全国高考文科导数大题官方解答
导数文科大题含详细标准答案
导数文科大题含详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：导数文科大题1.知函数，. （1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 答案解析2.已知, (1)若,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,求实数a 的取值范围; (3)令, 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为3.解:(1)时,,′(x),′(1)=3,,数在点处的切线方程为,(2)函数在上是增函数,′(x),在上恒成立,即,在上恒成立,令,当且仅当时,取等号, ,的取值范围为(3),′(x),①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去);②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增,,计算得出,满足条件;③当,且时,即,在上单调递减,,计算得出(舍去);综上,存在实数,使得当时,有最小值3.解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程.(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案,(3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案3.已知函数,(1)分别求函数与在区间上的极值;(2)求证:对任意,解:(1),令,计算得出:,,计算得出:或,故在和上单调递减,在上递增,在上有极小值,无极大值;,,则,故在上递增,在上递减,在上有极大值,,无极小值;(2)由(1)知,当时,,,故;当时,,令,则,故在上递增,在上递减,,;综上,对任意,解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及单调区间及极值;4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,求证:对任意的,.解:(1)当时,,则,,故则在R上单调递减.(2)当时,,要证明对任意的,.则只需要证明对任意的,.设,看作以a为变量的一次函数,要使,则,即,恒成立,①恒成立,对于②,令,则,设时,,即.,,在上,,单调递增,在上,,单调递减,则当时,函数取得最大值,故④式成立,综上对任意的,.解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.(2)对任意的,转化为证明对任意的,,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可.5.已知函数(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)求在区间上的最小值.解:(1)设切线的斜率为k.因为,所以,所以,所以所求的切线方程为,即(2)根据题意得, 令,可得①若,则,当时,,则在上单调递增.所以②若,则, 当时,,则在上单调递减. 所以③若,则,所以,随x的变化情况如下表:x 1 20 - 0 + 0-e Φ极小值Γ0所以的单调递减区间为,单调递增区间为所以在上的最小值为综上所述:当时,;当时,;当时,解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程.(2)通过,可得.通过①,②,③,判断函数的单调性求出函数的最值.6.已知函数。
全国卷导数合集(试题+解析)
（一） 导数的极最值问题1.(2015新课标Ⅱ）设函数2()mxf x ex mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围．【解析】(Ⅰ)()(e 1)2mxf x m x '=-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，()0f x '<； 当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，()0f x '>．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，()0f x '<； 当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，()0f x '>．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增． 故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意1x ，2x [1,1]∈-，12|()()|1f x f x e --≤的充要条件是：(1)(0)1(1)(0)1f f e f f e --⎧⎨---⎩≤≤，即11m m e m e e m e -⎧--⎨+-⎩≤≤ ① 设函数()1tg t e t e =--+，则()1tg t e '=-．当0t <时，()0g t '<；当0t >时()0g t '>． 故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞ 单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤． 当[1,1]m ∈-时，()0,()0g m g m -≤≤，即①式成立；当1m >时，由()g t 得单调性，()0g m >，即1me m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>- 综上，m 的取值范围是[1,1]-．2.（2014新课标Ⅰ）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）()(1)af x a x b x'=+--， 由题设知(1)0f '=，解得1b =．（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,)+∞，由（Ⅰ）知，21()ln 2a f x a x x x -=+-， 1()(1)1()(1)1a a a f x a x x x x x a-'=+--=--- （ⅰ）若12a ≤，则11aa≤-，故当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为(1)1af a <-，即1121a a a --<-，解得11a <<． （ii ）若112a <<，则11a a >-，故当(1,)1ax a ∈-时，'()0f x <；当(,)1a x a ∈+∞-时，()0f x '>，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1aa+∞-单调递增．所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11a af a a <--， 而2()ln 112(1)11a a a a af a a a a a a =++>-----，所以不合题意． （iii ）若1a >，则11(1)1221a a af a ---=-=<-．综上，a的取值范围是(1)(1,)+∞U ．3.（2013新课标Ⅰ）已知函数，曲线()y f x =在点处切线方程为． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．【解析】（I ）2()()24f x e ax a b x '=++--．由已知得(0)4f =，(0)4f '=．故4b =，8a b +=．从而4a b ==； (II) 由（I ）知，2()4(1)4xf x e x x x =+--，1()4(2)244(2)().2x x f x e x x x e '=+--=+-令()0f x '=得，ln 2x =-或2x =-．从而当(,2)(12,)x n ∈-∞--+∞U 时，()0f x '>；当(2,12)x n ∈--，()0f x '<． 故()f x 在(,2)-∞-，(ln 2,)-+∞单调递增，在(2,ln 2)--单调递减． 当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为2(2)4(1)f e --=-．4.（2013新课标Ⅱ）已知函数．（Ⅰ）求的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．2()()4x f x e ax b x x =+--(0,(0))f 44y x =+,a b ()f x ()f x 2()xf x x e -=()f x l l x（Ⅰ）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()2xf x e x x -'=-- ①当(),0x ∈-∞或()2,x ∈+∞时，()0f x '<；当()0,2x ∈时，()0f x '> 所以()f x 在(),0-∞，()2,+∞单调递减，在()0,2单调递增．故当0x =时，()f x 取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（Ⅱ）设切点为()(),t f t ，则l 的方程为()()()y f t x t f t '=-+ 所以l 在x 轴上的截距为()()()22322f t t m t t t t f t t t =-=+=-++'-- 由已知和①得()(),02,t ∈-∞+∞U 令()()20h x x x x=+≠，则当()0,x ∈+∞时，()h x的取值范围为)+∞； 当(),2x ∈-∞-时，()h x 的取值范围是(),3-∞-．所以当()(),02,t ∈-∞+∞U 时，()m t 的取值范围是(),03,)-∞+∞U ． 综上，l 在轴上截距的取值范围(),03,)-∞+∞U ．5.（2015新课标2）已知函数()ln (1)f x x a x =+-． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-． x若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增．若0a >，则当1(0,)x a∈时，()0f x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a+∞单调递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=取得最大值，最大值为111()ln(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-． 因此1()22f a a>-等价于ln 10a a +-<．令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞单调递增，(1)0g =． 于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a >． 因此a 的取值范围是(0,1)．（二） 导数的恒成立问题1.(2018全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．【解析】(1)当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x f x x x'=+-+． 设函数()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+，则2()(1)x g x x '=+．当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g =≥，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=． 