高三数学一轮总复习专题 圆锥曲线与方程(含解析)

专题十二、圆锥曲线与方程抓住3个高考重点重点1 椭圆及其性质1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>=椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有||,(01)MF e e d=<< 2．求椭圆的标准方程的方法（1）定义法：根据椭圆定义，确定22,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程．（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出22,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？（1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为221(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22221x y m n+=（2）与椭圆2222221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为2222221(,)x y k m k n m k n k+=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或22222y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了．（2）椭圆的离心率221c b e a a==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时，椭圆越接近于圆，求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合222a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度]角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)21,1(作圆122=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是14522=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1(1)2y k x =-+，即22120kx y k -+-=由题意，2|12|31444k k k -==>=-+，由22331(1)542415x y x y x y ⎧⎧=⎪=--+⎪⎪=>⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩，切点为34(,)55B ，又当斜率不存在时，直线方程为1x =，切点为(1,0)A ，故直线:220AB x y +-=,则与y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0)2=⇒b ，与x 轴的交点即为焦点1=⇒c ，2225a b c ∴=+=，即椭圆方程为14522=+y x （说明：如果设切点00(,)B x y ，则过切点的切线方程为001x x y y +=，与3134(1)14255y x x y =--+=>+=比较，也可求出切点34(,)55B ）方法二：（数形结合）设点1(1,)2P ，则有直线1:2OP y x =，作图分析可得2AB k =-，又切点(1,0)A故直线:2(1)AB y x =--，即220x y +-=，则AB 与y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0)2=⇒b ，与x 轴的交点即为右焦点1=⇒c ，2225a b c ∴=+=，故 椭圆方程为14522=+y x角度2在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为.解析：可设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,22c e a ==,2ABF 的周长为24164,228a a c b ==>=∴==>=, 故椭圆C 的方程为221168x y +=角度3 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>,直线l 为圆222:O x y b +=的一条切线，记椭圆E 的离心率为e ．若直线l 的倾斜角为3π，且恰好经过椭圆的右顶点，则e 的大小为__________. 解析：本题考查直线与圆的位置关系，椭圆的离心率等知识． 如图所示，设直线l 与圆O 相切于C 点，椭圆的右顶点为D ，则 由题意，知△OCD 为直角三角形，且||,||,,3OC b OD a ODC π==∠=22221||||||cos 32c CD OD OC a b c e a π∴=-=-==>===重点2 双曲线及其性质1．双曲线的定义：双曲线的第一定义：对双曲线上任意一点M 都有1212||||||2||2MF MF a F F c -=<=双曲线的第二定义：对双曲线上任意一点M 都有||,(1)MF e e d=> 2．求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法 （2）待定系数法3．求双曲线方程需要注意以下几点：（1）双曲线与椭圆的标准方程均可记为221(0)mx ny mn +=≠，其中，0m >且0n >，且m n ≠时表示椭圆；0mn <时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．（2）常见双曲线设法：①已知a b =的双曲线设为22(0)x y λλ-=≠； ②已知过两点的双曲线可设为221(0)Ax By AB -=>；③已知渐近线0x ym n±=的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠4.双曲线的几何性质的应用策略（1）关于双曲缉的渐近线①求法：求双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线的方法是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程00x ybx ay a b=>±==>±= ②两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且关于x 轴、y 轴对称.③与22221(0,0)x y a b a b -=>>共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠.（2）求双曲线的离心率双曲线的离心率221c b e a a==+，求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合222c a b =+即可求出.[高考常考角度]角度1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 解析：由已知得，圆22:(3)4C x y -+=，3,c =双曲线的渐近线为0bx ay ±=，由已知得22222,3d a b a b ==+==>+32bc =，则22,5b a ==，故选A. 角度2 已知双曲线221412x y -=的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为右支上一动点，点(1,4)Q ，则1||||PQ PF +的最小值为___________.