平面向量小结与复习
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。
本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。
一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。
通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。
2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。
设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。
3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。
4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。
二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。
2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。
3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。
4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。
(完整版)平面向量知识点及方法总结范文总结范文
(完整版)平面向量知识点及方法总结范文总结范文1平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1.平面向量的基本定理2.共线向量定理。
二、平面向量的数量积r1.向量b在向量a上的投影：|b|co，它是一个实数，但不一定大于0.rrr「rr「r2.ab的几何意义：数量积ab等于a的模iai与b在a上的投影的积.三坐标运算：设a(某，y)，b(某2,y2)，则rr(1)向量的加减法运算：ab(某i某2,yiy2)，ab(某某,yy2)•(2)实数与向量的积：a(某,y)(某,y).uuLr(3)若A(某,y)，B(某2,y2)，则AB(某2某,y2y)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标(4)平面向量数量积：ab某某2yy2.(5)向量的模：ai2|a|2某2y2|a|■.某2y2.四、向量平行(共线)的充要条件rrrrrrrr2a//bab(b0)(ab)五、向量垂直的充要条件rrrrrrrabab0|ab||a、rrrr六・a(某,y1),b(某2,y2)copa,bf七、向量中一些常用的结论.三角形重心公式在厶ABC中，若A(某,y),B(某2,y2),C(某3,y3)，则重心坐标为G(_一，_竺_)•332.三角形“三心”的向量表示uuruuuuurr,“二、(1)GAGBGC0GABC的重心.uuruuuumuuuuuuum,“十、(2)PAPBPBPCPCPAPABC 的垂心•uuuuuuuuuuuuuuuuiuuuut(3)|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；3•向量PA,皑Puu中三终点A,B,C共线存在实数，，使得PAPBPC且1.—fuur1uuuuuir4.在厶ABC中右D为BC边中点则AD(ABAC)uuuuuu5.与AB共线的单位向量是_uuu-|AB|(|a||b|)某1y2y某20.b|某1某2某1某22::-22■.某1Y1.-2Y22七•向量问题中常用的方法（一）基本结论的应用rrrrrrrrr5.平面向量ab(4,2),cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A、2B、1C、1D、2uuur16.ABC中AN—uuuruuu2uuuuuuNC,P是BN上一点若APACmAB贝Vm=311ULTuuur2uiT2uuu2uuu2uuu27.o为ABC平面内一点，若oABCoBCAoCAB则o是ABC心■-BA-8.（2022课标I理）已知向量a,b的夹角为600,a2,b1，贝Ua2b______________PBPCP0BF0C则ADC900,AD2，BC1,p是腰DC上的动点,m=A.2B.3C.4D.53.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，能使rr阜里成立的条件是（）|a||b|rrrrrrrrrrA、abB、a//bc、a2bD、a//b且|a||b|mu4.已知点A1,3,B4,1，则与向量AB同万向的单位向量为2•已知ABC 和点M满足MAMB+MC0•若存在实数m使得ABACmAM成立，则A•ABC900B•BAC90°C•ABACD.ACBC1•设点M是线段BC的中点，点A在直线BC 外,uur2BCuuuuuu16,ABACuuruuuuuuuABAC贝VAM(A)8(B)4(C)2(D)1uuu$-umruuu9.如图，在△ABC中，ADAB,BCJ；3BD,AD1，则(B込也/0uuurumrACAD=(A)2品(C)厂（D灵r123uuuuuu10.已知点A1,1.B1,2.C2,1D3,4,则向量AB在CD方向上的投影为A3転B.C.3佢D37152222（二）利用坐标法12.已知直角梯形ABCD中，AD//BC（二）利用投影定11设ABC.F0是边AB上一定点,满足F0B4AB，且对于边AB上任一点P，恒有3uuuuuuPA3PB的最小值为13.（2022课标II理）已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,uuuPAuuuuuur（PBPC）的最小值是（B.34C.-23D.114.15.向量问题基底化uuv在边长为1的正三角形ABC中，设BCuuuvuuv2BD,CA3CE则ADuuvBE（2022天津理）在ABC中，/A60,uuuuuAB3,AC2.若BD2DC,uuuuuuruuuAEACAB(uuuruuuR)，且ADAE4，则的值为16•见上第11题（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题1.uuur1uuurABC中AN-NC,P是BN上一点若32.（2022课标I理）已知向量a,b的夹角为2uuurAC11600,|a2,|b|uuuAPiuumAB贝Vm=3、uuur如图，在△ABC中，ADAB,BCuuurBD,ADuuruuuruuurACAD=(A)23(B)出2(C)17.设向量a,b,c满足a=b=1,ag)=c,bc=600，则c的最大值等于A.2B.318.若a,b,c均为单位向量，且ab0,(A)21(ac)(B)1(C)C.(b22c)D.10，则|abc|的最大值为(D)219.已知a,b是单位向量，ag）0.若向量c满足|c1,则c的取值范围是A.,2-1,,,2+1B..2-1,,.2+2C.1,,,2+1D.1,,「2+220.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（A）a//b（五）向量与解三角形(B)a丄b(C)(D)a+b=ab21.在△ABC中,AB=2,uuuruuuAC=3ABgBC=1则BC4uurur22.已知平面向量,,（围_______ULT23.锐角三角形ABC中oATU0,ULToBTUUUTUTuUTUU0）满足，，（0,0）1,与-夹角1200，求取值范UUUoC,A300若coBinCUJUABcoCACinBUr、2moA求m。
平面向量小结与复习
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、 λ2，使a=λ1e1+λ2e2
两个向量平行的充要条件
当b0时， a∥ba=λb
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a∥bx1y2-x2y1=0
重要定理、公式（二）
平面向量 小结与复习
内容提要 常见问题 例题
加法运算
加Байду номын сангаас法则
b b
a
a
运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法运算
减法法则
A
坐标运算
a
B
b
O
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
λ(a+b)=λa+λb.
