四川外语学院重庆第二外国语学校2020-2021学年高二下学期3月周测2数学试题 Word版含答案
【附20套高考模拟试题】2020届四川外语学院重庆第二外国语学校高高考数学模拟试卷含答案
2020届四川外语学院重庆第二外国语学校高高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z a bi =+(),a R b R ∈∈对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+,则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦ ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:()()cos sin cos sin n nr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦,则5132i ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ （ ）A ．1322i- B ．13i 22-- C ．132i + D ．132i -+ 2．定义在区间 (),-∞+∞ 上的奇函数 ()f x 为增函数；偶函数 ()g x 在 [)0,+∞ 上的图象与 ()f x 的图象重合．设 0a b >>，给出下列不等式：① ()()()()f b f a g a g b -->-- ② ()()()()f b f a g a g b --<-- ③ ()()()()f a f b g b g a -->-- ④ ()()()()f a f b g b g a --<-- 其中成立的是 ( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③3．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．平行四边形D ．梯形4．设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是( )5．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦6．在ABC V 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且222b c a +=，2bc =，则角C的大小是（ ）A ．6π或23πB ．3πC ．23πD ．6π7．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1234a a a ++=，610S =，则3a =（ ）A ．149B ．169 C ．209 D ．738．己知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，延长AF 交抛物线C 于点D ，若AB 的中点纵坐标为|AB|-1，则当∠AFB 最大时，|AD|=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．1639．用半径为3cm ，圆心角为23π的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（ ） A ．1cm B． CD ．2cm 10．在V ABC中，sin B A =，BC =4C π=，则AB =（ ）A．5C．．11．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．812．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ）． A ．1- B ．0C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川外国语学院重庆第二外国语学校2022-2023学年高二上学期半期期中模拟数学试题解析
四川外国语学院重庆第二外国语学校2022-2023学年高二上学期半期期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．1122-++a b cC．11a b c --+由图可知，直线l的斜率故直线l的斜率的取值范围为故选：D．8．已知，在三棱柱ABC－AA1＝AC＝AB，则异面直线B．A．23【答案】B【分析】令M为AC的中点，以夹角的余弦值.【详解】令M为AC的中点，同理，A1M⊥AC，因为平面平面ABC，所以BM⊥平面AC，BM，A1M两两垂直，以轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设AA 1＝AC ＝AB ＝2，则A (1，0，所以1AC ＝(－3，0，3)，1A B uuu r ＝(0＝－24，故异面直线AC 1与A 1B 故选：B二、多选题9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（A ．若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则B ．若非零向量a ，b ，c 满足a C ．若OA ，OB ，OC是空间的一组基底，且C ，D 四点共面；D ．若a ，b ，c是空间的一组基底，则向量三、填空题四、双空题五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知△ABCC(－2，3).(1)求BC边所在直线的一般方程；(2)求BC边的垂直平分线DE所在直线的一般方程【答案】(1)x＋2y－4＝0(2)2x－y＋2＝0【分析】（1）利用直线的两点式方程可得答案；（2）由中点坐标公式得到D的坐标，用直线点斜式方程可得答案.【详解】（1）因为直线BC经过B(2，由两点式得BC的方程为131y--＝2x---即x＋2y－4＝0.（2）设BC边的中点D的坐标为(x，则2202x-==，1322y+==，点D的坐标为(0，2)，由（1）知，直线BC的斜率11 2k=-则BC的垂直平分线DE的斜率2k=（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23.【分析】（Ⅰ）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；在正方体1111ABCD A B C D -中，AB 11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形1BC ⊄ 平面1AD E ，1AD ⊂平面AD [方法二]:空间向量坐标法以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，由100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.又∵向量()12,0,2BC = ,()1·2201220BC n =⨯+⨯+⨯-=,又1BC ⊄ 平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长1CC 到F ，使得1C F BE =，连接EF ，交11B C 于G ，又∵1//C F BE ，∴四边形1BEFC 为平行四边形，∴1//BC EF ，又∵11//BC AD ,∴1//AD EF ,所以平面1AD E 即平面1AD FE ,连接1D G ，作11C H DG ⊥,垂足为H ,连接FH ,∵1FC ⊥平面1111D C B A ,1D G ⊂平面1111D C B A ,∴11FC DG ⊥，又∵111FC C H C ⋂=,∴直线1D G ⊥平面1C FH ,又∵直线1D G ⊂平面1D GF ,∴平面1DGF ⊥平面1C FH ,[方法二]：向量法[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点1A 到平面1AED 的距离为h ，在1AED △中，115,22,3AE AD D E ===，22211119585cos 25235D E AE AD AED D E AE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以125sin 5AED ∠=，易得13AED S = ．由1111E AA D A AED V V --=，得111111133AD A AED S A B S h ⋅=⋅ ，解得43h =，设直线1AA 与平面1AED 所成的角为θ，所以12sin 3h AA θ==．【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II ）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F AE P--的余弦值.【答案】(1)证明见解析；依题意，3PC PF = ，则(0,0,0),(0,1,1),A E 设平面AEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，则(1,1,1)n =-，显然平面AEP 的一个法向量(1,0,0)m = F AE P --的平面角为锐角，所以二面角F AE P --的余弦值33.22．已知圆心C 在第一象限，半径为点（A 在B 左侧），1OA OB ⋅=（O （1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆2:O x。
四川外语学院重庆第二外国语学校2020-2021学年高二下学期期中数学试题
Aபைடு நூலகம்由复数相等知： ，有 ，正确；
B：若 ，有 ，错误；
C：若 时， ，错误；
D：令 ，则 为圆O： ，而 表示圆O上的点到 的最大距离，所以 ，正确.
故选：AD.
10．CD
【分析】
根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.
【详解】
根据图象知当 ， 时， ，函数单调递减；当 ， 时， ，函数单调递增.故A错误，D正确；当 时， 取得极小值，C正确；当 时， 不是取得最小值，B错误.
8．C
【分析】
构函数 ，由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解.
【详解】
构造函数 ，则 ，
∴函数 在 上单调递减，∵ ，∴ ，
由 得 ，∴ ，
∵函数 在 上单调递减，∴ ，
故选：C.
9．AD
【分析】
A由复数相等条件即可判断正误；B、C应用特殊值法，代入验证即可；D根据 的几何含义：以 为圆心2为半径的圆，求 为该圆上的点到 最大距离，判断正误.
则 ， ，
根据 的图象，当 趋近与0时， 趋近于1， 趋近于无穷大，此时 趋近于无穷大，故选项B错误；
对于选项D，由 ， ，可得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
则 ， ，
所以 ，即 ，
故选项D正确.
故选：AD.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最值.
