广西南宁市第三中学2020届数学中考模拟试卷

广西南宁市第三中学2020届数学中考模拟试卷一、选择题1．若x+y ＝3且xy ＝1，则代数式（1+x ）（1+y ）的值等于（ ） A.5B.﹣5C.3D.﹣32．下列运算中，正确的是（ ）A ．（﹣x ）2•x 3＝x 5B ．（x 2y ）3＝x 6y C ．（a+b ）2＝a 2+b 2 D ．a 6+a 3＝a 23．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有（ ）个“O”A.28B.30C.31D.344．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，下列等式中不一定成立的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠3=∠5C ．∠BAD=∠DCED ．∠4=∠65．实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a b >B ．0a b +>C ．0ac >D ．a c >6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，把矩形折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点E 处，则折痕FG 的长为（ ）A ．2.5B ．3C D ．7．已知在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 是边BC 的中点，BC 的延长线上的点N 满足AM ⊥AN ．△ABC 的内切圆与边AB 、AC 的切点分别为E 、F ，延长EF 分别与AN 、BC 的延长线交于P 、Q ，则PNQN＝（ ） A ．1B ．0.5C ．2D ．1.58．如果a+b ＝12，那么a b a b b a+--22的值是（ ） A ．12B ．14C ．2D ．49．在平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （2﹣a ，0），且A 在B 的左边，点C （1，﹣1），连接AC ，BC ，若在AB ，BC ，AC 所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a 的取值范围为（ ） A ．﹣1＜a≤0B ．0≤a＜1C ．﹣1＜a ＜1D ．﹣2＜a ＜210．将分别标有“天”“鹅”“之”“城”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“天鹅”的概率是( ) A ．16B ．34C ．12． D ．3811．如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ＝15，CD ⊥AB 于M ，如果sin ∠ACB ＝，则AB ＝（ ）A.24B.12C.9D.612．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题13．因式分解：2981y -=__________．14．不等式组()121231x x x +≤⎧+>-⎨⎩的解集为______．15．合并同类项：8m 2﹣5m 2﹣6m 2=_____． 16．计算：（12a 3﹣6a 2）÷（﹣2a ）=_______． 17．如果分式有意义，那么x 的取值范围是_____．18．如图，某人从点A 出发，前进5m 后向右转60°，再前进5m 后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A 时，共走了_____m ．三、解答题19．(1)计算：﹣π)0﹣4cos45°﹣|﹣3|； (2)解分式方程：4122x x =-+.20．汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元/辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆． （1）若要平均每周售出汽车不低于15辆，该汽车的售价最多定为多少万元？（2）该店计划下调售价，尽可能增加销量，减少库存，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？21．学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元． （1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？ 22．已知四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，148BCD ∠=︒.（Ⅰ）如图①，若E 为AB 上一点，延长DE 交O 于点P ，连接AP ，求APD ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点A 作O 的切线，与DO 的延长线交于点P ，求APD ∠的大小.23．九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．（1）九年级一班有多少名学生？（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）交x 轴于点A （2，0），B （﹣3，0），交y 轴于点C ，且经过点d （﹣6，﹣6），连接AD ，BD ． （1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点M 为X 轴上方的抛物线上一点，能否在点A 左侧的x 轴上找到另一点N ，使得△AMN 与△ABD 相似？若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点（不与A ，D 重合），过点P 作PQ ∥y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）25．