北京高三理科解三角形大题专题带答案
实用文档解三角形大题专题20141513 分）（．（本小题满分石景山一模）B，Ca，b，cA，ABCca?b?Asin2b3a?中，角．，的对边分别为，且在△B的大小；（Ⅰ）求角c ABC2a?7?b的面积．，求边的长和△（Ⅱ）若，13201415分）（．（本小题满分西城一模）222 aBACbcABC bca?b?c?．在△中，角，，所对的边分别为．已知，，A的大小；（Ⅰ）求6b?2?Bcos ABC 的面积．，（Ⅱ）如果，求△3标准文案．实用文档（2014海淀二模）15.（本小题满分13分）A7sina?2ABC?b?21. 且在锐角中，B的大小；（Ⅰ）求c c3a?的值（Ⅱ）若.，求20151513 分）西城二模）（．（本小题满分 b 3 a C ABC AB ab c 7，，＝，所对的边分别为＝在锐角△中，角，，，，已知．A 的大小；（Ⅰ）求角ABC 的面积．（Ⅱ）求△标准文案．实用文档（2013丰台二模）15．（13分）2(B?C)?32sinsin2A.的三个内角分别为已知A,B,C,且ABC?（Ⅰ）求A的度数；BC?7,AC?5,求（Ⅱ）若的面积S. ABC?20141513 分）（．（本小题满分延庆一模）?3c,a,b,AB,C?C?Bcos2ABCa?．在三角形中，角，且所对的边分别为，，45Asin的值；（Ⅰ）求ABC?的面积．（Ⅱ）求标准文案．实用文档（2015顺义一模）15.（本小题满分13分）?6ABC??32,sinBb?B?A?c,a,bA,B,C. 在已知,中角,所对的边分别为, 32a; (I)求的值Ccos. 的值(II)求分）15）（本小题共13（2016东城一模）（2???A?cosB?22BC?2?ACABC．中，，且在△，2AB（Ⅰ）求的长度；3?y)()?Cy?xf(fx)?sin(2x相邻交点间的最小距离．，求（Ⅱ）若与直线2标准文案．实用文档分）（本小题满分13（2015延庆一模）15.?ABC??ABC?BC?2. 中，,?25AC5AB??cos的长度；求（Ⅰ）若，, 52?????BAC)(f)(AB?f的最大值，（Ⅱ）若，求.6（2016西城一模）15．（本小题满分13分）?sinB?3sinCbCABC△ca?ABA．，，所对的边分别为，在，中，角，，设3b7a?的值；，求（Ⅰ）若tanC的值．（Ⅱ）求标准文案．实用文档13 分）（本小题满分朝阳二模）（201415.2πcaA?ACb?bABC△3△ABC的面中，角，且，，，的对边分别是在，，，B3315 ．积为4a I 的边长；（）求边Bcos2 II的值．（）求（2015东城一模）（15）（本小题共13分）73?cosCABCABCb2?的面积为在△．中，，△，44a（Ⅰ）求的值；A2sin（Ⅱ）求值．标准文案．实用文档分）海淀二模）（15）（本小题满分13（20156362b?A?cosa5??ABCc . ，中，，在2a的值；（Ⅰ）求A??2?B（Ⅱ）求证：.2014（顺义一模）15.（本小题共13分）c、ba、AB、C、?ABC)sincosA?A3sinA(，且满足已知中，角所对的边分别为3?2A；）求角（132?Sc、b22a?）若的值，，求（2ABC?标准文案．实用文档（2015石景山期末）15．（本小题共13分）?27CE?EDAAB?AD??ADC ABCD为，如图所示，在四边形，中，；3?2EA?1DE???BEC.，，边上一点，3∠CED的值；（Ⅰ）求sin BE的长．（Ⅱ）求15132015分）．朝阳二模）（本小题共（ABCD中，在梯形AC的长；（Ⅰ）求ABCD的高．（Ⅱ）求梯形标准文案．实用文档分）（本小题共13（2015丰台二模）15.?BC?2530?A?ABCBCDCD?2ABD，，在△中，点且在为锐角，，边上，BCD的面积为4．△cos?BCD的值；（Ⅰ）求（Ⅱ）求边AC的长．（2016海淀一模）15．（本小题满分13 分）AD1???，∠上，且在边AB＝BCD＝．记∠ACD．ABC 如图，在△中，点D3DB?sinAC?；（Ⅰ）求证：?3sinBC????19??,,?AB，求（Ⅱ）若BC 的长．26标准文案．实用文档（2015房山一模）15．（本小题共13分）?2x?1(x?2cos?R(fx)?sin(2x?)).已知函数6f(x)的单调递增区间；（Ⅰ）求1??ABCABC?Afc,B,Ca,b,A且△，已知中，三个内角，的对边分别为（Ⅱ）在△2 a3. ，求外接圆的半径为的值分）15石景山一模）．（本小题满分13（2013?)?cos2(fx)?sin(2x?x．已知函数6f(x)的单调递增区间；（Ⅰ）求函数?3?)f(AB?a?2，，．已知,cbaCBA中，△（Ⅱ）在ABC内角、、的对边分别为、、23的面积．ABC求△标准文案．实用文档分）（13（2013朝阳二模）15.AAA2ABC?sin?A)?2cos?)?sin(f(cb,a,CB,A,且，在△所对的边分别为中，222A2cos. 2)A(f的最大值；（Ⅰ）求函数??6?,a)?0,C?f(A的值．，求（Ⅱ）若b1213分）东城一模）15. （本小题共（2014sinA3cosB ABC??在中，ab B 的值；）求角（1b?2?ABC面积的最大值）如果（2，求标准文案．实用文档（2013东城一模）（15）（13分）bABCC ca BA bsinA?3acosB．中，三个内角，，，在△的对边分别为，，且B；（Ⅰ）求角ac32b?的最大值．（Ⅱ）若，求（2014丰台二模）（15）（本小题满分13分）22o cb,a,3??ab?ab60?C. , B∠C的对边长分别为且,,∠AABC已知△中，∠,的值；（Ⅰ）求c ba?. （Ⅱ）求的取值范围标准文案．实用文档2014 石景山一模）（1513 分）．（本小题满分Asin2b3a?，解：（Ⅰ）因为..............................2 ABsin3sinA?2sin分，所以?sinA?00?A?，，所以因为3..............................4 ?sinB分所以，2?a?b??B?c0 (6)60?B分，所以因为．，且2a?7b?，，（Ⅱ）因为1222??c2?2c(7)?2??203?2cc??，所以由余弦定理得，即2c?3c??1（舍），或解得c3..............................10 分边的长为所以．11333 (13)S=acsinB??2?3??分．ABC?22222014 西城一模）（1513分）．（本小题满分222bca?c?b?，（Ⅰ）解：因为2221??cabcosA??………………………………3 分，所以2bc2A?(0,π)，又因为π?A……………………………… 5 分．所以36B?(0,π)cosB?（Ⅱ）解：因为，，332……………………………7Bcos?B?1?sin所以．分3ab?………………………………9 由正弦定理分，BsinsinAAsinb?a?3……………………………10得分．Bsin222bca?b?c?，因为2 0?5cc?2?，所以标准文案．实用文档61?c?，解得0?c，因为……………………………111?c?6分所以．3132?ABC……………………………13 ?SA?bcsin的面积分．故△222014海淀二模）（ba?----------------------------2分15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得BsinsinA21??a27sinA,b 因为3AsinA21sinb?B??sin 分---------------------------5 所以2aAsin2760?BABC?---------------------------7分在锐角中，222Baccosb??a2?c 分----------------------------9 （Ⅱ）由余弦定理可得c3a?又因为22223??3c21?9c?cc -------------------------------11所以分，即3c?-------------------------------12分解得2221ab??c?90A???A0cos?经检验，由可得，不符合题意，bc2723c?分舍去.--------------------13所以西城二模）（2015标准文案．实用文档（2013丰台二模）2 .2AC?)?32sinsin(B （Ⅰ）15．解:2AAcosA?23?2sinsin 分……………………….2 ,3??tanAsinA?3cosA,0,sinA??……………………….4分,?60?A?A??,0 .6分°. ……………………222 ?ACABBC??AC?AB?ABC?60 2cos , （Ⅱ）在中,5,AC?BC?7,228AB?,??5AB24?0??AB?AB49???255,AB3?AB? .10或),(舍…………分标准文案．实用文档311 3??5?608??S??10sinAB?AC?…………………….13分. ABC?222 延庆一模）（2014 1513分）．（本小题满分43??sinBcosB? ……………………1分解：（Ⅰ），55)sin(B?CsinA??........................2分CsincosB?sinBcosC? (4)分274232……………………6分?????105252ab? ……………………8分（Ⅱ）AsinsinB2b??427，51028……………………10分??b71C?absin?S……………………11分，ABC?22218 ???2?2728?………………………………13分7顺义一模）（2015?ABC??AB?,中,因为15.解:(I)在2?????BB?A?,即…….............................................................2分, 所以22??????Bcos???sin?BsinsinA?B??分所以..........................................4????22????2????362???sin1????B1分...........................................5????33??