解析：由双曲线的定义得1212||||2||2||PF PF a PF a PF -==>=+，又22(4,0),||5F QF =122||||||||2||2549PQ PF PQ PF a QF a ∴+=++≥+=+=，当且仅当2,,F P Q 共线时取等号，故1||||PQ PF +的最小值为9角度3设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. 340x y ±=B. 350x y ±=C. 430x y ±=D. 540x y ±=解析：如图，过2F 作21F A PF ⊥于A ，由题意知212||2,||2,F A a F F c ==则11||2,||4,AF b PF b =∴= 而 2212||||2,4222(2)PF PF a b c a c b a c b a -=∴-==>=-=>=-2222443b a b b ab a a =>+=-+=>= 则 双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，故选C重点3 抛物线及其性质1．求抛物线的标准方程的方法（1）定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程．（2）待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴上的，设为2(0)y ax a =≠，焦点在y 轴上的，设为2(0)x by b =≠．2．抛物线定义的应用策略抛物线是到定点和定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹，利用该定义，可有效地实现抛物线上的点到焦点和到准线的距离的转化，将有利于问题的解决． 3．抛物线几何性质的应用策略（1）焦半径：抛物线22(0)y px p =>一点00(,)P x y 到焦点(,0)2p F 的距离0||2p PF x =+. （2）通径：过焦点(,0)2pF 且与x 轴垂直的弦AB 叫做通径，且||2AB p = （3）设过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦为1122,(,),(,)AB A x y B x y ，则有 ①弦长：1222||(sin pAB x x p θθ=++=为弦AB 的倾斜角） ②221212,4p y y p x x ⋅=-⋅=③112||||AF BF p+=④以弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. ⑤直线AB 的方程为()2py k x =-（k 不存在时弦AB 为通径）[高考常考角度]角度1已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，||||=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．34B ．1C ．54D ．74解析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义，得1212121155||||344224x x AF BF x x x x ++=+++==>+==>=，故线段AB 的中点到y 轴的距离为54.故选C角度2设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）A. 28y x =-B. 28y x =C. 24y x =-D. 24y x =点评：由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．解析：由题意可知，抛物线的方程为22(0)y px p =>，由准线方程2x =-得22p=,所以28y x =．故选B角度3设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3-，那么||PF =（ B ）A. 43B.8C. 83D. 16解析：方法一：抛物线的焦点(2,0)F ，直线AF 的方程为3(2)y x =--，所以得点(2,43)A -、(6,43)P ，从而||628PF =+=，故选B 方法二： 如图，,//PA l PA x ⊥∴轴，又0060,60AFO FAP ∠=∴∠=，又由抛物线定义得||||,PA PF PAF =∴∆为等边三角形，令l 与x 轴的交点为F '，则(2,0)F '-在Rt AFF '∆中，||4,||8,||8FF AF PF '=∴=∴=，故选B突破10个高考难点难点1 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系 2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式典例 如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且4||||5MD PD =． （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 点评：（Ⅰ）动点M 通过点P 与已知圆相联系，所以把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（Ⅱ）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算． 解析：（Ⅰ）设点M 的坐标是(,)x y ，P 的坐标是(,)p p x y ，因为点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且4||||5MD PD =，所以p x x =，且54p y y =，∵P 在圆2225x y +=上，∴225()254x y +=，整理得2212516x y +=， 即C 的方程是2212516x y +=． （Ⅱ）过点(3,0)且斜率为45的直线方程是4(3)5y x =-，设此直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，由224(3)512516y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 222(3)25380x x x x +-==>--=，则12123,8x x x x +==- 221212161641||(1)[()4](1)[34(8)]25255AB x x x x ∴=++-=+--=，直线被C 所截线段的长度为415点评：如果直接解方程2380x x --=，∴1341x -=，2341x +=，形式复杂，增加运算难度 所以线段AB 的长度是22212121216||()()(1)()25AB x x y y x x =-+-=+-414141255=⨯= ）难点2 中点弦问题的处理1. 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种：（1）通过方程组转化为一元一次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解； （2）点差法，设出弦的两端点，利用中点坐标公式求解；（3）中点转移法，先得出一个端点的坐标，再借助于中点坐标公式得出另一个端点的坐标，而后消二次项． 2．对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，其解题步骤为： （1）设点：设出弦的两端点坐标； （2）代入：代入圆锥曲线方程；（3）作差：两式相减，再用平方差公式把式子展开；（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，最后求解.典例已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>6(22,0).斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -。