a a a a -+-，其中a = 17．某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图 1 和图 2 所示的不完整统计图 ． （1） 被调查员工的人数为 人：……○………○…………订………线…………※※请※※※※订※※线※※内※……○………○…………订………线…………（3） 若该企业有员工 10000 人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有多少人？18．如图，一次函数1522y x =-+的图像与反比例函数k y x=(k ＞0)的图像交于A ，B 两点，过点A 做x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上求一点P,使PA+PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.19．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ．（1）求线段AD 的长度；（2）点E 是线段AC 上的一点，试问：当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．20．某区域平面示意图如图，点O 在河的一侧，AC 和BC 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A 处测得点O 位于北偏东45°，乙勘测员在B 处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC=840m ，BC=500m ．请求出点O 到BC 的距离．参考数据：sin73.7°≈2425，cos73.7°≈725，tan73.7°≈247线…………○……线…………○……21．已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为v (单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为t (单位：小时). (1)求v 关于t 的函数表达式.(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 22．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，连接DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连接AM ．试判断线段AM 与DE 的位置关系． 探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法： 证明：∵BE=AB ，∴AE=2AB ． ∵AD=2AB ，∴AD=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴EM EBDM AB=．（依据1） ∵BE=AB ，∴1EMDM=．∴EM=DM ． 即AM 是△ADE 的DE 边上的中线， 又∵AD=AE ，∴AM ⊥DE ．（依据2） ∴AM 垂直平分DE ． 反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明； 探索发现：（3）如图3，连接CE ，以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ，可以发现点C ，点B 都在线段AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的…………装…………○……………线…………○…※请※※不※※要※※在※※装※※订…………装…………○……………线…………○…并加以证明．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线52x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于点D .（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若34AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆的面积相等，求点G 的坐标； （3）若在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.参考答案1．B 【解析】 【分析】根据相反数的性质可得结果. 【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2， 故选B ． 【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 . 2．B 【解析】 【分析】将原数写成a×10ｎ的形式，其中1＜| a | <10， n 的值为小数点向左移动的位数即可完成解答． 【详解】解：8700000＝68.710 ，故答案为B ． 【点睛】本题考查了大于1的数的科学计数法,即将原数写成a×10ｎ的形式，解题的关键在于确定a 和n 的值． 3．B 【解析】分析：由平面图形的折叠以及正方体的展开图解题，罪域正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形.详解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”． 故选B ．点睛：本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析及解答问题. 4．D 【解析】分析：根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．详解：A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误C，（a﹣1）2=a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；D，a3÷a=a2，故该选项正确，故选：D．点睛：本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法等运算法则，熟练掌握这些法则是解此题的关键.5．C【解析】【分析】直接利用平均数、中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案．【详解】A、平均分为：15×（94+98+90+94+74）=90（分），故此选项错误；B、五名同学成绩按大小顺序排序为：74，90，94，94，98，故中位数是94分，故此选项错误；C、94分、98分、90分、94分、74分中，众数是94分．故此选项正确；D、极差是98﹣74=24，故此选项错误，故选C．【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数以及极差的定义，正确把握相关定义以及求解方法是解题的关键．6．B【解析】【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人，根据题意每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱列出二元一次方程组.【详解】设该物品的价格是x钱，共同购买该商品的由y人，依题意可得8374y x y x -=⎧⎨-=-⎩故选：B 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组. 7．C 【解析】 【分析】根据根的判别式列出不等式，再解答即可． 【详解】解：∵240x x k ++=有两个实数根 ∴△=42-4k≥0，解得4k ≤ 故答案为C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记：①当△＞0时，方程有两个不等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 8．A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】 画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．9．D【解析】【分析】根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a-+，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a的数量关系．【详解】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故11+423a a-+=0，解得：a=1 3 .故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.10．C【解析】【分析】甲乙两个光斑的运动距离与时间的图象，因为起始点不同，因而不易判断，如果图象将两个点运到的基准点变为同一个点，再根据题意，问题即可解决.【详解】∵甲到B所用时间为t0s，从B回到A所用时间为4t0﹣t0=3t0，∵路程不变，∴甲光斑从A到B的速度是从B到A运动速度的3倍，∴A错误；由于，△O1P1Q1≌△O2P2Q2，∵甲光斑全程平均速度1.5cm/s，∴乙光斑全程平均速度也为1.5cm/s，∵乙由B到A时间为其由A到B时间三倍，∴乙由B到A速度低于平均速度，则乙由A到B速度大于平均速度，∴B错误；由已知，两个光斑往返总时间，及总路程相等，则两个光斑全程的平均速度相同，∴C正确；根据题意，分别将甲、乙光斑与点A的距离与时间的函数图象画在下图中，两个函数图象交点即为两个光斑相遇位置，故可知，两个光斑相遇两次，故D错误，故选C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确理解，分析两个图象纵坐标所代表的实际意义，将图象的意义转化为动点实际运动的状态是解题的关键.11．17【解析】【分析】运用平方差公式和二次根式的乘法直接计算即可．【详解】解：1)=(221-=18-1=17故答案为17．【点睛】本题考查了平方差公式的应用和二次根式的计算，牢记并灵活应用平方差公式是解答本题的关键．12．70°．【解析】【分析】⊥知∠BOE=90°,最后根由∠1和∠DOB是对顶角可以求得∠DOB=20°,然后再根据OE AB据角的和差完成解答即可．【详解】解：∵∠1和∠DOB是对顶角∴∠DOB=20°⊥∵OE AB∴∠BOE=90°∠=∠BOE-∠DOB=70°∴2故答案为70°．【点睛】本题考查了对顶角的性质、垂直的定义以及角的和差，其中发现对顶角是解答本题的突破口．13．﹣3≤a＜﹣2【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集和已知得出a的范围即可．【详解】231x ax->⎧⎨-<⎩①②，∵解不等式①得：x＞a，解不等式②得：x＜2，又∵关于x的一元一次不等式组231x ax->⎧⎨-<⎩有2个负整数解，∴﹣3≤a＜﹣2，故答案为：﹣3≤a＜﹣2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集和已知得出关于a的不等式是解此题的关键．14．8﹣2π【解析】【分析】根据S阴=S△ABD-S扇形BAE计算即可．【详解】解：S阴=S△ABD-S扇形BAE=12×4×4-2454360π⨯⨯=8-2π，故答案为8-2π．【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．15．【解析】【分析】取DF的中点M，连接PM，取CF的中点N，连接QN，作PH⊥QN于点H，然后利用三角形中位线定理、正方形的性质求得PH和QH的长，再根据勾股定理即可解答．【详解】解：取DF的中点M，连接PM，取CF的中点N，连接QN，作PH⊥QN于点H，∵点P、Q分别为DG、CE的中点，∴PM=12GF，QN=12EF，∵正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，EF∥BC，BD为正方形ABCD的对角线，∴BE=EG=8，BE=CF=8，∴GF=4，∴PM=DM=2，QN=6，FN=CN=4，∴PH=MN=12－4－2=6，QH=QN-HN=4，∴==故答案为：【点睛】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理等，解答本题的关键是正确做出辅助线，运用数形结合思想作答．16．