标准文案．实用文档3?23Absin ba3?3a???. ,...........................7得分由正弦定理BsinAsin Bsin63???AB???AB,即,(II)因为22BA为锐角,所以. 为钝角3?sinA, 可知,由(I)32??632A?1?sin??cosA?1 ...........................................9分所以. ????33??63,cosB???sinB, 又...........................................10分33?????BA?cosA?B?cosC?cos????所以...........................................11分??...........................................12分??cosAcosB?sinAsinB??3636??????????3333??22.? 3...........................................13分（2016东城一模）（15）（本小题共13分）2????????coscosC?cos??BA?BAQ??解：（Ⅰ）??2C?45?0……3分BC?22Q AC?2，，22222?AB?AC?BC?2AC?BCcosC?(22)?2?82cos45?40?AB?2……7分?3)x??sin(2)(fx?，由（Ⅱ）24标准文案．实用文档??2?????2kk?2x??2x??2Z?k或解得，，3443?5?Z?k,k??x??kx?k?解得或，. 2112212424??x?x?(k?k)≥??kk?因为，当时取等号,211221663??x)f(时，相邻两交点间最小的距离为所以 . 当…………13分262015延庆一模）（ 13分）15. （本小题满分?25 ?cos，解：（Ⅰ）52?253?22?)?1??1?2cos??2cos(…………………2分525?222?cosBC?2ABAB?BC??AC?3?2?5??25?4?2517? (5)分?AC?17……………………6分??5?? ???,???BAC?BCA,?ABC………………7（Ⅱ）分66ABBC2???4???15 9分……………………?sin)sin(?266?5?)?AB4sin(??，6??55???)(0,?4sin(??(?f),)分……………………10 66??55?)??(0,，66???5??????时，即时当362?)(f4…………………………13分的最大值为（2016西城一模）15．（本小题满分13分）标准文案．实用文档(1)解：因为，CB?3sinsinabc，得，由正弦定理cb?3??sinAsinBsinCπ22222及由余弦定理，，得A2bc?c??bcccosa??7?bb7a??A32bb22.，解得所以7?b?()?3b?33ππ2 ，）解：由，得（2?AC?B?332π．所以C?3sin?Csin() 331，即C3sin?sinC?Ccos2235，所以CcosC?sin223所以．tanC?5 （2014朝阳二模）15．（本小题满分13分）11??153bcS?sinAⅠ?sin?cS??3．）由解：（得，ABC?ABC?22345c?．所以??222?49523a??5??3??cos222Aa?b?c2?bccos，由得，3a?77 分．...............所以73?ab?sinBⅡ，（得，）由3sinAsinB2 33?sinB．所以14712?B?2sin?cos2B113 分．所以 (98)（东城一模）2015标准文案．实用文档海淀二模）（2015分）15）（共13（63A?cosa解：（Ⅰ）因为，2222a36b??c??a分………………3 所以. bc2262b?5c?因为，，20??340a?3a49?. 所以493a??a? 6分………………（舍）. 解得：，或362?A?3?cos. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：36312?A?cos2A?2cos1分………………9 所以. 36?2b5c?a?3，，，因为2221?cba??Bcos?分………………11 所以.3ac2B?coscos2A分………………12 所以.ab??c因为，标准文案．实用文档?)?(0,A. 所以3)?B?(0,，因为?B?2?A. ………………13分所以)?A?(0,，另解：因为32??cosAsinA?1. 所以3263?. 由正弦定理得：sinB3322?sinB.所以32362sin2A?2???sinB?所以………………12分. 333c?b?a，因为 ??)(0,B?)A?(0,所以，. 32?B?2?A. 所以………………13分（2014顺义一模）?131?cos2Asin2A?1??)sin(2A?分————即5226???11??A0?Q?2??A??，666?????A???sin(2A)1A2???得分，由———73662标准文案．实用文档石景山期末）（2015 分）．（本小题共1315?CED???CED .（Ⅰ）设在中，由余弦定理，得222CDEcos?CD??CDDE?DE??CE2 2分…………………2 4分．…………………＝2(CD＝－3舍去)得CDCD＋－6＝0，解得CD21?CEDsin?CED?分…………………在6 中，由正弦定理，得7 72???cos?）（0?，分（Ⅱ）由题设知…………………，所以873?2???AEB?，所以而3???222???（?coscos??=cos）cosAEB?sinsin333732112713?????cos??sin??=?分………………11. 147722222 74?BE?EAB?Rt 13分…………………在中，. AEBcos?（2015朝阳二模）1513 分）．（本小题共．由正弦定理得：，所以中，因为解：（Ⅰ）在．，即，中，由余弦定理得：（Ⅱ）在．整理得，解得（舍负）标准文案．实用文档的高．于，则为梯形过点作．因为，所以，．在直角中，．即梯形的高为（2015丰台二模）15.（本小题共13分）14BCD??sinS??BC?CD解：（Ⅰ）因为，BCD?252?sin?BCD所以．5BCD?为锐角，因为5252??()cos?BCD?1分………………6 ．所以55222BCD??cosBCDB?CD??2CD?BC BCD?（Ⅱ）在中，因为，4?DB所以．222BCCD?DB?因为，??90?CDB所以．ACD?所以为直角三角形．?30A?44AC?2CD?AC?．，所以分………………13，即因为2016海淀一模）（．解：（Ⅰ）15ADACACD??中，由正弦定理,有2分…………………在?sin?ADCsin BDBC BCD??有中，由正弦定理分…………………4 在,?sinsin?BDC BDCsin??sinBDC?ADC???π?ADC分因为…………………6所以,?sin1ACAD?? 7分…………………所以, 因为?3sin3BCDBππ????, （Ⅱ）因为，62标准文案．实用文档πsin3AC2??由（Ⅰ）得 (9)分π2BC3sin60?k3k,AC?2k,BC?,由余弦定理设,222ACB?ABBC?AC??BCcos?2AC?分…………………11π222cos??3kk?2?2k19?4k?9, ,得到代入331BC?k?,所以解得13分. …………………2015房山一模）（ 13分）15．（本小题共?132………………2解：分（Ⅰ）∵xcos2?cos2xxx)?sin(2?)?2cos?x?1?sin2xf(22613?………………3分= xcos2?x?2sin)?sin(2x226?????????Z由 ) 5分Z)得，??k?x??(?2kx?2???2??kk(k?k63262???? 7 ∴的单调递增区间是分Z) ………………)(xf??kk?]([?,k63????1??（Ⅱ）∵，，?0?A?(fA)??22)?A??sin(2A?62666??5于是?2A?66?分∴……………10?A3ABC?3∵外接圆的半径为aR?2由正弦定理，得Asin3?3A?2Ra??32sin分……………13，22013石景山一模）（分）15．（本小题满分13?x?sin(2)(fx?x)cos2?解：（Ⅰ）6标准文案．实用文档???cos2sinx?cos2x?sin2xcos6633x??cos2sin2x分 (122)31)x2x?cos2?3(sin22?)?3sin(2x? 3分…………3?????kk??2x??+2+2令232??5??kx?+k+??分 (5)1212??5????)k??，+kZ+k()xf( 6的单调递增区间分函数…………. ??1212???31?)f(A)=A?sin(2（Ⅱ）由，，223??52???0?A???2AABC?A内角，由题意知因为，所以为3333??5???2A?A…………8分因此，解得．634ba?6?b…………10分由正弦定理，得，BAsinsin??26??Csin?B?A 12，由，可得由分，…………4343??23611…………13分∴．?2???s?absinC6?2422（2013朝阳二模）13分）（15）（本小题满分AAAA22cosA)sin???2cossinf(解：（Ⅰ）因为2222?)A?cosA?2sin(??sinA.4?A0??A为三角形的内角，所以，因为??????A??. 所以444标准文案．实用文档??3?2A?A??)Af(所以当时，………6分取得最大值，且最大值为，即. 424??0)sin(?0A?(A)?2sin(A??)f（Ⅱ）由题意知，所以．44???????0A???A?A??，所以又因为，所以．44444????C?B又因为．，所以123?sin6?ba Bsina3?3???b…………．得，由正弦定理分13?BsinsinA Asinsin4东城一模）（2014 1513分）．（共baB3cossinA?，解：⑴因为，?BAsinsinba．，所以3tanBsin=3cosBB=)π(0B?，．因为π=B ．所以3π=B ，⑵因为32221a??cb ?cosB?，所以22ac 2?b，因为22，所以ac?2ac=?a4?c ca? 4?ac时，等号成立），所以（当且仅当1acS?，所以，3sinB?ABC△2ABC△．所以面积最大值为3（2013东城一模）13分）（15）（共BbsinA?3acos，解：（Ⅰ）因为Bcos3sinA?sinBsinA由正弦定理可得，ABC0?Asin中，，因为在△3tanB?. 所以??0B?又，??B所以.3标准文案．实用文档222Bcosca??2acb?，（Ⅱ）由余弦定理??B3?2b，因为，322ac?a?c12?所以.22ac2a?c?，因为12ac?.所以ac1232ca??时，当且仅当取得最大值.（2014丰台二模）标准文案．。