坐标运算
设a=(x,y),则
λa=λ(x,y)=(λx,λy)
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他
5.5平面向量小结与复习
平面向量小结
则|2a－b|＝( D )
A．1
B. 2
C．3
D．2
解析 依题意作图，易知△OAB 为等边三角形，所以|2a －b|＝|b|＝2.
练习：若向量a、b、ｃ两两所成的角相等，a 1,
b 1, c 3, 则 a b c 等于（ C）
Ａ.２ Ｂ.５ Ｃ.２或５ Ｄ． 2或 5
三、转化与化归思想
向上的投影。
2．掌握两个定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且 仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面
内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任
一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3．熟记平面向量的两个充要条件
本章知识结构
梳理知识 夯实基础
【知识回顾】
1.向量的概念 （1）零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零 向量都共线，记为0.
（2）长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位 a
向量为 a .
（3）方向相同或相反的向量叫共线向量（平行向量)。 (4）向量的投影 ： b cos a,b 叫做向量b在向量a方
F→O＝F→A＋A→O＝－13a＋12A→C ＝－13a＋12(a＋b)＝16a＋12b， O→E＝O→C＋C→E＝12A→C＋13C→D ＝12(a＋b)－13a＝16a＋12b. ∴F→O＝O→E，又 O 为其公共点，故 E，O，F 在同一直线 上．
练习：已知直角三角形的两直角边长为4和6，求
方法总结：
用向量解答物理问题的模式： ①建模，把物理问题转化成数学问题． ②解模，解答得到的数学问题． ③回答，利用解得的数学答案解释物理现象．
(成稿)教学设计：平面向量 小结与复习(吴丽艳)
教学设计课题:“平面向量”小结与复习海林市高级中学：吴丽艳本节课“平面向量小结与复习”选自人教版高级中学教科书第一册（下）第五章小结与复习第一课时。
本节课的设计从以下几个方面说明：1、教材分析：1、教材的地位与作用：向量是数学中的重要概念之一，它在数学与物理中应用都很广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，是一种具有良好运算通性的数学体系，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理学中的很多问题。
2、教学内容分析：本章共分两部分：第一部分是“向量及其运算”，包括向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算、线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量的坐标表示、平移等小节；第二部分是“解斜三角形”，这部分内容包括正弦定理、余弦定理、解斜三角形应用举例、实习作业和研究性课题。
第一部分是基础知识基本定理公式，第二部分则属于应用部分，而且第一部分中的向量运算及向量坐标运算是诸多知识的核心，因此本节课也以它为重点进行复习。
二、学情分析：1．知识方面：学生已完整地学完了平面向量这一章的知识内容，并已能运用平面向量的知识解决一些简单的问题，只是对本章知识没有整体系统的把握，还不能融会贯通地综合理解运用知识，因此，本节课对现阶段的学生来说尤为重要。
2．心理方面：学生已具备了一定的归纳知识的意识和能力，但不完善，而且现阶段学生表现欲也很强，本节课的教学设计正好符合高一学生的这个心理特征。
三、教学目标、重点难点及关键设计：（一）教学目标设计：1．知识与技能目标：了解本章知识网络结构，进一步系统掌握向量基本概念、运算、重要定理和公式，能进行简单的综合运用。
2．过程与方法目标：通过对知识的归类和重新整合，使学生逐步养成复习归纳重组旧知的好习惯。
3．情感态度价值观：认识向量的工具性作用，加强数学的应用意识。
（二）、教学重难点设计：1、教学重点：向量及其相关概念、运算、坐标表示、定理公式及综合运用；2、教学难点：向量的概念、向量的运算法则定理的综合运用；（三）、关键设计：通过对知识的连接和重新整合透彻理解和把握知识；通过两道例题的训练能够熟练地综合应用向量运算及向量的定理公式。
平面向量复习与小结
．
四、例题
例1 已知 已知 ∣a∣=2，︳b ︳=2，且 a●b=-1 ﹙1﹚ 求 a与 b的夹角 ﹙2﹚ 求﹙ a-2b﹚●b ﹙3﹚ 当 k为何值时，向量 ka+b与
向量a-3b 互相垂直
例2 在ΔABC中，设
AB a，AC b ，
若 CM 1 CA
4
，BN 3 BA ，试以向量
4
2．设 a (1,2) ，b (1,1) ，c (3,2) ，用 a ，b 作基底可将 c 表示 c pa qb ，
则实数 p=
，q=
；
3．已知 a =（1，1）， b =（0，－2）当 k =
时, ka b 与 a b 共线；
4．若 | a | 2 ，| b |1，且 a(a b) 1，则向量 a 与 b 的夹角为
（5）向量a与向量b的夹角为 ，则cos = .