2a【解析】【分析】先因式分解，再约分即可化简，继而将a的值代入计算．【详解】原式224aa=+•444a aa a+--（）（）（），＝2a，当a =2= 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 17．（1）800；（2）答案见解析；（3）3500．【解析】【分析】（1）由“不剩”的人数及其所占百分比可得答案；（2）用总人数减去其它类型人数求得“剩少量”的人数， 据此补全图形即可；（3）用总人数乘以样本中“剩少量”人数所占百分比可得 ．【详解】（1）被调查员工人数为400÷50%＝800人． 故答案为800；（2）“剩少量”的人数为800﹣（400+80+40）＝280人，补全条形图如下：（3）估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有10000280800⨯=3500人． 【点睛】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．18．（1）y=2x ；（2，P （0，1710）. 【解析】【分析】（1）根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出112k =，进而得到反比例函数的解析式； （2）作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '，交y 轴于点P ，得到PA PB +最小时，点P 的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A B '的长；利用待定系数法求出直线A B '的解析式，得到它与y 轴的交点，即点P 的坐标．【详解】（1）Q 反比例函数(0)k y k x=>的图象过点A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，AOM ∆面积为1，∴ 112k =， 0k >Q ，2k ∴=， 故反比例函数的解析式为：2y x=； （2）作点A 关于y 轴的对称点'A ，连接'A B ，交y 轴于点P ，则PA PB +最小． 由15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ()1,2A ∴，14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭， ()'1,2A ∴-，最小值'2A B ==． 设直线'A B 的解析式为y mx n =+，则2142m n m n -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3101710m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线'A B 的解析式为3171010y x =-+， 0x ∴=时，1710y =， P ∴点坐标为170,10⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．19．（1）AD=95；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；理由见解析.【解析】【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．（2）当ED 与O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．【详解】（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴，∴；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.20．点O到BC的距离为480m．【解析】【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．【详解】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN=45°，∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，在Rt△BOM中，BM==x，由题意得，840﹣x+x=500，解得，x=480，答：点O到BC的距离为480m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．21．(1)v=100t；(2)平均每小时至少要卸货20吨．【解析】【分析】（1）直接利用vt=100进而得出答案；（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案．【详解】(1)由题意可得：100=vt，则100vt ；(2)∵不超过5小时卸完船上的这批货物，∴t≤5，则v≥1005=20，答：平均每小时至少要卸货20吨．【点睛】考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①直接得出结论；②借助问题情景即可得出结论；（2）先判断出∠BCE+∠BEC=90°，进而判断出∠BEC=∠BCG，得出△GHC≌△CBE，判断出AD=BC，进而判断出HC=BH，即可得出结论；（3）先判断出四边形BENM为矩形，进而得出∠1+∠2=90°，再判断出∠1=∠3，得出△ENF≌△EBC，即可得出结论．【详解】（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．②答：点A在线段GF的垂直平分线上．理由：由问题情景知，AM⊥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥FG，∴点A在线段GF的垂直平分线上．（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴CG=CE，∠GCE=90°，∴∠BCE+∠BCG=90°．∴∠2BEC=∠BCG．∴△GHC≌△CBE．∴HC=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，BE=AB，∴BC=2BE=2HC，∴HC=BH．∴GH垂直平分BC．∴点G在BC的垂直平分线上．（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．∵四边形ABCD 是矩形，点E 在AB 的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=90°，∴四边形BENM 为矩形．∴BM=EN ，∠BEN=90°．∴∠1+∠2=90°．∵四边形CEFG 为正方形，∴EF=EC ，∠CEF=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠3．∵∠CBE=∠ENF=90°，∴△ENF ≌△EBC ．∴NE=BE ．∴BM=BE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ．∵AD=2AB ，AB=BE ．∴BC=2BM ．∴BM=MC ．∴FM 垂直平分BC ．∴点F 在BC 边的垂直平分线上．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．23．（1）255y x x =-+.；（2）点G 坐标为()13,1G -；296744G ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭.（3）1k =-+. 【解析】分析：（1）根据已知列出方程组求解即可；（2）作AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，垂足分别为M ，N ，求出直线l 的解析式，再分两种情况分别求出G 点坐标即可；（3）根据题意分析得出以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点，P 为MN 的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可．详解：（1）由题可得：5,225, 1.b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩解得1a =，5b =-，5c =. ∴二次函数解析式为：255y x x =-+.（2）作AM x ⊥轴，BN x ⊥轴，垂足分别为,M N ，则34AF MQ FB QN ==.32MQ =Q ，2NQ ∴=，911,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1,91,24k m k m +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，解得1,21,2k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122t y x ∴=+，102D ，⎛⎫ ⎪⎝⎭. 同理，152BC y x =-+. BCD BCG S S ∆∆=Q ，∴①//DG BC （G 在BC 下方），1122DG y x =-+， 2115522x x x ∴-+=-+，即22990x x -+=，123,32x x ∴==. 52x >Q ，3x ∴=，()3,1G ∴-.②G 在BC 上方时，直线23G G 与1DG 关于BC 对称.1211922G G y x ∴=-+，21195522x x x ∴-+=-+，22990x x ∴--=.52x >Q ，x ∴=G ∴⎝⎭.综上所述，点G 坐标为()13,1G -；2G ⎝⎭. （3）由题意可得：1k m +=.1m k ∴=-，11y kx k ∴=+-，2155kx k x x ∴+-=-+，即()2540x k x k -+++=.11x ∴=，24x k =+，()24,31B k k k ∴+++.设AB 的中点为'O ， P Q 点有且只有一个，∴以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点.OP x ∴⊥轴，P ∴为MN 的中点，5,02k P +⎛⎫∴⎪⎝⎭. AMP PNB ∆∆Q ∽，AM PN PM BN∴=，••AM BN PN PM ∴=， ()2551314122k k k k k ++⎛⎫⎛⎫∴⨯++=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即23650k k +-=，960∆=>.0k >Q ，1k ∴==-+. 点睛：此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键．。
河南省郑州市河南省实验中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题
2
),
C
(0,1,
2)
,
D
(1,
2,
2
)
,
uuur AF
=
(0,1,1)
,
uuur BC
=
(
-1,1,
0
)
.
设
uuur BE
=
l
uuur BC
=
(-l
,
l,
0)
,
l
Î[0,1]
，则
E
(1
-
l,
l,
2)
,
uuur DE
=
(
-l,
l
-
2,
0)
.
答案第21 页，共22 页
所以 cos
uuur uuur AF, DE
=
3 2
相切，与椭圆
E
交于不同的两点
A,
B
，求 VOAB
的面积的最
大值．
试卷第61 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直数量积为 0 可得.
【详解】由题知，
r l
^
r n
，故
r l
×
r n
=
2
+
1 2
m
+
2
=
0
，解得
m
=
-8
.
故选：C 2．D
【解析】根据 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = a1 + a2 + a3 + a4 + (a1 + a2 + a3 + a4 ) q4 ，代入
河南省实验中学2020届高三二测模拟测试(二)数学(理)试题 PDF版含答案
x
y
1 cos sin
( 为参数），以坐标原点
O
为极
点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点 A 为曲线 C1 上的动点，点 B 在线段 OA 的延长线
上，且满足| OA | | OB | 8 ，点 B 的轨迹为 C2 .