解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以62cos cos(4530)4CBE +=-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE=-+．故2sin 30cos15AE =122624⨯=+62=-． 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
解三角形(解答题)(2018-2022)高考真题汇编(新高考卷与全国理科)
解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题(共26题；共255分)1．（10分）在 △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知 4a =√5c ，cosC =35．（Ⅰ）求 sinA 的值；（Ⅰ）若 b =11 ，求 △ABC 的面积．2．（10分）记 △ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为 S 1，S 2，S 3 ，已知 S 1−S 2+S 3=√32，sinB =13．（1）（5分）求 △ABC 的面积；（2）（5分）若 sinAsinC =√23，求b ．3．（10分）记 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) ．（1）（5分）若 A =2B ，求C ； （2）（5分）证明： 2a 2=b 2+c 2 .4．（10分）记 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) ．（1）（5分）证明： 2a 2=b 2+c 2 ；（2）（5分）若 a =5，cosA =2531 ，求 △ABC 的周长．5．（10分）在 △ABC 中， sin2C =√3sinC ．（I ）求 ∠C ：（II ）若 b =6 ，且 △ABC 的面积为 6√3 ，求 △ABC 的周长．6．（10分）记 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 cosA 1+sinA =sin2B 1+cos2B . （1）（5分）若 C =2π3， 求B ；（2）（5分）求 a 2+b 2c 2的最小值.7．（10分）已知点A(2，1)在双曲线 C ： x 2a 2−y 2a 2−1=1(a >1) 上，直线 l 交C 于P ，Q 两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）（5分）求l的斜率；（2）（5分）若tan∠PAQ=2√2，求PAQ的面积.8．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2．（1）（5分）若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；（2）（5分）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．9．（10分）已知在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．（1）（5分）求B的大小；（2）（5分）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为SΔABC=3√34；10．（15分）在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA：sinB：sinC= 2：1：√2，b=√2．（1）（5分）求a的值；（2）（5分）求cosC的值；（3）（5分）求sin(2C−π6)的值．11．（10分）记ⅠABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c,已知b2=ac,点D在边AC 上，BDsinⅠABC=asinC.（1）（5分）证明：BD = b：（2）（5分）若AD = 2DC .求cosⅠABC.12．（10分）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）（5分）求A；（2）（5分）若BC=3，求△ABC周长的最大值.13．（10分）在①ac=√3，②csinA=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA=√3sinB，C=π6，▲ ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．（10分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=2√2,b=5,c=√13．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅰ）求sin(2A+π4)的值．15．（10分）在ⅠABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=√2,B=45°．（1）（5分）求sinC的值；（2）（5分）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值．16．（10分）在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅰ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7，cosA=−1 7；条件②：cosA=18，cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．（10分）在锐角ⅠABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝√3a．（Ⅰ）求角B；（Ⅰ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．18．（10分）在ⅠABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）（5分）若a=3c，b= √2，cos B= 23，求c的值；（2）（5分）若sinAa=cosB2b，求sin(B+π2)的值．19．（10分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅰ）求sin(2B+π6)的值.20．（10分）ⅠABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2=bsinA（1）（5分）求B；（2）（5分）若ⅠABC为锐角三角形，且c=1，求ⅠABC面积的取值范围.21．（10分）在ⅠABC中，a=3，b-c=2，cosB=- 12.（I）求b，c的值：（II）求sin（B+C）的值.22．（10分）在ⅠABC中，a=3，b-c=2，cosB=- 12.（I）求b，c的值；（II）求sin（B-C）的值.23．（10分）∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。
2023届高考数学大题专项(三角函数与解三角形)练习(附答案)
(1)若 D 为 BC 的中点,且△CDF 的面积等于△ABC 的面积,求∠ABC;
(2)若∠ABC=45°,且 BD=3CD,求 cos∠CFB.
参考答案
1.解 (1)f(0)=2cos20+sin 0=2.
(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为 π.
f(x)=2cos2x+sin 2x=(cos 2x+1)+sin 2x=√2
6.(山东潍坊一模,17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向量 m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin
A+sin C),且 m∥n.
(1)求 C;
(2)若√6c+3b=3a,求 sin A.
7.(山东模考卷,18)在△ABC 中,∠A=90°,点 D 在 BC 边上.在平面 ABC 内,过点 D 作 DF⊥BC,且
-B =4√3sin B
cos
2
sin
2
3
B+ sin B =6sin Bcos B+2√3sin2B=2√3sin 2B当 2B-
π
6
π
2π
π
π
+√3.因为 0<B< ,所以- <2B6
3
6
6
7π
.
6
π
π
,即 B= 时,△ABC 面积取得最大值 3√3.
2
3
4.解 (1)在△ABC 中,因为 a=3,c=√2,B=45°,由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=9+2
由正弦定理得,c2=a+b2.
因为 a=4,所以 b2=c2-4.