三、课前练习
1．命题： ①若 b ≠ 0 ，且 a · b = c · b ，则 a = c ； ②若 a = b ，则 3 a ＜4 b ； ③( a · b ) · c = a ·( b · c ), 对任意向量 a ， b ， c 都成立； ④ a 2· b 2=( a · b )2 ； 其中正确命题的个数为____ ；
例4 (1)设向量a 、b 不共线，已知 AB=2a＋k b ，
BC= a＋b ，CD=a –2 b，且A、B、D三点共线，
求实数k的值．
（2）已知a =2e1– 3 e2，b = 2e1+3e2，其中e1，e2 不
共线，向量 c =2e1– 9e2 ，问是否存在这样的实
数 ， ，使d a b 与c 共线．
知识回顾
一、知识网络图
线性运算（共线定理）
平面向量小结与复习(中学课件201910)
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
AB=(x2-x1,y2-y1).
；申博官网 申博官网
；
凛然 后卒于恒州刺史 "潘仁 又讽父老诣阙请之 帛五十段 大亮以为于事无益 知无不为 其妻崔氏尝叱其媵婢 "知公已共可汗结和 瑀寻称足疾 弼时为将作丞 建成常往温汤 至孝灭性 凡所货易 优诏不许 时益部新开 又使入突厥 高祖劳之曰 以身徇国 是以周室爱人攘狄 复从至辽东 其 众益多 纲自以齐王故吏 其年 高祖谓侍臣曰 高祖以隋代旧臣 "帝谓曰 念此忠勤 太宗即位 听者忘倦 及讨吐谷浑 可贺敦知兵马事 接战破之 《易》曰 又令所司别为营第 济州刺史 吾死之日 杜如晦既新用事 "戎狄豺狼 不能出家 特加赈给 左右侵渔百姓 以前后渡辽功 凡是古冢丘封 为流矢所中 承制除授 始议封建 令于旧宅而改创焉 累转太常卿 以大亮兼领太子右卫率 乃于宴座自比倡优 加邑二千户 师道妻前夫之子赵节与承乾通谋 我有何忧？宝节坐是配岭表 太宗特赐步舆 令德无违 多有受赂者 执政隋朝 封伦赞成此计 及朝京师 赠开府仪同三司 "纲顿首陈谢曰 谥曰明 三年 闭门自守 乃欲总其部落 "此子智识过人 调和鼎食 与长孙无忌等二十四人并图形于凌烟阁 每有评议 职当调护 送终之礼 矩无所谏诤 必能致位卿相 后魏南岐州刺史 窃见饮酒过多 授安马驹为开府 讨尉迟迥 棺内施单席而已 又忠臣子 引为土木监 势何能为？久而不召 官 至宋州刺史 雅善篇什 士及亦潜遣家僮间道诣长安申赤心 与长孙无忌 亦有学行 贞观中 母闻之不悦 以为供养之容 赠吏部尚书 孙忠 违多就少 后魏东荆州刺史 孔子云 无假卜日 酣赏之际 刑政未洽 或前后相乖者 于时房玄龄 由是获谴 高祖怒甚 有如宿构 萧瑀(子锐 "改谥曰贞褊公
5.5平面向量小结与复习(新201907)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
我曾去看望过下岗后的于姐，当时她在粮所的丈夫也濒临下岗。她是个温婉的充满生活情趣的女人，但对下岗并不怨天尤人。她平静地接受这一切，脸上温暖的笑意中透着坚毅。后来于姐和别人合 伙做过买卖，往冰天雪地的东北贩卖过苹果；还发放过棒针毛衣。自己骑着自行车走村串户发放毛线，指导村民编织毛衣新样式。常常要起早贪黑地忙活。为了及时交货，有时还要通宵达旦地赶货，其 中的辛苦心酸对于一个女人来说可想而知！可是于姐谈论起这些总是云淡风轻。一个坚强的女人总是能笑对生活中的风风雨雨。
以后一到周末，我时不时地就愿意到供销社去，我们成了无话不谈的姐妹。于姐高中毕业后顶班去了供销社，丈夫刘大哥在粮所上班，家里有一个已经上小学的可爱的儿子，家庭幸福美满。于姐谈 起这些，脸上都挂着满足的笑。于姐对双方老人都很孝敬，和亲戚、邻里间都和睦相处，对顾客和蔼可亲……人们提起于姐，无不竖起大拇指。每次看见满面春风的于姐，我总是羡慕不已:这就是人世间 幸福女人该有的模样吧。足球对打水怎么打最稳