（1）求曲线 C1
，C2
的极坐标方程；（2）设点
M
的极坐标为
2,
2
1 x＜0,
6、下列四个命题：
① 函数 f x cosxsinx 的最大值为1；
② “ x R ， x3 x2 1 0 ”的否定是“ x0 R, x3 x2 1 0 ”； ③ 若 ABC 为锐角三角形，则有 sinA sinB sinC cosA cosB cosC ；
:
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，过 F2 的一条直线交
椭圆于 P、Q 两点，若 PF1F2 的周长为 4 4 2 ，且长轴长与短轴长之比为 2 :1.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若 F1P F2Q PQ ，求直线 PQ 的方程.
21.（12分）已知函数 f x ex cos x .
河南省实验中学高三年级二测模拟测试二
一．选择题（共12小题，每题5分，共60分.）
1．集合
A x |
x 1
2 ， B
x
1
3x
9 ，则
A B 为(
)
3
A． 1, 2 B． 1, 2 C． 1,3 D． 1,3
2．设复数 z1 1 i, z2 x2 i(x R) ，若 z1 z2 为实数，则 x （ ）
3、C
向量
2020年4月河南省实验中学2020届高三下学期第二次高考模拟数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前河南省实验中学2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟测试数学(文)试题(解析版)2020年4月一、选择题1.设全集{}4U x N x *=∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()U A B =（ ）A. {}1,2,3B. {}1,2,4C. {}1,3,4D. {}2,3,4 【答案】A【解析】【分析】 由已知中全集{}{}{}|4,1,4,2,4U x N x A B *=∈≤==，根据补集的性质及运算方法，先求出A B ，再求出其补集，即可求出答案. 【详解】全集{}*4U x N x =∈≤,集合{}1,4A =,{}2,4B =,{}4A B ∴⋂=,(){}1,2,3U C A B ∴⋂=,故选：A.【点睛】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算,其中将题目中的集合用列举法表示出来,是解答本题的关键.2.设i 是虚数单位,若复数103m i ++（m R ∈）是纯虚数,则m 的值为（ ） A. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算化简,结合纯虚数定义即可求得m 的值.【详解】由复数的除法运算化简可得1033m m i i+=+-+, 因为是纯虚数,所以30m +=,∴3m =-,故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算,属于基础题.3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论正确的是（ ）A. ()()⋅f x g x 是偶函数B. ()()f x g x ⋅是奇函数C. ()()f x g x ⋅是奇函数D. ()()f x g x ⋅是奇函数【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【详解】解：()f x 是奇函数,()g x 是偶函数, ()()f x f x ∴-=-,()()g x g x -=,()()()()f x g x f x g x --=-,故函数是奇函数,故A 错误,|()|()|()|()f x g x f x g x --=为偶函数,故B 错误,()|()|()|()|f x g x f x g x --=-是奇函数,故C 正确．|()()||()()|f x g x f x g x --=为偶函数,故D 错误,故选：C ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4.在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中,。
2020届河南省中考数学二模试卷(一)(有解析)
2020届河南省中考数学二模试卷(一)一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.以下关系，一定成立的是()A. 若|a|=a，则a>0B. 若a>b，则|a|>|b|C. 若a2=b2，则|a|=|b|D. 若|a|=|b|，则a=b2.江苏淮安与新疆全屯两地之间的距离约为3780000m，用科学记数法把3780000可以写成()A. 3.78×106mB. 3.78×107mC. 3.78×106mD. 3.78×10m3.如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等．如果13、9、3对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2−ab−bc−ca的值等于()A. 48B. 76C. 96D. 1524.下列计算正确的是()A. a m+1+a m−1=a2mB. a3÷a=a3C. (a3)2=a9D. a2⋅a4=a65.一组数据−1，2，3，4的极差是()A. 2B. 3C. 4D. 56.某书店将定价为10元和8元的两种畅销书共60本按定价售出后，将所得的书款546元全部捐献给了“希望工程”.那么定价为10元和8元的书各卖了()A. 20本和40本B. 25本和35本C. 33本和27本D. 30本和30本7.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与y轴交于点B(0,−2)，点A(−1,m)在抛物线上，则下列结论中错误的是()A. ab<0B. 一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间C. a=m+23D. 点P1(t,y1)，P2(t+1,y2)在抛物线上，当实数t>1时，y1<y238.下列说法正确的是()A. 了解“乐山市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查B. 甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S甲2>S乙2，则甲的成绩比乙稳定C. 一口袋中装有除颜色外其余均相同的红色小球2个，蓝色小球1个，从中随机一次性摸出2个小球，则恰好摸到同色小球的概率是12D. “任意画一个三角形，其内角和是360°”这一事件是不可能事件9.在平面直角坐标系中，⊙O是以(2,1)为圆心，1为半径的圆，则下列说法正确的是()A. ⊙O必与x轴相交B. ⊙O必与x轴相切C. ⊙O与必y轴相交D. ⊙O必与y轴相切10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2.E、F分别是射线AC、CB上的动点，且AE=BF，EF与AB交于点G，EH⊥AB于点H，设AE=x，GH=y，下面能够反映y与x之间函数关系的图象是()A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.(x+√5)(x−√5)=______ ．12. 如图所示，直线AB 、CD 交于点E ，EF ⊥CD 于点E ，∠AEF =55.75°，则∠BED =______°.13. 已知m 为不等式组{m+23≥−11−m 3>−12的所有整数解，则关于x 的方程3x +6x−1=x−mx(x−1)有增根的概率为______．14. 如图，以△ABC 的边BC 为直径作⊙O ，点A 在⊙O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD =AB ，∠D =30°.若劣弧AC ⏜的长为2π3，则图中阴影部分的面积为______ ．15. 直角三角形的两边长分别是3cm 、5cm ，则第三边长______cm ． 三、计算题（本大题共2小题，共12.0分） 16. 先化简，再求值：(x 2−2x+4x−1−x +2)÷x 2−4x−41−x，其中x 是|x|<2的整数．17. (7分)计算下列各题：(1)某校初三(一)班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部处的仰角为60°，如图所示，求旗杆的高度为 米．(已知结果精确到0.1米)(2)如图，在四边形中，，，，，求⋅四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）18. 为了了解青少年形体情况，现随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况，我们对测评数据作了适当处理(如果一个学生有一种以上不良姿势，以他最突出的一种作记载)，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题．