20．已知袋中装有大小､形状都相同的小球共5个，其中3个红球，2个白球．
四川外语学院重庆第二外国语学校2020-2021学年下学期初2021级中考数学模拟试题(二)
3题图图1图2图3…重庆二外初2021级中考数学模拟试题（二）（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线c bx x a y ++=2（0≠a ）的顶点坐标为 24(,)24b ac b a a--，对称轴公式为a b x 2-=． 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列各数中，最小的数是A ．4-B ．3-C ．0D ．1 2．如图所示是由几个相同小正方体组成的立体图形，其主视图是A ．B ．C ．D ．3．按如图所示用小圆圈拼图案，图1中有2个小圆圈，图2中有4个小圆圈，图3中有6个小圆圈，…，按此规律，则图7中小圆圈的个数是A ．8B ．10 D ．14 4．抛物线2322y x x =++的对称轴是 A ．直线1x = B ．直线1x =- C ．直线2x = D ．直线2x =- 5．下列计算正确的是A ．32a a a ÷=B ．326a a a ⋅=C ．322a a a -=D ．2323a a a += 6．一元一次方程143x x-=的解为 A ．1x = B ．1x =- C ．12x =- D ．12x =7．如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，点B ，C 是切点，点D 是⊙O 上一点，连结DC 和BD ．若∠A =50º，则∠D 的度数为A ．50°B ．65°C ．75°D ．130°2题图OCAB D7题图8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点坐标 分别为(3,2)A -，(3,2)B --，(3,2)C -，(3,2)D ，以原 点为位似中心，在矩形ABCD 的内部画矩形EFGH ， 使矩形ABCD 与矩形EFGH 成位似图形，且相似比为2:1，则矩形EFGH 的周长为 A ．20 B ．15C ．10D ．2039．如图，某建筑物AB 在一个坡度为1:0.75i =的山坡CE 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC =20米，在距山脚点C 右侧水平距离为60 米的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，建筑 物AB 和山坡CE 的剖面在同一平面内，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)A ．32.4米B ．20.4米C ．16.4米D ．15.4米10．如果关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>--<+02),2(32m x x x 的解集为4>x ，且关于y 的分式方程24341-=-+--y y my 有整数解，则符合条件的整数m 的和是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．5 11．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，连结AD ，将△ACD沿AD 翻折，得到△AED ，AE 交BD 于点F ．若BD =2DC ，AB =AD ，AF =2EF ，CD =2，△DFE 的面积为1，则点D 到AE 的距离为 A ．1 B ．65C D12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴上，对角线BD 平行于y 轴，反比例函数(0,0)ky k x x =>>的图象经过点D ，与CD边交于点H ，若2DH CH =，菱形ABCD 的面积为6， 则k 的值为A ．2B ．4C ．6D ．89题图8题图B CE AD F 11题图12题图二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的横线上．132sin 45⋅°= ．14．北京时间2020年11月24日嫦娥五号成功发射，首次在380 000公里外的月球轨道进行无人交会对接．请把数380 000用科学记数法表示为 ．15．一个不透明的布袋内装有三个小球，分别标有数字1-，2，3，它们除数字不同外，其余完全相同，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下数字后放回搅匀，再从中随机摸出一个球并记下数字．若两次取得数字之积为k ，则正比例函数y kx =的图象经过一、三象限的概率为 ．16．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，BC=分别以点A ，B ，C 为圆心，以12AB 的长为半径画弧分别与△ABC 的边相交，则图中阴影部分的面积 为 ．（结果保留π）17．已知A 、B 两地相距200千米，货车甲从A 地出发将一批物资运往B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B 地联系．B 地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资，货车乙遇到货车甲后，用了30分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以原速开往B 地，货车甲以原速的25返回A 地．两辆货车之间的路程y （km ）与货车甲出发的时间 x （h ）的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略 不计）．若点C 的坐标是（1.6120，），点D 的坐标 是 3.60（，），则点E 的坐标是 ．18．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是 ．yx17题图16题图三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19．计算：（1） ()()22x y x x y -++ ； （2）22362369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭．20．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，各学校都在深入开展劳动教育．某校为了解七、八年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：小时）的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析（A: 0≤t ＜20，B: 20≤t ＜40，C: 40≤t ＜60，D: 60≤t ＜80，E: 80≤t ＜100），下面给出了部分信息．七年级抽取的学生在C 组的课外劳动时间为：40，40，50，55．八年级抽取的20名学生的课外劳动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a ，b ，m 的值；（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加课外劳动的情况较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若该校七、八年级分别有学生400人，试估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和．七、八年级抽取的学生的 课外劳动时间的统计量 20题图A 10%B m %C 20%D 25%E 15%七年级抽取的学生的课外劳动时间的扇形统计图21．如图，在ABC∆中，D是BC边上一点，且BD BA=.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作ABC∠的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.（2）连接EF，猜想EF和AC的关系，并说明理由.22．数字“6”由于谐音“六六大顺”深受人们喜爱．若一个正整数各数位上的数字之和为6的倍数，则称这个正整数为“六六大顺”数．例如：正整数24，因为246+=且661÷=，所以24是“六六大顺”数；正整数125，因为1258++=且86÷商1余2，所以125不是“六六大顺”数．（1）判断96和615是否是“六六大顺”数？请说明理由；（2）求出所有大于600且小于700的“六六大顺”数的个数．21题图23．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数2||12y x =--的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题：（1）请把下表补充完整，并在图中画出该函数图象；x… ﹣3 ﹣2 1- 0 132 52 3 4 5 6 7 …2||12y x =-- … 35- 12- 13- 1 33113- 35- … （2（3）已知函数y x =的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写 出不等式2||12x x -<-的解集 （保留1位小数，误差不超过0.224．某品牌羽绒服专卖店11月份销售了A 款羽绒服1200件和B 款羽绒服800件，每件B款羽绒服的销售价比A 款多800元，11月份这两款羽绒服的总销售额为4 640 000元． （1）求该专卖店11月份A 、B 两款羽绒服的销售单价分别是多少元？（2）12月份，由于气温降低，该专卖店A 款羽绒服的销量比11月份增加了1%3a （0a >），单价在11月份的基础上不变；B 款羽绒服的销量比11月份增加了2%a ，单价在11月份的基础上降低了3%7a ．最后统计，该专卖店12月份这两款羽绒服的总销售额比11月份这两款羽绒服的总销售额增加24%29a ，求a 的值．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与直线AB 交于点(45)A ，，(01)B ，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点C 为该抛物线的顶点，连接AC ，点P 为抛物线上点B ，C 之间的任意一点，连接BP ，CP ，过点P 作PE ∥AC 交直线AB 于点E ，连接CE ，求四边形CPBE 面积的最大值；（3）设该抛物线沿射线AB方向平移21111y a x b x c =++（10a ≠），平移后的抛物线与原抛物线交于点G ，连接AG 、BG ，将△ABG 沿直线AB 方向平移，平移后得到△A B G '''，其中点A 的对应点为点A '，点B 的对应点为点B '，点G 的对应点为点G '．在平移过程中，是否存在点B '，使得△OG B ''为直角三角形，若存在，请直接写出点B '的坐标，若不存在，请说明理由．