2021年北京市高考数学专题复习：解三角形(含答案解析)
（2）若a+c＝3 ，b＝2，求△ABC的面积S．
15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ， ，且 ．
（1）求sinB的值；
（2）若b＝2，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
16．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且sinA﹣sinC sinB，sinB sinC．
（1）求cosA的值；
（2）求cos（2A ）的值．
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ainB＝bcos（A ）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若b＝2，c a，求△ABC的面积．
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知（2a﹣c）cosB＝bcosC．
（1）求角B；
（2）若BD＝2DC，sin∠BAD sin∠CAD，求△ABC的面积．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6sinBsinC＝1﹣cos2C，AD为∠BAC的角平分线．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求AD的长．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 asinC＝ccosA，A∈（0， ）．
（1）求C；
（2）若c ，△4BC的面积为 ，求△ABC的周长．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＝（ b﹣c）cosA．
（1）求A；
（2）若a＝2 ，b＝2 ，求△ABC的面积．
14．在△ABC中，角A，B，பைடு நூலகம்所对的边分别是a，b，c，且2a csinB+2bcosC．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a＝3 ．
解三角形专题(高考题)练习【附答案】
解三角形专题(高考题)练习【附答案】1、在b 、c ，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
(1)解：m ∥n ⇒ 2sinB(2cos2B2－1)＝－3cos2B⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒ tan2B ＝－ 3 ……4分∵0＜2B ＜π,∴2B ＝2π3,∴锐角B ＝π3……2分 (2)由tan2B ＝－ 3 ⇒ B ＝π3或5π6①当B ＝π3时，已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ……3分∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1分②当B ＝5π6时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3)……1分∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝14ac ≤2－ 3∴△ABC 的面积最大值为2－ 3……1分5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值. 解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B …………6分 （II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a ＝c ＝ 6 6、在ABC ∆中，5cos A =，10cos B =. （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设2AB =ABC ∆的面积.（Ⅰ）解：由5cos A =，10cos B =，得02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，，所以sin sin 510A B == …… 3分因为2cos cos[()]cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=…6分且0C π<< 故.4C π=………… 7分（Ⅱ）解：根据正弦定理得sin sin sin sin 10AB AC AB B AC C B C ⋅=⇒== ………….. 10分所以ABC ∆的面积为16sin .25AB AC A ⋅⋅= 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.解：（1）由m//n 得0cos 1sin 22=--A A……2分即01cos cos 22=-+A A1c o s 21c o s -==∴A A 或 ………………4分1cos ,-=∆A ABC A 的内角是 舍去 3π=∴A ………………6分（2）a c b 3=+ 由正弦定理，23sin 3sin sin ==+A C B (8)分π32=+C B23)32s i n (s i n =-+∴B B π ………………10分23)6sin(23sin 23cos 23=+=+∴πB B B 即8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题汇编专题05三角函数与解三角形(解析版)
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题05三角函数与解三角形1．【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ） A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 【解析】因为f (x )=cos 2x −sin 2x =cos2x .对于A 选项，当−π2<x <−π6时，−π<2x <−π3，则f (x )在(−π2,−π6)上单调递增，A 错； 对于B 选项，当−π4<x <π12时，−π2<2x <π6，则f (x )在(−π4,π12)上不单调，B 错； 对于C 选项，当0<x <π3时，0<2x <2π3，则f (x )在(0,π3)上单调递减，C 对； 对于D 选项，当π4<x <7π12时，π2<2x <7π6，则f (x )在(π4,7π12)上不单调，D 错. 故选：C.2．【2021年北京7】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98， 所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 故选：D.3．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．真题汇总A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.4．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√1+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m+1，tanα=1m=y x，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝12√m+1≤3．∴d的最大值为3．故选：C．5．【2016年北京理科07】将函数y＝sin（2x−π3）图象上的点P（π4，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A．t=12，s的最小值为π6B．t=√32，s的最小值为π6C．t=12，s的最小值为π3D．t=√32，s的最小值为π3【答案】解：将x=π4代入得：t＝sinπ6=12，将函数y＝sin（2x−π3）图象上的点P向左平移s个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6，故选：A ．6．【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________． 【答案】 1 −√2 【解析】∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2故答案为：1，−√27．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.8．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ），∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2， 故答案为：π2．9．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0 则ω的最小值为：23． 故答案为：23．10．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79方法二：∵sin α=13， 当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79 ：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79， 故答案为：−7911．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sinC= ．【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2A sinC=2×√74×343√78=1．故答案为：1．12．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12， 则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π．故答案为：π．13．【2022年北京卷16】在△ABC 中，sin2C =√3sinC ． (1)求∠C ；(2)若b =6，且△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)π6 (2)6+6√3 【解析】(1)解：因为C ∈(0,π)，则sinC >0，由已知可得√3sinC =2sinCcosC ，可得cosC =√32，因此，C =π6.(2)解：由三角形的面积公式可得S △ABC =12absinC =32a =6√3，解得a =4√3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =48+36−2×4√3×6×√32=12，∴c =2√3，所以，△ABC 的周长为a +b +c =6√3+6.14．【2021年北京16】已知在△ABC 中，c =2bcosB ，C =2π3．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为SΔABC=3√34；【答案】（1）π6；（2）答案不唯一，具体见解析．（1）∵c=2bcosB，则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，∴sin2B=sin2π3=√32，∵C=2π3，∴B∈(0,π3)，2B∈(0,2π3)，∴2B=π3，解得B=π6；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得cb =sinCsinB=√3212=√3，与c=√2b矛盾，故这样的△ABC不存在；若选择②：由（1）可得A=π6，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=√3R，则周长a+b+c=2R+√3R=4+2√3，解得R=2，则a=2,c=2√3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√(2√3)2+12−2×2√3×1×cosπ6=√7；若选择③：由（1）可得A=π6，即a=b，则S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3=√3+34+√3×√32=√212.15．【2020年北京卷17】在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7,cosA=−17；条件②：cosA=18,cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32, S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74, S =15√74.【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37 由正弦定理得：asinA =csinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74.16．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值． 【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：c sinC=b sinB，∴sinC =csinB b =5×√327=5√314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37．17．【2018年北京理科15】在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−1 7．