(1)求这次抽查一共抽查了多少名学生；(2)请将条形统计图补充完整；(3)如果全市有8.2万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有多少名．(k<0) 19. 已知：如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，A点坐标为(1,m)，连接OB，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，且△BOC ．的面积为32(1)求k的值；(2)求这个一次函数的解析式；(3)根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．20. 已知四边形ABCD是边长为2的正方形，在以AB为直径的正方形内作半圆O，P为半圆上的动点(不与A、B重合)连接PA、PB、PC、PD，(1)若DP与半圆O相切时，求PA的长．(2)如图，以BC边为x轴，以AB边为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3，试求2S1S3−S22的最大值，并求出此时点P的坐标．(3)在(2)的条件下，E为边AD上一点，且AE=3DE，连接BE交半圆O于F.连接FP并延长至点Q，使得PQ=PB，求OQ的长．21. 已知，反比例函数y=kx的图象过第二象限内的点A(−2,m)，AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y=x+b经过点A，并且经过反比例函数y=kx 的图象上另一点(n,−32).(1)求反比例函数的解析式；(2)求直线y=ax+b解析式；(3)求△AOC的面积；(4)直接写出不等式ax+b≥kx的解集．22. 如图：在平面直角坐标系中，点A(−2,0)点B(0,4)，OB的垂直平分线CE，与OA的垂直平分线CD相交于点C．(1)写出点C的坐标；(2)证明点C在直线AB上；(3)在平面直角坐标系内是否存在点F，会使得△CDF≌△0AB？若存在直接写出点的坐标，若没有请说明理由．23. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A.若|a|=a，则a≥0，故A选项错误；B.若a=1，b=−2，则a>b，但|a|=1，|b|=2，所以|a|<|b|，故B选项错误；C.若a2=b2，则a与b互为相反数，则|a|=|b|，故C选项正确；D.若|a|=|b|，则a=±b，故选项D错误．故选C．根据绝对值的意义、及互为相反数的性质判断即可．此题考查了有理数的有关知识，熟练掌握绝对值的意义、及互为相反数的性质是解题的关键．2.答案：A解析：解：3780000，用科学记数法表示为3.78×106，故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：B解析：解：∵正方体的每一个面上都有一个正整数，相对的两个面上两数之和都相等，∴a+13=b+9=c+3，∴a−b=−4，b−c=−6，c−a=10，a2+b2+c2−ab−bc−ca=2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca2=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)22=(−4)2+(−6)2+1022=76故选：B．本题须先求出a−b=−4，b−c=−6，c−a=10，再通过对要求的式子进行化简整理，代入相应的值即可求出结果．本题主要考查了整式的混合运算−化简求值问题，在解题时要注意知识的综合运用及与图形结合问题．4.答案：D解析：解：(A)原式=a m+1+a m−1，故A错误；(B)原式=a2，故B错误；(C)原式=a6，故C错误；故选：D．根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．5.答案：D解析：解：数据的极差=4−(−1)=5．故选D．根据极差的定义求解．本题考查了极差：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．极差=最大值−最小值．6.答案：C解析：[分析]设定价为10元的书卖了x本，则定价为8元的书卖了(60−x)本，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．[详解]解：设定价为10元的书卖了x本，则定价为8元的书卖了(60−x)本，根据题意得：10x+8(60−x)=546，解得：x=33，∴60−x=27．故选C．7.答案：D解析：解：∵抛物线开口向上，∴a>0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a<0，∴ab<0，所以A选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标在(0,0)与(−1,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；把B(0,−2)，A(−1,m)代入抛物线得c=−2，a−b+c=m，而b=−2a，∴a+2a−2=m，∴a=m+2，所以C选项的结论正确；3∵点P1(t,y1)，P2(t+1,y2)在抛物线上，∴当点P1、P2都在直线x=1的右侧时，y1<y2，此时t≥1；当点P1在直线x=1的左侧，点P2在直线x=1的右侧时，y1<y2，此时0<t<1且t+1−1>1−t，<t<1，即12<t<1或t≥1时，y1<y2，所以D选项的结论错误．∴当12故选：D．由抛物线开口方向得到a>0，利用抛物线的对称轴方程得到b=−2a<0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B(0,−2)，A(−1,m)和b=−2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断．本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．8.答案：D解析：解：A.了解“乐山市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，此选项错误；B.甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S甲2>S乙2，则乙的成绩比甲稳定，此选项错误；C.一口袋中装有除颜色外其余均相同的红色小球2个，蓝色小球1个，从中随机一次性摸出2个小，此选项错误；球，则恰好摸到同色小球的概率是13D.“任意画一个三角形，其内角和是360°”这一事件是不可能事件，此选项正确；故选：D．根据抽样调查和全面调查的概念、方差的意义、利列表法和树状图法求随机事件的概率及不可能事件的概念逐一求解可得．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9.答案：B解析：解：∵点(2,1)到x轴的距离是1，等于半径，到y轴的距离是2，大于半径，∴圆与x轴相切，与y轴相离．故选B．由已知点(2,1)可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d>r，则直线与圆相离．本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．10.答案：C解析：判断出△ABC是等腰直角三角形，然后再判断出△AHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AB、AH的长，过点B作BD//AC交EF于点D，然后利用平行线分线段成比例定理分别列式BDAE =BGAG，BFFC=BDEC，再表示出BD，然后求出BG的长度，最后根据GH=AB−AH−BG，代入数据整理即可得到y与x的函数关系式，再根据函数相应的图象解答．11.答案：x2−5解析：解：原式=x2−(√5)2=x2−5．故答案为：x2−5．利用平方差公式直接计算即可．此题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式是解决问题的关键．12.答案：34°.25解析：解：∵EF⊥CD，∴∠CEF=90°，∴∠AEC=∠CEF−∠AEF=90°−55.75°=34.25°，∴∠BED=∠AEC=34.25°．故答案为：34.25°．根据垂直的定义可得∠CEF=90°，然后求出∠AEC，再根据对顶角相等解答．本题考查了垂线的定义，对顶角相等的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．13.答案：15解析：解：解不等式m+23≥−1，得：m≥−5，解不等式1−m3>−12，得：m<4.5，则不等式组的解集为−5≤m<4.5，∴不等式组的所有整数解为−5、−4、−3、−2、−1、0、1、2、3、4这10个，将分式方程的两边都乘以x(x−1)，得：3(x−1)+6x=x−m，∵分式方程的增根为x=1或x=0，当x=1时，m=−5；当x=0时，m=3；所以该分式方程有增根的概率为210=15，故答案为：15．解不等式组求得其解集，从而确定出不等式组的整数解m的值有10个，再根据分式方程有增根得出m的值，利用概率公式计算可得．本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的能力和分式方程增根的概念及概率公式．14.