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．又，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．(2)（i ）若0a ≥，由(1)知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ++->=≥，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾． （ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++． 由于当1||min{}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++． 如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且1||min{}||x a <时，()0h x '>， 故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，(0)0f =0x =故当1(,0)x x ∈，且1||min{1,}||x a <时，()0h x '<，所以不是()h x 的极大值点．如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点 综上，16a =-．2. （2012新课标）设函数()2x f x e ax =--．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()xf x e a '=-．若0a …，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增．若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时()0f x '<，当(ln ,)x a ∈+∞，()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增． （Ⅱ） 由于1a =，所以(x －k ) f ´(x )+x +1=()(1)1x x k e x --++． 故当0x >时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0等价于11xx k x e +<+- （0x >） ① 0x =令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x xx xe e e x g x e e ----'=+=-- 由（Ⅰ）知，函数()2xh x e x =--在(0,)+∞单调递增．而(1)0,(2)0h h <>，所以()h x 在(0,)+∞存在唯一的零点，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点，设此零点为α，则(1,2)α∈．当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g α，又由()0g α'=，可得2e αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈ 故①等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2．3.（2011新课标）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．【解析】（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ，解得1a =，1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x=++，所以)1ln 2(111ln )(22xx x x x x x f -+-=-=考虑函数()2ln h x x =+xx 12-(0)x >，则22222)1()1(22)(xx x x x x x h --=---=' 所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h xx h 可得当),1(+∞∈x 时，;0)(11,0)(2>-<x h xx h 可得从而当.1ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x xx f x x x f x x 即且4. （2010新课标）设函数2()(1)x f x x e ax =--． （Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--， '()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+．当(),1x ∈-∞-时'()f x >0；当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()0,x ∈+∞时，'()0f x >． 故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在(1,0)-单调递减．（Ⅱ）()(1)af x x x ax =--．令()1ag x x ax =--，则'()xg x e a =-．若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0．若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0．综合得a 的取值范围为(],1-∞．5. （2017新课标Ⅱ）设函数2()(1)x f x x e =-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，()1f x ax +≤，求a 的取值范围．【解析】（1）2()(12)xf x x x e '=--令()0f x '=得 12x =-12x =-+当(,12)x ∈-∞--时，()0f x '<；当(12,12)x ∈--+时，()0f x '>；当(12,)x ∈-++∞时，()0f x '<．所以()f x 在(,12)-∞-，(12,)-++∞单调递减，在(12,12)--+单调递增．（2）()(1)(1)xf x x x e =+-．当1a ≥时，设函数()(1)xh x x e =-，()0xh x xe '=-<，因此()h x 在[0,)+∞单调递减，而(0)1h =，故()1h x ≤，所以()(1)()11f x x h x x ax =+++≤≤．当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，()10(0)xg x e x '=->>，所以()g x 在[0,)+∞单调递增，而(0)0g =，故1x e x +≥．当01x <<时，2()(1)(1)f x x x >-+，22(1)(1)1(1)x x ax x a x x -+--=---， 取0541a x --=，则0(0,1)x ∈，2000(1)(1)10x x ax -+--=，故00()1f x ax <+． 当0a ≤时,取051x -=,则0(0,1)x ∈,20000()(1)(1)11f x x x ax >-+=+≥． 综上，a 的取值范围是[1,)+∞．6. （2016年全国II 卷）已知函数.(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程； (Ⅱ)若当时，，求的取值范围.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （Ⅱ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；()(1)ln (1)f x x x a x =+--4a =()y f x =()1,(1)f ()1,x ∈+∞()0f x ＞a（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得22121(1)1,1(1)1=----=-+--x a a x a a ，由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()(1)0g x g <=. 综上，a 的取值范围是(],2.-∞（三） 导数的零点问题1.(2018全国卷Ⅱ)已知函数2()e =-xf x ax ． (1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a【解析】(1)当1=a 时，()1≥f x 等价于2(1)e10-+-≤xx ．设函数2()(1)1-=+-xg x x e，则22()(21)(1)--=--+=--x x g'x x x e x e ．当1≠x 时，()0<g'x ，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0=g ，故当0≥x 时，()0≤g x ，即()1≥f x ． (2)设函数2()1e -=-xh x ax ．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0≤a 时，()0>h x ，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)∈x 时，()0<h'x ；当(2,)∈+∞x 时，()0>h'x ． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e =-ah 是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0>h ，即2e 4<a ，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0=h ，即2e 4=a ，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0<h ，即2e 4>a ，由于(0)1=h ，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由(1)知，当0>x 时，2e >x x ，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)=-=->-=->a a a a a h a a a． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4=a ．2.（2017新课标Ⅰ）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减．（ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-．当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增． （2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点．（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+． ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<． 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20nnnnf n a a n n n =+-->->->． 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．3.(2016年全国Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点． （I ）求a 的取值范围；（II ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<．