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cos B=−17，∴sin B=√1−cos2B=√1−(−17)2=4√37，由正弦定理得asinA =bsinB得sin A=asinBb=7×4√378=√32，则A=π3．（Ⅱ）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即64＝49+c2+2×7×c×1 7，即c2+2c﹣15＝0，得（c﹣3）（c+5）＝0，得c＝3或c＝﹣5（舍），则AC边上的高h＝c sin A＝3×√32=3√32．18．【2017年北京理科15】在△ABC中，∠A＝60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【答案】解：（1）∠A＝60°，c=37a，由正弦定理可得sin C=37sin A=37×√32=3√314，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C=13 14，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C=√32×1314+12×3√314=4√37，∴S△ABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．19．【2016年北京理科15】在△ABC中，a2+c2＝b2+√2ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ．∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =√2ac 2ac =√22，∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ， ∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ）=√2cos A −√22cos A +√22sin A=√22cos A +√22sin A＝sin （A +π4）． ∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．20．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2=√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22，则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22，则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22．21．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314．（2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．22．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2]（1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinxx ＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0，所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减，从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0，所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0，g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下：x （0，x 0） x 0（x 0，π2）g ′（x ） + ﹣ g （x ）↑↓因为g （x ）在区间（0，x 0）上是增函数，所以g （x 0）＞g （0）＝0进一步g （x ）＞0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c ≥0即0＜c ≤2π综上所述当且仅当c ≤2π时，g （x ）＞0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当且仅当c ≥1时，g （x ）＜0对任意x ∈（0，π2）恒成立，所以若a ＜sinxx ＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为123．【2013年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ＝2√6，∠B ＝2∠A ． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC 中，a ＝3，b =2√6，∠B ＝2∠A ， 利用正弦定理可得 a sinA=b sinB，即3sinA=2√6sin2A =2√62sinAcosA． 解得cos A =√63．（Ⅱ）由余弦定理可得 a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ，即 9=(2√6)2+c 2﹣2×2√6×c ×√63， 即 c 2﹣8c +15＝0．解方程求得 c ＝5，或 c ＝3．当c ＝3时，此时a ＝c ＝3，根据∠B ＝2∠A ，可得 B ＝90°，A ＝C ＝45°， △ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a 2+c 2＝b 2，故舍去．当c ＝5时，求得cos B =a 2+c 2−b 22ac =13，cos A =b 2+c 2−a 22bc =√63，∴cos2A ＝2cos 2A ﹣1=13=cos B ，∴B ＝2A ，满足条件． 综上，c ＝5．1．函数f (x )=cos (ωx −π3)(ω>0)的图像关于直线x =π2对称，则ω可以为（ ） A ．13B ．12 C ．23D ．1【答案】C【解析】f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)对称轴为：ωx −π3=kπ⇒π2ω−π3=kπ⇒ω=2k +23(ω>0)(k ∈Z)当k =0时，ω取值为23. 故选:C.2．在△ABC 中，∠B =45°,c =4,只需添加一个条件，即可使△ABC 存在且唯一.条件：①a =3√2； ②b =2√5；③cosC =−45中，所有可以选择的条件的序号为（ ） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③【答案】B 【解析】对于①，c =4,∠B =45°,a =3√2，所以，b 2=a 2+c 2−2accosB =10，得b =√10，所以，此时，△ABC 存在且唯一，符合题意；对于②，c =4,∠B =45°,b =2√5，所以，csinC =bsinB ，解得sinC =csinB b=√105，因为c <b ，所以，∠C <∠B ，所以∠C 为锐角，此时，△ABC 存在且唯一，符合题意；对于③，c =4,∠B =45°,cosC =−45，所以，π2<C <π，得sinC =35，进而csinC =bsinB ， 可得b =csinB sinC=2√235=10√23，明显可见，c=123<10√23=b ，与∠C >∠B 矛盾，故③不符题意.故可以选择的条件序号为：①② 故选：B模拟好题3．已知cosα=35,α是第一象限角，且角α,β的终边关于y轴对称，则tanβ=()A．34B．−34C．43D．−43【答案】D 【解析】∵cosα=35,α是第一象限角，∴sinα=√1−cos2α=45，tanα=sinαcosα=43，∵角α,β的终边关于y轴对称，∴tanβ=−tanα=−43．故选：D．4．将函数y=cos(2x+π2)的图象向右平移π2个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A．y=sin2x B．y=−sin2x C．y=cos2x D．y=−cos2x 【答案】A【解析】将函数y=cos(2x+π2)的图象向右平移π2个单位长度后，所得图象对应的函数为y=cos[2(x−π2)+π2]=cos(2x−π2)=sin2x.故选：A.5．半径为3的圆的边沿有一点A，半径为4的圆的边沿有一点B，A、B两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】设A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为n，则n×2π×3=6nπ=k×2π×4=8kπ，其中k、n∈N∗，所以，n=4k3，则当k=3时，n=4.故A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为4.故选：D.6．已知点P(cosθ,sinθ)在直线ax−y+3=0上．则当θ变化时，实数a的范围为（）A．[−2√2,2√2]B．(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞)C．[−3,3]D．(−∞,−3]∪[3,+∞)【答案】B【解析】∵点P(cosθ,sinθ)在直线ax −y +3=0上， ∴acosθ−sinθ+3=0，∴sinθ−acosθ=√1+a 2sin (θ−φ)=3，其中tanφ=a ， ∵sin (θ−φ)≤1， ∴√1+a 2≥3，即a 2≥8， 解得a ≤−2√2或a ≥2√2.故选：B.7．已知函数f(x)= cos2x +cosx ，且x ∈[0,2π]，则f(x)的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】由cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=(cosx +1)(2cosx −1)=0 可得cosx =−1或cosx =12，又x ∈[0,2π]，则x =π，或x =π3，或x =5π3 则f(x)的零点个数为3 故选：C8．已知函数f(x)=√3sin2x −2cos 2x +1，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数y =g(x)的图象，若g (x 1)⋅g (x 2)=−4，则|x 1−x 2|的值不可能为（ ） A ．5π4B ．3π4C ．π2D ．π4【答案】C 【解析】∵f (x )=√3sin2x −cos2x =2sin (2x −π6)，∴g (x )=2sin (4x −π6)， ∴g (x )的最小正周期T =2π4=π2，∵g (x )max =2，g (x )min =−2，又g (x 1)⋅g (x 2)=−4， 不妨设g (x 1)=2,g (x 2)=−2∴x 1与x 2分别对应g (x )的最大值点和最小值点， ∴|x 1−x 2|=T2+kT =π4+kπ2(k ∈Z )；当k =2时，|x 1−x 2|=5π4；当k =1时，|x 1−x 2|=3π4；当k =0时，|x 1−x 2|=π4 故选：C9．已知函数f (x )=sin (2x +φ)(0<φ<π2)，若把f (x )的图像向左平移π12个单位后为偶函数，则φ=（ ） A ．−π6 B ．−π3C ．5π12D ．π3【答案】D 【解析】由题意得：g (x )=f (x +π12)=sin (2x +π6+φ).∵g (x )为偶函数，∴π6+φ=π2+kπ(k ∈Z )，解得：φ=π3+kπ(k ∈Z ). ∵0<φ<π2， ∴φ=π3. 故选：D .10．已知△ABC ，则“sin A +cos A <1”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】解：△ABC 中，0<A <π，∵sinA +cosA =√2sin(A +π4)<1，∴sin(A +π4)<√22，∵ π4<A +π4<π+π4，∴A +π4>3π4，∴A >π2，所以△ABC 是钝角三角形，充分性成立； 若△ABC 是钝角三角形，角A 不一定是钝角，反例：A =π6,此时sin A +cos A =sin π6+cos π6>1，必要性不成立； 故选：A.11．在△ABC 中，a =2，b =√3，A =2B ，则cosB =______．【答案】√33【解析】 解：在△ABC 中，由正弦定理可得asinA =bsinB ， 即2sin2B=√3sinB ，即22sinBcosB =√3sinB ， 所以cosB =√33.故答案为：√33.12．若sinαcosβ−cosαsinβ=cos60∘，请写出一组符合题意的α､β___________.【答案】α=45°、β=15°（答案不唯一）【解析】解：因为sinαcosβ−cosαsinβ=sin(α−β)，cos60∘=cos(90∘−30∘)=sin30∘，所以sin(α−β)=sin30∘，所以α−β=30°+k×360°，k∈Z或α−β=150°+k×360°，k∈Z，不妨令α=45°、β=15°；故答案为：α=45°、β=15°（答案不唯一）13．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使cosAcosB =ba成立的一组A，B的值是________．【答案】A=B=π6（答案不唯一）【解析】由正弦定理得：a=2RsinA,b=2RsinB，∵cosAcosB =ba，∴cosAcosB=sinBsinA，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A∈(0,π),B∈(0,π)∴A=B=π6（答案不唯一）.故答案为：A=B=π6（答案不唯一）.14．