答案：2√3−23π解析：解：连接OA，如图，∵AD=AB，∴∠B=∠D=30°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°，∵劣弧AC⏜的长为2π3，∴60⋅π⋅OC180=2π3，解得OC=2，∵∠D=30°，∠DOA=60°，∴∠OAD=90°，∴AD=√3OA=2√3，∴图中阴影部分的面积=S△AOD−S扇形AOC=12×2√3×2−60×π×22360=2√3−23π.故答案为2√3−23π.连接OA，如图，先利用等腰三角形的性质得到∠B=∠D=∠OAB=30°，再利用圆周角定理得到∠AOC=60°，接着利用弧长公式计算出OC=2，然后根据扇形面积公式，利用∴图中阴影部分的面积=S△AOD−S扇形AOC进行计算．本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2或S扇形=12lR(其中l为扇形的弧长).求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了圆周角定理．15.答案：4或√34解析：解：①当3cm和5cm都是直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：第三边为√32+52=√34(cm)；②当3cm为直角边和5cm为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得：第三边为√52−32=4(cm)．故答案为：4或√34．分为两种情况，①当3cm和5cm都是直角边时；②当3cm为直角边和5cm为斜边时；根据勾股定理求出即可．本题考查了勾股定理的应用，能根据勾股定理求出符合的所以情况是解此题的关键，注意：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用了分类讨论思想．16.答案：解：原式=[x2−2x+4x−1−(x−2)(x−1)x−1]÷(x+2)21−x=x+2x−1×1−x(x+2)2=−1x+2；又x是|x|<2的整数，∴x=−1或0或1．当x=1时原式无意义．∴当x=−1时，原式=−1；．当x=0时，原式=−12解析：根据分式的混合运算法则把原式化简，根据绝对值的性质求出x，代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、绝对值的性质是解题的关键．17.答案：解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=60°，AC=6，故BC=6×tan60°=6．BE=BC+CE=6+1.5≈11.9(米)．故填11.9．(2)过点D作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于F，则有四边形BCFE为矩形，BC=EF，BE=CF，∵∠A=60°，∴∠ADE=30°，∵∠D=90°，∴∠CDE=60°，∠DCF=30°，在△CDF中，∵CD=9，∴DF=CD=，CF=CD=，∵EF=BC=6，∴DE=EF+DF=6+=，则AE=，∴AB=AE+BE==8．故填8．解析：(1)在Rt△ABC中，知道已知角的邻边求对边，用正切函数即可解答；(2)过点D作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于F，可得四边形BCFE为矩形，根据∠A=60°，可得出∠ADE= 30°，根据∠D=90°，可求得∠CDE=60°，∠DCF=30°，在△CDF中，根据CD=9，分别求出CF，DF的长度，然后在△ADE中，求出AE的长度，继而可求出AB的长度．18.答案：解：(1)100÷20%=500，答：这次抽查一共抽查了500名学生；(2)∵三姿良好所占的百分比为：1−20%−37%−31%=12%；三姿良好的人数为：500×12%=60人，补全图形如下所示：(3)82000×12%=9840人，答：全市初中生中，三姿良好的学生约有9840名．解析：(1)由条形统计图和扇形统计图就可以看出：坐姿不良的学生有100人，占总人的百分比为20%，进而求出这次一共抽查的学生人数；(2)根据题意将条形统计图补充完整即可；(3)根据题意列式计算即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.答案：解：(1)∵△BOC 的面积为32， ∴12|k|=32， 而k <0，∴k =−3；(2)把A(1,m)代入y =−3x 得1×m =−3，解得m =−3，∴A 点坐标为(1,−3)，把A(1,−3)代入y =x +b 得1+b =−3，解得b =−4，∴一次函数解析式为y =x −4；(3)解方程组{y =x −4y =−3x 得{x =1y =−3或{x =3y =−1， ∴B 点坐标为(3,−1)，∴当x <0或1<x <3时，反比例函数的值大于一次函数的值．解析：(1)利用反比例函数的比例系数的几何意义可求得k =−3；(2)先把A(1,m)代入y =−3x 求出m =−3，得到A 点坐标为(1,−3)，然后把A 点坐标代入一次函数求出b 的值即可；(3)先解方程组{y =x −4y =−3x 可确定B 点坐标，然后观察函数图象得到当x <0或1<x <3时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，即反比例函数的值大于一次函数的值．20.答案：解：(1)如图1，连接OP 、OD ，AP 与OD 相交于点M ，∵DP 与半圆O 相切，∴OA =OP ，OP ⊥DP ，得OD 垂直平分AP ，∴△AMO∽△DAO ， ∴AM AD =AO DO ， ∵AD =2，AO =1， DO =√AD 2+AO 2=√22+12=√5，∴AM =AO×AD DO =1×2√5=2√55，∴AP =2AM =2×2√55=4√55；(2)作PE ⊥AB 于点E ，设P(x,y)，在Rt △EPO 中，可得PE 2+EO 2=OP 2，即x 2+(y −1)2=12，∴x 2=2y −y 2，根据题意可得：S 1=12⋅AD ⋅(2−y)=2−y ，S 3=12⋅BC ⋅y =y ，S 2=12⋅AB ⋅x =x ，∴2S 1S 3−S 22=2⋅(2−y)⋅y −x 2=4y −2y 2−x 2=x 2∵0<x ≤1∴当x =1时，2S 1S 3−S 22有最大值，最大值为1，将x =1代入x 2=2y −y 2中，可得y =1，此时点P(1,1)(3)连接AF ，得AF ⊥BE ，作FK ⊥AB 交于点K ，∵AE =3DE ，AD =2，∴AE =32，AF =65，根据题意，易得△BAE∽△BFA∽△AFE ，即：AF BF =EF AF =AEAB ，得BF =AF⋅AB AE =65⋅232=85， 在△ABE 中，BE =2+AE 2=52，易得△BFK∽△BEA ，即：FK BF =AE BE ，得FK =AE BE ⋅BF =32⋅8552=2425，根据勾股定理可得，BK =√BF 2−FK 2=3225∴F(2425,3225)， ∵P(1,1)，可求得直线PF 解析式：y =−7x +8，设Q(a,−7a +8)，∵PQ =PB =√2，∴√(a −1)2+(−7a +8−1)2=√2，∴a 1=45，a 2=65， ∵Q 在FP 的延长上，∴a >1，∴a =65， ∴Q 点坐标为(65,−25)，∵O 点坐标为(0,1)，∴QO =√(65−0)2+(−25−1)2=√855． 解析：(1)根据已知可得OD 垂直平分AP ，得到△AMO∽△DAO ，根据勾股定理从而得到AM ，即可得到AP 的值；(2)过点P 分别作PE ⊥AB ，设P 点坐标为(x,y)，通过勾股定理得到x 2=2y −y 2，从而得到2S 1S 3−S 22关于x 的解析式，求得其最值即可得到P 的坐标；(3)连接AF ，作FK ⊥AB 交于点K ，易得△BAE∽△BFA∽△AFE ，根据相似三角形的性质得到BF ，从而根据勾股定理以及△BFK∽△BEA ，得到BE 、FK 及BK ，即可得出F 点坐标，接着得到直线PF 解析式，设Q(a,−7a +8)，利用PQ =PB =√2得到Q 点坐标，即可得到OQ 的长度．本题考查了圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、勾股定理、二元一次方程的最值问题、两点间的距离等多个考点，此题综合性很强，解题的关键是在于数形结合与方程思想的变换，特别是第(3)问中计算量较大，需要仔细认真．21.答案：解：(1)∵点A 坐标为(−2,m)，AB ⊥x 轴于B ，Rt △AOB 面积为3， ∴12×2×m =3，解得m =3， ∴A 点坐标为(−2,3)， 把A(−2,3)代入y =k x 得k =−2×3=−6，所以反比例函数的解析式为y =−6x ；(2)把C(n,−32)代入y =−6x 得−32n =−6，解得n =4，∴C 点坐标为(4,−32)，把A(−2,3)、C(4,−32)代入y =ax +b 得{−2a +b =34a +b =−32，解得{a =−34b =32， 所以直线y =ax +b 解析式为y =−34x +32；(3)连OC ，对于y =−34x +32，令y =0，则−34x +32=0，解得x =2，∴M 点的坐标为(2,0)，∴S △AOC =S △AOM +S △COM =12×2×3+12×2×32=92； (4)∵A(−2,3)，C(4,−32)，∴由函数图象可知，不等式ax +b ≥k x 的解集是x ≤−2或0<x ≤4．