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 26．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 是边BC 延长线上一动点，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 于点G ．连结AD ，点F 是AD 的中点，连结CF ， EF ． （1）如图1，连结CE ，求证：△CEF 是等边三角形；（2）如图2，在点D 的运动过程中，当GC =BC 时，猜想线段EA ，EF ，ED 之间的数量关系，并证明你的猜想结论；（3）如图3，作CP ∥DE 交AB 于点P ，在PC 延长线上取点Q ，使CQ =CP ，连结QF ．在点D 的运动过程中，当QF 取得最小值时，请直接写出tan ∠FCQ 的值．参考答案重庆二外初2021级中考数学模拟试题（二）A CDE F26题图2GA BDEF26题图1GBA C DE FG26题图3PQ一、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AADBACBCCDBD二、填空题：13．32-； 14．53.810⨯； 15．59； 16．8－2π； 17．5.1150（，）； 18．83．三、解答题：19．解：（1）原式22222x xy y x xy =-+++………………………………………………（4分） 22=2x y +．………………………………………………………………（5分）（2）原式26(3)3(6)(6)m m m m m --=⋅--+…………………………………………………（9分） 36m m -=+．………………………………………………………………（10分）20．解：（1）45a =，50b =，30m =；…………………………………………………（3分）（2）八年级学生参加课外劳动的情况较好，理由如下：因为七、八年级被抽取的学生的课外劳动时间的平均数都是50，而八年级的中位数50高于七年级的中位数45，所以八年级学生参加课外劳动的情况较好；（用数据说明，合理即可）…………………………………………………（6分） （3）7400(15%25%)400=30020++⨯（人）． 答：估计该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和为300人．……………………………………………………………（10分）21．（1）解：如图所示，ABC ∠的角平分线，MDC 的垂直平分线即为所求.…………………………………………………………（5分） （2）∴EF=12AC ，EF ∥AC ，理由如下：……………………………………（6分） ∵BD=BA ，BE 是∠ABC 的平分线∴AE=DE ．………………………………………（7分） ∵MF 是DC 垂直平分线，∴DF=CF ．………………………………………（8分） ∴EF 是△ADC 的中位线 ∴EF=12AC ，EF ∥AC ．…………………………………………（10分）22．解：（1）96不是“六六大顺”数，615是“六六大顺”数，理由如下：∵9615+=，156÷商2余3， ∴96不是“六六大顺”数； ∵61512++=，1262÷=，∴615是“六六大顺”数；………………………………………………………（4分） （2）设大于600且小于700的正整数N 的十位数字为a ，个位数字为b （09a ≤≤，09b ≤≤，a ，b 为整数，且a ，b 不同时为零）． ∴6624a b ++＜≤， ∴018a b +＜≤． ∵N 为“六六大顺”数， ∴6a b ++是6的倍数， 即a b +是6的倍数．∴61218a b +=，，…………………………………………………………………（6分） ①当6a b +=时，则有：06.a b =⎧⎨=⎩，15.a b =⎧⎨=⎩，24.a b =⎧⎨=⎩，33.a b =⎧⎨=⎩，42.a b =⎧⎨=⎩，51.a b =⎧⎨=⎩，60.a b =⎧⎨=⎩， 此时，满足条件的“六六大顺”数共7个；……………………………………（7分）②当12a b +=时，则有：39.a b =⎧⎨=⎩，48.a b =⎧⎨=⎩，57.a b =⎧⎨=⎩，66.a b =⎧⎨=⎩，75.a b =⎧⎨=⎩，84.a b =⎧⎨=⎩，93.a b =⎧⎨=⎩， 此时，满足条件的“六六大顺”数共7个；……………………………………（8分） ③当18a b +=时，则有： 99.a b =⎧⎨=⎩， 此时，满足条件的“六六大顺”数共1个；……………………………………（9分） ∴77+115+=（个）．所以大于600且小于700的“六六大顺”数有15个．………………………（10分）23．解：（1）0，12-；函数图象如图：……………………………………………………………………………… （6分） （2）写出符合的一条性质即可；…………………………………………………（8分） （3）01x ＜＜或 2.6x ＞．…………………………………………………………（10分） 24．解：（1）设该专卖店11月份A 款羽绒服销售单价为x 元，则B 款羽绒服销售单价为(800)x +元． ………………………………………………………………（1分） 由题意，得 1200800(800)4640000x x ++=．……………………………（3分） 解得 =2000x ．∴20008002800+=（元）．答：该专卖店11月份A 款羽绒服销售单价为2000元，B 款羽绒服销售单价为2800元．…………………………………………………………………（5分）（2）由题意，得132420001200(1%)2800(1%)800(12%)4640000(1%)3729a a a a ⨯++-⨯+=+．……………………………………………………………………………（8分） 解得 10a =（舍），225a =．答：a 的值为25 ．…………………………………………………………（10分）25．解：（1）把(45)A ，，(01)B ，代入抛物线212y x bx c =-++中，得21144 5.2c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得 13.c b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数表达式为21312y x x =-++；………………………………（3分）（2）连结PA ，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ．∵PE ∥AC ， ∴PEC PEA S S ∆∆=，∴++BPE PEC BPE PEA BPA CPBE S S S S S S ∆∆∆∆∆===四边形． 易得直线AB 的函数表达式为1y x =+．设点21(31)2P m m m -++，，则点(,1)F m m +．∴21(3+1)(1)2PF m m m =-+-+2122m m =-+．∴1=()2BPA A B CPBE S S PF x x ∆=-四边形211(2)(40)22m m =⋅-+⋅- 2(2)+4m =--．∴当2m =时，四边形CPBE 的面积取得最大值4．………………………（7分）（3）B '的坐标为：52,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，73,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3925,1414⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…（10分）四、解答题：26.解：（1）∵∠ACB =90°，∠B =60°，∴∠BAC =30°，∠ACD =90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠AED =90°，∠AGE =60°. ∵点F 是AD 的中点， ∴CF = EF = AF =DF .∴∠FAE =∠FEA ，∠FCD =∠FDC .∴∠1=180°－2∠FAE ，∠2=180°－2∠FDC （如答图1）. ∴∠1+∠2=360°－2（∠FAE +∠FDC ）. ∵∠FAE +∠FDC =180°－∠B ，且∠B =60°， ∴∠FAE +∠FDC =120°， ∴∠1+∠2=120°. ∴∠EFC =60°.∴△CEF 是等边三角形. ………………………………………………………（3分） （2）猜想结论是：ED EA ，理由如下：连结CE ，过点C 作C M ⊥CE 交DE 于点M （如答图2）. ∴∠ECM =90°.∵∠CGD =∠AGE =60°，且∠B =60°， ∴∠CGD =∠B .∵GC =BC ，∠ACB =∠DCG =90°， ∴△ACB ≌△DCG . ∴AC =DC ，∠CAE =∠CDM . ∵∠ACD =90°，∠ECM =90°， 即∠ACE +∠GCM =∠DCM +∠GCM ， ∴∠ACE =∠DCM . ∴△ACE ≌△DCM . ∴EA =MD ，CE =CM .∴△ECM 是等腰直角三角形. ∴EM ， ∵△CEF 是等边三角形， ∴CE = EF ，BG ACDEF 26题答图2MACEF26题答图1G1 2∴=2EM EF ，∴=++2ED MD EM EA EF =．………………………………………………（6分）结论也可：.333624222EA EF ED DE AE EF +=+=或 理由略. （3）当QF 取得最小值时，tan ∠FCQ =33．……………………………………（8分）。
2021届重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校高考模拟(三诊)(文科)数学试题
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ） 是 的左、右顶点， 是 上的两点，若 ，求四边形 面积的最大值.
21．已知函数 ，
（1）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值；
（2）若对 ， 恒成立，求 的取值范围．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
3．D
【分析】
a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2,S11＝ =11a6进而得到结果.
6．A
【分析】
由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，过点P作PD⊥底面ABC，垂足D在AC的延长线上，且BD⊥AD．由题中数据及锥体体积公式即可得出．
【详解】
由三视图可知：该几何体为三棱锥 （如图），
过点 作 底面 ，垂足 在 的延长线上，且 ， ， ， ，
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：集合 ，而 ，所以 ，故选C.