若函数y=sin(2ωx+π3)的图像向右平移π6个单位长度后与函数y=cos(2ωx+π4)的图象重合，则ω的一个可能的值为___________；【答案】−54（答案不唯一）【解析】解：将函数y=sin(2ωx+π3)的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数y=sin[2ω(x−π6)+π3]=sin(2ωx−πω3+π3)=sin[(2ωx−πω3−π6)+π2]=cos(2ωx−πω3−π6)的图像，即y=cos(2ωx−πω3−π6)与函数y=cos(2ωx+π4)的图像重合，即−πω3−π6=π4+2kπ，k ∈Z ，所以ω=−6k −54，k ∈Z ，故答案为：−54（答案不唯一）．15．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0)与直线y =12的交点中，距离最近的两点间距离为π3，那么此函数的周期是___________. 【答案】kπ且k ∈Z 【解析】根据正弦型函数的周期性，当sin(ωx +φ)=12，则： 若ωx 1+φ=π6，最近的另一个值为ωx 2+φ=5π6，所以ω(x 2−x 1)=2π3，而x 2−x 1=π3，可得ω=2. 故此函数的最小正周期是2πω=π，则函数的周期为kπ且k ∈Z . 故答案为：kπ且k ∈Z16．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知acosB =√3bsinA . (1)求角B 的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积. 条件①：a =3；条件②：b =2√2；条件③：cosC =−23；条件④：c =2. 【答案】(1)B =π6 (2)答案不唯一，见解析 【解析】(1)解：由acosB =√3bsinA 及正弦定理可得sinAcosB =√3sinAsinB ，∵A 、B ∈(0,π)，则sinA >0，cosB =√3sinB >0，∴tanB =√33，故B =π6.(2)解：若选①②，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即c 2−3√3c +1=0， 解得c =3√3±√232，此时，△ABC 不唯一；若选①③，已知a =3，B =π6，cosC =−23∈(−√32,−12)，且C ∈(0,π)，则C ∈(2π3,5π6)，所以，B +C ∈(5π6,π)，则△ABC 唯一， sinC =√1−cos 2C =√53，sinA =sin (C +B )=sinCcos π6+cosCsin π6=√15−26，由正弦定理b sinB =asinA 可得b =asinB sinA=9(√15+2)11， 所以，S △ABC =12absinC =12×3×9(√15+2)11×√53=45√3+18√522；若选①④，已知a =3，B =π6，c =2，此时△ABC 唯一，S △ABC =12acsinB =32；若选②③，已知b =2√2，B =π6，cosC =−23∈(−√32,−12)，且C ∈(0,π)，则C ∈(2π3,5π6)，所以，B +C ∈(5π6,π)，则△ABC 唯一， sinC =√1−cos 2C =√53，sinA =sin (C +B )=sinCcos π6+cosCsin π6=√15−26， 由正弦定理bsinB =csinC 可得c =bsinC sinB=4√103， 所以，S △ABC =12bcsinA =20√3−8√59；若选②④，已知b =2√2，B =π6，c =2，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得a 2−2√3a −4=0， ∵a >0，解得a =√3+√7，此时，△ABC 唯一，S △ABC =12acsinB =√3+√72；若选③④，已知B =π6，c =2，cosC =−23∈(−√32,−12)，且C ∈(0,π)，则C ∈(2π3,5π6)，所以，B +C ∈(5π6,π)，则△ABC 唯一， sinC =√1−cos 2C =√53，sinA =sin (C +B )=sinCcos π6+cosCsin π6=√15−26， 由正弦定理bsinB =csinC 可得b =csinB sinC=3√55，S △ABC =12bcsinA =5√3−2√510. 17．在 △ABC 中，c =√7，且 △ABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中的三个，请选择三个条件并解答下列问题: (1)求边 b ; (2)求 S △ABC .条件① a +b =5; 条件②sin B =√217;条件③bcosB =4√77; 条件④cos A =√714.【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； 【解析】(1)选①②③，因为sin B =√217，bcosB =4√77，所以cosB =√1−sin 2B =4√77，b =1，选②③④，因为sin B =√217，bcosB =4√77， 所以cosB =√1−sin 2B =4√77，b =1，选①②④，因为cos A =√714可得sinA =√1−cos 2A =3√2114， 由正弦定理可得asinA =bsinB ，所以a ×√217=b ×3√2114， 所以a =32b ，又a +b =5，所以b =2， 选①③④，因为bcosB =4√77，又cosB =a2+c 2−b 22ac所以b(a 2+c 2−b 2)=2ac 4√77，又c =√7，所以b(a2+7−b 2)=8a ，又a +b =5，所以b =2,a =3(2)选①②③，由(1) b =1，又a +b =5，所以a =4， 所以S △ABC =12acsinB =12×4×√7×√217=2√3，选②③④，由cos A =√714可得sinA =√1−cos 2A =3√2114， 由正弦定理可得asinA =bsinB ，又b =1，sin B =√217， 所以a =32，所以S △ABC =12acsinB =12×32×√7×√217=3√34， 选①②④，由(1)b =2，因为a +b =5， 所以a =3，所以S △ABC =12acsinB =12×3×√7×√217=3√32， 选①③④，由(1) b =2，因为a +b =5，所以a =3， 所以cosB =2√77，sinB =√1−cos 2B =√217，所以S △ABC =12acsinB =12×3×√7×√217=3√32， 18．在△ABC 中，√3sin(B +π6)=−cos(B +π6). (1)求B 的值；(2)给出以下三个条件：①a 2−b 2+c 2+3c =0；②a =√3，b =1；③S △ABC =15√34，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i ）求sinA 的值；（ii ）求∠ABC 的角平分线BD 的长. 【答案】(1)B =2π3；(2)（i ）sinA =3√314，（ii ）BD =158.【解析】(1)由题设√3sin(B +π6)+cos(B +π6)=2sin(B +π3)=0，而π3<B +π3<4π3，所以B +π3=π，故B =2π3.(2)若①②正确，则c 2+3c +2=(c +1)(c +2)=0，得c =−1或c =−2， 所以①②有一个错误条件，则③是正确条件， 若②③正确，则S △ABC =12absinC =15√34，可得sinC =152>1，即②为错误条件；综上，正确条件为①③，（i ）由2accosB =a 2+c 2−b 2，则c(3−a)=0，即a =3， 又S △ABC =12acsinB =15√34，可得c =5，所以9−b 2+25+15=0，可得b =7，则asinA =bsinB =√3，故sinA =3√314， （ii ）由角平分线的性质知：AD =58×7=358且∠ABD =π3， 在△ABD 中BD sinA =AD sin∠ABD ，则BD =158.19．△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知acosB =√3bsinA . (1)求角B 的大小；(2)从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积. 条件①：a =3；条件②：b =2√2；条件③：cosC =−23；④c =2 【答案】(1)B =π6(2)答案见解析【解析】(1)由acosB =√3bsinA 和正弦定理得sinAcosB =√3sinBsinA ，因为0<A <π，所以sinA ≠0，所以cosB =√3sinB >0，tanB =√33，因为0<B <π，所以B =π6. (2)若选条件①：a =3；条件②：b =2√2，由（1）B =π6， 由余弦定理得(2√2)2=32+c 2−2×3c ×√32，解得c =3√3±√232， 因为答案不唯一，所以舍去.若选条件②：b =2√2；条件③：cosC =−23；由（1）B =π6， 因为cosC =−23，0<C <π，所以sinC =√53，由正弦定理得√53=2√212，解得c =4√103，由余弦定理得(4√103)2=8+a 2+2×2√2a ×23，解得a =2√30−4√23， 则△ABC 的面积为S =12absinC =20√3−8√59； 若选条件①：a =3；条件③：cosC =−23；由（1）B =π6， 因为cosC =−23，0<C <π，所以sinC =√53，所以sinA =sin (π−B −C )=sinBcosC +cosBsinC =12×(−23)+√32×√53=√15−26， 由正弦定理得√53=√15−26，解得c =30√3+12√511，则△ABC 的面积为S =12absinC =45√3+18√522. 若选条件①：a =3； ④c =2，由（1）B =π6， 则△ABC 的面积为S =12acsinB =32.若选条件②：b =2√2；④c =2，由（1）B =π6， 由余弦定理得(2√2)2=4+a 2−2×2a ×√32，解得a =√3+√7，则△ABC 的面积为S =12acsinB =12×2×(√3+√7)×12=√3+√72.若选条件③：cosC =−23；④c =2，由（1）B =π6，因为cosC =−23，0<C <π，所以sinC =√53，所以sinA =sin (π−B −C )=sinBcosC +cosBsinC =12×(−23)+√32×√53=√15−26， 由正弦定理得√53=√15−26，解得a =5√3−2√55， 则△ABC 的面积为S =12acsinB =12×2×5√3−2√55×12=5√3−2√510. 20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a −2c )cosB +bcosA =0． (1)求B ；(2)从以下条件中选择两个，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． ①若a =5；②b =3；③C =2π3；④△ABC 的周长为9．【答案】(1)B =π3； (2)选①④，面积为9√34．【解析】(1)因为(a −2c )cosB +bcosA =0，由正弦定理得(sinA −2sinC)cosB +sinBcosA =0， 2sinCcosB =sinAcosB +sinBcosA =sin(A +B)=sinC ， 三角形中sinC ≠0，所以cosB =12，B ∈(0,π)，所以B =π3； (2)因为B =π3，所以0<C <2π3，因此条件③不能确定三角形；若已知①②，则由正弦定理得sinA =asinB b=5sin π33=5√36>1，无解；若已知①④，即a =5，a +b +c =9，则b +c =4<a ，与三角形的性质矛盾，三角形不存在． 所以只有条件②④能确定三角形．b =3，a +b +c =9，则a +c =6，由（1）B =π3，b sinB=a sinA=c sinC=a+c sinA+sinC，即3sin π3=6sinA+sinC ，所以sinA +sinC =√3，sinA +sinC =sinA +sin(2π3−A)=sinA +sin 2π3cosA −cos2π3sinA =32sinA +√32cosA =√3sin(A +π6)=√3，sin(A +π6)=1，又A ∈(0,2π3)，所以A =π3，从而C =π3， △ABC 为等边三角形，唯一确定，面积为S =12×32×sin π3=9√34．。
解三角形专题(高考题)练习【附答案】
解三角形专题（高考题）练习【附答案】1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =.设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→→∙=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()2sin ,3m B =-，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，5cos 5A =，10cos 10B =. （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设2AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
专题解三角形大题(含答案)
专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。
根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。
代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。
同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。
解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。
根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。
代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。