解析：(1)根据Rt △AOB 面积为得到12×2×m =3，解得m =3，则A 点坐标为(−2,3)，把A 点坐标代入y =k x 可得k =−2×3=−6，确定反比例函数的解析式为y =−6x ；(2)把C 点坐标代入反比例函数的解析式y =−6x 可确定C 点坐标为(4,−32)，然后利用待定系数法确定经过A 点和C 点的直线解析式；(3)先求出M 点的坐标，然后利用S △AOC =S △AOM +S △COM 进行计算即可；(4)由A 、C 两点的坐标可直接得出不等式的解集．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式及反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意得出A 、C 的坐标是解答此题的关键．22.答案：解：(1)∵点A(−2,0)点B(0,4)，∴OA =2，OB =4，∵OB 的垂直平分线CE ，与OA 的垂直平分线CD 相交于点C ，∴OD =12OA =12×2=1，OE =12OB =12×4=2， ∴点C(−1,2)；(2)设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则{−2k +b =0b =4， 解得{k =2b =4， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4，当x =−1时，y =2×(−1)+4=−2+4=2，∴点C(−1,2)在直线AB 上；(3)①点C 是直角顶点时，如图，∵△CDF≌△0AB ，∴CF =OB =4，点F 在CD 右边时，F 1(3,2)，点F 在CD 左边时，F 2(−5,2)；②点D 是直角顶点时，∵△CDF≌△A0B ，∴DF =OB =4，点F 在CD 右边时，F 3(3,0)，点F 在CD 左边时，F 4(−5,0)；综上所述，存在点F 1(3,2)，F 2(−5,2)，F 3(3,0)，F 4(−5,0)，使得△CDF≌△0AB ．解析：(1)根据点A 、B 的坐标求出OA 、OB 的长，再根据线段垂直平分线的定义求出OD 、OE 的长，然后判断出四边形CDOE 是矩形，然后写出点C 的坐标即可；(2)利用待定系数法求一次函数解析求出直线AB 的解析式，再把点C 的坐标代入验证即可；(3)分①点C是直角顶点时，根据全等三角形对应边相等可得CF=OB，②点D是直角顶点，根据全等三角形对应边相等可得DF=OB，然后分别分两种情况写出点F的坐标即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，难点在于(3)要分情况讨论，作出图形更形象直观．23.答案：解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：a−b+c=09a+3b+c=0c=3解得：a=−1b=2c=3∴抛物线的解析式：y=−x2+2x+3．(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将B(3,0)，C(0,3)代入上式，得：解得：∴直线BC的函数关系式y=−x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标(1,2)；(3)存在，点M的坐标为(1,)，(1,−)，(1,1)，(1,0)．解析：本题考查了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点；(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、②AC= MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：∵抛物线的对称轴为：x=1，∴设M(1,m)。
河南省2020年中考数学二模试卷(解析版)
2020年河南省中考数学二模试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．﹣的相反数是（）A．2020 B．﹣2020 C．D．﹣2．国家统计局公布，2019年我国国内生产总值按年平均汇率折算达到14.4万亿美元，稳居世界第二位．其中14.4万亿用科学记数法可以表示为（）亿．A．1.44×1012B．1.44×1013C．1.44×104D．1.44×1053．下列图形中，不是正方体平面展开图的是（）A．B．C．D．4．下列运算中结果正确的是（）A．＝±2 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2C．3x2y﹣2yx2＝x2y D．a6÷a2＝a35．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：组员甲乙丙丁戊平均成绩众数得分81 77 ■80 82 80 ■则被遮盖的两个数据依次是（）A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，26．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣6x+9＝0 B．x2﹣2x+3＝0C．x2﹣x＝0 D．（x+2）（x﹣1）＝07．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，现分别以点B，D为圆心，以大于BD 的长为半径画弧，两弧相交于点F，连接OF交AD于点E，再连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（）A．28 B．24 C．20 D．148．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．化简÷（a﹣）的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P 作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：（每题3分，共15分）11．计算：（﹣3）﹣1+＝．12．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为．13．从2，3，4，6中随机选取两个数记作a和b（a＜b），那么点（a，b）在直线y＝2x上的概率是．14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，BD是△ABC的内角平分线．以A为圆心，AD为半径作弧交AB于E，再以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，则图中阴影部分的面积为．15．如图，菱形ABCD边长为4 cm，∠A＝60°，点M为AB的中点，点N是边AD上任一点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN＝cm时，△BCE 是直角三角形．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）﹣2x（x+y），其中x，y满足方程组．17．（9分）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O外一点．DB和DC都与⊙O相切，切点分别是点B，C，连接OD交⊙O于点E，连接AC．（1）求证：AC∥OD；（2）如果AB＝2，①当BD＝时，四边形OACE是菱形；②当BD＝时，四边形OCDB是正方形．18．（9分）我市某学校九年级（2）班开展了为期一周的“帮父母做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把结果划分成A，B，C，D，E 五个等级，老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制作成如下的频数分布表和扇形统计图．等级帮助父母做家务时间（小时）频数A 2.5≤t＜3 2B 2≤t＜2.5 10C 1.5≤t＜2 aD 1≤t＜1.5 bE 0.5≤t＜1 3（1）求a，b的值；（2）该班的小明同学这一周帮父母做家务2 h．他认为自己帮家长做家务的时间比班级里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由；（3）若今年我市约有3.5万九年级学生，依据以上调查结果请你估计其中帮助家长做家务的时间一周不少于2 h的学生总人数．19．（9分）抗击突如其来的“新冠”疫情，彰显我们全国一盘棋的制度优势，抗疫期间甲市急需乙市生产的一种紧急抗疫物资，乙市安排一辆厢式货车往甲市运送，同时甲市一辆轿车前去迎接，以便提前运回一部分急用．两车相遇后，轿车带一部分物资按原速返回（两车交接货物的时间不计），厢式货车以原速把余下物资送到甲市．设厢式货车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲市到乙市两地相距km，两车出发后h相遇；（2）轿车行驶的速度是km/h，厢式货车行驶的速度是km/h；（3）请判断线段DC的延长线是否经过点A，并说明理由．20．（9分）如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）21．