倒易空间
固体物理(第4课)倒易空间
b3
b2
b1
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
2π a a1 2 ( i j k ) b1 a (j k ) 4π a 2π a ( i j k ) b ( i k ) b 2 2 2 a a 2π a a (i j k ) b3 (i j ) 3 2 a
倒易空间 傅里叶空间 K空间
1.9.3 常见晶格的布里渊区 (1) 一维晶格
a1 a i 2 b1 i a
(2) 二维晶格
a1、a 2 b1 2 b2 2
构造a 3，令a 3 ＝k a2 a3 a1 a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 a 3
(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵 (6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性
倒格矢和正点阵晶面族示意图
a1 a3 CA ＝OA OC h1 h3 a 2 a3 CB ＝OB OC h2 h3 CA Gh 0 Gh CA CB Gh 0 Gh CB
—— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
布里渊区示意图3-2
2 Γ： 0,0,0 a 2 X： 1,0,0 a 2 3 3 K： , ,0 a 4 4 2 1 1 1 L： , , a 2 2 2
简约布里渊区：十四面 体 2 V 4 V倒易原胞 a
—— 第一布里渊区
原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的有 十二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：
倒易空间复习提纲
关于倒易空间(点阵)的一些基本结论
• 倒易矢量与晶面的关系
①如果正点阵与倒易点阵具有共同的坐标原点，则正点阵中
的晶面在倒易点阵中可用一个倒易矢量表示 ②倒易阵点的指数用它所代表的晶面的面指数（干涉指数） 标定 ③晶体点阵中晶面取向和晶面间距这两个参量在倒易点阵中
用倒易矢量r*综合地表示出来
关于倒易空间(点阵)的一些基本结论
倒易空间(点阵)部分复习
复习提纲
• 倒易点阵的基本概念 ①两个定义 ②定义的一致性 ③倒易点阵的基本性质 • 倒易点阵的基本计算技能 ①给出 S (a, b, c ) 计算 S (a , b , c ) ②立方、四方、正交简单格子倒易单胞画法 ③BCC、FCC简单倒易面的画法(与EDP分析结合)
* *阵(正空间)的另一种表达 • 研究晶体衍射不可缺少的工具 • 与正空间互为倒易的关系:
①倒易点阵基矢量的长度与正点阵的基矢量长度互为反比 例 ②某个基矢量的方向由另一个空间的其它两个基矢量的矢 量积方向确定 ③正点阵的倒易是倒易点阵，倒易点阵的倒易是正点阵。 它们互为倒易关系 ④倒易点阵与正点阵单胞体积互为倒易
• 倒易点阵与正点阵的关系
利用倒易点阵与正点阵的对应关系，由任何一个正点阵建 立起相应的倒易点阵，反过来，由任何一个倒易点阵也可 以建立相应的正点阵
• 根据正点阵与倒易点阵互为倒易的关系
– 正点阵的点阵矢量r=ua+vb+wc垂直于同指数的 倒易阵点平面（uvw)*，点阵矢量的长度r等于 该倒易阵点平面（uvw）*的面间距d*uvw的倒数 – 倒易阵点平面的指数用与其垂直的正点阵矢量 系数uvw表示
倒易空间和波矢空间
倒易空间和波矢空间倒易空间和波矢空间在固体物理学研究中扮演着重要的角色。
本文将分别介绍这两种空间的概念、性质及其在固体物理学中的应用。
一、倒易空间倒易空间是晶体学中的重要概念，也叫倒格子空间，是由晶体空间分别沿着三个互相垂直的方向所取得的倒格子面组成的三维空间。
倒易空间与实空间是对偶的，其定义如下：假设有一个空间中的周期晶体，晶格矢量为a1、a2和a3，我们将一个点P通过向该点连接三个不同的坐标轴上的原点，形成一个平行六面体。
在每个棱角上，我们垂直地连接倒晶格点，连接的线称为倒格子矢量，用向量b1、b2和b3表示。
这样就形成了一个由倒格子面组成的空间，这个空间就是倒易空间（或倒格子空间）。
倒易空间与其它物理学中的向量空间不同，因为其中的向量没有固定的起点或终点。
在倒易空间中，每个点表示一个倒格子面，而一个倒格子面的位置就由其倒格子矢量来决定。
倒易空间中的晶体结构即为倒格子结构。
倒易空间具有以下性质：1. 倒易空间的晶格矢量为倒格子的倒数。
2. 在倒易空间中，原点为所有倒格子的交点，称之为倒空间原点。
3. 倒易空间是无限大的，且存在与实空间一样的点群和空间群对称性。
4. 不同晶体的倒易空间不同，同样的晶体在不同条件下有不同的倒易空间表现形式。
倒易空间在固体物理学中有广泛应用。
例如，通过研究倒易空间中的电子能带结构，可以了解晶体材料的导体性、半导体性等性质；倒易空间中的布拉格平面可以对X射线衍射、中子衍射等进行定量描述，在这些领域具有重要的应用价值。
二、波矢空间波矢空间是描述在动量空间内的物理现象的空间。
波矢空间和倒易空间十分相似，只是在它们的定义和性质上存在微小差异。
假设有一个动量空间，其中的波矢k可以用三个互相垂直的分量(kx, ky, kz)表示。
图中所示为二维情况下的波矢空间。
波矢空间的物理意义为动量的取值范围。
在波矢空间中，物理量的取值可能会形成一些稀疏的分布，这些分布就被称为分支，对应实空间中的布里渊区。
1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例
倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。
引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。
二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。
倒易空间的г和m点与晶胞的价带和导带
