证明平行的方法
立体几何证明方法——证线线平行
C
a：
方法三：同垂直于一个平面的 两条直线互相平行。
a
b
a 推理过程： a // b b
一如何证明直线与直线平行：
方法四：同平行于一条直线的 两条直线互相平行。
a b c
a // c 推理过程： a // b b // c
方法演练1：
一如何证明直线与直线平行：
方法一：线面平行则线线平行；
a // 平面 推理过程： a 平面 a // b b
b
a
一如何证明直线与直线平行：
方法二：面面平行则线线平行；
// 推理过程： a b // a b
P
已知：四边形 ABCD 是平行四边形， 点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G， 过 AP 和 G 作平面交平面 BDM 于 GH，A 求证：AP∥GH （提示：线面平行则线线平行）
M D H G C
O
B
方法演练2：
在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 证明 BD // B1 D1 。 （面面平行）
总结证明线面平行的常用方法
BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。
证明平行的方法
证明平行的方法平行线是指在同一平面内不相交的两条直线。
在几何学中，证明两条线是平行的方法有很多种，下面将介绍几种常用的证明方法。
首先，我们可以利用平行线的定义来证明两条线是平行的。
根据平行线的定义，如果两条直线上的任意一对对应角相等，则这两条直线是平行的。
因此，我们可以通过测量两条直线上的对应角来证明它们是否平行。
其次，我们可以利用平行线的性质来证明两条线是平行的。
根据平行线的性质，如果一条直线与一组平行线相交，则它与这组平行线上的任意一条线所成的对应角相等。
因此，我们可以通过观察一条直线与一组已知平行线的相交情况来证明两条线是否平行。
另外，我们还可以利用平行线的定理来证明两条线是平行的。
在几何学中，有一些定理可以帮助我们证明两条线是平行的，例如同位角定理、内错角定理、同旁内角定理等。
通过运用这些定理，我们可以简单而直接地证明两条线是平行的。
此外，我们还可以利用反证法来证明两条线是平行的。
反证法是一种常用的证明方法，它通过假设命题的否定，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
因此，如果我们无法通过其他方法证明两条线是平行的，可以尝试运用反证法来证明它们不是平行的，从而间接地证明它们是平行的。
最后，我们还可以利用平行线的判定定理来证明两条线是平行的。
在几何学中，有一些判定定理可以帮助我们判断两条线是否平行，例如同位角相等定理、内错角相等定理、同旁内角互补定理等。
通过运用这些判定定理，我们可以简便而有效地证明两条线是平行的。
综上所述，证明两条线是平行的方法有很多种，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
在实际问题中，我们可以根据已知条件和需要证明的结论，灵活运用这些方法，从而准确地证明两条线是否平行。
证明直线与平面平行的方法
证明直线与平面平行的方法
据了解，判断直线与平面是否平行，可以从多方面考虑，比如向量法、代数法和几何法等。
一、向量法
判断直线与平面平行可以利用向量法。
首先，将平面表示为 Ax+ By + Cz + D = 0，其中A, B, C分别是平面的法向量，D为平面到原点的距离。
而直线则是 l = (x0,y0,
z0)+ λ(a,b, c)，其中(x0,y0, z0)为直线上的某点，(a,b, c)是单位方向向量，λ为变量。
若直线与平面平行，则它们的法向量一定存在夹角cosθ，其值等于1，即
<A,B,C> · <a,b, c> = Aa+Bb+Cc = 0，这样就可以判断直线与平面是否平行。
二、代数法
三、几何法
若直线与平面平行，从几何上可以表示为：给定一个直线与平面同时规定了一个共面点，在同一时刻，共面点始终位于直线垂直于平面法向量的位置，这样就可以判断直线与平面是否平行。
证明平行的方法
证明平行的方法在几何学中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的两条直线。
那么，如何证明两条直线是平行的呢？下面我们将介绍几种证明平行线的方法。
首先，我们可以利用平行线的定义来证明。
平行线的定义是指在同一平面上不相交的两条直线。
因此，如果我们能够证明两条直线在同一平面上且不相交，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于简单的几何题目，通过观察图形的特点，我们可以直接得出结论。
其次，我们可以利用平行线的性质来证明。
平行线的性质包括对应角相等、内错角相等、同位角相等等。
通过利用这些性质，我们可以得出两条直线是平行的结论。
例如，如果两条直线的对应角相等，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于复杂的几何题目，通过分析角度关系，我们可以得出结论。
另外，我们还可以利用平行线的判定定理来证明。
平行线的判定定理包括同位角相等定理、内错角相等定理、对顶角相等定理等。
通过利用这些定理，我们可以得出两条直线是平行的结论。
例如，如果两条直线的内错角相等，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于需要严格证明的几何题目，通过利用定理，我们可以严谨地得出结论。
最后，我们还可以利用平行线的推论来证明。
平行线的推论包括平行线的性质推论、平行线的判定定理推论等。
通过利用这些推论，我们可以得出两条直线是平行的结论。
例如，如果两条直线的同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
这种方法通常适用于需要推理的几何题目，通过利用推论，我们可以得出结论。
综上所述，证明平行线的方法包括利用平行线的定义、性质、判定定理和推论。
通过灵活运用这些方法，我们可以准确地证明两条直线是平行的。
在解决几何问题时，我们可以根据题目的要求选择合适的方法来进行证明，从而得出正确的结论。
希望以上内容能够帮助大家更好地理解证明平行线的方法。
证明面面平行的方法
证明面面平行的方法要证明两条线段或者两个平面是平行的，我们可以通过多种方法来进行证明。
下面将介绍几种常见的方法来证明面面平行的情况。
1. 同位角相等法。
同位角是指两条直线被一条截线分成两段，而且这两段位于两条平行线的同侧，那么这两个同侧的角就是同位角。
同位角相等是平行线的一个重要性质，也是证明两条线段或者两个平面平行的重要方法之一。
在证明过程中，我们可以利用同位角相等的性质来进行推导，如果两个角相等，那么可以得出两条线段或者两个平面是平行的结论。
2. 交叉线法。
