象州县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

象州县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，若A=2B，则a等于（）A．2bsinA B．2bcosA C．2bsinB D．2bcosB3．若a＜b＜0，则（）A．0＜＜1 B．ab＜b2C．＞D．＜4．一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（）A.4πB.C. 5πD. 2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．5．已知2,0()2,0ax x xf xx x⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x-≥对一切x R∈恒成立，则a的最大值为（）A．716-B．916-C．12-D．14-6．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．C．D．537． 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时，的取值范围是（ ）A ． ()0,1B ．⎝C ．()1,3⎫⎪⎪⎝⎭D ．(8． 向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．9． 方程x= 所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分10．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）A ．06=--y xB ．06=++y xC ．06=+-y xD ．06=-+y x 11．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）A ．B ．2C ．D ．12．在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a二、填空题13．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．14．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．15．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线x C y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________． 16．方程（x+y ﹣1）=0所表示的曲线是 ．17．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．18．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A．5- BC．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．三、解答题19．（本小题满分13分）设1()1f x x=+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列；（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．）20．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．21．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：A1D⊥平面ABD1．22．如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望。

23．（本小题满分12分）如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，M为A1A的中点，AB＝BD＝2，且△BMC1为等腰三角形．（1）求证：BD⊥MC1；（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．24．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．象州县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】D【解析】解：∵“a 2＞b 2”既不能推出“a ＞b ”； 反之，由“a ＞b ”也不能推出“a 2＞b 2”． ∴“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的既不充分也不必要条件．故选D ．2． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B ，∴sinA=sin2B ，又sin2B=2sinBcosB ， ∴sinA=2sinBcosB ，根据正弦定理==2R 得：sinA=，sinB=，代入sinA=2sinBcosB 得：a=2bcosB ． 故选D3． 【答案】A【解析】解：∵a ＜b ＜0，∴0＜＜1，正确； ab ＜b 2，错误；＜＜0，错误；0＜＜1＜，错误； 故选：A ．4． 【答案】B5． 【答案】C【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2y ax x =+图象相切时，916a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，12a =-，观察图象可得12a ≤-，选C ． 6． 【答案】D【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 53，故选：D ．【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．7． 【答案】C 【解析】1111]试题分析：由直线方程1:L y x =，可得直线的倾斜角为045α=，又因为这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线2:0L ax y -=的倾斜角的取值范围是03060α<<且045α≠，所以直线的斜率为00tan30tan 60a <<且0tan 45α≠1a <<或1a << C. 考点：直线的倾斜角与斜率. 8． 【答案】B【解析】解：如果水瓶形状是圆柱，V=πr 2h ，r 不变，V 是h 的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D 错；由已知函数图可以看出，随着高度h 的增加V 也增加，但随h 变大， 每单位高度的增加，体积V 的增加量变小，图象上升趋势变缓， 其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A 、C 错． 故选：B ．9． 【答案】C【解析】解：x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2=1（x ≥0），表示的曲线为双曲线的一部分；故选C ．【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．10．【答案】D 【解析】考点：直线方程11．【答案】D【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，∴q2=2，∴q=，∵a2=1，∴a1==．故选：D12．【答案】C【解析】考点：等差数列的通项公式．二、填空题13．【答案】0【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），=﹣1+0+1=0，∴A1E⊥GF，∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．故答案为：0．14．【答案】．【解析】解：∵tanβ=，α，β均为锐角，∴tan（α﹣β）===，解得：tanα=1，∴α=．故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．15．【答案】－4－ln2【解析】点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

16．【答案】两条射线和一个圆．【解析】解：由题意可得x2+y2﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分．由方程（x+y﹣1）=0，可得x+y﹣1=0，或x2+y2=4，故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆，故答案为：两条射线和一个圆．【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．17．【答案】．【解析】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．18．【答案】B【解析】三、解答题19．【答案】【解析】解：证明：2()10f x x x x=⇔+-=，∴2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，∴21122211λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩．∵12111111112122222222111111n n n n n n n n n na a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+， （3分）11120a a λλ-≠-，120λλ≠，∴数列12n n a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列． （4分）（Ⅱ）证明：设m =()f m m =． 由112a =及111n na a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．①当1n =时，命题成立． （9分）②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）由①②知，对一切n N *∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08， 由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3； 频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90，100）之间的2个分数编号为b 1，b 2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．21．【答案】【解析】证明：（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1，∵OE∥BD1，OE⊂平面ABD1，BD1⊄平面ABD1，∴BD1∥平面A1DE．（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥AB，又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1．22．【答案】【解析】（1）A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得P（A1）=0。