倒易空间的г和m点与晶胞的价带和导带The question you are asking is about the г and m points of the reciprocal lattice in relation to the valence and conduction bands of a crystal.In crystallography, the reciprocal lattice is used to describe the periodicity of a crystal. It is essentially a mathematical construct that represents the Fourier transform of the direct lattice, with points corresponding to diffraction vectors. The reciprocal lattice's Brillouin zone, which is bounded by its corresponding direct lattice planes, plays a crucial role in understanding electronic properties of crystals.The г point (Gamma point) and m point are special high-symmetry points within the first Brillouin zone. The гpoint corresponds to zero wavevector (k=0) and lies at the center of the Brillouin zone. It represents the point where all plane waves interfere constructively and also serves as a reference for energy calculations. On an energy-momentum diagram, it usually marks the minimum of the valence bandor maximum of the conduction band.The m point, on the other hand, lies at one edge (boundary) between different planes in reciprocal space. It corresponds to finite wavevector (k≠0) and reflects translational symmetry breaking along that direction. In terms of electronic band structure, it often shows important features such as band crossings or strong dispersion - indicating transitions between different bands or regions with high density-of-states.In terms of valence and conduction bands, theirrelationship with these high-symmetry points can provide valuable insights into a material's electronic behavior. By mapping out how these bands evolve around г and m points, we can determine key information such as band gaps, band topology, and even predict collective phenomena like superconductivity or topological insulator properties.To summarize, studying the г and m points within acrystal's reciprocal lattice allows for an in-depth analysis of its electronic properties. These special high-symmetry points provide valuable information regarding the valence and conduction bands, allowing for a better understanding of the material's behavior and potential applications.我问题的关键点是：倒易空间的г和m点与晶胞的价带和导带之间的关系。
倒易点阵与正格空间
倒易点阵将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系:真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl 表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl 点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质:１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距dHKL的倒数倒易点阵将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL 晶面的面间距dHKL的倒数布里渊区就是由晶体倒格矢中垂面在倒易空间中分割出来的一个个区域。
所以会有第一布里渊区，直至第n布里渊区。
其物理意义在于每个布里渊区代表了一个能带，布里渊区边界就是能带边界。