【解析】（Ⅰ）．'()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a =-+-=-+（i ）设，则，只有一个零点．（ii ）设，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，，取满足且，则 ，故存在两个零点． （iii ）设，由得或． 若，则，故当时，， 因此在上单调递增．又当时，， 所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，．因此在上单调递减， 在上单调递增．又当时，， 所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，， 又在上单调递减，所以等价于， 即．由于，而，所以．设，则．所以当时，，而，故当时，． 从而，故．0a =()(2)xf x x e =-()f x 0a >(,1)x ∈-∞'()0f x <(1,)x ∈+∞'()0f x >()f x (,1)-∞(1,)+∞(1)f e =-(2)f a =b 0b <ln2ab <223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->()f x 0a <'()0f x =1x =ln(2)x a =-2ea ≥-ln(2)1a -≤(1,)x ∈+∞'()0f x >()f x (1,)+∞1x ≤()0f x <()f x 2ea <-ln(2)1a ->(1,ln(2))x a ∈-'()0f x <(ln(2),)x a ∈-+∞'()0f x >()f x (1,ln(2))a -(ln(2),)a -+∞1x ≤()0f x <()f x a (0,)+∞12x x <12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞22(,1)x -∈-∞()f x (,1)-∞122x x +<12()(2)f x f x >-2(2)0f x -<222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-22222()(2)(1)0xf x x e a x =-+-=222222(2)(2)x x f x x e x e --=---2()(2)xx g x xex e -=---2'()(1)()x x g x x e e -=--1x >'()0g x <(1)0g =1x >()0g x <22()(2)0g x f x =-<122x x +<4.（2014新课标Ⅱ）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为－2． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点【解析】（Ⅰ）'()f x =236x x a -+，'(0)f a =.曲线()y f x =在点（0,2）处的切线方程为2y ax =+． 由题设得22a-=-，所以1a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，32()32f x x x x =-++设()g x ()2f x kx =-+323(1)4x x k x =-+-+，由题设知10k ->． 当x ≤0时，'()g x 23610x x k =-+->，()g x 单调递增，(1)10,(0)4g k g -=-<=，所以()g x =0在(],0-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()g x ()(1)()h x k x h x =+->．2'()363(2)h x x x x x =-=-，()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以()()(2)0g x h x h >≥=，所以()0g x =在(0,)+∞没有实根.综上，()g x =0在R 有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．5. （2018全国卷Ⅱ）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ． (1)若3=a ，求()f x 的单调区间； (2)证明：()f x 只有一个零点．【解析】(1)当3=a 时，321()3333=---f x x x x ，2()63'=--f x x x ．令()0'=f x 解得3=-x 或3=+x当(,3(3)∈-∞-++∞U x 时，()0'>f x ；当(3∈-+x 时，()0'<f x ．故()f x 在(,3-∞-，(3)++∞单调递增，在(3-+单调递减．(2)由于210++>x x ，所以()0=f x 等价于32301-=++x a x x ． 设32()31=-++x g x a x x ，则2222(23)()0(1)++'=++≥x x x g x x x ， 仅当0=x 时()0'=g x ，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增． 故()g x 至多有一个零点，从而()f x 至多有一个零点． 又22111(31)626()0366-=-+-=---<f a a a a ，1(31)03-=>f a ， 故()f x 有一个零点． 综上，()f x 只有一个零点．6. （2015新课标1）设函数()2eln xf x a x =-（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时()22ln f x a a a+≥【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0+)∞，，()2()=20x af x e x x'->． 当0a ≤时,()0f x '>，()f x '没有零点；当0a >时，因为2e x 单调递增，ax -单调递增，所以()f x '在(0+)∞，单调递增.又()0f x '>，当b 满足04a b <<且14b <时，()0f b '<，故当0a >时，()f x '存在唯一零点．（Ⅱ）由（Ⅰ），可设()f x '在(0+)∞，的唯一零点为0x ，当0(0)x x ∈，时，()0f x '<；当0(+)x x ∈∞，时，()0f x '>． 故()f x 在0(0)x ，单调递减，在0(+)x ∞，单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ． 由于0202e=0x a x -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a+++≥． 故当0a >时，2()2ln f x a a a+≥．（四） 导数的不等式问题1.（2017新课标Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =--． (1)若()0f x ≥，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．①若a 0≤，因为11()ln 2022f a =-+<，所以不满足题意； ②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，故x a =是()f x 在(0,)+∞的唯一最小值点．由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥． 故a =1．（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而 221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2.(2016年全国Ⅲ) 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>， 记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．【解析】（Ⅰ）()2sin 2(1)sin f x a x a x '=---．（Ⅱ）当1a …时，|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x '=+-+2(1)a a +-…32a =-(0)f =因此，32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--． 令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值， 极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-． 令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >．（ⅰ）当105a <…时，()g t 在[1,1]-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>．又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==． 综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-⎪⎪⎩……． （Ⅲ）由（Ⅰ）得|()||2sin2(1)sin |2|1|f x a x a x a a '=---+-…. 当105a <…时，|()|1242(23)2f x a a a A '+-<-=剟.当115a <<时，131884a A a =++…，所以|()|12f x a A '+<….当1a …时，|()|31642f x a a A '--=剟，所以|()|2f x A '….3.（2018全国卷Ⅰ）已知函数()ln 1=--x f x ae x ． (1)设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； (2)证明：当1ea ≥时，()0≥f x ．【解析】(1)()f x 的定义域为(0)+∞，，1()'=-x f x ae x． 由题设知，(2)0'=f ，所以212e =a ． 从而21()e ln 12e =--x f x x ，211()e 2e '=-x f x x．当02<<x 时，()0'<f x ；当2>x 时，()0'>f x ． 所以()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． (2)当1e ≥a 时，()≥f x e ln 1exx --．设e ()ln 1e =--x g x x ，则e 1()e x g x x'=-．当01<<x 时，()0'<g x ；当1>x 时，()0'>g x ．所以1=x 是()g x 的最小值点． 故当0>x 时，()(1)0=≥g x g ． 因此，当1e≥a 时，()0≥f x ．4.（2018全国卷Ⅲ）已知函数21()e xax x f x +-=．(1)求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； (2)证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．【解析】(1)2(21)2()exax a x f x -+-+'=，(0)2f '=． 因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=． (2)当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-++-+≥．令21()1ex g x x x ++-+≥，则1()21ex g x x +'++≥．