（10分）已知一块矩形草坪的两边长分别是2 m与3 m，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a m，另一边长加长b m，可得a与b之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：（1）类比反比例函数可知，函数y＝﹣2的自变量x的取值范围是，这个函数值y的取值范围是．（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝||的图象和性质，请根据函数y＝的图象，画出函数y＝||的图象；（3）根据函数y＝||的图象，写出两条函数的性质．（4）根据函数y＝||的图象解答下列问题：①方程||＝0有个实数根，该方程的根是；②如果方程||＝a只有一个实数根，则a的取值范围是；③如果方程||＝a有2个实数根，则a的取值范围是．22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P在斜边AB上，点D，E，F分别是线段P A，PB，PC的中点，易知△DEF是直角三角形．“现把△DEF以点P为中心，顺时针旋转α，其中0°＜α＜360°．连接AD，BE，CF．（1）操作发现如图2，若点P是AB的中点，连接PF，可以发现＝，＝；（2）类比探究如图3，Rt△ABC中，CP⊥AB于点P，请判断与的大小，结合图2说明理由；（3）拓展提高在（2）的条件下，如果∠CAB＝30°，且AB＝4，在△DEF旋转的过程中，当以点C，D，F，P四点为顶点的四边形与以点B，E，F，P四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段AD，CF，BE的长．23．（11分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若M（m，y1），N（n，y2）是第一象限内抛物线上的两个动点，且m＜n．分别过点M，N做MC，ND垂直于x轴，分别交直线AB于点C，D．①如果四边形MNDC是平行四边形，求m与n之间的关系；②在①的前提下，求四边形MNDC的周长L的最大值；（3）如图2，设抛物线与，x轴的另一个交点为A′，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠AP A′＝∠ABO？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由？2020年河南省洛阳市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣的相反数是：．故选：C．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：14.4万亿＝144000亿＝1.44×105亿．故选：D．3．【分析】根据正方体的展开图的种类和特征，综合进行判断即可．【解答】解：根据正方体的展开图的特征可知，共有11种情况，可以分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，没有“1﹣2﹣3型”的，因此选项B不是正方体平面展开图，故选：B．4．【分析】分别根据立方根的定义，幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A.，故本选项不合题意；B．（﹣3a2b）2＝9a4b2，故本选项不合题意；C.3x2y﹣2yx2＝x2y，故本选项符合题意；D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意．故选：C．5．【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据众数的意义进行分析即可得出答案．【解答】解：根据题意得：80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），则丙的得分是80分；众数是80，故选：A．6．【分析】分别进行判别式的值，再利用判别式的意义对A，B，C进行判断；利用因式分解法解方程可对D进行判断．【解答】解：A.△＝（﹣6）2﹣4×9＝0，所以方程有两个相等的实数解，所以A选项错误；B.△＝（﹣2）2﹣4×3＜0，所以方程没有实数解，所以B选项正确；C.△＝（﹣1）2﹣4×0＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以C选项错误；D.方程两个的实数解为x1＝﹣2，x2＝1，所以D选项错误．故选：B．7．【分析】证明△ABE的周长＝AB+AD即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为28，∴AB＝CD，AD＝BC，AB+AD＝14，由作图可知，OE垂直平分线段BD，∴EB＝ED，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+DE+AE＝AB+AD＝14，故选：D．8．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，解不等式﹣x≤1，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：A．9．【分析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算除法即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，故选：C．10．【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．【解答】解：当点Q在AC上时，∵∠A＝30°，AP＝x，∴PQ＝x tan30°＝，∴y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；当点Q在BC上时，如下图所示：∵AP＝x，AB＝16，∠A＝30°，∴BP＝16﹣x，∠B＝60°，∴PQ＝BP•tan60°＝（16﹣x）．∴＝＝．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．二、填空题：（每题3分，共15分）11．【分析】直接利用算术平方根的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣+3＝．故答案为：．12．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠BCE＝∠E＝30°，然后求出∠ACF的度数，再根据直角三角形的两锐角互余列式求解即可．【解答】解：∵BC∥DE，∴∠BCE＝∠E＝30°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°，在Rt△ACF中，∠AFC＝90°﹣∠ACF＝90°﹣15°＝75°．故答案为：75°．13．【分析】画出树状图，找到b＝2a的结果数，再根据概率公式解答．【解答】解：画树状图如图所示，一共有6种情况，其中b＝2a的有（2，4）和（3，6）两种，所以点（a，b）在直线y＝2x上的概率是＝，故答案为：．14．【分析】解直角三角形求得AC，AB，根据等腰三角形的判定证得AD＝BD，根据勾股定理求出BD，可求出AD，BE，进而求出两个扇形的面积，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去扇形ADE和扇形BEF的面积之和．【解答】解：连接BD，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，∵BC＝，∴AC＝BC•tan∠B＝×＝3，AB＝2BC＝2，∴DC＝3﹣AD＝3﹣BD，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2，∴BD2＝（）2+（3﹣BD）2，解得：BD＝2，∴AD＝AE＝2，∴BE＝2﹣2，阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形ADE﹣S扇形BEF＝×3×﹣﹣＝﹣π，故答案为：﹣π．15．【分析】根据题意分两种情况讨论：①当∠EBC＝90°时，根据菱形的性质可得∠ANM＝90°，进而可得AN的值；②当∠BEC＝90°时，点E落在菱形对角线AC上，根据点M为AB的中点，MN为折痕，此时BD⊥AC于点E，可得N为AD的中点，进而可得AN的值．【解答】解：∵菱形ABCD边长为4 cm，点M为AB的中点，∴AM＝BM＝2 cm，由翻折可知：EM＝AM＝BM，∴∠MBE＝∠MEB，①当∠EBC＝90°时，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠MBE＝∠MEB＝30°，∴∠BME＝120°，∴∠AMN＝∠EMN＝30°，∴∠MNA＝90°，∴AN＝AM＝1cm；②当∠BEC＝90°时，点E落在菱形对角线AC上，∵点M为AB的中点，MN为折痕，此时BD⊥AC于点E，∴点N为AD的中点，∴AN＝AD＝2 cm．所以当AN＝1或2 cm时，△BCE是直角三角形．故答案为：1或2．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．