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．甲车中途因故停车一段时间，之后以原速维续行驶到达目的地B ，此时乙车同时到达目的地A ，如图，是甲、乙两车离各自出发地的路程y （km ）与时间x （h ）的函数图象．（1）甲车的速度是 km/h ，a 的值为 ； （2）求甲车在整个过程中，y 与x 的函数关系式； （3）直接写出甲、乙两车在途中相遇时x 的值．【参考答案】*** 一、选择题13．()()933y y +- 14．x≤1. 15．﹣3m 2 16．﹣6a 2+3a 17．x≠3 18．30 三、解答题 19．(1)-2；(2)x=-103.. 【解析】【分析】（1）本题涉及零指数幂、二次根式化简、特殊角三角函数、绝对值化简等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）通过去分母，两边同乘以（x+2）（x-2），即可将原分式方程转化为一个整式方程，解整式方程后要注意检验，即可得到正确结果． 【详解】（1）原式＝+1﹣4×2﹣3＝1﹣3＝﹣2； （2）方程两边同乘以(x+2)(x ﹣2)，得4(x+2)＝x ﹣2， 解得：x ＝﹣103， 检验：将 x ＝﹣103代入(x+2)(x ﹣2)中， (x+2)(x ﹣2)≠0 ∴x ＝﹣103是原分式方程的根． 故原分式方程的根为 x ＝﹣103． 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力以及解分式方程．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算．20．（1）若要平均每周售出汽车不低于15辆，该汽车的售价最多定为13.25万元；（2）每辆汽车的售价定为12万元更合适． 【解析】 【分析】（1）设汽车的售价为x 万元，由题意可得每周多售出1520.5x-⨯辆车，再根据每周售出汽车不低于15辆列出方程求得即可；（2）设每辆汽车售价y 万元，根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元，列方程求出y 的值并结合尽可能增加销量的要求选出合适的售价即可。

【详解】（1）设汽车的售价为x 万元，由题意得：1528150.5x-⨯+≥ 解得13.25x ≤答：若要平均每周售出汽车不低于15辆，该汽车的售价最多定为13.25万元. （2）每辆汽车的售价为y 万元，由题意得：15(10)82400.5y y -⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭化简，得y 2﹣27y+180＝0解得：y 1＝12，y 2＝15， 由于希望增大销量，定价12万元售价更合适 答：每辆汽车的售价定为12万元更合适． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数=40万元是解决问题的关键．21．（1）甲单价为40元/件，乙单价为30元/件；（2）600件甲种奖品、1200件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是60000元 【解析】 【分析】（1）设甲种奖品的单价为x 元/件，乙种奖品的单价为y 元/件，根据“购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种奖品m 件，则购买乙种奖品（1800﹣m ）件，设购买两种奖品的总费用为w ，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，可得出关于m 的一元一次不等式，解之可得出m 的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w 关于m 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）设甲种奖品的单价为x 元/件，乙种奖品的单价为y 元/件，依题意，得：3025195015351650x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：4030x y =⎧⎨=⎩．答：甲种奖品的单价为40元/件，乙种奖品的单价为30元/件．（2）设购买甲种奖品m 件，则购买乙种奖品（1800﹣m ）件，设购买两种奖品的总费用为w ， ∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍， ∴1800﹣m≤2m， ∴m≥600．依题意，得：w ＝40m+30（1800﹣m ）＝10m+54000， ∵10＞0，∴w 随m 值的增大而增大，∴当学习购买600件甲种奖品、1200件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是60000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w 关于m 的一次函数关系式．22．（Ⅰ）；58APD ∠=︒；（Ⅱ）26APD ∠=︒. 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接BD ，根据圆内接四边形的对角互补得出BAD 32∠=︒，再根据直径所对的圆周角是直角得出ADB 90∠=︒，从而求出ABD ∠，再根据同弧所对的圆角角相等即可得出APD ∠的度数. （Ⅱ）连接AD,根据等腰三角形的性质，可得ADO OAD 32∠∠==︒，再根据切线的性质和三角形即可得出APD ∠度数. 【详解】 解：（Ⅰ）连接BD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴BCD BAD 180.∠∠+=︒ ∵BCD 148,∠=︒ ∴BAD 32.∠=︒ 又AB 是O 的直径，∴BDA 90.∠=︒∴BAD ABD 90,∠∠+=︒ ∴ABD 58.