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()(1)=0g x g -≥．因此()e 0f x +≥．5.（2017新课标Ⅲ）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++． (1)讨论()f x 的单调性； (2)当0a <时，证明3()24f x a--≤．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)(21)()221x ax f x ax a x x++'=+++=． 若0a ≥，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增.若0a <，则当1(0,)2x a ∈-时，()0f x '>；当1(,)2x a∈-+∞时，()0f x '<．故()f x 在1(0,)2a -单调递增，在1(,)2a-+∞单调递减.（2）由（1）知，当0a <时，()f x 在12x a=-取得最大值，最大值为111()ln()1224f a a a-=----． 所以3()24f x a --≤等价于113ln()12244a a a -----≤，即11ln()1022a a-++≤．设()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x'=-．当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<．所以()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减.故当1x =时，()g x 取得最大值，最大值为(1)0g =．所以当0x >时，()g x ≤0．从而当0a <时，11ln()1022a a-++≤，即3()24f x a--≤．6.（2016年全国III 卷）设函数()ln 1f x x x =-+．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->．【解析】（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，1()1f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =．当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =. 所以当1x ≠时，ln 1x x <-. 故当(1,)x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln1x x <-，即11ln x x x-<<. （Ⅲ）由题设1c >，设()1(1)xg x c x c =+--，则()1ln xg x c c c '=--，令()0g x '=，解得01lnln ln c c x c-=. 当0x x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0x x >时，()0g x '<，()g x 单调递减. 由（Ⅱ）知，11ln c c c-<<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==， 故当01x <<时，()0g x >. 所以当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.（五） 导数的隐零点问题1.（2017新课标Ⅱ）已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x --<<．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥． 因为(1)0g =，()0g x ≥，故(1)0g '=，而1()g x a x'=-，(1)1g a '=-，得1a =． 若1a =，则1()1g x x'=-．当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g =≥．综上，1a =．（2）由（1）知2()ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--． 设()22ln h x x x =--，则1()2h x x'=-． 当1(0,)2x ∈时，()0h x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0h x '>．所以()h x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增．又2()0h e ->，1()02h <，(1)0h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x >；当0(,1)x x ∈时，()0h x <；当(1,)x ∈+∞时，()0h x >．因此()()f x h x '=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f x '=得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-． 由0(0,1)x ∈得，01()4f x <． 因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点，由1(0,1)e -∈，1()0f e -'≠得120()()f x f e e -->=．所以220()2ef x --<<．2.(2016年全国Ⅱ) (I)讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【解析】（I ）证明：()2e 2xx f x x -=+ ()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞U ，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++>（Ⅱ）33(2)(2)2()(())x x e a x x g x f x a x x-+++'==+， 由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意的[)01a ∈，，(0)10f a a +=-<， (2)0f a a +=…，因此，存在唯一(0,2]a x ∈，使得()0a f x a +=，即()0a g x '=当0a x x <<时，()0f x a +<，()0g x '<,()g x 单调递减； 当a x x >时，()0f x a +>，()0g x '>,()g x 单调递增． 因此()g x 在a x x =处取得最小值，最小值为22(1)()(1)()2a a ax x x a a a a a a a e a x e f x x e g x x x x -+-+===+． 于是()2ax a e h a x =+，由2(1)()02(2)x x e x e x x +'=>++，得2x e x +单调递增． 所以，由(0,2]a x ∈，得0221()2022224a x a e e e e h a x =<==+++…，因为2x e x +单调递增，对任意的21(,]24e λ∈，存在唯一的(0,2]a x ∈，()[0,1)a a f x =-∈，使得()h a λ=，所以()h a 的值域为21e 24⎛⎤ ⎥⎝⎦，．综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域为21e 24⎛⎤⎥⎝⎦，．（六） 导数的双变量问题1.(2018全国卷Ⅰ)已知函数1()ln f x x a x x=-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2-<--f x f x a x x【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2≤a ，则()0'≤f x ，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减．（ii ）若2a >，令()0f x '=得，24a a x --=或24a a x +-=．当2244)a a a a x --+-∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>．所以()f x在，)+∞单调递减，在单调递增．(2)由(1)知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由(1)知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--．。
2012-2017年全国高考文科导数大题官方解答
2012--2017全国卷高考真题导数大题1．〔2012新课标全国卷1文21，本小题总分值12分〕设函数()2xf x e ax =--． 〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值． 解：〔Ⅰ〕()f x 定义域为(,)-∞+∞，()xf x e a '=-，假设0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增；假设0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，)0f x '>（， 所以()f x 在(,ln )a -∞，单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增； 〔Ⅱ〕由于1a =，所以()()1()(1)1xx k f x x x k e x '-++=--++， 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)1x x k x x e +<+>-，① 令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x xx xe e e x g x e e ----'=+=--， 由〔Ⅰ〕知，函数()2xh x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x 在(0,)+∞存在唯一零点，故()g x '在(0,)+∞存在唯一零点， 设此零点为α，则(1,2)α∈，当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，)0g x '>（， 所以()g x 在(0,)+∞的最小值是()g α，又()0g α'=，可得2e αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈， 由于①等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2．2．〔2013新课标全国卷1文21，本小题总分值12分〕已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．〔Ⅰ〕求,a b 的值；〔Ⅱ〕讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值． 解：〔Ⅰ〕2()()24f x e ax a b x '=++--，由此得(0)4f =，1(0)4f =，故4b =，8a b += 从而4a =，4b =；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，2)4(1)4x f x e x x x =+--（， 1()4(2)244(2)().2x x f x e x x x e '=+--=+-令()0f x '=得，ln 2x =或2x =-， 从而当(,2)(ln 2,)x ∈-∞--+∞时，()0f x '>；当(2,ln 2)x ∈--时，)0f x '<（， 故()f x 在(,2)-∞-，(ln 2,)-+∞单调递增，在(2,ln 2)--单调递减， 当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值是2(2)4(1)f e --=-． 