【考点】集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2．C
【解析】
试题分析： ，故选C．
【考点】复数的运算、共轭复数．
4．D
【分析】
由已知向量的坐标求出 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
四川外语学院重庆第二外国语学校2020-2021学年高二下学期3月周测1数学试题 含答案
高2022级高二下期第一次周周清班级：姓名：一、单项选择题（本大题共7小题，共35分）1.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A. 1B. −1C. 2D. −22.已知函数f(x)=2x2−1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,f(1+Δx))，则ΔyΔx等于()A. 4B. 4+2ΔxC. 4+2(Δx)2D. 4x3.若y=f(x)在(−∞,+∞)可导，且limΔx→0f(a+2Δx)−f(a)3Δ x=1，则f′(a)=()A. 23B. 2 C. 3 D. 324.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+15.曲线f(x)=x3−x+3在点P处的切线平行于直线y=2x−1，则点P的坐标为()A. (1,3)B. (−1,3)C. (1,3)和(−1,3)D. (1,−3)6.已知曲线f(x)=x2+ax+1在点(1,f(1))处切线的斜率为1，则实数a的值为()A. −34B. −1 C. 32D. 27.一点P在曲线y=x3−x+23上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A. [0,π2] B. [0,π2)∪[3π4,π)C. [3π4,π) D. (π2,3π4]二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分）8. 下列结论中正确的是( )A. 若y =log 2x ，则y ′=xln2B. 若y =2x −cosx ，则y ′=2x ln2+sinxC. 若y =x 3e x ，则y ′=(3x 2+x 3)e xD. 若y =xsin2x ，则y ′=sin2x +cos2x9. 以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )A. (1x )′=1x 2B. (cos2x)′=−2sin2xC. (3x ln3)′=3xD. (lg x)′=−1xln10 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 10. 已知曲线f(x)=2x 2+1在点M(x 0,y 0)处的瞬时变化率为−8，则点M 的坐标为______．11. 如图，函数y =f(x)的图象在点P 处的切线方程是y =−x +5，则f(3)+f′(3)=______12. 曲线f(x)=2lnx −1在点(e,1)处的切线方程为______．13. 直线y =3x +b 与函数f(x)=e x +x 的图象相切，则实数b =________．四、解答题（本大题共3小题，共35.0分）14. 求以下函数的导函数；(1)y =1x (2)y =√x (3)y =x 2lnx (4)y =(3x +2)315. 已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程．16.已知函数f(x)=e x．x(1)求函数f(x)的导函数；(2)若曲线f(x)在某处切线平行于x轴，求切线方程答案BBDBCBB BC BC10.【答案】(−2,9)11.【答案】112.【答案】2x−ey−e=013.【答案】2−2ln2．15.【答案】解：，对f(x)求导，得f′(x)=3x2−4x+1，代入x=2，f′(2)=5，f(2)=2，切线方程为y−2=5∗(x−2)∴y=x03−2x02+x0,f′(x0)=3x02−4x0+1∴切线为y-x03−2x02+x0=3x02−4x0+1(x−x0)∵过原点，∴代入（0，0）则切线为y=x或y=016.【答案】解：(1)f′(x)=e x⋅x−1；x2(2)故曲线f(x)在点(1,f(1))处切线的方程为y−e=0；。
2020-2021学年重庆外国语学校高二(下)期中数学试卷
2020-2021学年重庆外国语学校高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是()A. 23B. 12C. 14D. 162.若函数f(x)=√33x3+lnx−x+3，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3.已知圆锥的高为2√5，底面半径为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为()A. √6B. √3C. √2D. 24.下列判断正确的是()A. 若样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为3，则2x1−1，2x2−1，⋯，2x n−1的方差为11B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ŷ=0.3x−m，若样本中心点为(m,−2.8)，则m=4C. 用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件5.在三棱锥P−ABC中，E，F分别是棱PA，BC的中点，AB=4，EF=2√2，PC=4，则异面直线AB与PC所成角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(ln2)x+e x(其中e为自然对数的底数)，则f(ln2)=()A. 2+4ln2B. 2−4ln2C. 2D. −27.中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花.其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是()A. 240B. 126C. 78D. 728.已知函数f(x)=a−lnx，g(x)=x2e x.若对任意的x1∈[1,e]，都存在唯一的x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是()A. [1,e]B. (1e ,1+e]C. (1+1e ,e]D. (1+1e ,e +1)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列说法正确的是( )A. 过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直B. 空间中不共面的四点能确定无数多个球C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面D. 过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内10. 纵观重庆市主城九区2020年GDP 数据，整体受疫情影响轻微，重庆市全市GDP 在全国排名第5位，主城九区GDP 具体数据如表，则下列说法正确的是( )A. 重庆市主城九区2020年GDP 名义增速的众数是5%B. 重庆市主城九区2020年GDP 的极差为1743.06亿元C. 重庆市主城九区2020年GDP 的同比增量的中位数为70.28亿元D. 北碚区2020年GDP 的数值高于主城九区2020年GDP 的平均值11. 在三棱锥T −ABC 中，TA ，TB ，TC 两两垂直，T 在平面ABC 上的投影为D ，O 为三棱锥T −ABC 内任意一点，则下列选项中正确的是( )A. TA ⊥BC ，TB ⊥AC ，TC ⊥ABB. △ABC 可能是直角三角形C. 1TD 2=1TA 2+1TB 2+1TC 2D. S △ABC2=13(S △TAB 2+S △TAC 2+S △TBC 2)12. 已知f(x)=2m(x 2+1)e x−1，g(x)=(m +2)(x 2+1)2.若φ(x)=e x ⋅f(x)−g(x)e x有唯一的零点，则m 的值可能为( )A. 2B. 3C. −3D. −4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(1x +x 2)n 的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为______14. 随着移动支付的逐步普及，可供人们选择的第三方支付方式也越来越多，日益进步的支付技术让支付收款变得非常方便.如图是一张微信二维码的收款码，该收款码是边长为4的正方形，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1600个点，其中落入黑色部分的有750个，据此可估计黑色部分的面积为______ ．15. 在空间直角坐标系O −xyz 中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为A(2,2，1)，B(2,2，−1)，C(0,2，1)，D(0,0，1)，则该四面体外接球的体积是______ ．16. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2−f(−x).当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<3x.若f(a +3)−f(1−a)≤12a +12，则实数a 的取值范围是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，tanC =sinA+sinBcosA+cosB ．(1)求角C ；(2)若c =2，求a +b 的取值范围．18. 已知在数列{a n }中，a 1=12，a n+1=12a n +n+12n+1．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a nn }的前n 项和S n ．19.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=6，AD=2√2，E，F分别是CD的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线AF，BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图2．(1)求证：平面PEF⊥平面ABEF；(2)求平面PAF与平面PBE所成锐二面角的大小．20.2020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式.重庆市奉节县盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[200,500](单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽取2个，求这2个脐橙中恰有1个落在区间[400,450)上的概率；(2)根据频率分布直方图，估计这100个脐橙质量的中位数；(3)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有脐橙均以7元仟千克收购；B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购．请你通过计算为该村选择收益较好的方案．参考数据：225×0.05+275×0.16+325×0.24+375×0.3+425×0.2+475×0.05=354.5．21.已知函数f(x)=2x+ksinx+1(a∈R)．(1)试讨论函数f(x)在区间(0,2π)上的极值点的个数；]上有唯一解，求实数k(2)设g(x)=xsinx+f′(x)+x−2，当k>2时，若方程g(x)=3在区间[0,π2的取值范围．22.已知点A(−1,0)，B(1,0)，动点P满足k PA⋅k PB=a，其中k PA，k PB分别为直线PA，PB的斜率，a为时，P的轨迹记为C2．常数，且当a=−1时，点P的轨迹记为C1，当a=−14(1)求曲线C1，C2的方程；(2)过点M(−√3,0)的直线l与曲线C1，C2交于四点P1，P2，P3，P4(其中P1，P2在x轴上方，P3，P4在x2轴下方，P1，P4∈C1，P2，P3∈C2).问：是否存在这样的直线l，使得|P1P2|，|P2P3|，|P3P4|称等差数列？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色，利用列举法能求出所选颜色中含有白色的概率．【解答】解：从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有：黄白，黄蓝，黄红，白蓝，白红，蓝红，共6种．其中包含白色的有3种，∴所选颜色中含有白色的概率为p=36=12．故选：B．2.【答案】B【解析】解：根据题意，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为θ，函数f(x)=√33x3+lnx−x+3，其导数f′(x)=√3x2+1x−1，则f′(1)=√3，有tanθ=√3，则θ=60°，故选：B．根据题意，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为θ，求出函数的导数，进而求出f′(1)的值，由导数的几何意义可得tanθ=√3，分析可得答案．本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵圆锥的底面半径r=4，高ℎ=2√5，∴圆锥的母线l=√42+(2√5)2=6，∴圆锥侧面积S=πrl=24π，设球的半径为R，则4πR2=24π，∴r=√6．故选：A．由已知圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得球的半径．本题考查圆锥侧面积与球表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：对于A，若样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为3，则2x1−1，2x2−1，⋯，2x n−1的方差为22×3=12，故A错误；对于B：根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ŷ=0.3x−m，若样本中心点为(m,−2.8)，则−2.8=0.3m−m，解得：m=4，故B正确；对于C：用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近1，说明模型的拟合效果越好，故C错误；对于D：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球包含1黑1红和2红2个基本事件，至少有一个红球包含1黑1红和2红2个基本事件，不是两个互斥而不对立的事件，故D错误；故选：B．根据方差的性质判断A，根据线性相关判断B，代入样本点的中心求出m，判断C，根据互斥，对立事件判断D．本题考查了方差的性质，考查线性相关，线性回归方程以及互斥，对立事件，是基础题．5.【答案】D【解析】解：取PB中点D，连接ED、FD，∵在三棱锥P−ABC中，E，F分别是棱PA，BC的中点，AB=4，EF=2√2，PC=4，AB=2，∴ED//AB，且ED=12PC=2，DF//PC，且DF=12∴∠EDF是异面直线AB与PC所成角(或所成角的补角)，∵cos∠EDF=ED2+DF2−EF22×ED×DF =4+4−82×2×2=0．∴异面直线AB与PC所成角为90°．故选：D．取PB中点D，连接ED、FD，则∠EDF是异面直线AB与PC所成角(或所成角的补角)，利用余弦定理能求出异面直线AB与PC所成角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵f′(x)=2f′(ln2)+e x，∴f′(ln2)=2f′(ln2)+e ln2，∴f′(ln2)=−2，∴f(x)=−4x+e x，f(ln2)=−4ln2+e ln2=2−4ln2．故选：B．可求出：f′(x)=2f′(ln2)+e x，然后即可求出f′(ln2)=−2，然后即可得出f(x)的解析式，从而得出f(ln2)的值．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组，分3种情况讨论：①A，B，C三人中有2人分到同一组，有C32A32A22=36种安排方法，②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，有C31A21A33=36种安排方法，③D、E两人分到同一组，有A33=6种安排方法，则有36+36+6=78种安排方法．故选：C．根据题意，分3种情况讨论：①A，B，C三人中有2人分到同一组，②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，③D、E两人分到同一组，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：g′(x)=2xe x+x2e x=x(x+2)e x，当x∈(−1,0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，且g(−1)=1e,g(1)=e,g(0)=0，又对任意的x1∈[1,e]，都存在唯一的x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，∴f(x1)∈(1e,e]或f(x1)=0，又x1∈[1,e]，故a−1≤f(x1)≤a，∴{a−1>1 ea≤e ，解得1e+1<a≤e．故选：C．先利用导数可求得g(x)的单调性及在[−1,1]上的取值情况，再根据题意可得f(x1)∈(1e,e]或f(x1)=0，由此建立关于a的不等式组，解出即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值等知识点，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】解：过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直，显然成立，故选项A正确；因为任意三个不共线的点可以确定一个平面，那么空间中任意四个不共面的点连线可构成一个三棱锥，只能确定一个外切球，故选项B错误；根据线面垂直的判定，可知一条线垂直一个平面内的两条相交直线，则这条线和平面垂直，故选项C正确；过A点作直线a的垂线可作出无数条，这无数条直线都相交于A点，则这无数条直线共面，这个平面垂直a，故选项D正确．故选：ACD．由线面垂直的判定和空间中点的位置关系，逐一判断各个选项即可．本题考查了空间中线面垂直的判定以及空间中点的位置关系．10.【答案】AB【解析】解：重庆市主城九区2020年GDP名义增速分别为：4%，7%，9%，4%，5%，6%，5%，−1%，5%，故重庆市主城九区2020年GDP名义增速的众数是5%，故选项A正确；重庆市主城九区2020年GDP的最大值为2009.52，最小值为266.46，故重庆市主城九区2020年GDP的极差为2009.52−266.46=1743.06亿元，故选项B正确；重庆市主城九区2020年GDP的同比增量分别为：−9.34，12.90，30.47，37.12，42.67，57.12，70.28，85.33，161.28，故重庆市主城九区2020年GDP的同比增量的中位数为42.67亿元，故选项C错误；×(1358.47+1325.40+2009.52+1013.90+1533.16+813.25+主城九区2020年GDP的平均值为19266.46+865.48+636.41)=1091.34亿元，北碚区2020年GDP的数值为636.41亿元，所以北碚区2020年GDP的数值低于主城九区2020年GDP的平均值，故选项D错误．故选：AB．利用题中给出的统计数表中的数据，对四个选项进行逐一的分析判断即可．本题考查了统计数表的应用，读懂统计数表并能从统计数表中得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：如图：∵TA⊥TB，TA⊥TC⇒TA⊥面TBC⇒TA⊥BC，同理TB⊥AC，TC⊥AB，故选项A正确；设TA=a，TB=b，TC=c，则AB2=a2+b2，BC2=c2+b2，AC2=a2+c2，在△ABC 中，由余弦定理得cosA =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=a 2√a 2+b 2√a 2+c 2>0，同理可得cosB >0，cosC >0，∴△ABC 是锐角三角形，故选项B 错误； 过T 作TE ⊥BC 于E ，连AE ，过T 作TD ⊥AE 于D ，在RT △TBC 中，得：TE =bc√b 2+c 2，在△ABC 中，有AE =√a2b 2+b 2c 2+c 2a 2√b 2+c 2，由于AE ⋅TD =TA ⋅TE ，∴√a2b 2+b 2c 2+c 2a 2√b 2+c 2×TD =a ×bc √b 2+c 2，∴a 2b 2c 2=(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)TD 2， ∴1TD 2=1TA 2+1TB 2+1TC 2，故选项C 正确；由图S △ABC2=14BC 2⋅AE 2=14BC 2(AT 2+TE 2) =14(TB 2+TC 2)(AT 2+TE 2) =14(TB 2TC 2+TA 2TC 2+TA 2TB 2) =S △TBC 2+S △ACT 2+S △TAB 2，故选项D 错误；故选：AC ．由题可知TA ，TB ，TC 两两垂直可求出线面垂直，进而可判断A 选项； 利用余弦定理可判断B 选项；根据面积公式作辅助线求解，即可判断C 选项． 利用等量代换关系求解可判断D 选项；本题考查了三棱锥的综合应用，考查了学生的空间想象能力，及灵活运用所学知识来分析问题和解决问题的能力．12.【答案】ACD【解析】解：f(x)=2m(x 2+1)e x −1，g(x)=(m +2)(x 2+1)2．∵φ(x)=e x ⋅f(x)−g(x)e x只有一个零点，∴2m(x 2+1)−e x −(m+2)(x 2+1)2e x =0只有一个实数根，即(m +2)(x 2+1e x)2−2m ⋅x 2+1e x+1=0只有一个实数根．令t =x 2+1e x，则t′=(x 2+1)′e x −(x 2+1)e x(e x )2=−(x−1)2e x≤0，∴函数t =x 2+1e x在R 上单调递减，且x →+∞时，t →0，∴函数t =x 2+1e x的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程(m +2)t 2−2mt +1=0(∗)有且只有一个正实根． ①当m =2时，方程(∗)为4t 2−4t +1=0，解得t =12，符合题意；②当m =3时，方程(∗)为5t 2−6t +1=0，解得t =15或t =1，不符合题意；③当m =−3时，方程(∗)为t 2−6t −1=0，得t =3±√10，只有3+√10>0，符合题意． ④当m =−4时，方程(∗)为2t 2−8t −1=0，得t =4±3√22，只有4+3√22>0，符合题意．故选：ACD ． 通过φ(x)=e x ⋅f(x)−g(x)e x只有一个零点，化为(m +2)(x 2+1e x)2−2m ⋅x 2+1e x+1=0只有一个实数根．令t =x 2+1e x，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当m =2时，②当m =3时，③当m =−3时，④当m =−4时，验证函数的零点个数，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．13.【答案】20【解析】解：令x =1，可得(1x +x 2)n 的展开式的各项系数和为2n =64，∴n =6，故(1x +x 2)n =(1x +x 2)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r⋅x 3r−6，令3r −6=3，可得r =3， 故展开式中x 3的系数为C 63=20， 故答案为：20．先利用二项式系数的性质求得n =6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于，3，求出r 的值，即可求得展开式中x 3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】152【解析】解：正方形的面积S =16，若在正方形区域内随机投掷1600个点，其中落入黑色部分的有750个， 据此可估计黑色部分的面积S 满足S16=7501600，即S =7510=152，故答案为：152求出正方形的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据几何概型的公式转化为面积之比是解决本题的关键，是基础题．15.【答案】4√3π【解析】解：如图，设正方体的棱长为2，O为所在棱的中点，在空间直角坐标系O−xyz下，A，B，C，D四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体有同的外接球，其半径为体对角线的一半，√22+22+22=√3，等于12π×(√3)3=4√3π．故其外接球的体积为V=43故答案为：4√3π．由点的坐标确定四面体ABCD各顶点恰是正方体的四个顶点，求出正方体的对角线长，可得外接球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，训练了分割补形法，是基础题．16.【答案】[−1,+∞)【解析】解：∵f(x)=3x2−f(−x)，∴f(−x)=3x2−f(x)①x2，令g(x)=f(x)−32将①代入g(−x)，可得g(−x)=f(−x)−32(−x)2=[3x2−f(x)]−32x2=−[f(x)−32x2]=−g(x)，∴g(x)为R上的奇函数；又当x∈(−∞,0)时，f′(x)<3x，∴当x∈(−∞,0)时，g′(x)=f′(x)−3x<0，∴g(x)在(−∞,0)上单调递减，∴奇函数g(x)=f(x)−32x2在R上单调递减；②∵f(a+3)−f(1−a)≤12a+12，∴f(a+3)−f(1−a)−12a−12≤0，∴g(a+3)−g(1−a)=[f(a+3)−32(a+3)2]−[f(1−a)−32(1−a)2]=f(a+3)−f(1−a)−12a−12≤0，∴g(a+3)≤g(1−a)，③由②③得a+3≥1−a，解得a≥−1，即实数a的取值范围是[−1,+∞)，故答案为：[−1,+∞)．令g(x)=f(x)−32x2，结合已知可分析得到g(x)=f(x)−32x2是R上单调递减的奇函数，于是f(a+3)−f(1−a)≤12a+12可等价转化为g(a+3)≤g(1−a)，脱“g”可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g(x)=f(x)−32x2，分析得g(x)=f(x)−32x2是R上单调递减的奇函数是关键，也是难点，考查逻辑推理与数学运算能力，属于难题．17.【答案】解：(1)因为tanC=sinCcosC =sinA+sinBcosA+cosB，所以sinC(cosA+cosB)=cosC(sinA+sinB)；即sinCcosA−cosCsinA=cosCsinB−sinCcosB，所以sin(C−A)=sin(B−C)，故C−A=B−C或C−A=π−(B−C)，解得A+B=2C或B−A=π(舍)又因为在△ABC中，A+B+C=π，所以C=60°．(2)(法一)由余弦定理知c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab，所以4=c2=(a+b)2−3ab≥(a+b)2−34(a+b)2=14(a+b)2，所以a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立．又因为a，b，c是△ABC的三条边，所以2<a+b≤4，所以2<a+b≤4．(2)(法二)因为c=2，C=60°，由正弦定理，csinC =4√33，所以a=4√33sinA,b=4√33sinB．所以a+b=4√33(sinA+sinB)，=4√33(sinA+sin(120°−A))=4×(√32sinA+12cosA)=4sin(A+30°)，因为A，B，C是△ABC的三个内角，且C=60°．所以A∈(0°,120°)，所以A+30°∈(30°,150°)，所以12<sin(A+30°)≤1，所以2<a+b≤4．【解析】(1)由已知结合同角基本关系及核查角公式可求A，B，C的关系，然后结合三角形内角和定理可求C；(2)法一：结合余弦定理及基本不等式，三角形两边之和大于第三边可求；法二：由正弦定理表示a，b，然后几何核查角，辅助角公式进行化简，再结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了和差角公式，辅助角公式，同角基本关系，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为a n+1=12a n+n+12n+1，所以2n+1a n+1=2n a n+(n+1)，所以2n+1a n+1−2n a n=n+1，所以2n a n=(2n a n−2n−1a n−1)+(2n−1a n−1−2n−2a n−2)+⋯+(22a2−2a1)+2a1=1+2+⋯+n=n(n+1)2，所以a n=n(n+1)2n+1．(2)记b n=a nn =n+12n+1，所以S n =b 1+b 2+b 3+⋯b n−1+b n =222+323+...+n 2n +n+12n+1，①12S n=223+324+...+n 2n+1+n+12n+2，② ①−②得：12S n =12+18+116+...+12n+1−n+12n+2=12+18(1−12n−1)1−12−n+12n+2，所以S n =32−n+32n+1．【解析】(1)由已知递推式可得2n+1a n+1−2n a n =n +1，再由累加法和等差数列的求和公式，可得所求通项公式；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和，注意运用累加法和错位相减法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：因为E ，F 分别是CD 的两个三等分点，所以四边形ABEF 是正方形；(2分) 所以BE ⊥EF ，(2分)又因为BE ⊥PE ，且PE ∩EF =E ， 所以BF ⊥平面PEF.(4分) 又因为BF ⊂平面ABEF ， 所以平面PEF ⊥平面ABEF.(6分)(2)解：过P 作PO ⊥EF 于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ， 则PO ⊥面ABEF ，又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，故以它们所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 易知A(2,−1,0),B(2,1,0),F(0,−1,0),P(0,0,√3),E(0,1,0)， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−√3),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)，(8分) 设平面PAF 的法向量为a⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{a ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0a ⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x 1−y 1−√3z 1=0y 1+√3z 1=0， 取y 1=√3，则a ⃗ =(0,√3,−1)(9分) 同理PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−√3),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)， 设平面PBE 的法向量为b ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{b ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0b ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x 2+y 2−√3z 2=0y 2−√3z 2=0， 取y 2=√3，则b ⃗ =(0,√3,1)，(10分) 所以cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=12，(11分)所以平面PAF 与平面PBE 所成锐二面角的大小为60°，(12分)【解析】(1)证明BE ⊥EF ，结合BE ⊥PE ，推出BF ⊥平面PEF ，即可证明平面PEF ⊥平面ABEF ． (2)过P 作PO ⊥EF 于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAF 的法向量，平面PBE 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAF 与平面PBE 所成锐二面角的大小为60°．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题设知，脐橙质量在[350,400)，[400,450)的比例为3：2，由分层抽样知，应分别抽取3个和2个， 记抽取质量在[350,400)的脐橙为A 1，A 2，A 3， 质量在[400,450)的脐橙为B 1，B 2，则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种：A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，A 1B 1，A 2B 1，A 3B 1，A 1B 2，A 2B 2，A 3B 2，B 1B 2， 设“这2个脐橙中恰有1个落在区间[400,450)上”为事件A ， 则P(A)=610=35；(2)由直方图可知，脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05，同理质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为： 0.16，0.24，0.3，0.2，0.05．可得中位数落在区间(350,400)内，设中位数为x ，则(x −350)×0.006+0.45=0.5， 解得：x =358.3．故估计这100个脐橙质量的中位数为358.3；(3)若按方案A 收购，各段脐橙的个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000， 于是总收益为：(225×5000+275×16000+325×24000+375×30000+425×20000+475×5000)×7÷1000=248150元；若按方案B收购，质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100000=45000个，则收益为45000×2+55000×3=255000元．∵248150<255000，∴方案B比方案A收益高．故应选择方案B．【解析】(1)由分层抽样得到抽取质量在[350,400)的脐橙与在[400,450)的脐橙个数，再由枚举法列出基本事件，由随机事件的概率公式求概率；(2)设中位数为x，则(x−350)×0.006+0.45=0.5，求解x值得答案；(3)分别计算出两种方案该村的收益，比较大小得结论．本题考查随机事件及其概率，考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=kcosx+2，①当−2≤k≤2时，因为|cosx|≤1，所以|kcosx|≤2，f′(x)=kcosx+2≥0，所以f(x)单调递增，在(0,2π)上无极值点；(1分)②当k>2时，f′(x)=kcosx+2在(0,π)上单调递减，f′(0)=k+2>0，f′(π)=−k+2<0，所以存在x1∈(0,π)，使得f′(x1)=0，则x1为f(x)的极大值点；f′(x)=kcosx+2在(π,2π)上单调递增，f′(π)=−k+2<0，f′(2π)=k+2>0，所以存在x2∈(π,2π)使得f′(x2)=0，则x2为f(x)的极小值点；所以f(x)在(0,2π)上存在两个极值点．(3分)③当k<−2时，f′(x)=kcosx+2在(0,π)上单调递增，f′(0)=k+2<0，f′(π)=−k+2>0，所以存在x3∈(0,π)，使得f′(x3)=0，则x3为f(x)的极小值点；f′(x)=kcosx+2在(π,2π)上单调递减，f′(π)=−k+2>0，f′(2π)=k+2<0，所以存在x4∈(π,2π)使得f′(x4)=0，则x4为f(x)的极大值点；所以f(x)在(0,2π)上存在两个极值点．(5分)综上所述，当−2≤k≤2时，f(x)在(0,2π)上无极值点；当k<−2或k>2时，f(x)在(0,2π)上存在两个极值点．(6分)(2)当k>2时，g(x)=xsinx+kcosx+x，则g′(x)=(1−k)sinx+xcosx+1，(7分)设ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=(2−k)cosx −xsinx ． 因为k >2,x ∈[0,π2]，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在区间[0,π2]上单调递减，(8分) 因为ℎ(0)=1>0,ℎ(π2)=1−k +1=2−k <0．所以存在唯一的x 0∈[0,π2]，使得ℎ(x 0)=0，即g′(x 0)=0，(9分) 所以g(x)在区间[0,x 0]上单调递增， 在区间[x 0,π2]上单调递减，(10分) 因为g(0)=k,g(π2)=π，又因为方程g(x)=3在区间[0,π2]上有唯一解，(11分) 所以2<k ≤3，即实数k 的取值范围是(2,3].(12分)【解析】(1)求出f(x)的导函数，对k 分类讨论，利用导数求出函数的单调性，从而可判断函数极值点的个数；(2)对g(x)求导，利用导数及零点存在定理即可求得g(x)的单调性，结合条件可得k 的取值范围． 本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查方程有解求参数问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)设P(x,y)，由yx+1⋅yx−1=−1，化简得C 1：x 2+y 2=1(x ≠±1)；(2分) 由yx+1⋅yx−1=−14，化简得C 2：x 2+4y 2=1(x ≠±1)；(4分) (2)由(1)知，C 2：x 2+4y 2=1(x ≠±1)，假设存在这样的直线l ：x =my −√32，设点P i (x i ,y i )(i =1,2，3，4)则由题可知|P 1P 2|+|P 3P 4|=2|P 2P 3|， 所以|P 1P 4|=3|P 2P 3|，(5分)由{x 2+4y 2=1x =my −√32，得(m 2+4)y 2−√3my −14=0．第21页，共21页 所以y 2+y 3=√3m m 2+4,y 2y 3=−14(m 2+4)．故|P 2P 3|=√1+m 2⋅|y 2−y 3|=2(1+m 2)4+m 2，(6分) 易知|P 1P 4|=2√1−34(m 2+1)=√4m 2+1m 2+1，(7分) 故√4m2+1m 2+1=6(1+m 2)4+m 2.(8分) 令t =m 2+1≥1，则有(4t −3)(t +3)2=36t 3，令f(t)=36t 3−(4t −3)(t +3)2=32t 3−21t 2−18t +27，(10分)则f′(t)=96t 2−42t −18>0，故f(t)≥f(1)=20>0，因此(4t −3)(t +3)2=36t 3无解，(11分)所以不存在这样的直线l 满足条件．(12分)另解：由(4t −3)(t +3)2=36t 3，故(8−6t )(1+3t )(1+3t )=72≤(8+1+13)3，矛盾． 所以不存在这样的直线l 满足条件．【解析】(1)设P(x,y)，通过斜率乘积，求解切线方程即可．(2)由(1)知，C 2：x 2+4y 2=1(x ≠±1)，假设存在这样的直线l ：x =my −√32，设点P i (x i ,y i )(i =1,2，3，4)，|P 1P 2|+|P 3P 4|=2|P 2P 3|，推出|P 1P 4|=3|P 2P 3|，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，利用弦长公式，推出√4m2+1m 2+1=6(1+m 2)4+m 2，令t =m 2+1≥1，构造函数令f(t)=36t 3−(4t −3)(t +3)2=32t 3−21t 2−18t +27，利用函数的导数推出函数的单调性，说明(4t −3)(t +3)2=36t 3无解推出结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，函数导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．。
