1.1进位制与计数法

我们再回忆一下刚才的例子：
3721 3 103 7 102 2 101 1100
其他进位制的数也可以表示成不同位上的数字与基数 的幂的乘积之和的形式，如： 110011（2）= 1×25+1 ×24+ 0×23+0 ×22 +1×21+1 ×20
7342（8）= 7×83+3×82+4×81+2×80
第五步,输出b的值. 第三步,b=b+ ai ·i-1,i=i+1. k
i>n?
否 是 输出b
第四步,判断i>n是否成立.若是,则执行第五步;否则,返回第三步.
第五步,输出b的值.
结束
设计一个程序，实现“除k取余法”.
算法步骤：
第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k； 第二步，求出a 除以k 所得的商q ,余数r； 第三步，把得到的余数依次从右到左排列. 第四步，若q≠0,则a=q,返回第二步;否则,输出全部余数r排 列得到的k进制数.
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、 勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术 探究》是数论的划时代杰作。高斯还提出：“数学 是科学之王，数论是数学之王”。可见高斯对数论 的高度评价。 由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧 妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的 研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论 等 新分支。 而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密 码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛 的应用，无疑同时促进着数论的发展。
an an 1 a1a0( k ) (0 an k ,0 an 1 , , a1 , a0 k ).
如:10212 (3) 193 2376 (8)
练习1：判断下列数表达是否正确？
(1) 12(2)
(2) 061(7)
(3) 291(8)
1、如何将k进制数转化为十进制数？
例3 将五进制数30241(5)转化为七进制数. 30241(5)=3×54+2×52+4×5+1= 1946.
7 7
7 7 1946 278 39 5 0 余数 0
5
4 5
30241(5)=5450(7)
例拓展提升：
５３（８）=
八进制
101011
（２）
十进制
二进制
4 、已知10b1（2）=a02（3）,求数字a， b的值. 解：10b1（2）=1×23+b×2+1=2b+9. a02（3）=a×32+2=9a+2.
“满二进一”就是二进制， “满十进一”就是十进制， “满k进一”就是k进制（k叫做基 数）. 一小时有六十分用的是六十进制 一个星期有七天用的是七进制 一年有十二个月用的是十二进制 电子计算机用的是二进制
半斤=八两？
十进制
十进制使用0～9十个数字,计数时,几个数字排成一行,从右起, 第一个是个位,个位上的数字是几,就表示几个一;第二位是十位, 十位上的数字是几,就表示几个十;接着依次是百位,千位,万 位…… 例如,十进制数3721表示有：1个1，2个10， 7个百即7个10 的平方，3个千即3个10的立方
2、如何将十进制数转化为二进制数？ 例 把89化为二进制数
这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示: 解： 89＝2×44＋1 44＝ 2×22＋0 22＝ 2×11＋0 11＝ 2× 5＋1 5＝ 余数 2＝ 2× 1＋0 2 89 2× 2＋1 1＝ 2× 0＋1 44 1 2 所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 2 22 0 ＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 2 11 0 3＋2＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（2×（2 5 1 2 ＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1 1 ＝2×（25＋23 ＋2 2＋0＋0）＋1 2 2 2 1 ＝26＋24 ＋ 23＋0＋0＋20 0 1 89＝1×26＋0×25＋1×240 ＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20 注意： 所以：89=1011001 1.最后一步商为0， （2）
即：
an an1 a1a0( k ) an k an1k
n
n 1
a1k a0 k
1
0
练习2：把下列数化为十进制数
(1) 1011010(2) =90
(2) 10212(3) =104 (3) 2376(8) =1278
练习3:
（1）110011（2）、324（5）、123（4）、55（6） 324（5） 四个数中最大的一个是_______ （2）已知k进制的数132(k)与十进制的数３０相 4 等，那么k等于_______
所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7. 故a=1，b=1.
小结
1．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位
置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数， 基数为k，即可称k进位制，简称k进制。k进制需要使 用k个数字.
2．十进制与k进制之间转化的方法:
先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘 积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果.
开始
输入a,k 求a除以k的商q 求a除以k的余数r 把得到的余数依次从右到左排列 a=q 否 q=0? 是 输出全部余数r排列得到的k进制数 结束
程序：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
INPUT “a，k=”；a,k b=0
i=0
DO q=a\k
r=a MOD k
b=b+r*10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
3．十进制数转化为k进制数的方法：（除k取余法）
用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零 为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是 相应的k进制数.
设计一个程序，把k进制化为十进制.
开始
设计一个算法,把k 进制数a(共有n位)化为十进制数？
输出a,k,n
算法步骤如下:
INPUT“a,k,n=”;a,k,n b=0 b=0 算法分析： 第一步,输入a,k和n的值. i=1 i=1 T=aMOD10 从前面的例题的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数 第二步,将b的值初始化为0,i的值 DO 字ai 与ki-1的乘积ai ·ki-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所 初始化为1. b=b+t*k^(i-1) 把a的右数第i位数字赋给t 以,可以用循环结构来构造算法. a=a\10 第三步,b=b+ ai ·i-1,i=i+1. k t=aMOD10 算法步骤如下: i=i+1 b=b+t·i-1 k 第四步,判断i>n是否成立.若是,则 LOOP UNTIL i>n 第一步,输入a,k和n的值. PRINT b 执行第五步;否则,返回第三步. 第二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1. i=i+1 END
初等数论
(elementary number theory)
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除 性、不定方程、同余式、连分数、素数(即整数)分 布以及数论函数等内容，统称初等数论。

初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《 几 何原本》中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷 多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法, 即所谓欧几里得算法。 我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数 论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算 经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 89=1011001（2）
3、十进制转化为其它进制
例：把89化为五进制数. 解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
5 5
89 17 5 3 0
余数
4 2 3
所以，89=324（5）
思考:上述方法也可以推广为把十进 制数化为k进制数的算法，称为除k取 余法，那么十进制数191化为五进制数 是什么数？
余数 5 5 5 5 191 38 7 1 0 1 3 2 1
191=1231(5)
理论迁移
例2 将十进制数458分别转化为四进制 数和六进制数.
4 458 余数
4
4 4 4
114
28 7
2 2 0 3
1
6 6 6 6
458 76 12 2 0
余数
2 4
0 2
1 0
458=13022(4)=2042(6)
3721 3 103 7 102 2 101 1100 为了区分不同的进位制,
常在数的右下角标明基数, 与十进制类似,其他的进位制也可以按照位置原则计数.由 十进制数一般不标注基数. 于每一种进位制的基数不同,所用的数字个数也不同.如二进制 用0和1两个数字,七进制用0～6七个数字. 一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：
欧几里德
高斯
费马
欧拉
拉格朗日
毕达格拉斯
数论是以严格和简洁著称， 内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中 最基本的概念和理论，希望大家能对这 门学问产生兴趣，并且对中小学时代学 习过的一些基本概念，例如整除性、最 大公因子、最小公倍数、辗转相除法等， 有较深入的了解。
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.