交叉线法是通过画一条与已知线段或者平面相交的线段或者平面，然后利用同位角相等或者其他性质来证明两条线段或者两个平面是平行的。
通过交叉线法，我们可以找到一些相等的角或者相等的边，从而得出两条线段或者两个平面是平行的结论。
3. 平行线的性质法。
平行线有许多重要的性质，比如平行线上的对应角相等、平行线上的内错角相等、平行线上的同位角相等等。
通过利用这些性质，我们可以证明两条线段或者两个平面是平行的。
在证明过程中，我们可以根据已知条件利用平行线的性质来进行推导，从而得出结论。
4. 转化为等价命题法。
有时候，我们可以将证明两条线段或者两个平面平行的问题转化为等价命题来进行证明。
比如，我们可以将证明两条线段平行的问题转化为证明两个三角形相似的问题，然后利用相似三角形的性质来进行证明。
通过转化为等价命题，我们可以更容易地得出结论。
综上所述，证明两条线段或者两个平面平行的方法有很多种，可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明。
在证明过程中，我们需要充分利用已知条件和平行线的性质，通过推导和演算来得出结论。
希望以上介绍的方法能够帮助大家更好地理解和应用平行线的性质，从而更准确地进行证明。
证明线线平行的方法
证明线线平行的方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
证明线面平行的方法：1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。
证明面面平行的方法：1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。
3.垂直与同一直线的两个平面平行。
4.利用向量法证明。
证明线线垂直的方法：1.定义法：两直线夹角90度2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。
证明线面垂直的方法：1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。
2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。
4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
5.向量法。
就是用向量乘积为零则两向量垂直来证线线垂直，再用方法1来证。
线线平行的五种证法
线线平行的五种证法湖南省 龙志明一、定义法即证明两条直线在同一个平面上且没有公共点。
【例1】如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 已知：//,,a b αβγαγβ==，求证：//a b ． 证明：∵//,,a b αβαβ⊂⊂，∴,a b 没有公共点，又∵,a b γγ⊂⊂，∴//a b ． 二、平行公理平行于同一直线的两条直线平行【例2】经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B证明：11111111111////B BEE AA B BEE BB B BEE AA BB AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄1111111111111////EE AA EE B BEE A ADD A ADD AA B BEE AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂ 111111//////EE BB EE AA BB AA ⇒⎭⎬⎫三、利用“平行链”即利用直线与平面平行的判定与性质定理。
【例3】已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α平面β=b ，求证//a b ．证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ，∵a ∥平面α，a ∥平面β，∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ⊂平面β，c ∉平面β，∴c ∥平面β， 又c ⊂平面α，平面α∩平面β=b ，∴c ∥b ，又∵a ∥c ，所以，a ∥b ． 点评：本题的证明综合了直线与平面平行的判定与性质定理以及公理4，利用了一系列的“平行链”。
四、利用线面垂直的性质定理即垂直于同一平面的两直线平行。
【例4】如图，已知.,,,,AB a a B EB A EA l ⊥⊂⊥⊥=⋂αβαβα于于求证a ∥l证明：d c b aδγβαD 1C 1B 1ABCDA 1E 1E,,,,,//.EA EB l EA l EABl l EB a EA a EA a AB a EAB a l αβαβαα⊥⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⋂=⊥⎭⎭⊂⊥∴⊥⊥∴⊥∴平面又又平面五、利用面面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
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空间的平行关系
1．证明线线平行的方法：
(1)面面平行的判定：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们
的交线平行。
（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
（3）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线。
(4)基本性质四：平行于同一直线的两直线互相平行。
（5）线面垂直的性质:垂直同一平面都两条直线平行
2. 证明线面平行的方法：
①面面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线
平行，那么这条直线和这个平面平行。
②线面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线
平行，那么这条直线和这个平面平行。
③定义：直线a与平面ａ没有公共点，则直线与平面平行。
3. 证明面面平行的方法：
(1)定义：如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行。
（2）面面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（3）面面平行的性质：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面的两条直线，则这两个平面平行。
（4）线面垂直的性质：垂直通一条直线的两个平面平行
（5）面面平行的判定定理:同时与第三个平面平行的两平面平行。