3．〔2013新课标Ⅱ卷文21，本小题总分值12分〕己知函数2()xf x x e -=． 〔Ⅰ〕求()f x 的极小值和极大值；〔Ⅱ〕当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 解：〔Ⅰ〕()f x 定义域是(,)-∞+∞，()(2)xf x e x x -'=--，①当(,0)x ∈-∞或(2,)x ∈+∞时，)0f x '<（；当(0,2)x ∈时，()0f x '>， 所以故()f x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递减，在(0,2)单调递增， 故当0x =时，()f x 取得极小值，极小值是(0)0f =， 当2x =时，()f x 取得极大值，极大值是2(2)2f e -=， 〔Ⅱ〕设切点是(,())t f t ，则l 的方程是()()()y f t x t f t '=-+，所以l 在x 轴上截距是()2()23()22f t t m t t t t f t t t =-=+=-++'--， 由已知和①得，(,0)t ∈-∞(2,)+∞，令2()h x x x=+，则当(0,)x ∈+∞时，()h x 的取值范围为)+∞， 当(,2)x ∈-∞-时，()h x 的取值范围为(,3)-∞-， 所以(,0)t ∈-∞(2,)+∞时，()m t 的取值范围为(,3)-∞-[22,)+∞，综上，l 在x 轴上截距的取值范围(,3)-∞-[22,)+∞．4．〔2014新课标全国卷1文21，本小题总分值12分〕设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0．〔Ⅰ〕求b ；〔Ⅱ〕假设存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围． 解：〔Ⅰ〕'()(1)af x a x b x=+--，由题设知(1)0f '=，解得1b =． 〔Ⅱ〕()f x 的定义域为(0,)+∞，由〔Ⅰ〕知，21()ln 2a f x a x x x -=+-，1()(1)1()(1)1a a af x a x x x x x a-'=+--=---〔Ⅰ〕假设12a ≤，则11aa≤-，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为(1)1af a <-，即1121a aa --<-，解得11a <<． 〔Ⅱ〕假设112a <<，则11a a >-，故当(1,)1ax a ∈-时，()0f x '<； 当(,)1a x a ∈+∞-时，()0f x '>，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a+∞-单调递增． 所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11a af a a <--，而2()ln 112(1)11a a a a af a a a a a a =++>-----，所以不合题意．〔ⅡⅠ〕假设1a >，则11(1)1221a a af a ---=-=<-．综上，a 的取值范围是(1)(1,)+∞．5．〔2014新课标Ⅱ卷文21，本小题总分值12分〕已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．〔Ⅰ〕求a ；〔Ⅱ〕证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 解：〔Ⅰ〕26()3f x x x a =-'+，(0)f a '=，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为2y ax =+ 由题设22a-=-，所以1a =． 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，1a =，故32()32f x x x x =-++ 设32()()23(1)4g x f x kx x x k x =-+=-+-+， 由题设知10k ->，当0x ≤时，2()26(1)0g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，(1)10g k -=-<，(0)40g =>，所以()0g x =在(,0]-∞有唯一实根，当0x >时，因为(1)0k x ->，所以32()34g x x x >-+， 令32()34h x x x =-+，()3(2)h x x x '=-，()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以()()(2)0g x h x h >≥=， 所以()0g x =在(0,)+∞没有实根，综上()0g x =在R 有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．6. 〔2015新课标全国卷1文21，本小题总分值12分〕设函数()2ln xf x ea x =-.〔1〕讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； 〔2〕证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+. 解：〔I 〕()f x 的定义域为0+，，2()=20xaf x e x x. 当0a 时,()0f x ，()f x 没有零点； 当0a 时，因为2x e 单调递增，ax单调递增，所以()f x 在0+，()0f a ,当b满足04a b且14b 时，(b)0f ,故当0a 时，()f x 存在唯一零点. 〔II 〕由〔I 〕，可设()f x 在0+，的唯一零点为0x ，当00xx ，时，()0f x ;当0+xx ，时，()0f x .故()f x 在00x ，单调递减，在0+x ，单调递增，所以当0xx 时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202=0x a ex ，所以00022()=2ln2ln2af x ax a a a x aa. 故当0a时，2()2ln f x a a a.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.7. 〔2016新课标全国卷1文21，本小题总分值12分〕已知函数.2)1()2()(-+-=x a e x x f x(I)讨论)(x f 的单调性； (II)假设)(x f 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕()0,+∞解：〔Ⅰ〕()()()()()'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+〔i 〕设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 〔ii 〕设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln 〔-2a 〕. ①假设2ea =-，则()()()'1x f x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增.②假设2ea >-，则ln 〔-2a 〕＜1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减.③假设2ea <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.〔Ⅱ〕〔i 〕设0a >，则由〔I 〕知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取b 满足b ＜0且ln 22b a<， 则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点. 〔ii 〕设a=0，则()()2xf x x e =-所以()f x 有一个零点.〔iii 〕设a ＜0，假设2ea ≥-，则由〔I 〕知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点；假设2ea <-，则由〔I 〕知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞1x ≤时()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点.综上，a 的取值范围为()0,+∞.8. 〔2017新课标全国卷1文21，本小题总分值12分〕已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕假设()0f x ≥，求a 的取值范围． 解：〔12分〕〔1〕函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-，①假设0a =，则2()xf x e =，在(,)-∞+∞单调递增. ②假设0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.③假设0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-.当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增.〔2〕①假设0a =，则2()xf x e =，所以()0f x ≥.②假设0a >，则由〔1〕得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.③假设0a <，则由〔1〕得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--.从而当且仅当23[ln()]042aa --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥. 综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-.。
(完整版)高考导数专题(含详细解答)
导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点 处的切线方程为（ ）。
A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。
对 求导得，代入 得 即为切线的斜率， 切点为，因此切线方程为即。
故本题正确答案为B 。
2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分） 设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。
完整版)导数最新文科高考数学真题
完整版)导数最新文科高考数学真题1.曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线斜率为2e。
(选项C)2.曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，因此a=3.(选项D)3.根据导函数y'=f'(x)的图象，确定函数y=f(x)的图象为B。
4.函数f(x)=2/x+lnx，其导数为f'(x)=-2/x^2+1/x。
解方程f'(x)=0，得到x=2为f(x)的极小值点。
(选项D)5.如果p:f(x)=q:x是f(x)的极值点，则p是q的必要条件，但不是充分条件。