固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。
在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。
倒易空间
倒易空间、波矢与衍射条件2009-10-09 13:07倒易空间、波矢与衍射条件1. 傅立叶展开与倒易空间我们知道，晶体具有周期性的结构，由此使得其许多性质在某些方向上也具有周期性，例如原子核的位置的周期性排列产生了周期性的离子实势场。
因此，如果要研究晶体中的电子的运动，就必须要研究这种周期性的离子实势场。
所以，我们首先要处理的就是周期性函数。
而傅立叶（Fourier, 1768～1830）在他的1807年的论文《固体中的热传导》中所提出傅立叶级数方法就是处理周期性函数的强大工具。
值得一提的是，这个方法在当时曾引起争议，Lagrange、Laplace 一直持保留态度。
后来经过Poisson、Cauchy，直至Dirichlet的努力，傅立叶的方法才最终令人信服地被人接受。
对于一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3），即：u(r) = u(r + T)这里，r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。
那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：u(r) = S G u G exp(i G·r)其中，G是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量，它是如下定义的：构成T的三个基矢量a1、a2和a3张成了三维实空间，与此做类比，我们定义与实空间互为“倒易”（reciprocal）的空间，它由三个倒易基矢量b1、b2和b3张成的，即G=k1b1+ k2b2+ k3b3。
而倒易基矢量由如下倒易关系给出：b1 = 2π (a2×a3/ a1·a2×a3)b2 = 2π(a3×a1/ a2·a3×a1)b3 = 2π(a1×a2/ a3·a1×a2)之所以如此定义，是因为这样就能使互为倒易的两组基矢量之间满足如下的漂亮关系：a i·b j= 2πδij这是很好理解的，因为在b1、b2和b3的定义式中(a1·a2×a3)就是基矢量a1、a2和a3围成的平行六面体的体积，而(a2×a3)就是这个平行六面体的底面积，因此(a2×a3/ a1·a2×a3)就是这个平行六面体垂直于a2和a3所在平面的高的倒数，可见，b1的方向沿着这条高，其长度为这条高的倒数乘以2π。
三、倒易空间衍射条件——矢量方程
2’
（hkl） dhkl
C
2
＝AB＋BC＝2dhklsin
（1-3-4〕
11’和22’发生干涉现象的条件为光程差是波长的整数倍，即：
2dhklsin=n
式中n为整数1，2，3…，称为衍射级数。
（1-51〕
式（1-3-5〕就是Bragg方程， 是X射线晶体学的最基本的方 程。 Bragg方程表明，用波长λ的X射线照射晶面间距为d的晶 面时，在方向产生衍射。
结 论： 可能产生衍射的晶面对
应的倒易点阵矢量结点必 落在此球上。
这种图解法是德国物理学家厄瓦尔德提出来的，此球称为 厄瓦尔德球或反射球。
3. 厄瓦尔德球做法
作一平行于入射光束、长 度等于 1／λ的矢量 K。 0 取该矢量的端点 O作倒易 点阵的原点，用与该矢量相 同的比例尺作倒易点阵。
以该矢量的起始点C为圆
注意：α1″、α2″、α3″不是独立的，它们是衍射线与三晶轴
的交角，有一定的约束关系，对立方晶系三晶轴互相垂直 ： cos2α1″+cos2α2″+cos2α3″=1
（1-3-3〕
由(1-3-2) （1-3-3）四个方程决定三个变量： α1″、α2″、α3″，
一般说来不一定有解， 只有适当的选择λ、及S0的方向才能满
三维点阵，入射线S0与三晶轴a、b、c的交角分别为：α1′、
α2′、α3′，衍射线S 与三晶轴交角：α1″、α2″、α3″。 若要产生衍射，必须满足方程组：
a(cosα1″- cosα1′)=Hλ
b(cosα2″- cosα2′)=Kλ （ 1-3-2〕
c(cosα3″- cosα3′)=Lλ
（1-3-2〕式既是三维Laue方程
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a 1 a 2 a 3 V , a 1 a 2 a 3 sin 1 V
所以
a 2 a 3 a 1 V , a 2 a 3 a 1 sin 2 V
a a 1 a 2 V , a a 1 a 2 sin 3 V
可以说M*是正空间点阵射M的倒易，反之也成立。倒易点阵的点对 称性相当于正点阵的网面法线的对称性，因而两个点阵有相同的全 点对称性。在两种情况下正点阵和相应的倒易点阵的Bravais点阵 类型不同。体心正点阵I对应面心倒点阵I*=F,反之也成立F*=I.
j
按照如下方法可以由正基矢来计算倒易基矢，单胞（由
3 3
关于夹角有
cos 1 cos 2 cos 3 cos 1 sin 2 sin 3
cos 2 cos 3 cos 1 cos 2 sin 3 sin 1 cos 3 cos 1 cos 2 cos 3 sin 1 sin 2
倒易单胞的（也用平行六面体表示）的体积V*:
V
a 1 a 2 a 3 a 3 a 1 a 2 a 2 a 3 a 1
关于理论，倒易空间的概念非常重要。衍射强度(从面间距 为dhkl的面(hkl)的反射)归因于倒易点阵适量
倒易空间 假如我们有了以基矢a,b,c构造的矢量点阵M，就可以在基矢a*b*c* 上构造出另一个点阵M＊，取a*垂直于面(b,c)，它的长度等于点阵 平面间距d100的倒数。以类似的方式找到b*垂直于面(a,c), c*垂直于 面(a,b)，根据适量规则我们得到标量积：
a i a ij , i , j 1, 2 , 3
H ha kb lc
a1 , a 2 , a 3
1
构成的平等六面体）的体积由下式给出：
V a1 a 2 a 3 a 3 a1 a 2 a 2 a 3 a1
于是 a V a a 1 a 2 a 3 1 a 2 a 3