12-习题课(修改)

例4
2
求通解
2 2 2
( x y 2 y )dx ( x y 2 x )dy 0.
解
P 2 y 2, y P Q , y x
Q 2 x 2, x
非全微分方程.
利用积分因子法:
原方程重新组合为
( x 2 y 2 )(dx dy ) 2( ydx xdy ),
高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件.
(3) 可化为齐次的方程
dy ax by c 形如 f( ) dx a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
令
x X h, y Y k，
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
(4) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
x3 x x2 x 原方程的一个特解为 y * e e , 6 2 x3 x x2 x y (C1 C 2 x )e x e e . 故原方程的通解为 6 2 1 y(1) 1, (C1 C 2 )e 1, 3 3 x x y [ (C1 C 2 ) (C 2 1) x ]e , 6
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
* * 的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解.
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法
待定系数法.
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
0 不是根 k 1 是单根 2 是重根 ,
设 y x k e x Qm ( x ) ,
(2)
f ( x) e [ A cos x B sin x] 型
k x
x
设 y x e [a( x) cos x b( x) sin x],
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当 Q ( x ) 0,
当 Q ( x ) 0,
解法 齐次方程的通解为 y Ce
.
（使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
P ( x )dx dx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e
y f ( y , y) 型
不显含自变量 x .
令 y P( y),
dp y P , dy
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1) 形如
第六章 微分方程习题课
一、主要内容 二、典型例题
微分方程解题思路
非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程
分离变量法
作变换
一阶方程
作 降 变 阶 换
高阶方程
特征方程法 幂级数解法 待定系数法
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分叫初值问题．
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
2
特征根的情况
通解的表达式
r2 实根r1 r2
实根r1 复根r1, 2
i
y C 1e r x C 2 e r x y ( C 1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
例6
求特解
特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根
r1 r2 1,
y 2 y y xe x e x , y(1) y(1) 1.
解
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C 2 x )e x .
y * x 2 (ax b)e x , 设原方程的特解为
1 n
,
( 1 n ) P ( x ) dx
( 1 n ) P ( x ) dx dx c ). ( Q( x )(1 n)e
(6) 全微分方程 形如
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
其中 du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
y 令 u , y ux , y u xu. 代入原方程得 x cos u u sin u u xu u( ), 分离变量 u sin u cos u u sin u cos u dx du , 2u cos u x
ln( u cos u) ln x ln C ,
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
dy n 形如 P ( x ) y Q( x ) y dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法
需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y
y 1 n z e
* 1 * 2
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y 与 y 分别是方程,
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
例3
2x y2 3 x2 求通解 dx dy 0. 3 4 y y
解 原方程重新组合为
2x 3 x2 1 ( 3 dx 4 dy ) 2 dy 0, y y y x2 1 即得 d ( 3 ) d ( ) 0, y y 2 x 1 2 C. 3 故方程的通解为 y y
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
(n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
特点 解法
y f ( x , y) 型
不显含未知函数 y .
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
( 3)
特点 解法
[(C 0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
0 i不是特征方程的根时; k 1 i是特征方程的单根时.
二、典型例题
例1
求通解
y y y y y( x cos y sin )dx x( y sin x cos )dy . x x x x
解 原方程可化为
y y y dy y cos x x sin x ( ), dx x y sin y cos y x x x
2
两边积分
C u cos u 2 , x
y y C cos 2 , 所求通解为 xy cos y C . x x x x
例2
求通解 xy 2 y 3 x 3 y .
4 3
4 2 原式可化为 y y 3 x 2 y 3 , 伯努利方程 解 x 4 2 1 即 y 3 y y 3 3 x 2 , x 1 2 3 令 z y , 3 z z 3 x 2 , 原式变为 x 2 即 z z x2 , 一阶线性非齐方程 3x
y d( ) ydx xdy x , dx dy 2 2 2 2 y 2 x y 1 ( ) x y 1 x ln C , x y ln y 1 x x y x y . 故方程的通解为 e C x y
1 y 2 例5 求通解 y . 2y 解 方程不显含 x . dP 令 y P , y P , 代入方程，得 dy dP 1 P 2 P , 解得， 1 P 2 C1 y , dy 2y dy 即 C 1 y 1, P C 1 y 1, dx 2 C1 y 1 x C 2 . 故方程的通解为 C1
对应齐方通解为 z Cx ,
2 3
利用常数变易法
设 z C ( x) x ,