∠=︒∴APD ABD 58.∠∠==︒（Ⅱ）连接AD,由（Ⅰ）可知：BAD 32,∠=︒又OA OD =，可得ADO OAD 32,∠∠==︒ ∵DP 切O 于点A,∴OA PA ⊥，即PAO 90.∠=︒ 则PAD PAO OAD 122,∠∠∠=+=︒ 在APD 中，∵PAD ADO APD 180,∠∠∠++=︒ ∴APD 26∠=︒. 【点睛】本题考查了圆内接四边形定理、圆周角定理、切线的性质等知识，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键.23．（1）40人；（2）15%；（3）16【解析】 【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数； （2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率. 【详解】解：（1）∵喜欢散文的有 10 人，频率为 0.25， ∴总人数=10÷0.25=40（人）；（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比 640×100%=15%，（3）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是丙与乙的情况有 2 种， ∴P （丙和乙）=21126． 【点睛】本题考查了用列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.24．（1）2113442y x x =--+；（2）30,2M ⎛⎫⎪⎝⎭ 或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，点(2N - 或(2 或（﹣3，0）或5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）125 .【解析】 【分析】（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x ﹣2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB ＝∠BAD 、∠MAB ＝∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）QH ＝PHcos ∠PQH ＝22441133314125544242555PH x x x x x ++⎛⎫=---=-- ⎪⎝+⎭，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x ﹣2）（x+3）， 将点D 坐标代入上式并解得：a ＝14-， 故函数的表达式为：y ＝2113442x x --+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB ＝5，AD ＝10，BD ＝ ， ①当∠MAB ＝∠BAD 时，当∠NMA ＝∠ABD 时，△AMN ∽△ABD ， 则tan ∠MAB ＝tan ∠BAD ＝34， 则直线MA 的表达式为：y ＝﹣34x+b ， 将点A 的坐标代入上式并解得：b ＝32，则直线AM 的表达式为：y ＝﹣34x+32…②，联立①②并解得：x ＝0或2（舍去2），即点M 与点C 重合，则点M （0，2），则AM ＝，∵△AMN ∽△ABD ，∴AN AMAD AB，解得：AN ＝，故点N （2﹣，0）；当∠MN′A＝∠ABD 时，△ANM ∽△ABD ，同理可得：点N′（2，0），即点M （0，32），点N （2﹣，0）或（2，0）； ②当∠MAB ＝∠BDA 时， 同理可得：点M （﹣1，32），点N （﹣3，0）或（﹣54，0）；故：点M （0，32）或（﹣1，32）， 点N （2﹣，0）或（2，0）或（﹣3，0）或（﹣54，0）；（3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH ＝34，则cos ∠PQH ＝45，则直线BD 的表达式为：y ＝34x ﹣32，设点P （x ，2113442x x --+），则点H （x ，3342x --）， 则QH ＝PHcos ∠PQH ＝45PH ＝2411333544242x x x ⎛--+-+ ⎝）＝21412555x x --+，∵15-＜0，故QH 有最大值，当x ＝﹣2时，其最大值为125．【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．25．（1）80,1.5;(2)()()()8001 801 1.58040 1.52y x x y x y x x ⎧=≤≤⎪=≤≤⎨⎪=-≤≤⎩；(3)43. 【解析】 【分析】()1根据题意和函数图象中的数据可以求得甲车的速度和a 的值；()2根据函数图象中的数据可以求得甲车甲车在整个过程中y 与x 之间的函数关系式； ()3根据题意，乙车行驶80千米所用时间即为甲、乙两车在途中相遇时x 的值．【详解】解：()1由题意可得，甲车的速度是：80180km /h ÷=，()a 1212080 1.5=+-÷=，故答案为：80，1.5；()2当0x 1≤≤时，y 80x =；当1x 1.5≤≤时，y 80=，；当1.5x 2≤≤时，设甲车再次行驶过程中y 与x 之间的函数关系式是y kx b =+，{1.5k b 802k b 120+=+=，解得{k 80b 40==-，即甲车再次行驶过程中y 与x 之间的函数关系式是y 80x 40=-． 故甲车甲车在整个过程中y 与x 之间的函数关系式为：()()()y 80x 0x 1y 801x 1.5y 80x 40 1.5x 2⎧=≤≤⎪=≤≤⎨⎪=-≤≤⎩；()3乙车的速度为：120260(÷=千米/时)，48060(3÷=小时)，甲、乙两车在途中相遇时x的值为43．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．。