(选项C)6.曲线y=x^3-x+3在点(1,3)处的切线方程为2x-y+1=0.7.曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴，因此k=-1.8.曲线y=ax-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，因此a=1/2.(选项1/2)9.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为5x+y+2=0.10.曲线y=x+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，因此α=2.11.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为4x-y-3=0.12.曲线y=e^x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，因此P的坐标为(-ln2,2)。
13.曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0，因此P的坐标为(e,e)。
14.函数y=-x^2没有明显的问题，但是缺少了后面的部分，因此无法确定答案。
15.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增，则k的取值范围是[1,+∞)。
16.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为下凸的W 形，拐点为x=0.17.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切，则2a=8.18.函数y=xe在其极值点处的切线方程为y=-x/e。
19.已知函数f(x)=axlnx，其中a为实数，且f'(x)为f(x)的导函数，若f'(1)=3，则a的值为3.20.曲线y=x^2的在点(1,2)处的切线方程为x-y+1=0.21.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象为下凸的W形，则函数y=f(x)的图象可能是D。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
高考数学专题：导数大题专练含答案
高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln ex f x x =，()2ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值；(3)求证：2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．2．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数.(1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.3．已知：()e xf x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围4．设函数()1e ln 1xa f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.5．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．6．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 7．已知函数()ln xf x x =， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值．(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．【参考答案】一、解答题 1．(1)1- (2)2(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数判断函数()f x 的单调性，进而可得最值；（2）将不等式恒成立转化为求函数()g x 的最大值问题，可得参数取值范围； （3）根据函数()f x 与()g x 的单调性直接可证不等式. (1)函数()ln ln ex f x x x x x ==-的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 11f x f ==-． (2)函数()2ln 1g x a x x =-+，0x >，则()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减， 此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾，当0a >时，x ⎛∈ ⎝时，()0g x '>，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '<，故()g x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，所以()max 1ln 12222a a a ag x g a ==+=-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立， 则()max 0g x ≤，即ln 10222aa a -+≤，又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-即ln 10x x x -+≥，（当且仅当1x =时，等号成立）．令2a x =有ln 10222a a a -+≥，故ln 1022a a -+=且12a =， 所以2a =． (3)由（1）知()l n 1l n x f x x x x ex ==-≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令()10t x t t +=>，则1x >，故111ln 1t t t t t t +++->-，即11ln 1tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭令2022t =，则20232023e 2022⎛⎫> ⎪⎝⎭；由（2）知22ln 1x x ≤-在()0,∞+上恒成立， 所以22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）．令()210m x m m +=>，则21x >，故11ln 1m m m m ++<-，即1ln 1mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以1e mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭．令2022m =，则20222023e 2022⎛⎫< ⎪⎝⎭综上，2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增 当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減 综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足， 对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立， 所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭ 则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 3．(1)21y x =+(2)ln 3m ⎡∈-⎣【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接可得切线方程；（2）()2213222m f x x ≥+-恒成立，可转化为()22130222xm g x e mx x =+--+≥恒成立，利用导数判断函数()g x 的单调性与最值情况. (1)当1m =时，()e xf x x =+， 则()e 1xf x '=+，设切点为()()00,x f x ，故()00e 12xk f x '==+=，解得00x =，故()000e e 01x f x x =+=+=，即切点坐标为()0,1，所以切线方程()120y x -=-，即21y x =+； (2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，即2213e 0222xm mx x +--+≥恒成立，设()2213e 222xm g x mx x =+--+，()e x g x x m '=-+， ()e 1x g x ''=-，因为0x ≥，故()e 10xg x ''=-≥恒成立， 则()e xg x x m '=-+在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g m ''≥=+，当1m ≥-时，()()010g x g m ''≥=+≥恒成立， 故()g x 在()0,∞+上单调递增，即()()2235012222m m g x g ≥=-+=-，所以25022m -≥，解得m ≤≤故1m -≤≤当1m <-时，()010g m '=+<，()e 2m g m m -'-=+，设()e 2mh m m -=+，1m <-，()e 20m h m -'=-+<恒成立，则()h m 在(),1-∞-上单调递减，所以()()120h m h e >-=->，即()e 20mg m m -'-=+>，所以存在()00,x m ∈-，使()00g x '=，即000xe x m -+=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()()02200013e 222x m g x g x mx x ≥=+--+()()00000222000011313e e e e e 022222x x x x x x x x x =+----+=-++≥，解得0ln 3x ≤，即00ln 3x ≤≤， 设()e xx m x ϕ==-，0ln3x ≤≤，()1e 0x x ϕ'=-≤恒成立，故()x ϕ在()0,3上单调递减， 故()()3ln33x ϕϕ≥=-， 即ln33m ≥-， 所以ln331m -≤<-，综上所述，ln 3m ⎡∈-⎣.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得到ln 1x x a+=，构造()ln 1x h x x a=+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫⎪+⎝⎭、()1ea h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到00011ln ln x x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥. (1)当1a =时，()1e ln 1xf x x -=--，定义域为()0,+∞，则()11e x f x x -'=-，()121e 0xf x x -+'=>'， 所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=， 当01x <<时，0f x ，所以()f x 在区间0,1上单调递减； 当1x >时，0f x，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意，()11ex af x x -='-，()1211e 0x af x a x-=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111xx x xϕ-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增. 