1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。
由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
北京高三理科解三角形大题专题(带答案)
解三角形大题专题（2014石景山一模）15．（本小题满分13分）ABC A，B，C a，b，c a b c3a2b sin A 在△中，角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角的大小；Ba b7c ABC2（Ⅱ）若，，求边的长和△的面积．（2014西城一模）15．（本小题满分13分）222在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．b c a bc（Ⅰ）求的大小；A6（Ⅱ）如果，，求△ABC的面积．B b 2cos3（2014 海淀二模）15.（本小题满分13 分）在锐角中，且.ABC a 2 7 sin A b 21（Ⅰ）求的大小；B（Ⅱ）若 a 3c ，求c 的值.（2015西城二模）15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝7 ，b ＝3，．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．（2013 丰台二模）15．（13 分）已知ABC 的三个内角分别为A,B,C, 且 22sin (B C) 3sin 2A. （Ⅰ）求 A 的度数；（Ⅱ）若BC 7, AC 5,求ABC 的面积S.（2014 延庆一模）15．（本小题满分13 分）在三角形ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c ，且a 2，3C ，cos B ．4 5（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）求ABC 的面积．（2015 顺义一模）15. （本小题满分13 分）在ABC 中,角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,已知 3 2,sin 6b B ,3 B A .2(I) 求a的值;(II) 求cosC 的值.（2016 东城一模）（15）（本小题共13 分）在△ABC 中，BC 2 2 ，AC 2 ，且cos2 A B ．2（Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若 f (x) sin(2 x C) ，求y f ( x) 与直线3y 相邻交点间的最小距离．2ABC 中，BC 2 , ABC .（Ⅰ）若2 5cos ，AB 5, 求AC 的长度；2 5（Ⅱ）若B AC ，AB f ( ) ，求 f ( )的最大值.6（2016 西城一模）15．（本小题满分13 分）在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a，b，c，设 A ，sin B 3sin C ．3（Ⅰ）若a 7 ，求b的值；（Ⅱ）求tan C 的值．2π△A B C a b cABC A b3△ABC 在中，角，，的对边分别是，，，且，，的面3153积为．4a（I）求边的边长；（II）求cos2B的值．（2015东城一模）（15）（本小题共13分）在△ABC中，b2，3cos C，△ABC的面积为474．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin2A值．（2015 海淀二模）（15）（本小题满分13 分）在ABC 中，c 5 ，b 2 6 ，3 6a cos A.2（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证： B 2 A .（2014 顺义一模）15.（本小题共13 分）已知ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c ，且满足sin A( 3 cos A sin A)32（1）求角 A ；（2）若a 2 2 ，S ABC 2 3 ，求b、c的值（2015 石景山期末）15．（本小题共13 分）如图所示，在四边形ABCD 中，AB DA ，CE 7 ，2ADC ；E 为AD3边上一点，DE 1，EA 2 ，BEC .3 （Ⅰ）求sin∠CED 的值；（Ⅱ）求BE 的长．（2015 朝阳二模）15．（本小题共13 分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．（2015 丰台二模）15.（本小题共13 分）在△ABC 中，A 30 ，BC 2 5 ，点D 在AB 边上，且BCD 为锐角，CD 2 ，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD 的值；（Ⅱ）求边AC 的长．（2016海淀一模）15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D在边AB上，且A DDB13．记∠ACD＝，∠BCD＝．（Ⅰ）求证：A CBCsin3sin；（Ⅱ）若, , 19AB ，求BC 的长．6 2（2015 房山一模）15．（本小题共13 分）已知函数 2f (x) sin(2 x ) 2cos x 1(x R) .6（Ⅰ）求 f (x) 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，三个内角A, B, C 的对边分别为a, b,c ，已知 1f A ，且△ABC 外接2 圆的半径为3，求a的值.（2013 石景山一模）15．（本小题满分13 分）已知函数f ( x) sin(2 x ) cos2x．6（Ⅰ）求函数 f (x)的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知3f ( A) , a 2，B ，2 3求△ABC 的面积．（2013 朝阳二模）15.（13 分）在△ABC 中，A, B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A A A2f (A) 2cos sin( ) sin2 2 22 cos A 2 .（Ⅰ）求函数 f ( A) 的最大值；（Ⅱ）若 f ( A) 0,C , a 6 ，求 b 的值．12（2014 东城一模）15. （本小题共13 分）在ABC 中，s inaA 3 cosbB（1）求角 B 的值；（2）如果 b 2，求ABC 面积的最大值（2013 东城一模）（15）（13 分）在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且．ABC A B C a b c b sin A 3acosB （Ⅰ）求角；Bb 2 3 ac（Ⅱ）若，求的最大值．（2014 丰台二模）（15）（本小题满分13 分）已知△ABC 中，∠A, ∠B, ∠C 的对边长分别为a,b,c , 且 2 2 3oa b ab , C 60 . （Ⅰ）求 c 的值；（Ⅱ）求 a b 的取值范围.WORD 格式（2014 石景山一模）15．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）因为3a 2bsin A，所以3sin A 2sin B sinA ⋯⋯2分因为0 A ，所以sin A 0 ，所以sin 3B ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2因为0 B ，且a b c ，所以 B 60 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）因为a2，b 7，所以由余弦定理得 2 2 2 1( 7) 2 2 2c c ，即c2 2c 3 0，2解得c 3或c 1（舍），所以c边的长为3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 1 3 3 3S ac B ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分= sin 2 3 ABC2 2 2 2（2014 西城一模）15．（本小题满分13 分）（Ⅰ）解：因为b2 c2 a2 bc ，所以cos A 2 2 2 1b c a ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分3WORD格式2bc 2又因为A(0, π) ，所以πA ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分53（Ⅱ）解：因为c os 6B ，B (0, π) ，3所以 2 3sin 1 cosB B ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分3由正弦定理a bsin A sin B，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分得 a b sin Asin B3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2 2 2因为b c a bc ，所以 2 2 5 0c c ，WORD格式解得c16，因为c0，所以c61⋯⋯⋯11分故△ABC的面积1sin323S bc A．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分22（2014海淀二模）15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得a bsin A sin B----------------------------2分因为a27sin A,b21所以sin sin21sin3b A ABa27sin A2---------------------------5分在锐角A BC中，B60---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得2222cosb ac ac B----------------------------9分又因为a3c所以222219c c3c，即23c-------------------------------11分解得c3-------------------------------12分经检验，由2221b c acos A02bc27可得A90，不符合题意，所以c3舍去.--------------------13分（2015西城二模）（2013 丰台二模）15．解:（Ⅰ） 22sin (B C) 3sin 2A.22sin A 2 3sin Acos A, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2 分sin A 0, sin A 3cos A, tan A 3 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4 分0 A , A 60 °. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6 分2 AB2 AC2 AB AC（Ⅱ）在ABC 中, 2 cos 60BC , BC 7, AC 5,49 2 AB 2 AB ABAB 25 5 , AB 5 24 0, 8或AB 3(舍),⋯⋯⋯⋯.10 分113S ABCAB AC sin 605 8 10 3 . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯.13 分222（2014 延庆一模） 15．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）3cos B，54sin B⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1分5sin A sin( B C )⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分 sin B cosC cos B s in C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分 4 2 3 2 7 2⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6分5 25210（Ⅱ）b sinB a sin A ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分 b 24 ，7 2 510 8 2 b⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯10分7S1ABCsin ab 2C ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 11 分1 2 28 2 7 228 7 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ 1分3（2015 顺义一模） 16. 解:(I) 在 ABC 中 ,因为B A, 2所以 BA,即 22 B ,⋯ ⋯ (2)分所以 sin sin sincosABB B ..........................................4 分2222 6 31 sin B 1 ...........................................5 分3 3由正弦定理,a bsin A sin B得a33 2b sin A 3sin B 633. ...........................7 分(II) 因为B A ,即2 B A ,2所以B 为钝角, A为锐角.