中南大学电路理论第三版第九单元课件

同一波形，可能由于原点的选择不同而表现出偶函 数对称或奇函数对称或没有对称。这说明一个周期 函数是奇函数还是偶函数，与坐标原点有关。 坐标原点变动只能使各次谐波初相位做相应的改变。 奇谐波函数展开式只有奇次谐波分量，不含恒定分量 和偶次谐波分量。一个周期函数是不是奇谐波函数， 与计时起点无关。
自学
Akm与计时起点无关 但k 与计时起点有关 ，
注意奇谐波函数与奇函数的区别（后者只含正弦分量， 前者既有正弦也有余弦，但只有奇次）
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电路理论分析
几种常见周期函数的傅里叶级数 f ( t )的波形图 f ( t )的傅里叶级数
f (t ) ++
A
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4A 1 1 (sin t + sin 3t + sin 5t π 3 5
k 1
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电路理论分析

f (t ) a0 + (ak cosk1t + bk sink1t )
k 1
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1 T a0 0 f ( t )dt T 2 T ak 0 f ( t ) cos k 1 td ( t ) T 1 2 0 f ( t ) cos k 1 td ( 1 t )
0
sin ktd(t ) π
2

2π
0
cos ktd(t ) π
2
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电路理论分析
③三角函数的正交性

2π
0 2π 0ห้องสมุดไป่ตู้2π 0
cos kt sin ptd(t ) 0 cos kt cos ptd (t ) 0 sin kt sin ptd(t ) 0
k p
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电路理论分析
2. 非正弦周期函数的有效值
若
i(t ) I 0 + I km cos(kt + k )
k 1

则有效值:
1 T 2 I 0 i t d(t ) T 2 1 T d (t ) 0 I 0 + I km coskt + k T k 1
K为偶数时都为0
2I m Ak b + a bK kπ
2 k 2 k
（k为奇数）
is 的展开式为：
I m 2I m 1 1 iS + (sin t + sin 3t + sin 5t + ) 2 π 3 5
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电路理论分析
周期性方波波形分解
直流分量
t
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kω1
矩形波的 相位频谱
电路理论分析
9.2 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。

2π
0
sin ktd(t ) 0

2π
0
cos ktd(t ) 0
② sin2、cos2 在一个周期内的积分为。 k整数

2π
②奇函数
bk 0
－T/2 o
f (t)
T/2
f (t ) - f (t )
③奇谐波函数
ak 0
－T/2 o
f (t)
T/2 t
T f (t ) - f (t + ) 2
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a2 k b2 k 0
o
T/2
T
t
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ak , bk 与初相位k 有关， 初相位k 与计时起点有关
2π / T 2π f
是角频率, T是 f ( t )的周期。
在电路分析中，一般用傅里叶级数的另一种形式。
2 T bk 0 f ( t ) sin k 1 td ( t ) T 1 2 0 f ( t ) sin k 1 td ( 1 t )
f ( t ) A0 + A1m cos(1t + 1 ) + A2 m cos(21t + 2 ) + A0 + Akm cos(k1t + k )
周期性锯齿波
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例3 脉冲电路中的脉冲信号
自学
t
T
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例4 交直流共存电路
+V
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Es
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2. 非正弦周期交流电路的分析方法 问题1
i
e
+ R
e1
E0
+ + -
e1
t
e
E0
-
e E0 + e1 E0 + E1 msin t ω
例1 周期性方波信号的分解
Im
o 解
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iS
t
T/2 T 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
I m iS (t ) 0
T 0t 2 T t T 2
Im I m dt 2
1 直流分量： I O T

T
0
1 iS (t ) dt T

T /2
0
1 2π 谐波分量： bK iS (t ) sin ktd ( t ) π 0
三次谐波 五次谐波
基波
t
七次谐波
t
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等效电源
iS
Im
IS0
t
is1
is 3 is 5
T/2
T
I m 2I m 1 1 iS + (sin t + sin 3t + sin 5 t + ) 2 π 3 5
IS0
A
t
O π
2π
1 + sin3 πcos t + ) 3
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几种常见周期函数的傅里叶级数
f ( t )的波形图
A
f ( t )的傅里叶级数
f ( t )
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O

π
2π
t
4A 1 (sin sin t + sin 3 sin 3 t + π 9 1 1 sin 5 sin 5 t + + 2 sin k sin k t + ) 25 k (k为奇数)
1 sin kt + ) ( k为奇数) k
t
O
2π
4π
A A 1 1 f (t ) - (sint + sin2t + sin3t 2 π 2 3 1 + + sinkt + ) k
f ( t ) A + 2A 1 (sin πcos t + sin2 πcos2 t π 2
不同频率信号可叠加成周期性的非正弦量。 此时电路中的电流也是非正弦周期量。 即： e E E
i
R

0
R
+
1m
R
sinω t
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问题2：既然不同频率的正弦量和直流分量可以叠 加成一个周期性的非正弦量，那么反过来一个非 正弦的周期量是否也可分解为正弦分量和直流分 量呢？ 数学上给出肯定的答案，一切满足狄里赫利条件 的周期函数都可以分解为傅里叶级数。这样就可 将非正弦周期量分解为若干个正弦交流电路来求 解。
f (t ) -+ 8A 1 1 (sin t - sin 3t + sin 5t 9 25 π 2
k -1 2
(-1) k2
sin kt + )( k为奇数)
A 2 2 (1 + cos t - cos 2t - cos 4t π 2 3 15 2 -cos kt - ) (k - 1)( k + 1) f (t ) (k为偶数)
当其满足狄里赫利条件即：
1) f ( t ) 在任何一个周期内，连续或存在有限个间断点；
2) f ( t ) 在任何一个周期内，只有有限个极大值和极小值；
3) 在任何一个周期内，函数绝对值的积分为有界值，
即
f

T
f (t ) d t
0

存在
( t )可以分解为如下的傅里叶级数
f (t ) a0 + (ak cosk1t + bk sink1t )
0 K为偶数 Im 1 2I π (- cos kt ) 0 m π k kπ K为奇数
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2 2π ak 0 iS (t ) cos ktd(t ) π 2I m 1 π sin kt 0 0 π k
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根据叠加定理，分别计算不同频率的 响应，然后将瞬时值结果叠加。
2 ） 非正弦周期电压源或电流源（例如方波）
u
Um 0 2 3 t (a)
O
f (t)
T
T/ 2 t
引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？
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3 ） 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。
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第9章
非正弦周期电流电路
非正弦周期信号 及傅立叶级数展开 有效值、平均值 和平均功率 非正弦周期电流 电路的计算 对称三相电路中 的高次谐波