当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ， 令0f x，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1xx a+=，令()ln 1x h x x a=+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln 1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<⎪+++++⎝⎭，又()11111e eln ee 10a a a a h a a a++++=+⋅-=+>， 所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .下证()00f x ≥： 因为()01001e0x af x x -'=-=，所以0101e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，所以()010000e ln 11120x ax a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式. 5．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】 【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数， 当2e x -=时，()()2242e e e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，00000e ln 10g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =．6．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明.(1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--. 令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 7．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞，由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0， 若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1xk x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e ee e 1ln e e 1ϕ==--，即ee 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =-【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】 【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调(1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+， 又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直， 所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞， 令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值． 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.。
导数高考题(含答案)
导数高考题1．已知函数f（x）=x3+ax+,g（x)=﹣lnx(i)当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii)用min ｛m，n ｝表示m，n中的最小值，设函数h(x）=min { f（x），g（x）}（x＞0),讨论h（x)零点的个数．解：（i）f′（x）=3x2+a，设曲线y=f(x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0,f′（x0）=0，∴,解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii)当x∈(1，+∞）时，g(x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f(x），g（x）}≤g（x）＜0,故h（x)在x∈(1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f(1），g（1)}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1)=a+＜0，∴h(x）=min { f（1）,g(1）}=f（1)＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1)时，g（x)=﹣lnx＞0，因此只考虑f(x)在（0，1)内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x)=3x2+a在（0,1)内无零点,因此f（x）在区间（0，1)内单调，而f（0）=，f(1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0,1)内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间(0，1)内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x)在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f （x）取得最小值=．若＞0，即,则f（x)在（0,1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在(0，1）内有唯一零点．若＜0,即,由f（0）=,f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0,1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f(x）在(0,1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（x)有一个零点；当a=或时,h（x）有两个零点；当时，函数h(x）有三个零点．2．设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．(1）证明：f（x）在（﹣∞,0）单调递减,在（0，+∞)单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有｜f（x1）﹣f（x2）｜≤e﹣1,求m的取值范围．解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈(﹣∞，0)时，e mx﹣1≤0，f′（x)＜0；当x∈(0,+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′(x）＜0；当x∈（0，+∞)时，e mx﹣1＜0,f′（x）＞0．所以，f（x)在（﹣∞，0）时单调递减,在（0，+∞）单调递增．（2）由（1)知，对任意的m，f（x)在[﹣1，0］单调递减，在[0，1］单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，｜f(x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0;当t＞0时，g′(t）＞0．故g（t）在(﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞)单调递增．又g（1）=0，g(﹣1)=e﹣1+2﹣e＜0,故当t∈[﹣1,1］时,g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g(m）＞0,即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时,g(﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1］3．函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；(Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1)，证明：＜a n≤．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈(﹣1，a2﹣2a），则f′（x)＞0，此时函数f(x）在(﹣1，a2﹣2a)上是增函数, 若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f(x)在(a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0,+∞）,则f′(x）＞0,此时函数f（x）在（0,+∞）上是增函数．②当a=2时，f′（x）＞0,此时函数f（x）在（﹣1,+∞）上是增函数,③当a＞2时，若x∈（﹣1,0）,则f′（x）＞0,此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′(x）＜0,此时函数f（x)在(0,a2﹣2a）上是减函数,若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x)＞0,此时函数f(x）在（a2﹣2a,+∞)上是增函数．(Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时,此时函数f（x)在(﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时,f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1)＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知,当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈(0，3）时，f（x）＜f（0)=0，ln(x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立,①当n=1时，由已知，故结论成立．②假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时,a n+1=ln（a n+1）＞ln（），a n+1=ln（a n+1）＜ln（)，即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．4．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ)设g（x）=f(2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x)＞0，求b的最大值；（Ⅲ)已知1。