由(I)可知,sin 3A ,3所以22 3 6cos A 1 sin A 1 . ...........................................9 分3 3又6 3sin B ,cos B , ...........................................10 分3 3所以cos C cos A B cos A B ...........................................11 分...........................................12 分cos AcosB sin A s in B6 3 3 63 3 3 32 23............................................13 分（2016 东城一模）（15）（本小题共13 分）解：（Ⅰ）Q cos C cos A B cos A B2 2C 45 ⋯⋯ 3 分Q BC 2 2 ，AC 2 ，2 2 2 2 cos (2 2)2 22 8 2 cos450 AB AC BC AC BC C 4AB 2 ⋯⋯7 分（Ⅱ）由3f (x) sin(2 x ) ，4 2解得 2 2x k 或4 322x 2k ，k Z ，4 3解得5x k 或x2 k2 ，1 1 2424k1,k2 Z .因为x1 x2 (k1 k2 ) ≥，当k1 k2 时取等号,6 6所以当3f (x) 时，相邻两交点间最小的距离为26. ⋯⋯⋯⋯13 分（2015 延庆一模）17. （本小题满分13 分）解：（Ⅰ）cos 2 52 5 ，2 2 5 23 cos 2cos 1 2 ( ) 12 5 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分2 2 2 2 cos AC AB BC AB BC25 4 2 5 2 3 517 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分AC 17 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ）5BAC , ABC , BCA ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分6 6AB BC 25 1sin( ) sin6 6 24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分5AB 4sin( ) ，65 5f ( ) 4sin( ), (0, ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分6 65 5(0, ) 6 6，当56 2时，即3时f 的最大值为4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分( )（2016 西城一模）15．（本小题满分13 分）(1)解：因为s in B 3sin C ，由正弦定理a b csin A sin B sin C，得b 3c ，由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A 及πA ，a 7 ，得32 27 b c bc所以2b b2 ( )2 7b ，解得 b 3 .3 3（2）解：由πA ，得32πB C ，3所以2πsin( C)3sin C ．3即3 1cosC sin C 3sin C ，2 2所以3 5cos C sin C ，2 2所以3 tan C．5（2014 朝阳二模）15．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）由1S bc A得， 1 3 sin 15 3sinABCS c ．ABC22 3 4所以c 5 ．由 2 2 2 2 cosa b c bc A 得，2 32 52 23 5 cos 49a ，3所以a 7．⋯⋯⋯⋯⋯7 分7 3a b（Ⅱ）由得，sin B ，3sin A sin B2所以sin 3 3B ．14所以 2 71cos 2B 1 2sin B ．⋯⋯⋯⋯⋯13 分98（2015 东城一模）（2015 海淀二模）（15）（共13 分）解：（Ⅰ）因为3 6a cosA，2所以 a2 2 23 6b c a2 2bc. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分因为c 5 ，b 2 6 ，所以 23a 40a 49 3 0 .解得：a 3，或49a （舍）. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分3（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：2 6 cosA3 .3 6 3所以2 1cos2 A 2cos A 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分3因为a3，c 5 ，b 2 6 ，所以cosB2 2 2 1a c b2ac 3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分所以cos 2A cos B . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分因为c b a ，所以 A (0, ) .3因为B(0, ) ，所以 B 2 A . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分另解：因为A(0, ) ，所以2 3 sin A 1 cos A .3由正弦定理得：2 6 3 sin B 33.所以sin 2 2B .3所以3 6 2 2sin 2A 2 sin B. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分3 3 3因为c b a ，所以 A (0, ) ，B (0, ) .3 2所以 B 2 A . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分（2014 顺义一模）即3 1sin 2A cos 2A 1 sin(2 A ) 1————5 分2 2 6Q 0 A ，112A6 6 6由sin(2 A ) 1得26 A ，6 2A ———7分3（2015 石景山期末）15．（本小题共13 分）（Ⅰ）设C ED .在CED 中，由余弦定理，得2 2 2 2 cosCE CD DE CD DE CDE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分得CD 2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3 舍去)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分在CED 中，由正弦定理，得sin21CED ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分7（Ⅱ）由题设知0（，），所以3 cos2 77⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分而2AEB ，所以32 2 2cos AEB cos（）=cos cos sin sin3 3 31 3 12 73 21 7 = cos sin2 2 2 7 2 7 14 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分在Rt EAB 中，BEcos 2AEB4 7 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分（2015 朝阳二模）15．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．即梯形的高为．（2015 丰台二模）18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为1S BC CD sin BCD 4，BCD2所以2 5 sin BCD ．5因为BCD 为锐角，所以2 5 52cos BCD 1 ( ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分5 52 2 2 ，（Ⅱ）在BCD 中，因为DBCD BC 2CD BC cos BCD所以DB 4．因为 2 CD 2 BC2DB ，所以CDB 90 ．所以ACD 为直角三角形．因为 A 30 ，所以AC 2CD 4 ，即AC 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分（2016 海淀一模）15．解：（Ⅰ）在ACD 中，由正弦定理, 有AC ADsin ADC sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分在BCD 中，由正弦定理, 有BC BDsin BDC sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分因为ADC BDC π, 所以sin ADC sin BDC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分因为A DDB 13, 所以A CBCsin3sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（Ⅱ）因为π，6π,2由（Ⅰ）得ACBCπsin 2 3π 23sin6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分设AC 2k, BC 3k,k 0 , 由余弦定理,2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC ACB ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分代入, 得到 2 2 2π19 4k 9k 2 2k 3k cos ,3解得k 1, 所以BC 3. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分（2015 房山一模）15．（本小题共13 分）2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分3 1解：（Ⅰ）∵ f ( x) sin(2 x ) 2 cos x 1 sin 2x cos2x cos 2x6 2 23 2 sin12x cos 2x2= sin(2 x )⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分6由2k 2x 2k (k2 6 2 Z) 得，k x k (k3 6Z) 5 分∴ f (x) 的单调递增区间是[ k , k ]( k Z) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分3 6（Ⅱ）∵ 1f (A) sin( 2 A ) ，0 A ，6 22 A 26 6 6于是2A6 5 6∴A⋯⋯⋯⋯⋯10 分3∵ABC 外接圆的半径为3a由正弦定理2Rsin A，得3a 2R s in A 2 3 3，⋯⋯⋯⋯⋯13分2（2013 石景山一模）15．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）( ) sin(2 ) cos2f x x x6sin 2 xcos cos2 x sin cos2 x6 63 3sin 2x cos2x⋯⋯⋯⋯ 1 分2 21 33( sin 2x cos2 x)2 23 sin(2 x ) ⋯⋯⋯⋯ 3 分3令+2 2 +2k x k2 3 25+k x +k ⋯⋯⋯⋯ 5 分12 12函数 f ( x)的单调递增区间 5 + + ( )k ，k k Z . ⋯⋯⋯⋯ 6 分12 12（Ⅱ）由3f ( A) ，21sin(2 A )= ，3 2因为A 为ABC 内角，由题意知2A ，所以352A3 3 3因此25A ，解得3 6A ．⋯⋯⋯⋯8 分4由正弦定理asin Absin B ，得b 6 ，⋯⋯⋯⋯10分由A ，由4 B ，可得3sin6 2C ，⋯⋯⋯⋯12 分4∴ 1 sin 1 2 6 6 2 3 3s ab C ．⋯⋯⋯⋯13 分2 2 4 2（2013 朝阳二模）（15）（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）因为A A A A2 2f ( A) 2cos sin sin cos2 2 2 2sin A cos A 2 sin( A ) .4因为A 为三角形的内角，所以0 A ，所以 A .4 4 4所以当A，即 423 A 时， f (A) 取得最大值，且最大值为2 . ⋯ ⋯ ⋯ 6分4（Ⅱ）由题意知( )2 sin() 0 f A A，所以 sin( A) 0 ． 44又因为A，所以 A0 ，所以 44 44A．4又因为 C，所以 12B．3由正弦定理ab sin A sin B得，b 6 sin aB sin3 3sin A sin4． ⋯ ⋯ ⋯ ⋯13 分（2014 东城一模） 15．（共 13 分）解：⑴因为ab sin A sin B ， s in A3cos B ab， 所以 sin B= 3 cos B ， tan B= 3 ．因为 B (0 ，π) ． 所以 π B = ．3 ⑵因为 πB= ，3所以cosB2 2 21 ac b2ac2， 因为 b 2 ，所以 22 = 4 2 a c ac ac ，所以 ac 4 （当且仅当 a c 时，等号成立），所以 1S △ac ， sin B3 ， ABC2所以 △ ABC 面积最大值为3 ．（2013 东城一模）（15）（共 13 分）解：（Ⅰ）因为b sin A3a cosB ，由正弦定理可得 sin Bsin A3sin A cosB ，因为在△中，，ABCsin A 0所以 tan B3 .又，0 B所以.B32222cosb ac ac B （Ⅱ）由余弦定理，因为，，B b23322所以12a c ac.222因为，a c ac所以.ac12a c ac1223当且仅当时，取得最大值.（2014丰台二模）。