【分析】（1）先求出x与y的值，然后将原式化简，再把x与y的值代入即可求出答案．【解答】解：原式＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2﹣2x2﹣2xy＝2xy，∵，∴，∴两式相减可得：4xy＝13，∴原式＝．17．【分析】（1）想办法证明AC⊥BC，OD⊥BC即可判断．（2）①当BD＝时，四边形OACE是菱形．根据四边相等的四边形是菱形证明即可．②当BD＝1时，四边形OCDB是正方形．根据有一个角是90°的菱形是正方形证明即可．【解答】（1）证明：连接BC，OC．∵DB，DC是⊙O的切线，∴DB＝DC，∵OC＝OB，∴OD⊥BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∴AC∥OD．（2）解：①当BD＝时，四边形OACE是菱形．理由：连接EC．∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥OB，∴∠OBD＝90°，∴tan∠DOB＝＝，∴∠DOB＝60°，∵AC∥OD，∴∠OAC＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∵AC∥OE，∴四边形OACE是平行四边形，∵OA＝OE，∴四边形OACE是菱形．故答案为．②当BD＝1时，四边形OCDB是正方形．理由：∵BD，DC是⊙O的切线，∴DB＝DC，∵OB＝OC＝1，BD＝1，∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OCDB是菱形，∵∠OBD＝90°，∴四边形OCDB是正方形．故答案为1．18．【分析】（1）读图可知：C等级的频率为40%，总人数为50人，可求出a，则b也可得到；（2）求得中位数后，根据中位数的意义分析；（3）利用样本估计总体的方法即可估计其中帮助家长做家务的时间一周不少于两小时的学生总人数．【解答】解：（1）a＝50×40%＝20，b＝50﹣2﹣10﹣20﹣3＝15；（2）符合实际．设中位数为m，根据题意，m的取值范围是：1.5≤m＜2，因为小明同学这一周帮父母做家务2小时，大于中位数，所以他帮家长做家务的时间比班级里一半以上的同学多；（3）35000×＝8400（人），答：估计其中帮助家长做家务的时间一周不少于两小时的学生总人数为8400人．19．【分析】（1）由A，B两点坐标结合图形中坐标系点的意义即可得出结论；（2）由函数图象的特点知，C点为轿车运回甲市，由相遇问题和追及问题求出两车的速度和与速度差，进而得结果；（3）用待定系数法求出直线CD的解析式，再验证A点是否在直线CD上便可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝640，可知甲、乙两地之间的距离为640 km；当x＝4时，y＝0，可知甲、乙两车出发后4 h相遇；故答案为：640；4；（2）由函数图象可知，C（m，160）表示行驶m h后，两车相距160 km，此时轿车回到了乙市，∵轿车返回甲市的时间与轿车从甲市到两车相遇处的时间相等，∴轿车返回用时4 h，设轿车的速度为x km/h，厢式货车行驶的速度是y km/h，则，∴，∴轿车的速度为100 km/h，厢式货车行驶的速度是60 km/h，故答案为：100；60；（3）线段DC的延长线经过点A．理由如下：由（2）知，m＝4+4＝8，∴C（8，160），厢式货车到达乙市的时间为：640÷60＝，∴D（，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣60x+640，当x＝0时，y＝640，∴直线CD经过点A（0，640），∴线段DC的延长线经过点A．20．【分析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，求出直角三角形的锐角，利用锐角三角函数求出PC，与16比较得出答案；改变航线后，画出图形，求出∠PBD的度数，再根据点B所测的方位角，即可求出改变航线后的方位角．【解答】解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．21．【分析】（1）根据分式有意义的条件确定自变量x的取值范围，根据≠0，确定y的值即可．（2）把函数y＝的图象的x轴的上方部分沿x轴翻折，可得函数y＝||的图象．（3）根据函数的图象，可得结论．（4）①②③利用图象法解决问题即可．【解答】解：（1）y＝﹣2的自变量x的取值范围是x≠﹣3，这个函数值y的取值范围是y≠﹣2，故答案为：x≠﹣3，y≠﹣2．（2）函数y＝||的图象，如图所示：（3）根据函数的图象可知：①当x＜﹣3时，y随x的增大而增大．②函数有最小值，最小值为0．③当x＞3时，y随x的增大而增大．（4）①方程||＝0有1个实数根，该方程的根是x＝3，故答案为1，x＝3．②如果方程||a只有一个实数根，则a的取值范围是a＝2或a＝0．故答案为：a＝2或a＝0．③如果方程＝||a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．故答案为：0＜a＜2或a＞2．22．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质以及全等三角形的性质解决问题即可．（2）结论：＝．如图3中，连接PF．利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）分两种情形：如图4﹣1中，当PC∥DF时，满足条件，如图4﹣2中，当点D落在AC上时，四边形CDPF是矩形，四边形PEBF是矩形，分别求解即可．【解答】解：（1）如图2中，连接PF，BE．∵∠ACB＝90°，AP＝PB，∴PC＝P A＝PB，∵∠DFE＝90°，PD＝PE，∴PF＝PD＝PE，∵∠APC＝∠DPF，∴∠APD＝∠CPF，∴△APD≌△CPF（SAS），∴AD＝CF，∴＝1，同法可证，△BPE≌△CPF，∴CF＝BE，∴＝1．故答案为1，1．（2）结论：＝．理由：如图3中，连接PF．∵PC⊥AB，PF⊥DE，∴∠APC＝∠DPF＝90°，∵△APC∽△DPF，∴＝，∴＝，∵∠APC＝∠DPF＝90°，∴∠APD＝∠CPF，∴＝，同法可证，△CPF∽△BPE，∴＝，∵∠ACB＝90°，CP⊥AB，∴△APC∽△CPB，∴＝，∴＝．（2）如图4﹣1中，当PC∥DF时，∵∠CAB＝30°，∠APC＝90°，∴PC＝AC，∵DF＝AC，∴DF＝PC，∴四边形PCFD是平行四边形，∵∠EFD＝90°，∴EF⊥DF，∴EF⊥PC，∵PC⊥AB，∴PB∥EF，同法可证，BP＝EF＝BC，∴四边形PBEF是平行四边形，∴BE∥PF，∴∠BEP＝∠EPF＝90°，∵AB＝4，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，∵CP⊥AB，∠ABC＝60°，∴∠CPB＝90°，∠PCB＝30°，∴PB＝PB＝1，∵∠EPB＝∠DEF＝60°，∴BE＝PB•sin60°＝，由（2）可知，＝＝＝，∴CF＝，AD＝．如图4﹣2中，当点D落在AC上时，四边形CDPF是矩形，四边形PEBF是矩形，此时BE＝PF＝，由（2）可知，＝＝＝，∴CF＝，AD＝．综上所述，BE＝，CF＝，AD＝．23．【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组，即可解决问题．（2）①由题意M（m，﹣m2+m+3），N（n，﹣n2+n+3），C（m，﹣m+3），D（n，﹣n+3），利用平行四边形的性质推出MC＝DN，由此构建关系式，即可解决问题．②构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）如图3中，作BH平分∠OBA交OA于H，过点H作HE⊥AB于E．抛物线的对称轴x＝，设对称轴交x轴于K，则AK＝，证明∠APK＝∠OBH，推出tan∠OBH＝tan∠APK，求出PK，即可解决问题．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3．（2）①由题意M（m，﹣m2+m+3），N（n，﹣n2+n+3），C（m，﹣m+3），D（n，﹣n+3），∵四边形MNDC是平行四边形，∴MC＝DN，∴﹣m2+4m＝﹣n2+4n，∴（m﹣n）（m+n﹣4）＝0，∵m＜n，∴m﹣n≠0，∴m+n＝4．②由题意L＝2[（﹣m2+4m）+（n﹣m）]＝2[﹣m2+4m+（4﹣2m）]＝2（﹣m2+4m+5﹣m）＝﹣2（m﹣）2+，∵﹣2＜0，∴m＝时，L有最大值，最大值为．（3）如图3中，作BH平分∠OBA交OA于H，过点H作HE⊥AB于E．∵∠HBE＝∠HBO，∠BOH＝∠BEH＝90°，BH＝BH，∴△BHO≌△BHE（AAS），∴BO＝BE＝3，OH＝HE，设OH＝EH＝x，∵AB＝＝＝5，∴AE＝AB﹣BE＝2，AH＝4﹣x，在Rt△AEH中，则有x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴H（，0），∵抛物线的对称轴x＝，设对称轴交x轴于K，则AK＝，∴P A＝P A′，∵PK⊥AA′，∴∠APK＝∠A′PK，∵∠AP A′＝∠OBA，∴∠APK＝∠OBH，∴tan∠OBH＝tan∠APK，∴＝∴＝，∴PK＝，∴P（，），根据对称性，P′（，﹣）也符合题意，综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）．。