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-年全国高考文科导数大题官方解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2012--2017全国卷高考真题导数大题1．（2012新课标全国卷1文21，本小题满分12分）设函数()2xf x e ax =--． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值． 解：（Ⅰ）()f x 定义域为(,)-∞+∞，()xf x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，)0f x '>（， 所以()f x 在(,ln )a -∞，单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增； （Ⅱ）由于1a =，所以()()1()(1)1xx k f x x x k e x '-++=--++， 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)1x x k x x e +<+>-，① 令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x xx xe e e x g x e e ----'=+=--， 由（Ⅰ）知，函数()2xh x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x 在(0,)+∞存在唯一零点，故()g x '在(0,)+∞存在唯一零点， 设此零点为α，则(1,2)α∈，当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，)0g x '>（， 所以()g x 在(0,)+∞的最小值是()g α，又()0g α'=，可得2e αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈， 由于①等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2．2．（2013新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值． 解：（Ⅰ）2()()24f x e ax a b x '=++--，由此得(0)4f =，1(0)4f =，故4b =，8a b += 从而4a =，4b =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2)4(1)4x f x e x x x =+--（， 1()4(2)244(2)().2x x f x e x x x e '=+--=+-令()0f x '=得，ln 2x =或2x =-，从而当(,2)(ln 2,)x ∈-∞--+∞U 时，()0f x '>；当(2,ln 2)x ∈--时，)0f x '<（，故()f x 在(,2)-∞-，(ln 2,)-+∞单调递增，在(2,ln 2)--单调递减， 当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值是2(2)4(1)f e --=-．3．（2013新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）己知函数2()xf x x e -=． （Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 定义域是(,)-∞+∞，()(2)xf x e x x -'=--，①当(,0)x ∈-∞或(2,)x ∈+∞时，)0f x '<（；当(0,2)x ∈时，()0f x '>， 所以故()f x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递减，在(0,2)单调递增， 故当0x =时，()f x 取得极小值，极小值是(0)0f =， 当2x =时，()f x 取得极大值，极大值是2(2)2f e -=， （Ⅱ）设切点是(,())t f t ，则l 的方程是()()()y f t x t f t '=-+，所以l 在x 轴上截距是()2()23()22f t t m t t t t f t t t =-=+=-++'--， 由已知和①得，(,0)t ∈-∞U (2,)+∞， 令2()h x x x=+，则当(0,)x ∈+∞时，()h x 的取值范围为[22,)+∞， 当(,2)x ∈-∞-时，()h x 的取值范围为(,3)-∞-，所以(,0)t ∈-∞U (2,)+∞时，()m t 的取值范围为(,3)-∞-U [22,)+∞， 综上，l 在x 轴上截距的取值范围(,3)-∞-U [22,)+∞．4．（2014新课标全国卷1文21，本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）'()(1)af x a x b x=+--，由题设知(1)0f '=，解得1b =． （Ⅱ）()f x 的定义域为(0,)+∞，由（Ⅰ）知，21()ln 2a f x a x x x -=+-，1()(1)1()(1)1a a af x a x x x x x a-'=+--=---（Ⅰ）若12a ≤，则11aa≤-，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为(1)1af a <-， 即1121a aa --<-，解得2121a --<<-． （Ⅱ）若112a <<，则11a a >-，故当(1,)1ax a ∈-时，()0f x '<； 当(,)1a x a ∈+∞-时，()0f x '>，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a+∞-单调递增．所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11a af a a <--，而2()ln 112(1)11a a a a a f a a a a a a =++>-----，所以不合题意． （ⅡⅠ）若1a >，则11(1)1221a a af a ---=-=<-． 综上，a 的取值范围是(21,21)(1,)---+∞U ．5．（2014新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 解：（Ⅰ）26()3f x x x a =-'+，(0)f a '=，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为2y ax =+ 由题设22a-=-，所以1a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a =，故32()32f x x x x =-++ 设32()()23(1)4g x f x kx x x k x =-+=-+-+， 由题设知10k ->，当0x ≤时，2()26(1)0g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，(1)10g k -=-<，(0)40g =>，所以()0g x =在(,0]-∞有唯一实根，当0x >时，因为(1)0k x ->，所以32()34g x x x >-+， 令32()34h x x x =-+，()3(2)h x x x '=-，()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以()()(2)0g x h x h >≥=， 所以()0g x =在(0,)+∞没有实根，综上()0g x =在R 有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．6. （2015新课标全国卷1文21，本小题满分12分）设函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+. 解：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，ax -单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x=时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202=0x a ex -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a++?. 故当0a >时，2()2lnf x a a a?. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.7. （2016新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数.2)1()2()(-+-=x a e x x f x(I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）()0,+∞解：（Ⅰ）()()()()()'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+（i ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. （ii ）设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln （-2a ）.①若2ea =-，则()()()'1x f x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2ea >-，则ln （-2a ）＜1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞U 时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减.③若2ea <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞U 时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.（Ⅱ）（i ）设0a >，则由（I ）知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取b 满足b ＜0且ln 22b a<， 则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点. （ii ）设a=0，则()()2xf x x e =-所以()f x 有一个零点.（iii ）设a ＜0，若2ea ≥-，则由（I ）知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点；若2ea <-，则由（I ）知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点.综上，a 的取值范围为()0,+∞.8. （2017新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．解：（12分）（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-，①若0a =，则2()xf x e =，在(,)-∞+∞单调递增.②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. ③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-.当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增.（2）①若0a =，则2()xf x e =，所以()0f x ≥.②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.③若0a <，则由（1）得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--.从而当且仅当23[ln()]042aa --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥. 综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-.。