重庆第二外国语学校2020年高二数学文下学期期末试卷含解析
重庆第二外国语学校2020年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．2. 已知在半径为4的球面上有A、 B、 C、 D四个点，且AB=CD=4，则四面体ABCD体积最大值为（）A． B． C． D．参考答案：D略3. 用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是（）A. ①与②的假设都错误B. ①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误D. ①的假设错误，②的假设正确参考答案：C分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①的命题否定为，故①的假设正确.或”的否定应是“且”②的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.4. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．－1 B．2 C．3D．0参考答案：C5. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C﹣ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）A．B．C．D．参考答案：【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三棱锥的正视图和俯视图确定三棱锥的侧视图，根据侧视图的结构计算面积即可．【解答】解：取BD的中点E，连结CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，∵BD=，∴CE=AE=，∴△CEA的面积S=，故选：B．【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，根据三棱锥的结构得到三棱锥的侧视图是解决本题的关键．6. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A. 61.5万元B. 62.5万元C. 63.5万元D. 65.0万元参考答案：【分析】先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据回归直线经过样本中心点，求出，得到线性回归方程，把代入即可求出答案。
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高2022级高二下期第二次周周清一、单项选择题（本大题共6小题，共30分）
1.曲线f(x)=sinxcosx在点(π
6,f(π
6
))处的切线斜率为()
A. −√3
2B. −1
4
C. 1
4
D. 1
2
2.函数f(x)=x3−3x+1的递减区间为()
A. (−∞,−1)
B. (−1,1)
C. (1,+∞)
D. (−∞,−1),(1,+∞)
3.已知函数f(x)的导函数是f′(x)，f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是()
A.函数f(x)在(−2,−1)上单调递减
B.B. 函数f(x)在x=3处取得极大值
C. 函数f(x)在(−1,1)上单调递减
C.D. 函数f(x)共有4个极值点
4.函数f(x)=lnx
x
的极大值为
A. −e
B. 1
e
C. 1
D. 0
5.当x在(−∞,+∞)上变化时，导函数f′(x)的符号变化如下表：
x(−∞,1)1(1,4)4(4,+∞)
f′(x)−0+0−
则函数f(x)的图象的大致形状为()
A. B. C. D.
6.已知函数f(x)=1
3
ax3+ax2+x+1在R上为增函数，则实数a的取值范围是
A. [0,+∞)
B. (0,1)
C. [0,1]
D. [0,1)
二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分）
7. 以下函数求导正确的是( )
A. 若f (x )=x 2−1x 2+1，则f′(x )=4x
(x 2+1)2 B. 若f (x )=e 2x ，则f′(x )=e 2x
C. 若f (x )=√2x −1，则f′(x )=
1√2x−1 D. 若f (x )=cos (2x −π3)，则f′(x )=−sin (2x −π3)
8. 已知函数f(x)的定义域为[−1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y =f′(x)的图象如图所示．
下列关于函数f(x)的说法正确的是( )． A. 函数f(x)的值域为[1,2]
B. 函数f(x)在[0,2]上是减函数
C. 如果当x ∈[−1,t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4
D. 当1<a <2时，函数y =f(x)−a 最多有3个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
9. 若曲线f(x)=2ax 3−a 在点(1,a)处的切线与直线2x −y +1=0平行，则实数a 的值为________． 10. 已知函数f(x)的定义域是[−1,5]，部分对应值如下表所示．f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小
值为________．
x
−1 0 2 4 5 f(x) 1 2 0 2 1
11. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2，当x =1时，有极大值3，则a +b 的值为________．
12. 已知函数f(x)=x −1−lnx ，对定义域内任意x 都有f(x)≥kx −2，则实数k 的取值范围是________．
四、解答题（本大题共3小题，共36分）
x
−1 0 2 4 5 f(x) 1 2 1.5 2 1
13.已知函数f(x)=x3−3x2+1．
(1)求f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间以及极值；
14.已知函数f(x)=xe x，e为自然对数的底数．
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求函数y=f(x)的单调区间．
(3)若方程f(x)=k有两个根，求k的取值范围。
15.设函数f(x)=lnx+x2−2ax+a2，a∈R．
(1)当a=0时，曲线y=f(x)与直线y=3x+m相切，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[1,3]上存在单调递增区间，求a的取值范围．
参考答案
DBCBCC AC AB
9. 1
3
10. 0 11. 3
12. (−∞,1−1
e2
]
13.【答案】解(1)f′(x)=3x2−6x，∴f′(1)=3⋅12−6⋅1=−3，而f(1)=13−3⋅12+1=−1，
∴f(x)在x=1处的切线方程：y+1=−3(x−1)，即3x+y−2=0；
所以f(x)在x=1处的切线方程：3x+y−2=0；
(2)，由(1)得，f′(x)=0，x=0，或x=2，x∈(−∞,0)和(2,+∞)，f′(x)>0，x∈(0,2)，f′(x)<0，所以极大值f(0)=1，极小值f(2)=−3，
所以函数的极大值为1，极小值−3；
14.【答案】解：(1)f’(x)=(x)’⋅e x+x⋅(e x)’=e x⋅(1+x)，
k=f’(1)=e1⋅(1+1)=2e，f(1)=1×e1=e，
曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即2ex−y−e=0．
(2)由f(x)的导数可得：
y=f(x)的减区间为(−∞,−1)；
函数y=f(x)的增区间为(−1,+∞)；
(3)−1
e
<k<0
15.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=lnx+x2，x∈(0,+∞)，
f′(x)=1
x
+2x>0，
令f′(x)=3，解得：x=1或x=1
2
，
代入f(x)得切点坐标为(1,1)，或(1
2,1
4
−ln2)，
将切点坐标代入直线y=3x+m，解得：m=−2或m=−5
4
−ln2；
(2)f′(x)=1x +2x −2a =2x 2−2ax+1x ，x ∈[1,3]，
设g(x)=2x 2−2ax +1，
假设函数f(x)在[1,3]上不存在单调递增区间，必有g(x)≤0，
于是{g(1)=3−2a ≤0g(3)=19−6a ≤0
，解得：a ≥196， 故要使函数f(x)在[1,3]上存在单调递增区间，
则a 的范围是(−∞,196).。